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ESTADÍSTICA APLICADA A LA INVESTIGACIÓN EMPRESARIAL

MODULO I Dra. MARLENE ASTUDILLO VICENTE.

Estadística Descriptiva

ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

MEDIDAS DE RESUMEN: *MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL *MEDIDAS DE DISPERSIÓN

ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA.

Según Spiegel la estadística "estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis".

ESTADÍSTICA Recolecta, organiza, resume y presenta los datos en forma informativa

INFERNCIA DEL RESULTADO

MUESTRA

DESCRIPTIVA POBLACIÓN

INFERENCIAL

Efectúa estimaciones hipótesis y predicciones.

TIPOS DE VARIABLE Según la funcionalidad que tienen en la investigación, pueden ser:

DEPENDIENTE

INDEPENDIENTE

• Es una variable cuyos valores dependen de los valores que tome otra variable. Se representa en el eje de ordenadas (y).

• Es una variable que su valor no depende de otra variable. La variable independiente suele representarse en las gráficas en el eje de abscisas (x).

EJEMPLO: En un estudio estadístico realizado en un instituto se intenta hacer ver a los alumnos que estudiar día a día influye positivamente en las notas obtenidas.  Se considera como variable independiente (o explicativa) la variable “promedio de horas de estudio”  como variable dependiente las “notas obtenidas por cada alumno”.

Variables cualitativas - cuantitativas Según su medición existen dos tipos de variables: Cualitativ as   (modalidad)    Variables   Cuantitati vas   (números) 

•Sexo •Modelo de zapatillas deportivas •Barrio de la localidad en que vive •Deporte preferido

 Discretas  (Recuentos)     Continuas (Cualquier cantidad en un intervalo)

•Número de hermanos •Núm.de aprobados en la 1ª evaluación •Núm de libros leídos trimestralmente •Num. de llamadas telefónicas diarias

•Tiempo diario delante del televisor •Tiempo de estudio •Altura •Peso •Tiempo empleado en llamadas

Escalas de Medición

• Escala Nominal 

Escala Ordinal 

Escala de Intervalo 

Escala de Razón

•

Escala Nominal: Está asociada a variables cualitativitas y es denominada de este modo si no se pueden hacer operaciones aritméticas entre sus valores, pues éstos son únicamente ETIQUETAS. Ejemplo: sexo, código postal, estado civil, número telefónico, número al correr en un maratón, deporte favorito, carrera a estudiar, etc.

•

Escala Ordinal:

Los valores de la variable que tienen un ORDEN con un nivel específico, pero no se pueden hacer operaciones aritméticas entre ellas. Ejemplo: Pésimo – Malo – Regular – Bueno – Excelente Primaria – Secundaria – Bachiller Licenciatura

•

Escala de Intervalo: En ella existe un orden entre los valores de la variable y además una NOCIÓN DE DISTANCIA aunque no se puedan realizar operaciones. El cero o punto de inicio no es único, es más bien un punto de referencia. Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la Tierra, la línea del tiempo de la humanidad.

• Escala de Razón: La magnitud tiene SENTIDO FÍSICO, existe el cero absoluto, existe orden, se puede determinar cuántas veces es mayor uno que otro. Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS

• Una vez que se tenga ordenados los datos, se acomodan en la “Tabla de distribución de frecuencias o tabla de frecuencias”.

• La tabla es básicamente una tabla de valores x,y, dónde “x” representa el dato e “y” representa la frecuencia.

• •

La frecuencia es el número de veces que aparece cada dato. Hay dos clases de tablas de frecuencias:

• •

Para datos NO agrupados. Para datos agrupados.

Tabla de frecuencias para datos NO agrupados rosa gris rosa gris gris

azul blanco azul azul blanco

blanco café café blanco café

azul negro blanco rosa negro

rosa blanco blanco gris verde

• EJEMPLO Color

Azul

Frecuencia

IIII II

Blanco

IIII

Café Gris

III

Negro Rosa Verde

IIII II IIII I

• Está formada por dos columnas: una para la variable “xi” y la otra para su frecuencia “f”, a esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o frecuencia observada. Xi

Frecuencia f

Azul

4

Blanco

7

Café

3

Gris

4

Negro

2

Rosa

4

Verde

1

•

•

•

Por lo regular, se agregan dos columnas: la de la frecuencia relativa “h” y la de la frecuencia acumulada “H”.

