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1. Introducción Un vector ⃗v=(v1,v2)v→=(v1,v2) de R2R2 es la flecha que parte del origen de coordenadas (punto (0,0)(0,0)) y termina en el punto P=(v1,v2)P=(v1,v2):

Sin embargo, podemos representar el mismo vector ⃗vv→ partiendo de cualquier otro punto del plano, siempre y cuando tenga la misma longitud, dirección y sentido:

Por esta razón, es importante diferenciar estos tres conceptos: longitud (módulo), dirección y sentido.

2. Módulo El módulo de un vector ⃗v=(v1,v2)v→=(v1,v2) es su longitud y se denota por |v||v|. Se calcula mediante la fórmula

El módulo, como toda longitud, nunca puede ser negativo. Ver ejemplo Calculamos el módulo de los siguientes vectores:

Los dos vectores tienen la misma longitud. Representación:

3. Sentido Un vector ⃗vv→ parte de un punto AA y termina en un punto BB:

El vector ⃗ww→ que parte del punto BB y termina en el punto AA tiene sentido opuesto:

Ambos vectores unen los mismos puntos, pero en sentidos contrarios. Miden lo mismo y tienen la misma dirección. Si el vector ⃗vv→ es ⃗v=(v1,v2)v→=(v1,v2), entonces vector ⃗ww→ es ⃗w=(−v1,−v2)w→=(−v1,−v2). Es decir, ⃗ww→ es vector opuesto de ⃗vv→:

el el

Ver ejemplo

Si cambiamos el signo de las dos coordenadas de un vector, obtenemos el vector opuesto. Este vector tiene la misma dirección y el mismo módulo (longitud), pero sentido contrario. X

4. Dirección Nota: el concepto de dirección es sencillo, pero es un poco más complicado definirlo matemáticamente. Como no tiene demasiadas aplicaciones prácticas, es suficiente con comprender el concepto. Concepto intuitivo:

Hay varias formas de definir la dirección. Vamos a ver una de ellas.

La dirección de un vector se puede definir a partir de la recta a la que pertenece el vector. Si dos vectores están en la misma recta o en una recta paralela, tienen la misma dirección:

Los tres vectores de color rojo tienen la misma dirección, aunque no todos tienen el mismo sentido ni la misma longitud (módulo). Los dos vectores de color azul tienen la misma dirección, pero tienen sentido opuesto y distinta longitud. Profundizamos un poco más:

La dirección del vector es el ángulo que forma la recta que lo contiene con el eje de las abscisas (eje horizontal). Este ángulo es el mismo para rectas paralelas. Por tanto, una forma de saber si dos vectores tienen la misma dirección es calcular el ángulo que forman con una recta horizontal. Dado el vector ⃗v=(v1,v2)v→=(v1,v2), el ángulo que forma con el eje de abscisas es

Si la primera coordenada es 0, entonces el ángulo es   

α=90∘α=90∘ si la segunda coordenada es positiva α=180∘α=180∘ si la segunda coordenada es negativa y α=0∘α=0∘ si la segunda coordenada es 0. Ver ejemplo

Calculamos el ángulo de los siguientes vectores para ver si tienen la misma dirección:

El ángulo que forma ⃗vv→ es

El ángulo que forma ⃗ww→ es

Por tanto, ambos vectores tienen la misma dirección:

Los vectores ⃗vv→ y ⃗ww→ tienen sentido contrario y módulo distinto.