Vectores Y Valores Propios

Universidad de Los Andes Facultad de Ingenier´ıa ´ Algebra Lineal - Valores y Vectores Propios Profesores: Carolina Prado, Carlos Alarc´on. Auxiliares: Sebasti´an Reyes, Rodolfo Carvajal. 1. Calcule valores  3 0 1  0 3 0   0 1 3 0 0 0

y vectores propios de las siguientes matrices:        0 3 −2 1 3 2 2 2 1 0 0    2 1 −1   −2 1 −6   0 2 0  0  2 −6 4 1 −1 4 0 0 3 3

2. Utilizando el determinante de una matriz, determine los valores de a 6= 1 para los cuales el sistema x1 ax1 ax1 ax1

+ ax2 + x2 + ax2 + ax2

+ ax3 + ax3 + x3 + ax3

+ ax4 + ax4 + ax4 + x4

3. Demuestre que: 

w −1 0 0 ··· 0  0 w −1 0  ..  w −1 .  0 det  .  ... .. 0 0   0 w −1 a1 a2 a3 . . . an−1 an

4. Pruebe, usando inducci´on que  a 1 + b1 b1  b2 b2 + a2  det  .. ..  . . bn ···

··· ··· ...

b1 b2 .. .

···

an + bn

5. Dada la matriz



=0 =0 =0 =0

   n−1  X  (ai + 1)wi =   i=0 

 n n n  Y X Y  ai + (bj ai ) =  i=1 j=1 i=1 i6=j

 1 1 1 1  1 1 −1 −1   B=  1 −1 1 −1  1 −1 −1 1

calcular los valores propios y dar una base de vectores propios. Concluya que B es invertible y usando diagonalizaci´on calcule su inversa. 1

6. Considere las siguientes matrices,    2 1 0 0  0 2 0 0     A=  0 0 0 0  B= 0 0 0 2

2 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

 0 0   0  2



0  0 C=  0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

 0 0   0  2

Calcule los valores y vectores propios de ´estas. Diga cu´ales son diagonalizables. 7. Se dice que una matriz A ∈ Mnxn (R) es antisim´etrica si A = −At . Si n es impar y A es antisim´etrica, calcular det(A). 8. Demuestre que  1  a det   a2 a3 9.

 1 1 1 b c d   = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) b2 c2 d2  b3 c3 d3

a) Determine los valores propios y una base ortonormal de vectores propios de:   1 0 0 0  0 1/2 1/2 0   A=  0 1/2 1/2 0  0 0 0 1/2 b) Estudie el comportamiento de An , cuando n → ∞.

10. Sea A ∈ Mnxn (R) que satisface det(A) = 1 y A−1 = At . Probar que: a) Los valores propios de A tienen m´odulo 1. b) Los vectores propios de A asociados a valores propios diferentes son ortogonales. c) Si A = T , triangular superior, entonces A es diagonal. d ) Suponiendo ahora A sim´etrica, existe U matriz, con det(U ) = 1 y U −1 = U t tal que U t AU = D, diagonal. 11. Considere la matriz A ∈ M3x3 (R) siguiente,   2 1 1 A =  1 2 −1  1 −1 2 a) Calcular los valores propios de A. b) D´e una base ortonormalde vectores propios de A. 2

c) Encontrar una matriz P ∈ M3x3 (R) y D ∈ M3x3 (R), D diagonal, tal que A = P DP t . d ) ¿Es A una matriz invertible?, justifique su respuesta. 12. Sea x ∈ R, x 6= 0 y An ∈ Mn×n (R) matriz tridiagonal tal que aii = 1 + x2 ,1 ≤ i ≤ n; ai,i−1 = x, 1 < i ≤ n; ai,i+1 = x, 1 ≤ i < n; aij = 0 si j ∈ / {i, i − 1, i + 1}. Sea ∆n =detAn = |An |. i) Mostrar que ∆n − ∆n−1 = x2 (∆n−1 − ∆n−2 ). P ii) Deducir que ∆n = 1 + x2 + x4 + ... + x2n = ni=0 x2i . 13. Considere la matriz A ∈ M4×4 (R) 

2 1 A =  1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

 1 1  1 2

a) Demuestre que el polinomio caracteristico de la matriz A es: p(λ) = (1 − λ)3 (5 − λ) b) D´e una base ortonormal de R4 de valores propios de A.   1 4 0 0 0 1 0 0   14. Sea A =  0 0 1/2 1/2  0 0 1/2 1/2 a) Encuentre D diagonal y P invertible talque A = P DP −1 b) Verifique que si m > 0 entonces si m es impar Am = A y si m es par:   1 0 0 0 0 1 0 0   A =  0 0 1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 *( 2  1)+ *( 1 )+  2  , 0 1 15. Sea A tal que: Ker(A - I ) = y Ker(A - 2I) = −1 1 −1 a) Demuestre que A es diagonalizable b) encuentre A. 3

16. Considere el sistema siguiente: Xn+1 = AXn + Bn , n ≥ 0 X0 dado en Rd donde A ∈ Md×d (R), Bn ∈ Rd , n ≥ 0. (i) Demuestre que la soluci´on del sistema anterior est´a dada por: Xn = An X0 +

n X

An−j Bj−1 ,

n ≥ 1.

j=1

(ii) Suponga que Bn = 0, n ≥ 0, y que A es diagonalizable con los valores propios de A estrictamente menores que 1 en m´odulo. Demuestre que Xn → 0 si n → ∞. (iii) Suponga que la poblaci´on de ballenas b, plancton p y temperatura del mar T est´an regidas por el siguiente sistema discreto, donde n designa el a˜ no y λ > 0 un par´ametro de crecimiento: bn+1 pn+1 Tn+1 b0 = 10, p0

= = = = 100

λbn + pn λpn + Tn λTn T0 = 15

Resuelva el sistema usando la f´ormula que dedujo en el punto (i), calculando expl´ıcitamente An , n ≥ 0, y determine para qu´e valores de λ existe el l´ımite cuando n → ∞ de bn , pn y Tn , explicit´andolo en cada caso. Indicaci´ on: Recuerde que si dos matrices P, Q conmutan, entonces es v´alida la f´ormula del Binomio de Newton.

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