Vectores Ejercicios Propuestos

71

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Las coordenadas de dos puntos P1 y P2 son respectivamente (0 m; 4 m) y (3 m; -

3π rad ). La 2

distancia entre los puntos P1 y P2 es: A) 7 m

B) 1m

C) 7

D) 5 m

E) 1

2. Un segmento tiene por extremos los puntos (−2 m; 1 m) y (2 m; −2 m). La longitud del segmento es, en dm: A) 5

B)

C) 50

500

D) 30

E) Ninguno de los anteriores

3. Dos aviones se mueven en círculos concéntricos de radios R1 = 850 mile y R2 = 400 mile, tal como se representa en la figura derecha. La mínima distancia entre los aviones es, en km :

A) 0

B) 450

C) 724,2

D) 7,24 105

E) Ninguno de los valores anteriores

4. Dos ardillas juegan sobre la superficie de un tronco seco, tal como se representa en la figura. El diámetro de la sección circular del tronco es

3 m y y la longitud del tronco es 4 m. La mayor

distancia a la que pueden estar las ardillas es, en m A) 7

B) 4

C) 5

D)

7

E) Ningún valor anterior

72 r r r r 5. El conjunto de vectores A , B , C , D todos de igual módulo, están orientados tal como se

representa en la siguiente figura:

r r r r Relativo al conjunto de vectores A , B , C , D se dan los siguientes enunciados: r r r r I. El vector A + B posee igual módulo que el vector A − B r r r r II. El vector A + B es paralelo al vector B − C r r r r III. El vector A − 2 B + C es perpendicular al vector C r r r r r IV. El vector A + B + C + D es de mayor módulo que el módulo del vector A r r r r V. Los vectores ( A + B ) y ( C − D ) son iguales. r r r r VI. El vector A + B es el vector opuesto de D − C r r r r r VII. El vector ( A + B − C + D ) es el vector 2 A

Los enunciados verdaderos son: A) Todos

B) I, II, IV,VI

C) II, III, V, VII

D) I, II, III, VII

E) Ninguna de las anteriores

r r r r r r 6. Los vectores A , B , C , D , R y S todos poseen módulo igual a 2 m y se encuentran orientados

tal como se representa en la figura que se muestra a continuación:

Relativo al conjunto de vectores mostrados anteriormente, se dan los siguientes enunciados: r r r I. El vector A + B + C es el vector nulo. r r r II. El vector A + C es igual al vector S . r r r r III. El vector B + D + S es igual al vector − R . r r r r r r IV. El vector C + B es igual al opuesto del vector A ; es decir C + B = − A r r r r r r r r V. El vector A − C + S es igual al cuádruple del vector A ; es decir A − C + S = 4 A De los enunciados anteriores son falsos: A) Todos

B) Ninguno

C) I , II, III

D) Sólo IV y V

E) III, IV, V

73 7. Sobre cuatro bloques M1, M2, M3 y M4 se aplican conjuntos de fuerzas diferentes, tal como se representa en los diagramas siguientes. Todas las fuerzas poseen módulo igual a 10 N. r F3

r F4

r F2

r F4 r F2

M1

r F1

150° M3

M2

r F5

r F1

60°

r F6

Selecciona el enunciado falso: A) La fuerza resultante sobre M1 es − 10ˆj N .

B) La fuerza resultante sobre M2 es 10ˆi N

C) La fuerza resultante sobre M3 es − 10 3ˆj N

D) La fuerza resultante sobre M4 es cero.