La frecuencia relativa se obtiene mediante el cociente de la frecuencia y el número total de datos, esto es h = f/n. La frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato dado.

xi

f

h

F

Azul

4

0,16

4

Blanc o

7

0,28

11

Café Gris

3 4

0,12

14

0,16

18

Negro Rosa

2 4

0,08

20

0,16

24

Verde

1

0,04

25

4/25

Siempre es el número total

Siempre es 1 Total

25

1

xi

f

h

F

H

%

Azul Blanco

4 7

0,16

4

0,16

16%

0,28

11

0,44

28%

Café Gris

3 4

0,12

14

0,56

12%

0,16

18

0,72

16%

Negro

2

0,08

20

0,80

8%

Rosa Verde

4 1

0,16

24

0,96

16%

0,04

25

1

4%

25

1

Total

100%

PARA DATOS AGRUPADOS

• En ocasiones es conveniente acomodar los datos en pequeños grupos de igual tamaño, llamados intervalos de clase. Límite inferior

Límite superior

Intervalo de clase 38 – 42 43 – 47 Intervalos de clase. 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63 – 67

Marca de clase “xi”

MARCA DE CLASE

• Es el punto medio, se simboliza “xi”, se obtiene con: Marca de clase = Límite inferior + límite superior 2 Límite inferior Lím inf + Lim sup Límite superior

Intervalo de clase 38 – 42 43 – 47 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63 – 67

2

Marca de clase “xi” 40 45 MARCA DE CLASE 50 55 60 65

TAMAÑO DEL INTERVALO El tamaño del intervalo se obtiene siguiendo el siguiente procedimiento: 1.) Para el numero aproximado de clases ( K ), se utiliza las siguiente fórmula: 

 

K = 1 + 3.3 log (n) Donde K = número aproximado de clases n = número de datos.

2.) Para el Rango ( R ), se utiliza las siguiente fórmula: 

R = diferencia entre el dato mayor

y el dato menor.

3.) Amplitud de los intervalos ( A ), se utiliza las siguiente fórmula: 

A=R/ K

EJEMPLO Los puntajes de un examen de ingreso a la universidad realizado por 40 alumnos son los siguientes: 110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110. El menor de los datos El mayor de los datos

Paso 1. Determinamos el número de intervalos o clases k. Una forma de hacerlo es con la Regla de Sturges, donde: k = 1 + 3.3 log (n) ;

Para el ejemplo se tiene n = 40 datos, sustituyendo k = 1 + 3.3 log (40) = 1 + 3.3 (1.602) = = 1 + 5.28 = 6.28

la cual se redondea al entero siguiente,

k = 7.

*Otra alternativa es usando la raíz cuadrada del total de datos n para este ejemplo nos queda así:

k = raíz (n) = √40 = 6.32 que también se redondea al entero siguiente quedando k= 7.

Paso 2. Determinamos el rango (R) de variación de los datos que se define como R = Xmax – Xmin, donde Xmax es el dato máximo y Xmin es el dato mínimo. Para el ejemplo

Xmax = 140 Xmin = 90 entonces

R = 140 – 90 = 50

Paso 3. Calculamos la amplitud de clase (A), que corresponde a la cantidad de datos que van en cada clase, dividiendo el rango R entre el numero de clases k: A=R/K

A = 50 / 7 =

7,14

se redondea al entero siguiente

A = 8.

Construimos los intervalos o clases, como la variable es cuantitativa discreta los intervalos o clases son cerrados, es decir de la forma [Li, Ls]. Para formar las clases comenzaremos con los limites inferiores: · En la primer clase tomamos Li1 = Xmin ( el dato mas pequeño) en este caso 90. Ls1= li + K = 90 + 8 = 98

· Para los siguientes intervalos el limite inferior es igual al limite superior anterior mas uno.

