Vectores(clase).docx

VECTORES 1.- Magnitud Física: Es aquella propiedad de un cuerpo, sustancia o fenómeno físico susceptible de ser medida o distinguida cuantitativamente. Ejs.:   

Propiedad de un cuerpo1  masa2 Propiedad de una sustancia3  densidad, temperatura de fusión y de ebullición. Propiedad de un fenómeno4 físico  la elasticidad de un cuerpo al deformarlo

2.- Tipos de Magnitudes: Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios:  Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares y vectoriales o tensoriales.  Según su origen en magnitudes fundamentales y derivadas. 3.- Magnitudes Escalares: son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un solo número real y una unidad de medida. Su valor puede ser:

 

independiente del observador (ej. la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (ej la energía cinética)

Ejemplos Cuando una señora compra 3 metros de género; cuando bebemos 2 vasos de jugo; cuando decimos que la temperatura del ambiente es 15ºC; cuando hemos caminado 45 min. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia. Todas estas cantidades escalares se suman algebraicamente, por Ej.:

5 litros + 4 litros – 6 litros = 3 litros 5 seg + 4 seg – 6 seg = 3 seg

1

Porción limitada de materia. La materia tiene muchas propiedades, pero no cabe duda que las dos más generales son: la extensión y la inercia 2 Magnitud física fundamental que mide la inercia de un cuerpo. No es sólo cantidad de materia, pues depende también de la velocidad, temperatura, etc. 3 Es una especie química pura que está formada de partículas iguales. 4 Es aquel que tiene lugar sin transformación de materia o cambian de modo pasajero el aspecto y algunas propiedades. Ej.: El sol calienta el agua, el vapor sigue siendo agua.

2 4.- Magnitudes Vectoriales5: Son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc.

Figura 1.- Ejemplos de magnitudes vectoriales. 4.1.- Representación Gráfica: En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, las magnitudes vectoriales se representan mediante un vector6 o vector fijo, que es un segmento de recta orientado o dirigido, que tiene un origen y un extremo, y además los siguientes elementos: Extremo

Punto de Aplicación7 u origen

Vector Sentido

Dirección

Magnitud o Módulo

Figura 2.- Elementos de un vector. 1. La magnitud o módulo  Es el tamaño o largo del vector. 2. La dirección  Es la recta sobre la cual actúa el vector 3. El sentido  es la “punta” o extremo de flecha indicando hacia donde actúa Observación: a) La dirección puede ser:  Horizontal  Vertical  Oblicua b) El sentido puede ser:    5

Hacia la derecha Hacia la izquierda Hacia arriba

El Cálculo Vectorial fue creado por el matemático irlandés Sir William R. Hamilton (1805-1865) “Vector”, proviene del latín ‘veho’ que significa portar o llevar. 7 En algunos textos de física agregan este cuarto elemento al vector, que también llaman origen del vector. 6

3  

Hacia abajo Posiciones intermedias entre los sentidos anteriores.

4.2.- Notación: Los vectores suelen designarse con una sola letra (o dos letras representando la diferencia entre los puntos extremo y origen) minúscula o

mayúscula, colocada en el centro del vector, y sobre ella una pequeña flecha horizontal, como indica la figura 4. En los libros, también, los vectores están escritos en letras más negras.

B A Figura 3.- Notación y representación de un vector



4.3.- Módulo del Vector: Si se tiene el vector V , entonces su módulo puede ser escrito de las siguientes formas:

  V, V o V

5.- VECTORES NO REFERIDOS A SISTEMA DE COORDENADAS.5.1.- Tipos de Vectores.Existen vectores que es necesario mencionar por la importancia que tienen en la operatoria con ellos. a) Vectores Equipolentes.- Son aquellos vectores, no nulos, que tienen:   A  la misma magnitud B  la misma dirección y  el mismo sentido.     A  B Se lee “ A equipolente con B ”. O atendiendo a sus componentes se puede comprobar que dos vectores fijos son equipolentes si y sólo si tienen las mismas componentes rectangulares. b) Vectores Opuestos.- Son aquellos vectores no nulos que tienen:  A  el mismo módulo,  B  la misma dirección,  pero sentidos opuestos o contrarios.   El vector opuesto de B, se escribe B = - A