E) Ninguna de las anteriores. 8. Sobre

un

bloque

actúan dos fuerzas r r perpendiculares entre sí F1 y F2 . Del conjunto de pares de fuerzas que se muestran en la tabla a la derecha, selecciona el par de fuerzas que pueden representarlas.

r 9. Sobre un bloque actúan dos fuerzas paralelas F1 y r F2 . Del conjunto de pares de fuerzas que se muestran en la tabla a la derecha, selecciona el par de fuerzas que pueden representarlas.

r r A) F1 = (1; -1) N y F2 = ( - 3 iˆ + 3 ˆj ) N r r B) F1 = ( - iˆ - ˆj ) N y F2 = ( iˆ + ˆj ) N r r 3π π C) F1 = (4 N; rad ) y F2 = (1 N; rad ) 2 2 r r 3π D) F1 = (1 ; 1) N F2 = (4 N; rad ) 2 r r E) F1 = (1; -1)N y F2 = -3 kˆ N r F1 = ( r B) F1 = ( iˆ r C) F1 = (4 N;

r 3 iˆ - ˆj ) N y F2 = (1 ; 3 ) N r ˆj ) N y F = ( iˆ + ˆj )N 2 r 3π π rad ) y F2 = (1 N; rad ) 2 2 r r 3π D) F1 = (1 ; 1) N y F2 = (4 N; rad ) 2 r r E) F1 = (2 N; π rad) y F2 = -3 kˆ N

A)

10. Sobre un bloque en reposo actúan dos fuerzas r r opuestas F1 y F2 . Del conjunto de pares de

A)

fuerzas que se muestran en la tabla a la derecha,

C)

selecciona el par de fuerzas que pueden representarlas.

B)

D) E)

r r F1 = ( - 3 iˆ - ˆj ) N y F2 = (1 ; 3 ) N r r y F2 = ( iˆ + ˆj ) N F1 = ( iˆ - ˆj ) N r r 3π π F1 = (4 N; - rad ) y F2 = (4 N; rad ) 2 2 r r F1 = (2 N; - π rad) y F2 = 2 iˆ N r r F1 = (2 N; π rad) y F2 = -3 kˆ N

74 11. Se tienen los siguientes vectores:

= (2;

r = ( iˆ − 3 ˆj ), C = ( 3 ; 1) y

3π rad ), 4

r 5π D=( 2; − rad ). De los enunciados que se dan a continuación, seleccione el falso: 4 r y C tienen igual

A) Los vectores módulo.

r y C son perpendiculares r C) El módulo vector D es el menor valor. r E) Los vectores y D son opuestos

B) Los vectores

r y D son

D) Los vectores paralelos r

r

r

12. El vector A = ( 3 ˆi - 3 ˆj ) es perpendicular al vector B , entonces el vector B puede ser: A) (1;-1)

C) ( -3 ˆi + 3 ˆj )

B) - 3 ˆj r

E) Ninguno de los anteriores

D) ( 3 2 ; - 135º) r

r

r

13. Dados los vectores A = ( 3 ˆi - 3 ˆj ) y B = (-3 ˆi - 3 ˆj ). El vector A - B en coordenadas polares es: A) (6 ; 3π rad)

B) (2 3 ; 4)

r

r

D) (6; 4π)

C) ( 6; 0 rad)

r

r

E) Ninguno de las anteriores r

14. Los vectores A , B y C forman un triángulo. Si A = ( -3 ˆi - 3 ˆj ) y B es perpendicular al vector r r A . El vector unitario en la dirección del vector C puede ser :

A)

1

ˆi − 1 ˆj 2 2

15. Se dan los vectores r

B) (1 ; -135º)

C) -

1

= (−2 ˆi − 2 3 ˆj ) y

ˆi + 1 ˆj D) - ˆj 2 2

r

= (4;120º). Si C =

E) Ninguno de los anteriores

−

y

r D =

r

vectores C y D son respectivamente, en coordenadas polares: π π A) ( 4 3 ; rad ) B) (0; 4 3 ) C) (8; rad ) 2 3

(4; π rad)

(−4;0)

(0; 0)

D) (0; -150º) (8; 2π rad)

7π ⎛ ⎞ E) ⎜ 32 ; rad ⎟ 12 ⎝ ⎠

(

32; 195º

)

+

; los

75 16. Tres vectores

r

,

y C

forman un triángulo. Si el vector

= (-3 ˆi + 4 ˆj ) y el vector

r

= ( ˆi - 2 ˆj ), entonces las coordenadas del vector C podrían ser: A) ( -2 ˆi - 2 ˆj )

B) (2 ˆi - 2 ˆj )

