Uts Matdas Ii 2016 Pembahasan.pdf

UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) Semester Tahun Ajaran Mata Kuliah Hari/Tanggal Waktu Sifat

: Genap : 2016/2017 : Matematika Dasar II : Senin/13 Maret 2017 : 100 Menit : Tutup Buku

Soal dan Jawaban Bagian A: Nilai maksimum setiap soal adalah 3. 1. Tentukan Integral berikut

e

2x

dx

Jawab: Misal w  2 x atau w 2  2 x , dan wdw  dx , sehingga  e

2x

dx   we w dw

Dari bentuk ini, dapat digunakan integral parsial, Misal u  w dan du  dw , atau dv  e w dw dan v  e w , kemudian

 we

w

dw  we w   e w dw  we w  e w  C

Diperoleh

e

2x

dx 





2x 1 e

2x

C

2. Tentukan integral berikut

4x

 2 x  1 dx 2

Jawab: Gunakan metode parsial,

4x A B 2 Ax  A  B    , diperoleh A = 2 dan B 2 2 2 x  1 2 x  1 2 x  1 2 x  12

= 2. Kemudian 4x

 2 x  1

2

 2  2 dx     dx 2   2 x  1 2 x  1  2 2  dx   dx (gunakan metode substitusi u  2 x  1) 2x 1 2 x  12 1  ln 2 x  1  C 2x 1

3. Hitunglah limln 2 x  3  ln 3 x  7  x 

Jawab: 2x  3 3x  7 2x  3    ln  lim   x  3 x  7  2 3  ln atau  ln 3 2

limln 2 x  3  ln 3 x  7   lim ln x 

x 



4. Periksa apakah integral

 f ( x) dx

konvergen, bila

1

Jawab: 

3/ 2

1

1



 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx 3/ 2 a

 lim

a 3 / 2 



b

f ( x) dx  lim  lim  f ( x) dx a 3 / 2  b  

1 a

a b

 x   x   lim    lim  lim   a  3 / 2   3  2 x  a  3 / 2  b    3  2 x  a 1 a   a   b  lim    1  lim  lim   a  3 / 2   3  2 a  a 3 / 2  b  3  2b 3  2a  3a  3 b a  lim   lim  lim  lim  lim a  3 / 2  3  2 a a 3 / 2  b  3  2b a 3 / 2  b   3  2 a 3a  3 b a  lim   lim  lim  b  3  2b a  3 / 2  3  2 a a 3 / 2  3  2 a  1            2  

  f ( x) dx divergen. 1

x

 f ( x) dx  3  2 x  C .

5. Hitung 

4

 nn  4 n 1

dengan meninjaunya sebagai deret kolaps. Jawab: 

 4 1  1       n 4 n 1 nn  4  n 1  n

 1 1    1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   lim                             k   1 5    2 6   3 7   4 8   5 9   6 10   7 11  1   1 1   1 1   1 1   1  ....            k  10 k  6   k  9 k  5   k  8 k  4   k  7 k  3  1   1 1   1 1  1 1   1           k  6 k  2   k  5 k 1  k  4 k   k  3 k 1 1   1 1  1 1   1         k  2 k  2   k  1 k  3   k k  4 

 1 1  1 1  1 1  1 1   lim          k   1 k  1   2 k  2   3 k  3   4 k  4   k k k k   lim     k  k  1 2k  2 3k  3 4k  4 

k k k k  lim  lim  lim k  k  1 k  2k  2  k  3k  3 k  4k  4 

 lim  1

1 1 1   2 3 4

25 12

atau 2



1 12

Catatan : pada Bagian A, jika hanya benar jawaban akhir saja, bernilai 1 poin

Bagian B: Nilai maksimum setiap soal adalah 8 1.