Paso 5: Construimos la tabla de distribución de frecuencias INTERVALOS DE CLASE

[ 90 – 97] [ 98 – 105] [ 106 – 113 ] [ 114– 121] [ 122 – 129] [ 130 – 137] [ 138 – 145] TOTAL

XI

Paso 6: hallamos la Marca de clase (Xi): corresponde al punto medio del intervalo, Para nuestro ejemplo obtendríamos las siguientes marcas de clase: INTERVALOS DE CLASE XI [ 90 – 97] 93,5 [ 98 – 105] 101,5 [ 106 – 113 ] 109,5 [ 114– 121] 117,5 [ 122 – 129] 125,5 [ 130 – 137] 133,5 [ 138 – 145] 141,5 TOTAL

Paso 7: Se halla la frecuencia absoluta es decir se contabiliza cuantos datos hay en cada intervalo este dato será f = frecuencia absoluta INTERVALOS DE XI f CLASE [ 90 – 97] 93,5 7 [ 98 – 105] 101,5 9 [ 106 – 113 ] 109,5 13 [ 114– 121] 117,5 3 [ 122 – 129] 125,5 4 [ 130 – 137] 133,5 3 [ 138 – 145] 141,5 1 TOTAL 40

Paso 8: Se halla la frecuencia relativa ( h ) es decir se divide la frecuencia absoluta entre el total de datos INTERVALOS DE CLASE [ 90 – 97] [ 98 – 105] [ 106 – 113 ] [ 114– 121] [ 122 – 129] [ 130 – 137] [ 138 – 145] TOTAL

XI

f

h

7/40

93,5 101,5 109,5 117,5 125,5 133,5 141,5

7 9 13 3 4 3 1 40

0,175 0,225 0,325 0,075 0,100 0,075 0,025 1

9/40 13/40

Paso 9: Se halla la frecuencia porcentual (% ) es decir se multiplica la frecuencia relativa por 100

INTERVALOS DE CLASE [ 90 – 97] [ 98 – 105] [ 106 – 113 ] [ 114– 121] [ 122 – 129] [ 130 – 137] [ 138 – 145] TOTAL

XI

f

h

%

93,5 101,5 109,5 117,5 125,5 133,5 141,5

7 9 13 3 4 3 1 40

0,175 0,225 0,325 0,075 0,100 0,075 0,025 1

17,5 22,5 32,5 7,5 10,0 7,5 2,5 100

0,175x100

:

Paso 10: Se agregan las columnas

Frecuencia absoluta acumulada = F Frecuencia relativa acumulada = H Frecuencia porcentual acumulada = %a

Intervalo de clase

“xi”

f

[ 90 – 97] [ 98 – 105] [ 106 – 113 ] [ 114– 121] [ 122 – 129] [ 130 – 137] [ 138 – 145]

93,5 101,5 109,5 117,5 125,5 133,5 141,5

7 9 13 3 4 3 1

Total

40

F

h

H

%

%a

7

0,175

0,175

17,5

17,5

16

0,225

0,400 22,5

40

29

0,325

0,725

32,5

72,5

32

0,075

0,800

7,5

80

36

0,100

0,900

10

90

39

0,075

0,975

7,5

97,5

40

0,025

1,000

2,5

100

1

100

Gráfica de Datos

• Existen dos tipos de gráficas mas usuales: • Polígono de Frecuencias • Histograma • Gráfica de barras • Pictograma • Gráfico Circular o de pastel.

GRÁFICO CIRCULAR Ejemplo Color

Azul Blanco Café Gris Negro Rosa Verde

Frecuencia

Conteo

IIII

4 7 3 4 2 4 1

IIII II III IIII II IIII I

Color de Playera Azul Negro

Blanco Café Rosa Verde

Gris

4% 16%

16% 8%

28%

16% 12%

GRÁFICO DE BARRAS

• La gráfica de barras se traza similar al Histograma, sólo que las barras se dibujan separadas unas de otras.

• La escala en el eje “x” es para mostrar categorías o intervalos de números NO consecutivos. Frecuencia absoluta

60 50 40 30 20 10 0 PERRO

PAJARO CONEJOS

HAMSTER

GATO

Pictograma • Similar al de barras, sólo que se sustituyen por figuras, generalmente relacionadas con la variable estudiada.