4 c) Vectores Colineales.- Son los vectores no nulos, que tienen la misma dirección pudiendo ser:  paralelos o  estar sobre una misma recta. El módulo y el sentido pueden ser:  el mismo o  diferentes. Ejemplo: cuando se levanta un objeto con una cuerda, la fuerza que representa la tensión de la cuerda va hacia arriba F y la fuerza W que representa el peso del objeto hacia abajo. Como actúan en la misma cuerda, por eso se dice que son fuerzas colineales. Obsérvese que tienen, en este caso, tienen sentidos diferentes

d) Vector Libre: Es el conjunto, no un vector, de los infinitos vectores fijos equipolentes entre sí. La diferencia entre los diferentes vectores sólo será el punto de aplicación. Si se toma uno de los vectores de ese conjunto, se le llama vector fijo. Los vectores 𝑢, ⃗⃗⃗ 𝑣 y 𝑤 ⃗⃗ son ejemplos de conjuntos de vectores libres. ⃗ ): Es aquel vector cuya magnitud es nula y de dirección no e) Vector Nulo (0 definida. En este caso el origen y el extremo coinciden. f) Vector Unitario: Vector cuya magnitud o módulo es igual a la unidad.

g) Vector Deslizante: Es aquel que está obligado a actuar sobre una línea recta.

5 h) Vectores Concurrentes: Son aquellos que parten de un mismo punto de aplicación.

Ejemplo: Cuando dos aviones salen de un mismo lugar, cuando dos o más cuerdas tiran del mismo punto o levantan un objeto del mismo punto.

i) Vectores Coplanares: Cuando las rectas que contienen a las vectores están en un mismo plano.

j) Vectores Paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas

6 5.2.- Operaciones con Vectores.A) Suma de Vectores-Método Gráfico: 1.- Sobre la misma línea de acción: 

 En Igual Sentido: Se escribe el equipolente de A sobre la recta “L” (línea de  acción), luego en la punta de A se coloca el origen del equipolente del  vector B , y por último en el extremo de este se coloca el origen del



equipolente del vector C . La suma se obtiene al trazar un vector resultante    R que va desde el origen del vector A hasta el extremo del vector C , como se muestra en la Figura 4.  A   B C    C A B L

    A B C  R



L

Figura 4.- Procedimiento para la suma de vectores sobre la misma línea de acción. En sentido opuesto:

Figura 5.- Suma de vectores opuestos. 2.- Sobre distintas líneas de acción (L y L’): 

Método del Triángulo: Al igual que en el procedimiento anterior, se traza el   equipolente de A , luego en el extremo de este vector A , se coloca el origen     del equipolente de B . La suma de A  B resulta de unir el origen de A con  el extremo de B , tal como se muestra en la Figura 6. L’

L Figura 6.- Procedimiento para la suma de vectores sobre distintas líneas de acción.

7 

Método del Paralelogramo: Consiste en trazar el equipolente de un vector, digamos⃗⃗⃗𝐴, luego en el origen de éste se coloca el origen del equipolente de ⃗ . A continuación, del extremo de 𝐴 se traza una otro vector, supongamos 𝐵 ⃗ , y del extremo de 𝐵 ⃗ se dibuja una recta paralela recta paralela al vector 𝐵 al vector 𝐴. Finalmente se une el origen de ambos vectores con la ⃗ . Y esta línea de unión es la resultante intersección de las paralelas de 𝐴 y 𝐵 de la suma de ambos vectores. Gráficamente se tiene: Recta paralela al ⃗ vector 𝐵

Recta paralela al vector 𝐴

Figura 7.- Suma de vectores por el método del paralelogramo. Observación: Es de destacar que la suma realizada sobre distintas líneas de     acción, no sólo se cumple para A  B , sino también para B  A , es decir, se cumple que la suma de vectores es conmutativa, tal como se presenta en la figura 8.

Figura 8.- La conmutatividad de la suma de vectores. 

Método del Polígono: Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

8 En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.

3.- Propiedades de la Suma: ⃗ + 𝐶 ) = (𝐴 + 𝐵 ⃗)+𝐶 a) Asociativa: 𝐴 + (𝐵 ⃗ =𝐵 ⃗ +𝐴 b) Conmutativa: 𝐴 + 𝐵 c) Elemento Neutro: 𝐴 + ⃗0 = ⃗0 + 𝐴 = 𝐴 d) Elemento opuesto: 𝐴 + (-𝐴) = (-𝐴) + 𝐴 = ⃗0 B) La Resta.Para restar dos vectores no nulos cualesquiera se debe realizar la suma entre estos, pero con la salvedad de poner uno de ellos, que es el minuendo, como el vector opuesto. O en otras palabras, para restar un vector basta con sumar su opuesto. La suma de un vector con su opuesto da el vector nulo. Ejemplo 1

⃗ = 𝐴 + (-𝐵 ⃗ ) Se desea hacer la resta: 𝐴 - 𝐵

 A  B

Ejemplo 2

 B

 B

 A

  A B

⃗ -𝐴 Realizaremos la operación 𝐵  A

 B   BA

 A

Figura 9.- procedimiento para restar vectores.