a. Hitung lim x  1 ln  x  1 x 1

b. Hitung



2  ln  x  1 x 1

dx 5



c. Periksa kekonvergenan

2  ln x  1 x 1

1

Jawab: a. (2,5 p)

dx

ln x  1  (bentuk , dapat menggunakan L' hopital) x 1 1  x 1 x  11  lim 3 / 2 x 1  1  x  1 2

lim x  1 ln x  1  lim

x 1

 2 lim x  1

1/ 2

x 1

0 1 dx , dv  ( x  1) 1 / 2 dx , v  2( x  1)1 / 2 x 1 1   2( x  1)1 / 2 dx x 1

b. (3 p) Misalkan u  2  ln( x  1) , atau du 



2  ln x  1 x 1

dx  2  ln( x  1) 2( x  1)1 / 2

 22  ln( x  1) ( x  1)1 / 2  4( x  1)1 / 2  C  2 ( x  1) ln( x  1)  C c. (2,5 p) 5 5 2  ln  x  1 2  ln  x  1 dx 1 x  1 dx  plim 1  x 1 p



 lim 2 ( x  1) ln( x  1) p 1





5 p

 lim 2 (5  1) ln(5  1)  2 ( p  1) ln( p  1) p 1

 lim 2 4 ln 3  2 lim ( p  1) ln( p  1) p 1

 4 ln 3  20  4 ln 3

p 1



2.

Diberikan f ( x)  lnx  2 a. Tentukan deret Taylor dari

di sekitar

f (x)

x  1

dan tentukan daerah

kekonvergenannya. b. Dengan menggunakan deret Taylor, hitung nilai hampiran f (1.1) dengan kesalahan kurang dari10−4 . Jawab: a. f ( x)  ln x  2 f ( x) 

f ( x) 

 f (1)  ln(1)  0

1 x2  1

1  f (1)   1 1  1  f (1)  2  1 1

x  22  1 2 f ( x)  x  23  1 2 3 f ( 4 ) ( x)  x  24

 1 2   1 2 13  1 2 3   1 2 3  f ( 4) (1)  14

 f (1) 

Deret Taylor: ( 4)   f (1) x  1  f (1) x  12  f (1) x  13  f (1) x  14  .... 1! 2! 3! 4! 1 1 2 2 1 2 x  13   13 1  2  3 x  14  .... f ( x)  0  x  1   1 x  1   1 1! 2! 3! 4! 1 1 1 2 3 4 f ( x)   x  1   x  1   x  1   x  1  .... 2 3 4

f ( x)  f (1) 



f ( x)  

 1n1 x  1n n

n 1

Daerah kekonvergenan, dengan uji rasio mutlak:

lim

n 

 1n x  1n1   1n1 x  1n n 1

n

    (1,5p)    

n x  1 n  n  1

 lim

 x  1 lim

n 

n n 1

 x 1 diperoleh x  1  1 atau  2  x  0 . Periksa batas x  2 , 

f (2)  

 1n1  1n 





 11  1  1  1  ....  1  1  1  ....

n n 2 3 n 1 merupakan deret harmonik, sehingga f (2) divergen. n 1

Periksa batas x  0 , 

f (0)   n 1

 1n1 1n  n



 n 1

 1n1  1  1  1  1  ... n

2

3

4

1  0. n  n

Deret ganti tanda, dan konvergen, karena lim

 

2

3

   (0,5p)  

 

   (0,5p)  

              (2,5p)             

Jadi, daerah kekonvergenan  2  x  0 .

(0,5 p)

b. (2,5 p)Dari hasil (a),

n 1

 111  1.1  11

n2

 121  1.1  12

 0.005

n 3

 131  1.1  13

 0.000333

n4

 141  1.1  14

 0.000025

n5

 151  1.1  15

 0.000002

1

2

3

4

5

 0.1

Ketelitian kurang dari 10–4, diperoleh pada n ≤ 3, sehingga jawaban maksimal 4 angka dibelakang koma: f (1.1)  0.1  0.005  0.000333  ...  0.1053

UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) Semester Tahun Ajaran Mata Kuliah Hari/Tanggal Waktu Sifat

: Genap : 2016/2017 : Matematika Dasar II : Senin/13 Maret 2017 : 100 Menit : Tutup Buku

Soal dan Jawaban Bagian A: Nilai maksimum setiap soal adalah 3. 1.

