Variables Aleatorias Discretas

F.J.Mª del Sagrario Soler Ruiz VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Ejercicios resueltos. 1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones. Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2

 4 3 1 1  .0.5 .0,5 = 4 p(obtener 3 varones)=P(X=3)=  3 

Recuerda:

 4    3  es un número combinatorio cuyo valor se obtiene así:

 4  4.3.2   =  3  3.2.1

En general  m  m.(m − 1).(m − 2)......hasta tener n factores en el numerador m!   = = n.(n - 1).(n - 2).....3.2.1 n!.(m − n)! n 

2.- Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: • Obtener dos veces cruz. • Obtener a lo sumo dos veces cruz. Solución: Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir: 4x+x=1; 5x=1; x=0,2 Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8 Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2 Probabilidad de obtener dos veces cruz: 6 p ( X = 2) =  .(0,2) 2 .(0,8) 4 = 15.(0,04).(0,4096) = 0,24  2 Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz: p ( X ≤ 2) = p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) = Página 4 de 11

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 6 6 6  .(0,2) 0 .(0,8) 6 +  .(0,2)1 .(0,8) 5 +  .(0.2) 2 .(0.8) 4 = 0,90 1   2 =  0 3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

Solución: Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3) Si X es el número de alumnos que repiten,  20  20! p ( X = 4) =  .0,3 4 .0,7 16 = .0,3 4.0,7 16 = 0,13 4 4!.16!  

4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: xi p( X = xi )

-4 0,1

-1 0,5

2 0,3

5 0,1

Solución:

La esperanza matemática es la media: µ = ( −4).0,1 + ( −1).0,5 + 2.0,3 + 5.0,1 = 0,2 σ 2 = ∑ xi2 . p i − µ 2 = (−4) 2 .0,1 + (−1) 2 .0,5 + 2 2.0,3 + 5 2.0,1 − 0,2 2 = 5,76

σ = 5,76 = 2,4 5.- Sea la siguiente función de probabilidad: xi pi

1 0,2

3 0,2

5 0,4

7 0,1

9 0,1

Escribe la función de distribución y calcula: p ( X ≤ 5) y p (3 ≤ X ≤ 7)

Solución: xi F(x)=P(X ≤ xi) p ( X ≤ 5) = 0,8 ;

1 0,2

3 0,4

5 0,8

7 0,9

9 1

p (≤ X ≤ 7) = p ( X = 3) + p ( X = 5) + p ( X = 7) = = 0,2 + 0,4 + 0,1 = 0,7 Página 4 de 12

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Ejercicios propuestos. 1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica.

( Solución: 40 y

6,19)

2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.

(Solución: 0,3675; 0,609 )

3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente: 1 2 3 xi P(X = xi) k 0,45 k a) Calcula el valor de k b) Halla la función de probabilidad c) Halla la función de distribución F.

Solución k = 0,275. Función de probabilidad:

xi f(x)=P(X = xi)

1 0,275

2 0,45

3 0,275

1 0,275

2 0,725

3 1

Función de distribución:

xi F(x)=P(X ≤ xi)

4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: x -25 -10 0 5 f(x) a 2a 3a 4a a) Deduce el valor de a. b) Halla la función de distribución F c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica. Página 4 de 13

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Solución: a) 0,1;

c) –2,5; 86,25; 9,29

5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) Ninguno de los 7 finalice la carrera. b) Finalicen los 7. c) Al menos 2 acaben la carrera. d) Sólo finalice uno la carrera.

Solución: 0,082; 0,00021; 0,671; 0,2471 6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.

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