C) (- 4 ˆi - 6 ˆj )

r

D) (4 ˆi + 6 ˆj )

r

E) (2 ˆi + 2 ˆj )

r

17. Sobre un bloque actúan dos fuerzas F1 y F2 . La fuerza resultante F

r

r

r

r

r

r FT 60°

que actúa sobre el cuerpo es F = F1 + F2 . Si las fuerzas F y F2 son los vectores opuestos que se representan en la figura a la derecha y el

r módulo de la fuerza total es 10 N, entonces la fuerza F1 es, en N: r A) 0

3 ˆ 1 ˆ i + j) 2 2

B)10(-

30°

r F2

3 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 1 ˆ E) Ningún valor i j ) D) 20( i + j] anterior 2 2 2 2

C) 10 (

18. Se tiene un bloque sujeto a tres fuerzas que lo mantienen en reposo sobre un plano inclinado. En la figura a la derecha se muestran dos de las tres fuerzas que actúan r sobre el bloque: el peso P = − 3ˆj N y la fuerza normal r N de módulo igual a 3 N. Considere que la unidad de escala en ambos ejes coordenados es de 1 N. La fuerza r faltante F en el diagrama, para que el bloque se encuentre en reposo es, en N: A) -1,5 ˆi - 0,4 ˆj

r

B) 1,5 ˆi + 0,4 ˆj

C) 1,5( − 3 ˆi - 1ˆj ) D)1,5( 3 ˆi + 1ˆj )

E) Ningún valor anterior

r

19. Dos fuerzas F 1 y F2 aplicadas a cuerpo un forman un ángulo entre si de 120°. Si la fuerza

r r r r F 1= 3 ˆi N y el módulo de F2 = 1,5 3 + 1 N, entonces la fuerza resultante F = F1 + F2 es en

(

)

coordenadas polares: A( 5,1 N;

B) (6,2 N; 0,61 rad) π rad ) 3

C) (3,7 N;

E) Ningún π 5 π rad ) D) (5,1 N; rad ) valor anterior 12 6

76

r

r

r

(

)

20. El módulo de la fuerza resultante F = F1 + F2 aplicada a un cuerpo es 200 1 + 3 N . La fuerza

r F1 es de módulo F1 = 200 N y forma un ángulo de 30° con el vector fuerza resultante. El ángulo r r r que forman los vectores F1 y F2 , y el módulo F2 son:

A) 30° ; 429,1 N

B) 15°; 386,4 N

(

)

D) 45° ; 386,4 N E) Ningún valor anterior

C) 45°; 400 1 + 3 N

r

r

21. Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas F1 = (-4 ˆi -3 ˆj ) N, F2 r r r r r resultante es cero, F = F1 + F2 + F3 = 0 , entonces la fuerza A) ( 2 N; -45° )

B) (- ˆi - ˆj ) N

22. Sean los vectores

r A

r

,B

r

,C

r F2 es:

r

D) (- ˆi + ˆj ) N

C) ( 2 N; 45° )

y

r

y F3 = (3 ˆi +4 ˆj N. Si la fuerza

E) 0

r D 4

representados en el sistema cartesiano que se

r B

muestra en la gráfica a la derecha.

r D

r r r Relativo al conjunto de vectores A , B , C y

r D se dan los siguientes enunciados: r r r I. El vector B − D es igual al vector 2 D .

Y

2 ˆj

iˆ

-4

-2

0

X

2

r A

r C

-2 ˆ II. El vector j es perpendicular al vector r r -4 suma A − B . r III. El vector A es perpendicular al vector 2iˆ + j + kˆ r r r r IV. El vector A + B + C − D es el vector nulo. r V. El vector C es paralelo al segmento definido por los puntos de coordenadas (−1;−1) y (0;0).

r

VI. La suma de los vectores A +

1 r C es un vector perpendicular al vector unitario ˆi 3

De los enunciados anteriores son verdaderos: A) Todos

B) Ninguno

C) III , IV, V

D) I, II, III

E)

