Usp Ms2 T1 V02 (1).docx

Analise de uma ponte em pórtico sob apoio elástico (Teorema dos Esforços Virtuais e programa Ftool)

Mecânica das Estruturas II

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Professor: Guilherme Rosa Franzini

Integrantes do grupo: Max Pedro Huamani .....

11156342 .......

Sumário 1

Introdução ........................................................................................... 1

2

Análise da Combinação 1 ...................................................................... 1 2.1

Apresentação .................................. Error! Bookmark not defined.

2.2

Valor do momento fletor no meio do vão a partir do TEV .......... Error!

Bookmark not defined. 2.3

Rotação da viga sobre o apoios intermediários B e C a partir do TEV Error! Bookmark not defined.

3

4

Localização dos carregamentos na combinação 2 ..................................... 5 3.1

Carregamento que implica máximo momento positivo na viga ............ 5

3.2

Carregamento que implica máximo momento negativo na viga ........... 5

3.3

Carregamento que implica máximo momento nos pilares ................... 6

Análise da Combinação 2 ...................................................................... 6 4.1

Situação de máximo momento positivo ............................................ 6

4.1.1 Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via 6

TEV

4.1.2 Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV...... 7 4.1.3 Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV .................. 8 4.2

Situação de máximo momento negativo............................................ 9

4.2.1 Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via 9

TEV

4.2.2 Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV...... 9 4.2.3 Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV ................ 10 4.3

Situação de máximo momento nos pilares ...................................... 11

4.3.1 Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via TEV

11 4.3.2 Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV.... 11 4.3.3 Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV ................ 11

5

Comparação de resultados ................................................................... 11

6

Referências Bibliográficas ................................................................... 14

7

ANEXOS .......................................................................................... 15

INTRODUÇÃO

Os projetos são feitos a partir de primeiros modelos simples que permitem dar uma ideia mais clara do comportamento das estruturas. Desse modo, a intenção do trabalho é de presentar o estudo de um pórtico que representa o projeto de uma ponte. O analises estrutural do pórtico será feito pelo teorema de esforços virtuais para achar o diagrama de momento fletor real e teorema de deslocamentos virtuais para achar os descolamentos e rotações. 1

1.1

ANÁLISE DA ESTRUTURA EM COMBINAÇÃO 1

Determinação no momento fletor no meio do vão Temos uma única carga 𝑃 aplicada no meio do vão central dirigida abaixo

1.1.1

Grau hiperestático

Temos pela definição 𝑔ℎ = (𝑟 + 3 ∗ 𝑏) − (3 + 𝑛) Na estrutura temos 𝑟 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8; 𝑏 = 0; 𝑛 = 2 Então 𝑔ℎ = 3 Devemos ter em conta que a estrutura é simétrica, o incógnito vertical é 0 𝑔ℎ = 2

1

1.1.2

Redução de grau de hiperestaticidade pela análise de simetria

Normalmente temos a igualdade do momento fletor: 𝑀 = 𝑚 + 𝑋𝑚 ̅ 1 + 𝑌𝑚 ̅2 Mas devemos ter em conta que 𝑚 ∗ 𝛿𝑚 ̅ 2 = 0 𝑒 𝛿𝑚1 ∗ 𝛿𝑚 ̅2 = 0 Então, obtemos uma estrutura hiperestática do grau 1, 𝑀 = 𝑚 + 𝑋𝑚 ̅1

1.1.3

Utilização do Teorema dos Esforços Virtuais (TEV) para determinar o X

Temos 𝛿𝑇𝑒 = 𝛿𝑇𝑖 Análises dos esforços virtuais externos 𝛿𝑇𝑒 = 𝛿𝑅𝐴,2 ∗ 𝑣̂𝐴 + 𝛿𝑅𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 ∗ 𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 + 𝛿𝐸 ∗ 1 + 𝛿𝐸 ∗ (−1) Escriba aquí la ecuación. Temos 𝛿𝑅𝐴,2 = 𝛿𝑅𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑒 𝑣̂𝐴 = −𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎

Então 𝛿𝑇𝑒 = 0 Por outro lado 𝛿𝑇𝑖 = 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙 + 𝛿𝑇𝑖,𝑚𝑜𝑙𝑎 Temos 𝛿𝑇𝑖,𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝛿𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 ∗ 𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙 = ∫𝐸𝑆𝑇𝑅 𝛿𝑇𝑖,𝑁 = ∫𝐸𝑆𝑇𝑅

(1) 𝛿𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 =

2 𝑙

e

𝛿𝑀∗𝑀 𝐸𝐼 𝛿𝑁∗𝑁 𝐸𝐴

(1)

𝑑𝑠

(2)

𝑑𝑠 << 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙

𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 =

𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑘

𝛿𝑇𝑖,𝑚𝑜𝑙𝑎 = −

(3)

1

𝑃

2

= 𝑘 (− 2 + 𝑙 𝑋)

