Universidad Tecnica De Ambato

“UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO” FACULTAD DE INGENIERIAEN SISTEMAS

PRIMER NIVEL FORMATIVO ALGEBRA NOMBRE: ALEX GUANGASI FECHA: 2009-05-03 TRABAJO DE INVESTIGACION Nº4 http://sapiens.ya.com/matagus/capitulos/capitulo3.html http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_polinomios

Tema: Polinomios. Objetivo: Conocer y saberla manera de interpretar un Polinomio. Marco teórico:

Polinomio De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio. La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

por ejemplo:

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen Funciones polinómicas [editar] Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos). A las funciones polinómicas de •

Función polinómica de grado 0, que también se denomina: funciones constantes

•

Función polinómica de grado 1, que también se denomina: funciones lineales,

•

Función polinómica de grado 2, que también se denomina: funciones cuadráticas,

•

Función polinómica de grado 3, que también se denomina: funciones cúbicas.

•

Función polinómica de grado 4, que tambien se denomina: funciones de grado 4.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o

para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner. En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores. Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador. Definición algebraica [editar] Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada. Operaciones con polinomios [editar] Artículo principal: Operaciones con polinomios Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Factorización [editar] Artículo principal: Factorización Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliendose así que dividendo = divisor Χ cociente +

resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.

Operaciones con polinomios De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Dados los polinomios P(x), Q(x), R(x), etc, de la forma general:

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate. Valor numérico de un polinomio [editar] Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b. En el caso general:

tomara un valor para x = b, de:

Ejemplo: Dado el polinomio:

cual es su valor para x= 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:

Con el resultado de:

Igualdad de polinomios [editar] Dados dos polinomios:

de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:

Ejemplo:

en este caso:

Polinomio opuesto [editar] Dados dos polinomios:

de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

Ejemplo:

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos. Adición de polinomios [editar] La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado. Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):

el polinomio suma R(x), será:

que es lo mismo que:

sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:

•

Ejemplo:

Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.

Multiplicación de polinomios [editar] Multiplicación de un polinomio por un escalar [editar] Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k. Si el polinomio es:

Y lo multiplicamos por k:

Dando lugar a:

•

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

Lo multiplicamos por 3,

Operando con los coeficientes:

Y tenemos como resultado:

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

Que es la forma aritmética para hacer la operación. Multiplicación de un polinomio por un monomio [editar] Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:

y el monomio es:

el producto del polinomio por el monomio es:

Agrupando términos:

El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:

Que es el resultado del producto.

•

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

y del monomio:

La multiplicación es:

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

realizando las operaciones:

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x) Multiplicación de dos polinomios [editar] Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m, así si:

entonces:

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

agrupando términos:

operando potencias de la misma base:

•

Ejemplo:

vamos a multiplicar los polinomios:

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

que resulta:

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

lo que resulta:

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado. División de polinomios [editar] La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

tal que:

dividendo = divisor × cociente + resto El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x). •

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

que para la realización de la división representamos:

como resultado de la división finalizada:

Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por − a). Formalmente puede expresarse como:

Por ejemplo, si

para

se obtiene el resto:

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta. Divisiones Sintéticas [editar] Para obtener el cociente y residuo de una división de un polinomio entero en x entre un binomio de la forma x+a, sin efectuar la operación, es empleado el método de Divisiones sintéticas. Factorización de un polinomio [editar] Factorización de un Polinomio: Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x) se anula para x = a. Por el teorema del resto, si es divisible por

es una raíz del polinomio , pues el resto de dividir

cero. A cada uno de esos valores se los suele designar

, entonces entre

es , etc

Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio

están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.

Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1:

–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:

Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de . Se prueba de nuevo con – 1:

– 1 no es raíz de

2 es raíz de

. Probando con 2:

y, por tanto, de

:

Apliquemos cuadrática

2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x):

En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x. REGLA DE RUFFINI División de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini. La regla de Ruffini se emplea para hallar los coeficientes del cociente y el resto de la división de un polinomio ordenado según

las potencias decrecientes de la indeterminada x por el binomio x-a sin efectuar la división. Ejemplo: Mediante la regla de Ruffini, calcular la siguiente división:

Resolución: Disposición práctica:

Regla de Ruffini:

Solución:

TEOREMA DEL RESTO Teorema del resto. El resto de la división de un polinomio P(x) por el binomio x-a coincide con el valor numérico P(a) de dicho polinomio para x=a.

Ejemplo: Hallar el resto de la división del polinomio:

por Resolución:

1er Método:

2º Método: Sustituyendo x = 2 en el polinomio, resulta:

Solución:

TEOREMA DEL FACTOR Teorema del factor. La condición necesaria y suficiente para que un polinomio P(x) sea divisible por el binomio x – a , es que el valor numérico del polinomio para x = a sea cero.

Luego:

.

Al número «a» que verifica la relación anterior se le llama raíz o cero de

.

Ejemplo: Determinar si el polinomio

es divisible por el binomio x – 2 . Resolución: 1er Método:

Para 2º Método:

Solución: El número 2 es un cero o raíz del polinomio.

.