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Interfaces da Matemática Com a Física:

Mecânica e Termologia

Material Teórico Força e movimento

Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos Revisão Técnica: Profa. Dra. Mônica Midori Marcon Uchida Sguazzardi Revisão Textual: Profa. Esp. Márcia Ota

Força e movimento

• Introdução • Estudo do Movimento Uniforme • Movimento progressivo e movimento retrógrado • Gráfico da função horária do movimento uniforme (MU) • Movimento uniformemente variado (MUV)

·· Iniciamos mais uma unidade de nossa disciplina, na qual iremos compreender e aprofundar os conhecimentos que possuímos sobre movimentos. ·· Trataremos aqui de algumas situações, nas quais precisamos identificar qual tipo de movimento está presente, se a velocidade e a aceleração são constantes ou não, qual a influência da orientação da trajetória e outros detalhes, igualmente, importantes sobre o assunto.

Ao término desta unidade, esperamos que você seja capaz de compreender e identificar em que situações esses tipos de movimentos estão presentes, bem como saber utilizar os conceitos que serão apresentados a você. Para tanto, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça todos os exemplos e anote suas dúvidas.

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Unidade: Força e movimento

Contextualização I. João Alberto desloca-se com seu carro em um trecho de uma estrada em meio a uma reserva florestal, objetivando chegar no quilômetro 230 dessa estrada, a qual possui em seu entorno uma linda paisagem, um ambiente agradável com rios, belas árvores, alguns animais à beira da estrada, outros bebendo água no rio de águas cristalinas. Importante destacar que ele se encontra no quilômetro 70 e a fim de observar bem o ambiente natural, decide dirigir seu veículo a uma velocidade constante de 20 km/h, pois não havia outros veículos além do dele trafegando por essa estrada naquele momento. a. João Alberto está desenvolvendo um movimento uniforme ou um movimento uniformemente variado? Progressivo ou retrógrado? b. Qual a aceleração do carro de João Alberto e o que ela tem a ver com a classificação do movimento desse carro? Reflita

c. João Alberto é contra ou a favor da orientação da estrada e o que ela tem a ver com a classificação do movimento desse carro?

II. Em uma corrida de fómula 1, todos os carros se encontram no ponto de largada. Após o sinal de partida, os pilotos começam a disputa para obter a melhor posição possível para começar com vantagem em relação aos demais. Além disso, o carro o qual se encontra na 3ª posição consegue ultrapassar os dois que se encontram a sua frente, no momento em que eles tentam ficar na 1ª posição, logo na largada, deixando um espaço para que este conseguisse alcancar tal objetivo. A partir de então, o piloto do referido carro começa a aumentar a velocidade para que os demais não consigam ultrapassá-lo, tomando os devidos cuidados para não sofrer um acidente. a. O que se pode afirmar com relação à aceleração desse carro? Reflita

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b. O movimento desse carro de fórmula 1 é acelerado ou retardardo? É um movimento uniforme ou um movimento uniformemente variado?

Introdução Podemos classificar os movimentos através do modo como a velocidade escalar se comporta em relação ao tempo. Um movimento é dito uniforme se a velocidade escalar da partícula se mantém constante no intervalo de tempo em que a consideramos. Então, quando a velocidade escalar sofre alterações, ou seja, variações, dizemos que o movimento é variado. Nesta unidade, trabalharemos com algumas situações em que podemos observar esses comportamentos dos movimentos e veremos algumas definições importantes.

Estudo do Movimento Uniforme Consideremos um veículo que está em movimento, ao longo de uma estrada retilínea, esteja desenvolvendo uma velocidade escalar constante de 90 km/h. Isto quer dizer que esse veículo percorre 90 quilômetros em um intervalo de tempo igual a uma hora. Com isso, se mantiver essa velocidade durante todo o seu percurso, em duas horas ele percorrerá 180 km, em três horas 270 km e assim por diante. Esse comportamento da velocidade nos permite classificar o movimento desse veículo como uniforme. Logo, um objeto que se move em iguais intervalos de tempo percorre distâncias iguais e desenvolve velocidade escalar constante e igual à velocidade escalar média, em cada instante, encontra-se em movimento uniforme. Aqui, chamaremos de partícula aos objetos dos quais estudaremos os movimentos. O denominaremos assim, por considerarmos suas dimensões desprezíveis em relação às demais que participam do fenômeno em estudo.

Função Horária O movimento uniforme deve ter a velocidade constante e será a mesma que a velocidade instantânea. Esse movimento tem a velocidade escalar média igual à velocidade escalar instantânea, para todo e qualquer intervalo de tempo. Assim, temos:

= v v= m

∆s ∆t

Dada a variação de tempo Δt, a partir do instante inicial zero (t0=0) até um tempo qualquer, denominado t. Consideremos também que neste intervalo de tempo, o espaço inicial s0 corresponde ao espaço no instante t0, e o espaço final s corresponde ao espaço no instante t. Assim, temos:

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Unidade: Força e movimento

v v= Substituindo essas expressões de e na expressão = m

= v v= m

∆s , temos: ∆t

∆s s − s0 s − s0 = = ∆t t − t0 t

O que nos dá:

s − s0 =v ⋅ t = s s0 + vt

A essa função chamamos de função horária do movimento uniforme.