I, V, VI

77

23. Un vector que restado al vector

, representado en la figura a

la derecha, dé un vector en coordenadas polares perpendicular al eje y, podría ser: π ⎛ ⎞ A) ⎜ 3 ; rad ⎟ 2 ⎝ ⎠

π 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ B) ⎜ 3 2 ; rad ⎟ C) ⎜ 3 2 ; π rad ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B) ( 0 ; 0 )

C) (3 ˆi + 3 ˆj )

0

r A

-2

1 ⎛ ⎞ D) ⎜ 3; - π rad ⎟ 2 ⎝ ⎠

24. Relacionada con la figura del problema anterior, considera un vector r . Si ≠ 0, el vector suma S = + podría ser: A) ( − ˆi − ˆj )

-2

5 ⎛ ⎞ E) ⎜ 3 2 ;- πrad ⎟ 4 ⎝ ⎠

perpendicular al vector

D) (−6 ˆi )

E) (− ˆi + ˆj )

D)

E)

r r r r 25. Sean los vectores A , B , C y D representados en el sistema cartesiano que se muestra en la gráfica a la derecha. r r r r r El vector definido por S = A + B − C + D , está

representado gráficamente por cuál de los siguientes vectores: A)

B)

C)

r

26. Relacionada con la figura del problema anterior, el vector opuesto al vector ( B

r

+ C ) en

coordenadas polares, es: π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A) ⎜ 2 ; 3 rad ⎟ B) ⎜ 2 ; rad ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ C) ⎜ 2 ; π rad ⎟ D) ⎜ 2 ; - π rad ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 ⎛ ⎞ E) ⎜ 2 ;- π rad ⎟ 4 ⎝ ⎠

78 27. El vector

= -4 ˆi + 10 ˆj y la suma

es paralelo al eje z, el vector

+

r

+ C = 6 ˆi . El valor

r

de la componente del vector C paralela al eje x, es: −10

A)

B) - 6

C) 2

r

D) 10

E) Ningún valor anterior

r

r

28. Se dan los vectores M = (4 ; 60°) , N = 4 ˆi – 4 ˆj y S = 3 ˆi – 2 ˆj . Seleccione la expresión que se corresponde con un vector paralelo al aje x: r

r

A) M + S

r 1 r N − M 2

B)

r

r

r

C) M - N - S

r

r

E) Ninguna expresión anterior

D) N – 2 S

r r r r 1 ˆ ˆ ( i + k ). A continuación se dan los 29. Sean los vectores A = 2 iˆ + ˆj , B = ˆj , C = − iˆ + 2 ˆj y D = 2

siguientes enunciados: r

Son verdaderos enunciados:

r

I. El vector A − C es el vector 3 iˆ − ˆj .

r r D . II. El vector Ar es perpendicular al vector r III. El vector A es paralelo al vector C . r r r IV. El módulo del vector A − B es igual a 2 D . r

A) Todos . B) Ninguno.

r

r V. El vector A − B + C es perpendicular al vector − 2ˆi − ˆj . r r r r VI. El módulo del vector 0,5( B − A ) + C + 2D es mayor que el r módulo del vector 2 B

30. Tres vectores

vector

,

C) I, II ,V. D) Sólo I, IV y VI E) I, IV, V

r

y C forman un triángulo isósceles. Si el vector

= (-3 ˆi +

r = - 6 ˆi , entonces las coordenadas cartesianas del vector C podrían ser:

A) ( -9 ˆi + 3 ˆj ) B) (9 ˆi - 3 ˆj )

los

C) ( 3 ˆi - 3 ˆj )

D)( -3 ˆi -

3 ˆj )

3 ˆj ) y el

E) Ninguna de las anteriores

r r ⎛ 3π ⎞ 31. Considere el semieje positivo X como eje polar. El valor de A = ˆi + ˆj y el de B = ⎜1; rad ⎟ . ⎝ 2 ⎠ r r r r ˆ ˆ En la expresión 2A − 6B + C = 2i − 4 j , el valor de C es: A) 2iˆ + 4 ˆj