Histograma

• Es la representación gráfica de los datos mediante una sucesión de rectángulos.

14 12 10 8 6 4 2 0

0,95

• Está formado por rectángulos cuya anchura

2,95

representa a cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia.

• En el eje “x” estarán los límites verdaderos, los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias.

4,95

Ejemplo Histograma 9 8 7 6 5 f 4 3 2 1 0

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f

38 – 42

40

2

43 – 47

45

4

48 – 52

50

8

53 – 57

55

5

58 – 62

60

3

63 - 68

65

3 Total

35

40

45

50

55 xi

60

65

25

Polígono de Frecuencias

• Es la representación mediante un gráfico de línea. En él se muestra la distribución de frecuencias y está formado por segmentos de línea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia de cada una de las clases.

• El eje “x” representa el dato “xi” y el eje “y” las frecuencias.

Ejemplo Interval o de clase 38 – 42 43 – 47 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63- 68

Punto medio “xi” 40 45 50 55 60 65 Total

9

f

Polígono de Frecuencias

8 7

2 4 8 5 3 3 25

6 5

f

4

3 2 1

0 35

40

45

50

55

xi

60

65

70

MEDIDAS DE RESUMEN. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmética Mediana Moda

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Varianza Desviación típica

MEDIDAS DE POSICIÓN RELATIVA

Cuartiles Deciles Percentiles

MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL

MODA cualitativa

Agrupados Es el dato que se repite con mas frecuencia. No agrupados

cuantitativa

2 modas = Bimodal

PARA DATOS AGRUPADOS Para calcular la moda de n datos tabulados por intervalos, primero se determina el intervalo que contiene a la moda, esto es, el intervalo que tiene la mayor frecuencia (intervalo modal). Luego se utiliza la fórmula:  d1  A M o  Li    d1  d 2 

donde: Li es el límite inferior del intervalo modal. d1= fi - fi-1 d2= fi - fi+1 A= amplitud del intervalo modal

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 40 empresas. Intervalo

 4, 10 10, 16 16, 22 22, 28 28, 34 34, 40 40, 46

Marca de clase mi 7 13 19 25 31 37 43

Frecuencias

fi

hi

1 3 6 12 11 5 2

0,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0,050

40

1,000

Título: “Inversión anual de empresas”

Unidades: miles de dólares.

Frecuencias acumuladas Fi Hi 1 4 10 22 33 38 40

0.025 0.100 0.250 0.550 0.825 0.950 1.000

El intervalo donde se encuentra la mayor frecuencia es el cuarto intervalo Entonces: Li = 22 d1= fi - fi-1 = 12 – 6 = 6 d2= fi - fi+1 = 12 – 11= 1 A=6  Calculando la moda: M o  Li  

d1  A  d1  d 2 

Mo= 22 + 5,85= 27,14

MEDIA Agrupados Es el promedio aritmético de los valores de la variable.

cuantitativa

No agrupados

x MUESTRA

. POBLACIÓN

MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS Sea x1, x2, .... ,xn los valores que toma una variable cuantitativa X, entonces la media aritmética se determina mediante:

x1  x 2  .......  x n media  n

• Ejemplo:

Si las notas en el curso de introducción a la computación de 10 alumnos son : 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18, 10, 12 14  18  12  16  14  15  16  18  10  12 x 10

x  14,5 Respuesta: La nota promedio es 14,5

MEDIA ARITMETICA PONDERADA

• La media aritmética de los valores x1, x2, x3, .........., xk ponderada por los pesos

w1, w2, w3, ........ wk es el número.

w1x1  w 2 x 2  .........  w k x k x w1  w 2  ..........  w k

Ejemplo: Si un alumno el semestre pasado obtuvo 11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en el curso Lengua de peso cuatro y 16 en cálculo 2 de peso 3, ¿ cuál fue su promedio ?

