Valor Absoluto

Logro: Plantea y resuelve ejercicios de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO Para cualquier real a, se cumple que el valor absoluto de a denotado por aes: a, si a > 0 a =

0, si a = 0 -a, si a < 0

Lo anterior indica que el valor absoluto de un número nunca es negativo. Ejemplos:

-3 = 3,

-18 + 5 = -13 13

0

-2= - (-2) = 2

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO En el concepto de valor absoluto se cumplen algunas propiedades básicas para la solución de inecuaciones o ecuaciones con valor absoluto. A continuación exponemos estas, sin demostrarlas:

•

(1): x ≥ 0

•

(2): x= 0,

•

(3): x = -x

•

(4): xy= x y

•

(5): x /y = x /y, si y ≠ 0

•

(6): x≤a

•

(7): x ≥a

•

(8): x +y ≤ x + y. Conocida con el nombre de desigualdad triangular.

x=0

⇔

⇔

⇔

-a ≤ x ≤ a

x ≤-a

ó

x ≥a

Demuestra que se cumple….a - b ≤ a + b ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En la solución de ecuaciones con valor absoluto generalmente se utilizan las siguientes propiedades: a) a= b b ≥ 0 ^ a=bva=-b

b) a = b

a=b v

a=-b

Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 2x – 3  = 6 Solución:

2x – 3 = 6 así 2x – 3 = 6 2x = 6 + 3

v

v

2x – 3 = -6

2x = -6 + 3

2x = 9 v 2x = -3 x = 9 /2 v x = -3/2 Así la solución es x = 9/2

y

x = -3/2

Observación: observa que la solución son puntos no intervalos. Por qué?. Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de x + 4 = x + 2 Solución:

x + 4 = x + 2

x+4=x+2

v

x + 4 = - (x + 2)

⇔ x-x=2–4

v

x+4=-x–2

0 = -2

v

x + x = -2 – 4 2x = -6 x = -6 / 2 x = -3

Como S1 =φ y S2 = -3 El conjunto solución es S = {-3}

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En la solución de este tipo generalmente se utilizan las siguientes propiedades: a) x ≤a

⇔

-a ≤ x ≤ a , a

0

b) x ≥ a

⇔

- a ≥x

v x ≥a

c) x - a < k

a – k < x < a + k,

k>0

⇔

Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 3x – 2 < ½

-1/2 ≤ 3x – 2 ≤ ½

Solución: 3x – 2 < ½

⇔

-1/2 + 2 ≤ 3x – 2 + 2 ≤ ½ + 2 -1+4/2 ≤ 3x ≤ 5/2 3/2 ≤ 3x ≤ 5/2 3 / 2 . 3 ≤ 3x /3 ≤ 5 / 2 . 3 ½ ≤ x ≤ 5/6 Asi el conjunto solución es S = [1/2 , 5/6]

Ejemplo 2: solucionar 2x - 3 = x + 1 Solución: 2x - 3= x + 1

x+1>0

1. ^

-x – 1 < 2x – 3 < x + 1

2.

La solución de 1. es x > -1 es decir (-1, ∞)

La solución de 2. es:

- x – 1 < 2x –3

^ 2x – 3 < x + 1

-x – 2x < -3 + 1 ^

2x – x < 1 + 3

-3x < -2

^

x<4

^

(-∞, 4)

x > -2 / -3 x > 2/3 (2/3, ∞)

Luego la solución de 2 es (2/3, ∞ ) ∩ (-∞, 4) = (2/3 , 4)

La solución general es la intersección de las dos soluciones: S = (-1, ∞) ∩(2/3, 4) = (2/3, 4) Asi

S = (2/3, 4)