Vektor Dan Skalar

VEKTOR DAN SKALAR

Pengertian Vektor  Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya: perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan.  Vektor dinotasikan dengan sebuah huruf dengan anak panah diatasnya misal A, atau dicetak dengan huruf tebal misal A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan ini digunakan huruf biasa tanpa anak panah atau dicetak tebal).  Besar vektor A dinyatakan dengan |A| atau A .  Vektor A dapat pula dinyatakan dengan OP dan besarnya adalah |OP|. A O P

Pengertian Skalar  Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil.  Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar elementer.  Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer.

Aljabar Vektor Definisi-definisi yang mendasar pada vektor adalah sebagai berikut.  Duah buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yang sama. A

B

 Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi belawanan arah dengan vector A dinyatakan dengan vektor –A. A

-A

Aljabar Vektor  Jumlah atau resultan dari vektor A dan B adalah vektor yang didefinisikan dengan vektor C.  Selisih dari vektor A dan B diyatakan dengan A B, adalah sebuah vektor C. Jika A = B maka A B adalah vektor nol (0). Untuk vektor tak nol disebut dengan vektor sejati (proper vector).  Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah sebuah vektor sebesar mA.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor 1. Cara segitiga B

A

B

A C=A+B

-B C=A-B A

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor l

Cara jajaran genjang A

B C=A+B

B

A

Vektor A + B adalah diagonal dengan pangkal A dan ujung B.

1. Cara Poligon  Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama dengan nol jika arah sisi-sisi tersebut beraturan (lihat gambar berikut) P4 P5 P3 P1

P2

 P1P2 + P2P3 + P3P4 + P4P5 = P1P5. P4 P5 P3 P1

P2

 Jika arah P1P5 dibalik maka akan diperoleh P1P2 + P2P3 + P3P4 + P5P1 = 0. P4

P5

P1

P3 P2

Perkalian Vektor dengan Skalar A

2A

-2A

Jika h adalah bilangan dan A adalah vektor, maka hA didefinisikan sebagai sebuah vektor yang besarnya h dikalikan dengan besarnya A dan mempunyai arah yang sama dengan A jika h positif dan hA berlawanan dengan A jika h negatif.

Hukum-Hukum Aljabar Vektor

 c. d. e. f. g. h. i.

Jika A, B, dan C adalah vektor-vektor dan m, n adalah skalar-skalar maka: A+B=B+A Hukum komutatif untuk penjumlahan A + (B + C) = (A + B) + C Hukum assosiatif untuk penjumlahan mA = Am Hukum komutatif untuk perkalian m(nA) = (mn)A Hukum assosiatif untuk perkalian (m + n)A = mA + nA Hukum distributif m(A + B) = mA + mB Hukum distributif A + B = C jika dan hanya jika B = C - A A + 0 = A dan A – A = 0

Vektor Satuan  Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1 satuan.  Jika A sebuah vektor dengan |A| ≠ 0 maka adalah vektor satuan yang arahnya sama dengan A.

Vektor Komponen  Vektor A dalam ruang dimensi tiga, maka vektor-vektor A1i, A2j dan A3k disebut komponen-komponen tegak lurus atau vektor-vektor komponen dari A dalam arah x, y dan z.  Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah vektor A sehingga dapat ditulis A= A1i + A2j +A3k. 2

2

|A | = A 1 + A 2 + A 3

2

 Besar vektor A adalah 2  Pada umumnya vektor posisi r|rdari + y 2(x,y,z) + z 2 ditulis | = O xketitik R = xi + yj + zk dan besarnya

Medan Skalar 

   

Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah bilangan atau skalar Φ (x,y,z) maka Φ disebut fungsi skalar dari kedudukan dan dikatakan bahwa sebuah medan skalar didefinisikan dalam R. Sebuah medan skalar yang tidak tergantung pada waktu disebut medan skalar stasioner. Contoh: Temperatur pada setiap titik didalam atau diatas permukaan bumi pada suatu saat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalar. Φ(x,y,z) = x3y-z2 mendefinisikan sebuah medan skalar.

Medan Vektor 



 

Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor dan dikatakan bahwa sebuah medan vektor didefinisikan dalam R. Sebuah medan vektor yang tidak tergantung pada waktu disebut medan vektor stasioner. Contoh: Jika kecepatan pada sebuah titik (x,y,z) dalam sebuah fluida yang sedang bergerak diketahui pada suatu titik, maka sebuah medan vektor terdefinisikan. V(x,y,z) = xy2i - 2yz3j + x2zk mendefinisikan sebuah medan vektor.

Soal-soal: 1.

Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km kearah barat dan kemudian 150 km dalam arah 600 disebelah utara dari barat. Tentukan pergeseran resultan: (a) Secara grafis; (b) Secara analitis. 2. Carilah resultan dari perpindahan-perpindahan berikut: a. 20 km kearah 30 0 disebelah uatar dari timur. b. 50 km kearah barat c. 40 km kearah timur laut d. 30 km kearah 60 0 disebelah selatan dari barat. 3. Pada sebuah obyek P bekerja tiga buah gaya F1, F2, dan F3 koplanar seperti dalam gambar berikut. Tentukan gaya yang dibutuhkan untuk mencegah P bergerak jika F1 dan F2 membentuk sudut 300.

200N P 100 N F3 l 8.

150 N

F1 F2

Diketahui sebuah medan skalar yang didefinisikan oleh Φ (x,y,z) = 4yz3+3xyz - z2 +2. Carilah (a) Φ (1,-1,-2); (b) Φ(0,3,1) Lukiskan medan-medan vektor yang didefinisikan oleh (a) V(x,y) = xi – yj; (b) V(x,y) = yi – xj; (c) V(x,y,z) =