11(5)  13(4)  16(3) x 543 x  12,92

Media aritmética para datos AGRUPADOS

• Si los n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3, .........., xk con frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3, ......, fk, entonces su media aritmética es el número: f1 x 1  f 2 x 2  .........  f k x k x f1  f 2  ..........  f k

• Ejemplo: En un estudio de edades de estudiantes de Derecho se obtuvo la siguiente tabla de distribución:

• Edades Frecuencia • 16 5 • 17 10 • 18 6 • 19 4 • 20 2 • Total 26

• Determina la edad promedio.

Solución

_

x 

5(16 )  10 (17 )  6(18 )  4(19 )  2( 20 ) 5  10  6  4  2

_

x = 18,23 años

MEDIANA Agrupados

No agrupados

Es el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arreglados en orden de magnitud.

cuantitativa

Para datos no agrupados La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al medio de la distribución ordenada (en forma ascendente o descendente). Cuando se tiene mediana uno sabe que es la misma cantidad de datos que se encuentra por encima de dicha mediana que por debajo.

Para datos agrupados Para calcular la mediana para datos agrupados considerando las frecuencias absolutas, en primer lugar se encuentra el intervalo donde se encuentra la mediana, este se encontrará en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a la mitad de la muestra. Luego se utiliza la fórmula: Li =Es el límite inferior del intervalo de la mediana n = Número de datos observados Fi-1= Frecuencia acumulada absoluta del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la mediana fi = Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana A = Amplitud del intervalo de la mediana

n  Fi1 Me  Li  2 A fi

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. Intervalo

 4, 10 10, 16 16, 22 22, 28 28, 34 34, 40 40, 46

Marca de clase mi 7 13 19 25 31 37 43

Frecuencias

fi

hi

1 3 6 12 11 5 2

0,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0,050

40

1,000

Frecuencias acumuladas Fi Hi 1 4 10 22 33 38 40

0.025 0.100 0.250 0.550 0.825 0.950 1.000

•

El intervalo donde se encuentra n/2 es el número cuatro, luego:

• Li= 22; n = 40; Fi-1 =10; fi =12; A= 6 • Por tanto 40 Me  22  2 Me  27

 10

12

6

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

RANGO ( R ) 2 VARIANZA (σ

2 óS )

DESVIACIÓN TÍPICA (σ ó S)

EJEMPLO

RANGO  El Rango corresponde a la distancia entre el puntaje mayor (llamado valor máximo) y el puntaje menor (llamado valor mínimo)

10

La siguiente tabla representa la pérdida de peso en libras, de un grupo de personas que se sometieron a un tratamiento durante el último año

13

Valor Máximo: 60 Valor Mínimo: 10

17

22

26 16 23 35 53 32

41 35

Rango = XMax – XMin

Rango = XMax – XMin = 60 - 10 = 50

24 23

27 16 20 60 48

EJEMPLO

10

La siguiente tabla representa la RANGO MEDIO pérdida de peso en libras, de un grupo de personas que se  Es la media del mayor y menor sometieron a un tratamiento valor, o la tercera parte del camino durante el último año

13

Valor Máximo: 60 Valor Mínimo: 10

17

entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor.

Rango Medio = XMax + XMin 2

22

26 16 23 35 53 32

41 35

Rango = XMax – XMin = (60 + 10 ) / 2 = 35

24 23

27 16 20 60 48

DESVIACION ESTANDAR Y VARIANZA DE UNA POBLACIÓN

Desviación Estándar o Típica: Indica cómo se dispersan los datos con respecto a la media Desviación Estándar: Corresponde a la Raíz Cuadrada de la Varianza







2

Varianza:

La media aritmética de las desviaciones cuadradas de la media. Varianza: Corresponde a la Desviación Estándar al cuadrado 



=

 (X - )2 N

EJEMPLO • Calcular varianza y desviación estándar para los siguientes puntajes • 10 – 12 – 15 – 18 - 20 X 10 12 15 18 20

X

 X -5 -3 0 3 5

(X  X ) 25 9 0 9 25

X  15

2

68    13,6 5 2

  13,6  3,69

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN MUESTRAS

Varianza en Muestras (s2)

s2 =

(X - X)2 n-1

Desviación Estándar en Muestras (s)

s s

2

MEDIDAS DE POSICIÓN RELATIVA

CUARTILES DECILES

PERCENTILES

CUARTILES. Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1= 25%

Q2=50% MEDIANA

Q3=75%

CALCULO DE LOS CUARTILES.