Tentukan Integral berikut

e

5x

dx

Jawab: Misal w  5 x atau w 2  5 x , dan 2 wdw  5dx , sehingga  e

2x

dx 

2 we w dw  5

Dari bentuk ini, adap digunakan integral parsial, Misal u  w dan du  dw , atau dv  e w dw dan v  e w , kemudian

 we

w

dw  we w   e w dw  we w  e w  C

Diperoleh

e

5x

dx 

2 5





5x 1 e

5x

C

2. Tentukan integral berikut

6x

 3x  1 dx 2

Jawab: Gunakan metode parsial,

6x A B 3 Ax  A  B    , diperoleh A = 2 dan B 2 2 3x  1 3x  1 3x  1 3x  12

= –2. Kemudian  2 6x 2  dx     3x  12   3x  1 3x  12 dx 

2 2 dx   dx (gunakan metode substitusi u  3x  1) 3x  1 3x  12

2 2  ln 3x  1  C 3 33x  1

3. Hitunglah limln 3 x  7   ln 6 x  3 x 

Jawab: 3x  7 6x  3 3x  7    ln  lim   x  6 x  3  1  ln atau  ln 2 2

limln 3 x  7   ln 6 x  3  lim ln x 

x 



4. Periksa apakah integral

x

 f ( x) dx konvergen, bila  f ( x) dx  5  2 x  C . 1

Jawab: 





5/ 2

f ( x) dx 

1



f ( x) dx 

1

 f ( x) dx

5/ 2 a

 lim

a 5 / 2 

 f ( x) dx  1 a

b

lim lim  f ( x) dx

a 5 / 2  b 

a b

 x   x   lim    lim  lim   b   a 5 / 2   5  2 x  a  5 / 2   5  2 x  a 1 1 a   a  b  lim      lim  lim   b     a 5 / 2   5  2 a a  5 / 2 3  5  2b 5  2a  5a  5 b a  lim   lim  lim  lim  lim a 5 / 2  35  2a  a 5 / 2  b  5  2b a 5 / 2  b   5  2 a 5a  5 b a  lim   lim  lim  b   a 5 / 2  35  2a  5  2b a 5 / 2  5  2a  1            2  

  f ( x) dx divergen. 1

5. Hitunglah 

4

 nn  4 n 1

dengan meninjaunya sebagai deret kolaps. Jawab: 



4

1

1 

 nn  4    n  n  4  n 1

n 1

 1 1    1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   lim                             k   1 5    2 6   3 7   4 8   5 9   6 10   7 11  1   1 1   1 1   1 1   1  ....            k  10 k  6   k  9 k  5   k  8 k  4   k  7 k  3  1   1 1   1 1  1 1   1           k  6 k  2   k  5 k 1  k  4 k   k  3 k 1 1   1 1  1 1   1         k  2 k  2   k  1 k  3   k k  4 

 1 1  1 1  1 1  1 1   lim          k   1 k  1   2 k  2   3 k  3   4 k  4   k k k k   lim     k  k  1 2k  2 3k  3 4k  4 

k k k k  lim  lim  lim k  k  1 k  2k  2  k  3k  3 k  4k  4 

 lim  1

1 1 1   2 3 4

25 12

atau 2



1 12

Catatan : pada Bagian A, jika hanya benar jawaban akhir saja, bernilai 1 poin

Bagian B: Nilai maksimum setiap soal adalah 8 1.