9 ⃗ ≠ 𝐵 ⃗ - 𝐴. La resta de vectores no es conmutativa. Observe que: 𝐴 - 𝐵 C) Producto de un Escalar por un Vector.m𝐴 = 𝐴 + 𝐴 +…+ 𝐴 m veces m𝐴 es un vector cuya magnitud es “m” veces la de 𝐴, la dirección es la de 𝐴 y el sentido puede ser igual o contrario al de 𝐴, según que “m” sea positivo o negativo.  m > 0 ⟹ 𝑅⃗ = m𝐴  

m < 0 ⟹ 𝑅⃗ = - m𝐴 m = 0 ⟹ 𝑅⃗ = ⃗0

6.- VECTORES EN SISTEMA DE COORDENADAS.El método gráfico de suma de vectores visto en la sección 5.2 no se recomienda cuando se requiere gran precisión o en problemas en tres dimensiones. La inexactitud de este método requiere que se utilice un método simple pero general para sumar vectores: el método de componentes. Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema rectangular de ejes de coordenadas (cartesiano) (Fig. 10) y dibujamos el vector en cuestión con su origen o cola en O, el origen del sistema de coordenadas. Podemos representar cualquier vector en el plano XY como la suma de un vector paralelo al eje x y uno paralelo al eje y. Rotulamos esos vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑋 y 𝐴𝑌 en la figura; son los vectores componentes del vector 𝐴, y su suma vectorial es igual a 𝐴. En símbolos, 𝐴 = 𝐴X + 𝐴𝑌 Figura 10.- Los vectores 𝐴𝑋 y 𝐴𝑌 son los vectores componentes rectangulares de 𝐴 sobre los ejes X e Y. En este caso las componentes 𝐴𝑋 y 𝐴𝑌 son positivas. Por definición, cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, por lo que sólo necesitamos un número para describirlo. Si el vector componente ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑋 apunta hacia la dirección x positiva, definimos el número AX como la magnitud de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑋 ; si ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑋 apunta en la dirección x negativa, AX es igual al negativo de dicha magnitud. Definimos el número AY del mismo modo. AX y AY son las componentes de ⃗𝑨.

10

PRECAUCIÓN: Las componentes AX y AY de un vector 𝐴 son sólo números, no son vectores. Por ello las simbolizamos con letras sin flecha arriba.

Podemos calcular las componentes de 𝐴 si conocemos la magnitud A y su dirección. Describimos la dirección de un vector con su ángulo relativo a una dirección de referencia, que en la figura 11 es el eje x positivo, y el ángulo entre 𝐴 y el eje x positivo es θ (la letra griega “theta”). Imaginemos que el vector 𝐴 yace originalmente sobre el eje +x y lo giramos hasta su dirección correcta, como indica la flecha sobre el ángulo θ en la figura 11. Si la rotación es del eje + al eje +y, como en la figura 11, entonces θ es positivo; si la rotación es del eje +x al eje -y, entonces θ es negativo. Por tanto, el eje +y está a 90º, el eje -x está a 180º y el eje -y está a 270º (o -90º). Si medimos de esta manera θ, entonces por la definición de las funciones trigonométricas, 𝐴𝑥 𝐴

= 𝑐𝑜𝑠𝜃

y

𝐴𝑌 𝐴

= senθ ⟹

AX = Acosθ

y

AY = Asenθ (1)

(θ medido desde el eje +x girando hacia el eje +y)

PRECAUCIÓN: Las ecuaciones anteriores son correctas sólo si el ángulo θ se mide desde el eje x positivo, como se describe aquí. Si el ángulo del vector se da desde otra dirección de referencia o se usa otro sentido de rotación, las relaciones son distintas. ¡Tenga cuidado! El ejemplo 1 ilustra este punto.

En la figura 10, Ax es positiva porque su dirección está sobre el eje +x, y Ay es positiva porque su dirección está en el eje +y. Esto es congruente con las ecuaciones (1); θ está en el primer cuadrante (entre 0º y 90º) y tanto el coseno como el seno del ángulo son positivos en este cuadrante. En cambio, en la figura 11a, la componente Bx es negativa; su dirección es opuesta a la del eje +x. Esto también es congruente con las ecuaciones (1); el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es negativo. La componente By es positiva (senθ es positivo en el segundo cuadrante). En la figura 11b, tanto Cx como Cy son negativas (cosθ y senθ son negativos en el tercer cuadrante).

Figura 11 Las componentes de un vector pueden ser números positivos o negativos.