PASO 1: Ordenamos los datos de menor a mayor. Se presentan 2 casos: - Para datos pares - Para datos impares PASO 2: Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión:

NÚMERO IMPAR DE DATOS.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 Q1

Q2 Q3

NÚMERO PAR DE DATOS.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9

Q1

Q2

Q3

CALCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,

en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Donde: Li = Es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil. N= Es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1= Es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. ai = Es la amplitud de la clase.

EJEMPLO.

Hallar el cuartil 1 Cuartil 2 Cuartil 3

[50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

fi

Fi

8 10 16 14 10 5 2 65

8 18 34 48 58 63 65

CALCULO DEL PRIMER CUARTIL

k.N = 1 x 65 = 16,25 4 4 Se busca en la tabla donde se encuentra 16, 25.

Observamos que Li = 60 Fi-1 = 8 fi = 10 ai = 10

Q1 = 60 + 16.25 – 8 x 10 10

= 68.25

CALCULO DEL SEGUNDO CUARTIL

k.N = 2 x 65 = 32,5 4 4 Se busca en la tabla donde se encuentra 32, 5.

Observamos que Li = 70 Fi-1 = 18 fi = 16 ai = 10

Q2 = 70 + 32.5 – 18 x 10 16

= 79.06

CALCULO DEL TERCER CUARTIL

k.N = 3 x 65 = 48,75 4 4 Se busca en la tabla donde se encuentra 48, 75.

Observamos que Li = 90 Fi-1 = 48 fi = 10 ai = 10

Q3 = 90 + 48,75 – 48 x 10 10

= 90.75

PROBABILIDADES

Experimento Aleatorio Espacio Muestral Evento

E Ω A

PROBABILIDADES Probabilidad

= Número de casos favorables Número de casos posibles

= Número de afectados Total Ejemplo

• La probabilidad de que en la tirada de un dado resulte el 2 es 1/6.

Ejemplo

En una cantidad de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otras tipo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 (as) en una sola extracción?

EJEMPLO

Si se lanzan 3 monedas. Hallar: a) El Espacio Muestral, b) Cuál es el Evento c) Hallar la probabilidad de obtener exactamente 2 caras, P ( A ) ? a) El Espacio Muestral (Ω) = {CCC ,CCS, CSC ,SCC, CSS, SCS, SSC ,SSS} b) Evento A= obtener exactamente 2 caras. c) P( A) = { CCS, CSC. SCC} = 3/8

REGLAS DEPROBABILIDAD:SUMA Ó ADICIÓN DE PROBABILIDADES Para eventos mutuamente excluyentes es decir cuando no tiene elementos comunes.

EJEMPLO

Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas, los eventos “as” (A) y “rey” (R). son mutuamente excluyentes. Hallar la probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una sola extracción. De: P(A o R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13

REGLAS DEPROBABILIDAD:SUMA Ó ADICIÓN DE PROBABILIDADES

Para eventos que no son mutuamente excluyentes

P(PUL) = P(P) + P(L) – P(PПL)

EJEMPLO

Un cliente ingresa a una panadería. La Probabilidad de que compre a) pan es 0,60, b) Leche es 0,50 y c) Pan y leche es 0,30. ¿Cuál es la Probabilidad de que compre pan, leche o ambos?. P(P) = 0,60 P(L) = 0,50 P(PПL) = 0,30

P(PUL) = P(P) + P(L) – P(PПL) = 0,60 + 0,50 – 0,30 P(PUL) = 0,80

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.

EJEMPLO

El lanzamiento de una moneda por dos veces se considera eventos Independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una cara o sello en el segundo lanzamiento.

EVENTOS DEPENDIENTES

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento

EJEMPLO

La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas son eventos dependientes, porque las probabilidades asociadas con la segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: PARA EVENTOS DEPENDIENTES. Ejemplo: Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se extraen 2 bolitas sucesivamente y sin restitución. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?.