Vektor 1.pdf

Vektor dan Operasinya Tujuan: 1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar. 2. Mahir menghitung perkalian titik, panjang vektor, sudut antara dua vektor, vektor proyeksi. Skalar: besaran saja Vektor: besaran dan arah Vektor secara geometri B: Titik akhir

v = AB A: Titik pangkal

Vektor pada sistem koordinat (aljabar) v = (v1 , v2 ) (di ruang dimensi dua), v + w = (v1 , v2 ) + (w1 , w2 ) = (v1  w1 , v2  w2 ) w vw v

wv

v v

w

w k v = (kv1 , kv2 ) , k skalar

k

v

v 2 2 panjang vektor v : v  v1  v2

w  v  v  w

Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius): p = OP , q = OQ , PQ = (q1  p1, q2  p2 ) P ( p1 , p2 ) Q (q1 , q2 )

p q 0

v

= (v1, v2 , v3 ) (di ruang dimensi tiga) Contoh: gambarkan vektor-vektor berikut: p  (2,3), q  (1,4), r  (3,1), p  r, q  r

Perkalian Titik v dan w vektor, θ adalah sudut antara v dan w .  v w cos  , jika v  0, w  0 vw   0 , jika v  0, w  0 v  w  v1w1  v2 w2 cos  

v

θ

w

vw v w

Vektor ortogonal: vektor-vektor yang tegak lurus, v  w  0

Sifat operasi perkalian titik Jika u , v dan w adalah vektor (dimensi 2 atau 3), k adalah skalar 1. 2.

u ∙v=v∙u u ∙ (v+w) = u ∙ v

+

u ∙w

3. k( u ∙ 4.

v )= (k u ) ∙ v = u ∙ (k v ) v ∙ v > 0 jika v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 jika v

=0

Proyeksi ortogonal u Harus ada referensi suatu vektor lain, misal a . Mengurai u menjadi 2 bagian: sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a . w2

u

w1

a

Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2 , dimana w1 sejajar dengan

a dan w2 tegaklurus terhadap a . Kita tulis: w1 =p a u : proyeksi ortogonal u pada a , atau komponen vektor u sepanjang a .

w2 = u - p a u : komponen vektor u tegaklurus terhadap a . Teorema: Jika u dan a adalah vektor-vektor dimensi 2 atau 3, dan u ≠ a , maka u a

pa u =

2

a

a

Dengan demikian:

u - pa u = u -

u a 2

a

a

u a

Dan Dimana

|p a u |= cos  

ua u a

2

a

a 

u a 2

a

a 

ua 2

a

a

ua

 u cos

a

, θ sudut antara u dan a

Contoh: Tentukan proyeksi ortogonal u  (2,3) terhadap a  (2,1) .

Vektor dan Operasinya Tujuan: 1. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti geometris serta penggunaannya. 2. Mahir menghitung perkalian tripel skalar dan memahami arti geometris serta penggunaannya.

Perkalian silang

  Misal a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) , perkalian silang antara

   adalah vektor v  a  b sebagai berikut:

  a dan b 

1. Jika salah satu atau keduanya merupakan vektor nol maka v  0

  2. Jika a dan b sejajar dengan arah yang sama atau berlawanan  v maka  0 .  v 3. Jika γ adalah sudut antara a dan b maka  (v1 , v2 , v3 ) dimana v1  a2b3  a3b2 , v2  a3b1  a1b3 , v3  a1b2  a2b1

  dan |v| = a b sin  .    v  a b

 b

γ

 a Apakah a  b

Arti geometris v dan | v |:  v adalah vektor tegak lurus thd a

 dan b | v | : luas jajaran genjang

?

 b a

???

Perkalian silang vektor basis standard: i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) i x i, j x j, k x k i x j, j x k, k x i j x i, k x j, i x j Cara menghitung:  Ingat penulisan v  (v1, v2 , v3 )  v1iˆ  v2 ˆj  v3kˆ , perkalian silang secara simbolik sama dengan mencari determinan orde 3. i

j

a  b  a1 a2 b1

b2

k a3  (1)11 b3

a2

a3

b2

b3

i  (1)1 2

a1 a3 b1

b3

j  (1)13

a1

a2

b1

b2

Sifat umum perkalian silang Perkalian tripel skalar   a  ( a , a , a ) b  (b1 , b2 , b3 ) dan c  (c1 , c2 , c3 ) , Diketahui tiga vektor 1 2 3 , perkalian tripel skalar, ditulis (a b c) , adalah  a (b  c) = a  v = a1v1  a2v2  a3v3 dimana v = (b  c) Cara menghitung: (a b c) = a1 a2

a3

a (b  c)  b1

b2

b3  a1

c1

c2

c3

a (b  c) =

a b  c cos 

Arti geometris: a (b  c)

b2

b3

c2

c3

 a2

b1 b3 c1 c3

 a3

b1 b2 c1 c2

k

  a (b  c) : volume dari parallepipedum dibentuk oleh vektor a , b dan c .

Sifat perkalian tripel scalar: (ka b c)  k (a b c)

a (b  c)  (a  b) c (a  b) c  c (a  b)

Untuk contoh penggunaannya, lihat buku Kreizig.