B) − 2iˆ − 4 ˆj C)

r 0

D) − 4iˆ − 8 ˆj

E) Ninguno de las anteriores

r

32. Un vector unitario perpendicular al vector N = 4iˆ − 3 ˆj es el vector : A) 0,2(3 iˆ - 4 ˆj )

B) − 3iˆ + 4ˆj

C) kˆ

D) 4 iˆ + 3 kˆ

E) Ninguno de las anteriores

79 r r 33. Se dan dos vectores A = −iˆ + 3 ˆj y B = −iˆ − ˆj . El ángulo agudo que forman entre sí las r r rectas que definen las direcciones de los vectores A y B es: A)

B)

30º

C)

45º

D)

60º

r

r

34. Sobre un bloque actúan las fuerzas F1 , F2 ,

E) Ninguno de las anteriores

75º

r r F3 y F4 tal

como se representa en la figura a la derecha.

r

La fuerza resultante FT que actúa sobre el bloque definida

r

r

r

r

r

por FT = F1 + F2 + F3 + F4 está representada por el vector la figura.

35. Relacionada con la figura del problema 34 se dan los siguiente enunciados, seleccione el enunciado correcto: π A) La fuerza resultante que actúa sobre el bloque es (1N; rad). 4 ˆ B) La fuerza resultante que actúa sobre el bloque es − 1j N . r π C) Al aplicar al bloque una quinta fuerza F5 = (1N; 3 rad) la fuerza resultante es cero. 2 r π D) Al aplicar al bloque una quinta fuerza F5 = (1N; 3 rad) la fuerza resultante se duplica. 2 r r E) Al aplicar al bloque una quinta fuerza F = − F la fuerza resultante es (3ˆi + 1ˆj) N. 5

1

r r 36. El vector A tiene por módulo 4 y su dirección y sentido coincide con la del vector C . Si

r r r r A + B = 2C entonces el vector B es:

r A) 4 C

⎛ 4 ⎞ r ⎜ ⎟ B) − 1 r ⎜⎜ C ⎟⎟2 C ⎝ ⎠

C)

⎛ ⎞ 4 ⎟ r ⎜ − 1 r 2C ⎜⎜ C ⎟⎟ ⎝ ⎠

D)

4 r r C C

E) Ninguno de las anteriores

80 37. Considere el eje semieje positivo X como eje polar. A un cuerpo se aplican las siguientes

r r ⎛ π ⎞ r fuerzas: F1 = (2iˆ − 2 ˆj ) N , F2 = ⎜ 2 N ; rad ⎟ , F3 = (−iˆ − ˆj ) N . La fuerza resultante es, en N: 2 ⎝ ⎠ A)

38.

3iˆ − ˆj

iˆ − ˆj

B)

− iˆ + ˆj

C)

− ˆj

D)

E) Ninguna de las anteriores

r r r ⎛ π r ⎞ Se tienen los vectores A = 3iˆ − 4 ˆj , B = ⎜ 4 ; rad ⎟ , C = 5kˆ y D = 2iˆ + 2 ˆj + 3kˆ . Al ⎝ 2 ⎠ r r r r comparar los módulos A , B , C y D de los vectores, se obtiene que: r

r

r

r

r

r

A) B + C > B + C

B) D > A

r

r

r

r

r

C) C > A + B

r

r

E) Ninguna anterior es correcta.

D) A + C < B

r r tienen igual módulo. Los vectores ( A − B )

r

39. Los vectores A y B

r r (A + B)

y

son

vectores que cumplen que:

A)

r

r

r

El módulo A es mayor que el módulo A − B .

r

r

r

es menor que el módulo B + A

B)

El módulo B

C)

El módulo del vector A + B es mayor que el módulo del vector A − B , si el menor π ángulo entre ellos es mayor de rad . 2

D)

es menor que el módulo del vector A − B , π ángulo entre ellos es mayor de rad . 2

(r

El módulo del vector

r

r

E) La suma del A + B

(

)

)

(r

(Ar + Br )

(r

r

r

r

r

)

)

si el menor

r

es igual al módulo B + A .

