Valores Extremos

4.4 VALORES EXTREMOS Le sugerimos al lector, estudiar detenidamente la sección 4.2 del texto guía: Cálculo de Stewart. Como vimos en la sección 3.1, la existencia de la derivada de una función en un punto C de su dominio, significa geométricamente, que la gráfica de y = f ( x ) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c )) y además mT = f ' (c ) . Este hecho permite determinar entre otros, aquellos puntos de la gráfica en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f ' ( x ) = 0 . Una mirada atenta a la fig. 4.7, permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte como son los siguientes. 1.

f (c1 ) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1 ) es un máximo relativo de f (x).

Nótese además, que en el punto

curva es cero, esto es, f (c1 ) = 0 .

P1 (c1 , f (c1 )) , la pendiente de la recta tangente a la

'

Igualmente, f (c3 ) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Asi que f (c3 ) es otro máximo relativo de f (x).

Sin embargo, en el punto P3 (c 3 , f (c 3 )) , la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto de máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. 2.

f (c 2 ) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces que f (c 2 ) es un mínimo relativo de f (x). De la misma

manera que en el caso anterior en el punto P2 (c 2 , f (c 2 )) ,

f ' (c 2 ) = 0 .

3. Si se comparan ahora, todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c 3 ) es el mayor valor. f (a) y f (c 3 ) se llaman respectivamente el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b]. Los conceptos antes mencionados, serán presentados aquí en forma sencilla, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final, se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado (Método del intervalo cerrado). Definiciones: Sea f una función de variable real y sea c ∈ Df (Dominio de f). Entonces: i.

f(c) es un VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que: para todo x ∈ I f (c ) ≥ f ( x )

ii.

f(c) es un VALOR MÍNIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que: para todo x ∈ I f (c ) ≤ f ( x )

iii.

f(c) es un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, abierto o cerrado, si: para todo x ∈ I f (c ) ≥ f ( x )

iv.

f(c) es un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, abierto o cerrado, si: f (c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I

v.

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama: EXTREMOS RELATIVOS. A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama: EXTREMOS ABSOLUTOS.

Observaciones: i.

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, como sucede por ejemplo con f (c 3 ) en la fig. 4.8.

ii.

El llamado “teorema de los valores extremos” enunciado al final de la sección, garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. (Ver el ejercicio de la sección 9.10).