11

Ejemplo 2

Cálculo de Componentes

⃗ en la figura 12. La magnitud del vector 𝐷 ⃗ es 3 a) Obtenga las componentes x e y de 𝐷 [m] y el ángulo es α = 45. Solución El problema implica determinar componentes, por lo que aparentemente sólo necesitamos las ecuaciones (1). Sin embargo, debemos tener cuidado porque los ángulos de la figura 12 no están medidos del eje +x al eje +y. ⃗ y el eje x positivo es α (la letra griega “alfa”), El ángulo entre 𝐷 pero este ángulo se mide hacia el eje y negativo. Por tanto, en las ecuaciones (1) debemos usar el ángulo θ = -α = -45o. Obtenemos: Figura 12.- Cálculo de 0 las componentes x e y DX = D cos θ = (3[m])*(cos(-45 )) = +2,1 [m] de los vectores

DY = D sen θ = (3[m])*(sen(-45o)) = -2,1 [m] El vector tiene una componente x positiva y una componente y negativa, como se muestra. Si por descuido hubiéramos usado θ = +45o en las ecuaciones (1), habríamos obtenido Dy con el signo equivocado. 7.- VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. Se obtiene dividiendo el vector por su magnitud. A dicho vector se le llama también versor.

𝑢̂ =

𝐴

y

𝐴

|𝐴|

𝑢 ⃗ 𝑢 ⃗ : vector unitario de 𝐴

x

8.- VERSORES RECTANGULARES

Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. 𝒊̂ : vector unitario en el eje x (positivo) -𝒊̂: vector unitario en el eje x (negativo) 𝒋̂: vector unitario en el eje y (positivo) -𝒋̂: vector unitario en el eje y (negativo)

12 Ahora tendremos: Ejemplo 3

𝐴 = 𝐴𝑋 + 𝐴𝑌 ó 𝐴 = 𝐴𝑋 𝑖̂ + 𝐴𝑌 𝑗̂

En el sistema mostrado en la figura 13, expresar el vector 𝐴 en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 [m]. Ejemplo 2

Solución 𝐴 = 𝐴𝑋 + 𝐴𝑌 ⟹ 𝐴 = 𝐴𝑋 𝑖̂ + 𝐴𝑌 𝑗̂  AX = Acos (53o) = 30[m]*0,6

Ax = 18 [m]  AY = Asen(53o) = 30[m]*0,8

AY = 24 [m] Luego: ⃗𝑨 = (18 𝒊̂ + 24 𝒋̂) [m]

Figura 13

9.- SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos: a) Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. b) Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el método de vectores colineales, es decir, se suma componente con componente. c) El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras. R = √𝑹𝟐𝑿 + 𝑹𝟐𝒀

Ejemplo 4 En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo.

13 Solución i) Gráficamente:

ii) Analíticamente: 𝐴 = 𝐴𝑋 𝑖̂ + 𝐴𝑌 𝑗̂ = -30*cos(53o)𝑖̂ + 30*sen(53o) 𝑗̂ = -30*0,6𝑖̂ + 30*0,8𝑗̂ = -18𝑖̂ + 24𝑗̂ ⃗ = 𝐵𝑋 𝑖̂ + 𝐵𝑌 𝑗̂ = 15*cos(37o) 𝑖̂ + 15*sen(37o) 𝑗̂ = 15*0,8𝑖̂ + 15*0,6𝑗̂ = 12𝑖̂ + 9𝑗̂ 𝐵 𝐶 = 𝐶𝑋 𝑖̂ + 𝐶𝑌 𝑗̂ = 0𝑖̂ - 10𝑗̂ Por lo tanto, sumando componente a componente se tiene que: ⃗ + 𝐶 = (-18𝑖̂ + 24𝑗̂) + (12𝑖̂ + 9𝑗̂) + (0𝑖̂ - 10𝑗̂) ⟹ 𝑹 ⃗⃗ = -6𝒊̂ + 23𝒋̂ 𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵 ⃗⃗ | = √(−𝟔)𝟐 + (𝟐𝟑)𝟐 ⟹ |𝑹 ⃗⃗ | = 23,77 |𝑹 El ángulo que forma la resultante con el eje positivo x, se obtiene: 𝑅

23

Θ = arctan(𝑅𝑌 ) = arctan(−6) ⟹ θ = -75,4o 𝑋

Como da negativo, quiere decir que el ángulo se está midiendo desde el eje negativo x hacia el vector resultante. Si quisiéramos el valor desde el eje positivo x, entonces habría que realizar la siguiente operación: 𝜃 = 180o – 75,4o ⟹ θ = 104,6o