𝑃 4 +𝑋 2 𝑘𝑙 𝑘𝑙

(2) Conhecemos 𝛿𝑀 ∗ 𝑀 e 𝑏

𝐿

usando ∫𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 6 [𝑓𝑎 (2𝑔𝑎 + 𝑔𝑏 ) + 𝑓𝑏 (𝑔𝑎 + 2𝑔𝑏 )] Temos 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙 = −

5𝑃𝑙 2 2𝑙 +𝑋 48𝐸𝐼 3𝐸𝐼

Globalmente temos de TEV 0 = −(

5𝑃𝑙 2 𝑃 2𝑙 4 + )+𝑋( + 2) 48𝐸𝐼 𝑘𝑙 3𝐸𝐼 𝑘𝑙

Optemos 𝑋 = +17.5𝑃 Finalmente o valor do momento fletor na seção do meio do vão é 𝑀𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑣ã𝑜 = +17.5𝑃

1.2

Calculo de rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C Proporemos utilizar o teorema dos Esforços Virtuais na Estrutura Isostática

Fundamental Modifica pelo X (EIFMX), ainda quando a estrutura é hiperestática. Vamos a fazer uma rotação unitária (positiva) em C, temos

Ilustração 1: 𝛿𝑀

Conhecemos, já numericamente, o (DMF) na estrutura,

𝛿𝑇𝑖 = 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙 + 𝛿𝑇𝑖,𝑚𝑜𝑙𝑎 Temos 𝛿𝑇𝑖,𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝛿𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 ∗ 𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 𝛿𝑇𝑖,𝑓𝑙 = ∫𝐸𝑆𝑇𝑅 (1) 𝛿𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 =

1.2.1

2 𝑙

e

𝛿𝑀∗𝑀 𝐸𝐼

(1)

𝑑𝑠

𝑣̂𝐴,𝑚𝑜𝑙𝑎 =

(2) 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑘

1

𝑃

2

= 𝑘 (− 2 + 𝑙 𝑋)

2 2.1

LOCALIZAÇÃO DOS CARREGAMENTOS NA COMBINAÇÃO 2 Máximo momento positivo na viga O momento positivo máximo na viga ocorre quando a carga é aplicada no meio do vão. Momento máximo:5064.2kNm

2.2

Máximo momento negativo na viga O momento negativo máximo na viga ocorre quando a carga é aplicada nos pontos extremos. Momento mínimo: 3410kNm

2.3

Máximo momento nos pilares O momento nos pilares se mantem constante pois a única força que gera momentos e a força horizontal.

3 3.1

ANÁLISE DA COMBINAÇÃO 2 Máximo momento positivo 3.1.1

Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via TEV aplicado em sentido negativo

𝛿𝑇𝑖𝜃 = −2 ∗ 155 ∗ 3.6 ∗ 10−5 = −0.01116 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

50 (1882.8(4 ∗ 9.4 − 15.6) − 5064.2 ∗ (9.4 − 2 ∗ 15.6) − 5052.2 6𝐸𝐼 ∗ (−2 ∗ 15.6 + 9.4) + 1800.8 ∗ (−15.6 + 4 ∗ 9.4)) 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.2513 𝛿𝑇𝑒 =

Por TEV:

−.2 ∗ 37.7 36 ∗ .2 − − .7 ∗ .01 + 𝑍 ∗ 1 = 𝑍 − .0684 240 240

𝑍 = 0.3086𝑚

3.1.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV, aplicada em sentido anti-horário (positivo)

B: 𝛿𝑇𝑖𝜃 = (37.5 + 12.5) ∗ 25 ∗ 3.6 ∗ 10−5 = 0.045 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

50 (1882.8(−2 ∗ 62.5 + 2 ∗ 37.5 + 12.5) − 5064.2 ∗ (37.5 + 12.5 ∗ 2) 6𝐸𝐼 − 5052.2 ∗ (2 ∗ 12.5 − 12.5) + 1800.8 ∗ (12.5 − 2 ∗ 12.5 + 2 ∗ 12.5)) 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = −0.4153 𝛿𝑇𝑒 =

1.2 ∗ 37.7 36 ∗ .2 + + .7 ∗ .01 + ∅ ∗ 100 = 100∅ + 0.2255 240 240

Por TEV: ∅ = −0.00596𝑟𝑎𝑑 C: 𝛿𝑇𝑖𝜃 = (37.5 + 12.5) ∗ 25 ∗ 3.6 ∗ 10−5 = −0.045 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

50 (1882.8(3 ∗ 12.5) − 5064.2 ∗ (2 ∗ −12.5 + 12.5) − 5052.2 6𝐸𝐼 ∗ (−2 ∗ 12.5 − 37.5) + 1800.8 ∗ (−2 ∗ 37.5 − 12.5 + 62.5 ∗ 2)) 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.431

𝛿𝑇𝑒 =

0.2 ∗ 37.7 36 ∗ 1.2 + − .7 ∗ .01 + ∅ ∗ 100 = 100∅ − 0.2044 240 240

Por TEV: ∅ = 0.00596𝑟𝑎𝑑

3.1.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV, aplicado em sentido positivo

B: 𝛿𝑇𝑖𝜃 = 0 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

25 (4623.2 ∗ 2 ∗ 25) 6𝐸𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.107