a. Hitung lim x  2 ln x  2 x 2

b. Hitung



2  ln  x  2  x2

dx 5



c. Periksa kekonvergenan

2  ln x  2 x2

2

Jawab: a. (2,5 p)

dx

ln x  2  (bentuk , dapat menggunakan L' hopital) x 2 1  x2 x  21  lim x  2  1  x  2  3 / 2 2

lim x  2 ln x  2  lim

x 2

 2 lim x  2

1/ 2

0

x2

1 dx , dv  ( x  2) 1 / 2 dx , v  2( x  2)1 / 2 x2 1   2( x  2)1 / 2 dx x2

b. (3 p)Misalkan u  2  ln( x  2) , atau du 



2  ln x  2 dx  2  ln( x  2) 2( x  2)1 / 2 x2

 22  ln( x  2) ( x  2)1 / 2  4( x  2)1 / 2  C  2 ( x  2) ln( x  2)  C c. (2,5 p) 5 5 2  ln  x  2  2  ln  x  2  dx 2 x  2 dx  plim 2   x2 p



 lim 2 ( x  2) ln( x  2) p 2





5 p

 lim 2 (5  2) ln(5  2)  2 ( p  2) ln( p  2) p 2

 lim 2 3 ln 3  2 lim ( p  2) ln( p  2) p 2

 2 3 ln 3  20

 2 3 ln 3

p 2



2.

Diberikan 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 3 a. Tentukan deret taylor dari 𝑓(𝑥) di sekitar 𝑥 = −2 dan tentukan daerah kekonvergenannya. b. Dengan menggunakan deret Taylor, tentukan nilai hampiran 𝑓(−2.1) dengan ketelitian kurang dari 10−4 . Jawab: a. f ( x)  ln x  3

  1 1  f ( x)   f (2)   1  x3 1     1  1  f ( x)   f (2)  2  1  x  32 1     1 2  1 2  f ( x)   f (2)    1 2  x  33 13     1 2 3  1 2 3  ( 4) ( 4) f ( x)   f (2)    1 2 3 4 4  x  3 1  (2,5p)  Deret Taylor:   ( 4) f (2) f (2) f (2) f (2) 2 3 4 x  2  x  2  x  2  x  2  ....  f ( x)  f (2)   1! 2! 3! 4!  1 1 2 2 1 2  x  23   13 1 2  3 x  24  .... f ( x)  0  x  2    1 x  2   1 1! 2! 3! 4!   1 1 1 2 3 4 f ( x)   x  2  x  2  x  2   x  2  ....  2 3 4  n 1    1 x  2n  f ( x)   n  f (2)  ln(1)  0

n 1

Daerah kekonvergenan, dengan uji rasio mutlak: n n 1    1  1 n 1 x  2  x  2n lim n 

n 1

n

    (1,5p)    

n x  2 n  n  1

 lim

n n  n  1

 x  2 lim  x2 diperoleh x  2  1 atau  3  x  1 . Periksa batas x  3 , 

 1  1n   1  n 1

1



1 1  1 1    ....  1    .... n n 2 3  2 3  n 1 n 1 merupakan deret harmonik, sehingga f (3) divergen. f (3)  

 1 

Periksa batas x  1 , 

f (1)  

 1n1 1n 



 1n1  1  1  1  1  ...

3 4 1 Deret ganti tanda, dan konvergen, karena lim  0 . n  n n 1

n



n 1

n

2

   (0,5p)  

   (0,5p)  

Jadi, daerah kekonvergenan  3  x  1 .

(0,5 p)

c. (2,5 p)Dari hasil (a),

n 1

 111  2.1  21

n2

 121  2.1  22

 0.005

n 3

 131  2.1  23

 0.000333

n4

 141  2.1  24

 0.000025

n5

 151  2.1  25

 0.000002

1

2

3

4

5

 0.1

Ketelitian kurang dari 10–4, diperoleh pada n ≤ 3, sehingga jawaban maksimal 4 angka di belakang koma: f (1.1)  0.1  0.005  0.000333  ...  0.1053