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VARIABLE ALEATORIA Se conoce con este nombre a la relación existente entre una variable estructurada en valores numéricos con las probabilidades respectivas de obtener dichos valores numéricos. Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados posibles de un experimento aleatorio. En otras palabras la variable aleatoria obedece la función que se le asigne para poder determinar la ocurrencia del suceso. Esta relación de un valor nominal con su respectiva probabilidad, es importante para la investigación estadística ya que a través de dicha relación se puede conocer la media aritmética o esperanza matemática, la varianza, la desviación estándar, etc.; sin la necesidad de conocer en forma descriptiva todos los datos de la variable.

ESPERANZA MATEMATICA O MEDIA ARITMETICA (E(X)) Es la sumatoria del producto de la variable definida por su respectiva probabilidad de ocurrencia, a la esperanza también se le conoce con el nombre de promedio. Se define de la siguiente manera: E(X) = ∑ X P(X) VARIANZA (V(X)) Es la dispersión que existe con respecto a la media aritmética, es la sumatoria del producto de la variable aleatoria al cuadrado por la probabilidad menos la media aritmética al cuadrado. Se define de la siguiente manera: V(X) = ∑ X2 P(X) - [X P(X)]2 DESVIACION ESTANDAR (D.E.(x)) Se obtiene de la raíz cuadrada de la varianza. Se define D.E.(x) = √𝑉(𝑥)

Se ha hablado que la variable aleatoria reemplaza de alguna manera a la estadística descriptiva; entonces con unos datos descriptivos de una distribución de frecuencias, se va a calcular: la media aritmética, la varianza y la desviación estándar, luego con esos mismos datos van a ser transformados en variable aleatoria, para calcularles: la media aritmética o esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar. EJEMPLO

SUELDOS 800-1200 1200-1600 1600-2000 2000-2400 2400-2800 2800-3200

fi

hi 0.1500 0.2375 0.3125 0.1875 0.0750 0.0375 1.0000

24 38 50 30 12 6 160

Xi 1000 1400 1800 2200 2600 3000

fiXi 24000 53200 90000 66000 31200 18000 282400

(Xi – X) 765 365 35 435 835 1235

fi(Xi-X)2 14045400 5062550 61250 5676750 8366700 9151350 42364000

X = 282400 /160 = 1765 S2 = 42364000/160 = 264775 u2 S = √264775 = 514.56

Ahora para demostrar la relación directa de estos datos descriptivos con la variable aleatoria, se convertirá la distribución de frecuencias o distribución de datos en variable aleatoria; tomando la marca de clase (Xi) como variable y la frecuencia relativa absoluta (hi = P(x) =fi/N) como probabilidad de ocurrencia que realmente lo es: X P(X) X P(X) X2 P(X)

1000 0.1500 150 150000

1400 0.2375 332.5 465500

1800 0.3125 562.5 1012500

2200 0.1875 412.5 907500

2600 0.0750 195 507000

3000 0.0375 112.5 337500

∑ 1 1765 3380000

E(x) = ∑ X P(X) = 1765 V(x) = ∑ X2 P(X) - [∑ X P(X)]2 = 3380000 – 17652 = 264775 u2 D.E. (x) = √𝑉(x) = √264775 = 514.56 Al ver los resultados obtenidos por los datos descriptivos y los obtenidos por la variable aleatoria se puede observar que se obtienen los mismos resultados. 1. Hallar la esperanza, la varianza y la desviación estándar; si se lanza un dado legal y se designa como X la variable aleatoria como el doble del número que aparece: Solución: X P(X) X P(X) X2 P(X)

E(x) = ∑ X P(X) = 7

dado = 1,2,3,4,5,6 2 1/6 2/6 4/6

4 1/6 4/6 16/6

X = 2,4,6,8,10,12 6 1/6 6/6 36/6

8 1/6 8/6 64/6

10 1/6 10/6 100/6

12 1/6 12/6 144/6

6/6 = 1 42/6 = 7 364/6 = 60.67

V(x) = ∑ X2 P(X) - [∑ X P(X)]2 = 60.67 – 72 = 11.67 u2 D.E. (x) = √𝑉(x) = √11.67 = 3.42 2. un contratista consulta a tres operadores para construir una obra: el primero estima que la realizara en 20 días con el 40% de probabilidad, el segundo estima 30 días con el 35% de probabilidad y el tercero estima 14 días con el 25% de probabilidad. ¿en cuántos días se espera que concluya la obra? X P(X) X P(X)

14 0.25 3.5

20 0.40 8

30 0.35 10.5

∑ 1 22

Rpta: se espera que concluya la obra en 22 dias 2. Un inversionista se da cuenta que tiene la probabilidad del 60% de obtener una utilidad de S/. 5000.00 y una probabilidad del 25% de perder S/. 5000.00 y un 15% de no ganar ni de perder ¿Cuál es la esperanza del inversionista? X P(X) X P(X)

+5000 0.6 3000

-5000 0.25 -1250

0 0.15 0

∑ 1 1750

3. En una competencia de tiro dos competidores tienen las probabilidades de dar en el blanco de 0.8 y 0.75; si cada uno hace un solo disparo ¿Cuál es la esperanza de dar en el blanco? X P(X) X P(X)

1 0.8 0.8

1 0.75 0.75

∑ 1.55

4. ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si compramos uno de los mil boletos de una rifa, cuyo primer premio es una televisión de última generación, que vale S/. 480.00; el segundo premio es un celular S6 que vale S/. 120.00 y el tercer premio es un blue ray de S/. 40.00? Rpta: 0.64 X P(X) X P(X)

480 1/1000 0.48

120 1/1000 0.12

40 1/1000 0.04

∑ 0.64

5. Hallar la desviación estándar de la tabla siguiente: X P(X) X P(X) X2 P(X)

0 0.10 0 0

5 0.35 1.75 8.75

8 0.25 2.00 16.00

9 0.30 2.70 24.30

∑ 6.45 49.05

E(x) = ∑ X P(X) = 6.45 V(x) = ∑ X2 P(X) - [∑ X P(X)]2 = 49.05 – 6.452 = 7.4475 u2 D.E. (x) = √𝑉(x) = √7.4475 = 2.73 6. Hallar la esperanza de que en tres declaraciones de amor a tu novia en una te acepte X P(X) X P(X)

1 1/2 0.5

1 1/2 0.5

1 1/2 0.5

∑ 1.5

6. Se va a elegir un comité de 4 personas y en la elección participan 5 hombres y 7 mujeres. Hallar la desviación estándar de que el comité hayan mujeres