𝛿𝑇𝑒 = 25 ∗ 6 ∗ 10−3 + 𝑈 ∗ 1 Por TEV 𝑈 = −0.043𝑚 C: 𝛿𝑇𝑖𝜃 = 0 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

25 (4623.2 ∗ 2 ∗ 25) 6𝐸𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.107

𝛿𝑇𝑒 = 25 ∗ 6 ∗ 10−3 + 𝑈 ∗ 1 Por TEV 𝑈 = −0.043𝑚

3.2

Situação de máximo momento negativo 3.2.1

Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via TEV aplicado em sentido negativo

𝛿𝑇𝑖𝜃 = 0 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0 𝛿𝑇𝑒 = −207.6 ∗

1 +𝑍∗1 240

Por TEV 𝑍 = 0.865𝑚

3.2.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV aplicado em sentido anti-horário (positivo)

B: 𝛿𝑇𝑖𝜃 = (37.5 + 12.5) ∗ 25 ∗ 3.6 ∗ 10−5 = 0.045

𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

50 (1107.3(2 ∗ 62.5 + 2 ∗ −37.5 + 12.5) − 3410.1(−37.5 + 4 ∗ 12.5) 6𝐸𝐼 − 12 ∗ 12.5) 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.018989

𝛿𝑇𝑒 =

0.2 ∗ −207.6 22.1 ∗ 1.2 − − 0.7 ∗ .01 + ∅ ∗ 100 = 100∅ − 0.2765 240 240

Por TEV: ∅ = 0.003405𝑟𝑎𝑑 C 𝛿𝑇𝑖𝜃 = (37.5 + 12.5) ∗ 25 ∗ 3.6 ∗ 10−5 = 0.045 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

50 (−1107.3(4 ∗ 12.5 − 37.5) 6𝐸𝐼 + 3410.1(−37.5 + 4 ∗ 12.512.5 − 2 ∗ 37.5 + 62.5 ∗ 2) + 12 ∗ 62.5) 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.018976

𝛿𝑇𝑒 =

1.2 ∗ 207.6 22.1 ∗ 0.2 + − 0.7 ∗ .01 + ∅ ∗ 100 = 100∅ + 1.0494 240 240

Por TEV: ∅ = 0.0127𝑟𝑎𝑑

3.2.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV aplicado em sentido positivo

B 𝛿𝑇𝑖𝜃 = 0

𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

25 (4623.2 ∗ 2 ∗ 25) 6𝐸𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.107

𝛿𝑇𝑒 = 25 ∗ 6 ∗ 10−3 + 𝑈 ∗ 1 Por TEV 𝑈 = −0.043𝑚 C 𝛿𝑇𝑖𝜃 = 0 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 =

25 (4623.2 ∗ 2 ∗ 25) 6𝐸𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝛿𝑇𝑖𝑓𝑙 = 0.107

𝛿𝑇𝑒 = 25 ∗ 6 ∗ 10−3 + 𝑈 ∗ 1 Por TEV 𝑈 = −0.043𝑚

3.3

4 4.1

Situação de máximo momento nos pilares 3.3.1

Deslocamento vertical do ponto de aplicação do carregamento via TEV

3.3.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C via TEV

3.3.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares via TEV

COMPARAÇÃO DE RESULTADOS Máximo momento positivo

4.1.1

Deslocamento vertical 𝑇𝐸𝑉 = 0.3086𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.3048𝑚 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1.25%

4.1.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C

B: 𝑇𝐸𝑉 = 0.00596𝑟𝑎𝑑 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.00629𝑟𝑎𝑑 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 5.25% C: 𝑇𝐸𝑉 = 0.00596𝑟𝑎𝑑 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.00613𝑟𝑎𝑑 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 2.77%

4.1.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares

B: 𝑇𝐸𝑉 = 0.043𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.0429𝑚 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.23% C: 𝑇𝐸𝑉 = 0.043𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.0433𝑚 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.69%

4.2

Situação de máximo momento negativo 4.2.1

Deslocamento vertical 𝑇𝐸𝑉 = 0.865𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.8648𝑚 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.02%

4.2.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C

B: 𝑇𝐸𝑉 = 0.003405𝑟𝑎𝑑 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.003692𝑟𝑎𝑑 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 7.77% C: 𝑇𝐸𝑉 = 0.0127𝑟𝑎𝑑 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.01142𝑟𝑎𝑑 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 11.2%

4.2.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares

B: 𝑇𝐸𝑉 = 0.043𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.04341𝑚 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.94% C: 𝑇𝐸𝑉 = 0.043𝑚 𝐹𝑇𝑂𝑂𝐿 = 0.04294𝑚

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.14%

4.3

5

Situação de máximo momento nos pilares 4.3.1

Deslocamento vertical

4.3.2

Rotação da viga sobre os apoios intermediários B e C

4.3.3

Deslocamento horizontal no topo dos pilares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. BENTUR, A., DIAMOND, S., BE

6

ANEXOS