r 40. Si al vector 3ˆi − 4 ˆj le restamos el vector A se obtiene como resultado un vector que es un r tercio del vector 12ˆi + 9 ˆj . El vector A es:

A) − iˆ − ˆj

(

)

B) − iˆ − 7 ˆj

C)

iˆ + 7 ˆj

D) iˆ − 7 ˆj

E) Ninguno de las anteriores

81

41. El segmento de recta MN se encuentra orientado, tal como se muestra en la figura a la derecha. Seleccione el enunciado correcto:

A) La menor distancia entre el origen y el segmento de recta MN es 3 cm B) El vector −4 iˆ + 2 ˆj es paralelo al segmento MN C) El vector −2 iˆ + ˆj es perpendicular al segmento MN D) La longitud segmento MN es igual al módulo del vector 2 iˆ − 4 ˆj E) Ninguno de los anteriores.

r r r 42. El módulo m del vector definido por: A − B − C ,

cumple con la condición: A) 5 < m < 10

B)

C) m = 0

D) 0 < m < 5

m = 10

E) Ninguno de los anteriores.

43. Los cinco vectores de la figura a continuación, forman un polígono irregular cuyo perímetro P cumple con la desigualdad: A) 12 cm < P < 17 cm

B) P = 0 cm

C) 7 cm < P < 12 cm

D) P > 17 cm

E) Ninguno de las anteriores.

82 r

r

r 44. Los vectores A = (3; -4) , B = 6 iˆ y C forman la figura de un triángulo isósceles.

Relativo al conjunto de vectores mencionados anteriormente, se dan los siguientes enunciados: r r C podrá ser C = ( −3;−4). r r A es perpendicular al vector C . r r r A + B es igual al vector C . r r r B − A podría ser igual al vector C . r r π π V. El menor ángulo φ entre los vectores B y C , cumple con la desigualdad rad < φ < rad. 4 3 r r VI. El vector D = (−4;−3) es perpendicular al vector C .

I. II. III. IV.

El vector El vector El vector El vector

De los enunciados anteriores son verdaderos: A) I , II, III B) II, IV, VI C) III,IV,V

D) I ,IV,V

E) Ninguna de las anteriores

r r r r r r r r 45. En la ecuación 4a − 6b + 4 x = 2c , si a = 2iˆ − ˆj , b = iˆ − ˆj y c = 3iˆ − ˆj , el vector x es:

A) 2ˆi − ˆj

46.

B) iˆ

C)

5π ⎛ ⎞ rad ⎟ ⎜ 2; 4 ⎝ ⎠

r r π ⎛ ⎞ y B= Los vectores A = ⎜ 3cm; rad ⎟ 6 ⎝ ⎠ paralelogramo. La longitud L de la diagonal condición:

A) 3 cm < L < 5 cm

B) L = 5 cm

π ⎛ ⎞ D) ⎜ 2 ; − rad ⎟ 4 ⎝ ⎠

E) Ninguno de los anteriores

π ⎛ ⎞ ⎜ 4cm; rad ⎟ constituyen los lados de un 2 ⎝ ⎠ más larga del paralelogramo cumple con la

C) 6 cm < L < 7 cm

D) 7 cm < L < 10 cm

E) Ninguna de las anteriores 47. La alternativa que muestra tres vectores que forman un triangulo rectángulo es: 2ˆi ; 2 ˆj ; −2 iˆ + 3 ˆj C) 6ˆi ; 3ˆi − 4 ˆj ; 3ˆi + 4 ˆj A)

B) 4 ˆj ; 2ˆi − 2 ˆj ; − 2ˆi − 2 ˆj

E) Ninguna de las anteriores

D) − 8ˆi ; − 4ˆi + 4 ˆj ; 12ˆi − 4 ˆj

r r 48. Si al triple del vector x le sumamos el vector (2 ; 7π rad ) , se obtiene el doble del vector x . r El valor del vector x es, entonces:

A)

(1 ; 2π rad )

B)

2 ˆj

C)

− 3ˆi

D)

3 ˆj

E) 2ˆi