Exemplo Uma partícula encontra-se em movimento e se desloca a partir do ponto 30 km com velocidade constante e igual a 36 km/h, ao longo de uma trajetória retilínea. Qual a função horária que representa o deslocamento dessa partícula ao longo de sua trajetória? Que posição ela ocupa na trajetória após 2 horas, a partir dessa posição inicial considerada?

Solução O espaço inicial é a posição que a partícula ocupa na trajetória, quando está em repouso, isto é, s0=30 km. A velocidade da partícula é de 36 km/h. Assim, a função horária da posição da partícula na trajetória em relação ao tempo é: Para encontrarmos a posição que a partícula ocupa após as 2 horas de movimento, basta substituirmos t=2h na função horária que encontramos para a posição da partícula. Então, teremos:

= s s0 + vt = s 30 + 36t

= s 30 + 36t = s 30 + 36  2 = s 30 + 72 s = 102

Logo, a partícula encontra-se na posição 102 km da trajetória após 2 horas. É importante observarmos que a posição da partícula é dada em quilômetros e a velocidade está em km/h. Se a velocidade estivesse em metros por segundo (m/s), precisaríamos realizar a conversão para km/h para encontrarmos o valor correto que representaria a posição que a partícula estaria ocupando no tempo t. Isto porque a posição da partícula é dada em quilômetros. 8

Movimento progressivo e movimento retrógrado Observe a seguinte figura, que representa o deslocamento de uma partícula ao longo de uma trajetória. Figura 1: Movimento progressivo. Progressivo 0

+ S1 S2

Nessa figura, podemos observar que a partícula está desenvolvendo velocidade escalar positiva. Isso significa que conforme o tempo aumenta, o espaço (posição), o qual essa partícula ocupa na trajetória também aumenta. Isso quer dizer que a partícula se desloca a favor da orientação positiva da trajetória. Movimentos que possuem essa característica são chamados de movimentos progressivos. Observemos, agora, esta outra figura que também representa o deslocamento de uma partícula ao longo de uma trajetória. Figura 2: Movimento retrógrado.

-8 m/s

-2 m/s +

t2

t1

Nessa figura, podemos constatar a partícula desenvolvendo velocidade escalar negativa, o que significa que conforme o tempo aumenta, o espaço (posição) que essa partícula ocupa na trajetória diminui. Isso quer dizer que a partícula se desloca contra a orientação positiva da trajetória. Movimentos que possuem essa característica são chamados de movimentos retrógrados. Logo, temos as definições:

Movimento progressivo:

a partícula se desloca a favor da orientação positiva da trajetória.

Movimento retrógrado:

a partícula se desloca contra a orientação positiva da trajetória.

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Unidade: Força e movimento

Exemplos: Exemplo 1: A função, a seguir, descreve o movimento uniforme de uma partícula. Quanto ao movimento dessa partícula, ele é considerado progressivo ou retrógrado? = S 20 + 12t com o espaço em metros e o tempo em segundos.

Solução: s s0 + vt , temos que a velocidade Como a função horária do movimento uniforme é dada por = da partícula é v =12 m/s, que é positiva e, portanto, indica que ela se desloca a favor da orientação positiva da trajetória. Assim, o movimento dessa partícula é considerado progressivo. Exemplo 2: A função, a seguir, descreve o movimento uniforme de uma partícula. Quanto ao movimento dessa partícula, ele é considerado progressivo ou retrógrado?

= S 100 − 25t , com s em quilômetros e t em horas.

Solução: s s0 + vt , temos que a velocidade da partícula é v = -25 km/h, Como no exemplo anterior, = que é negativa e, portanto, indica que ela se desloca contra a orientação positiva da trajetória. Logo, o movimento dessa partícula é retrógrado.

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Gráfico da função horária do movimento uniforme (MU) Podemos estudar o movimento uniforme de uma partícula por meio de representações gráficas. Imaginemos uma situação que envolva o movimento uniforme, montar uma tabela com alguns dados deste movimento para que, depois, possamos construir o gráfico da função horária desse movimento.

Situação: Consideremos que uma partícula desenvolve movimento uniforme em uma trajetória retilínea, cuja função horária é (SI). Primeiramente, vamos montar a tabela para auxílio usando, por exemplo, t = 0, 1, 2, 3... segundos. Substituindo esses valores de t na função horária, obtemos a tabela abaixo:

t(s) s(m)

0

1

2

3

4

5

5

6

7

8

9

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Como s está em função de t, os valores de t estarão dispostos no eixo horizontal do plano cartesiano e os valores de s estarão no eixo vertical. Figura 3 - Função Horária

Observando o gráfico, percebemos que o movimento uniforme é representado graficamente por uma reta. Quando a velocidade escalar da partícula no movimento uniforme é positiva (movimento progressivo), o gráfico é uma reta crescente e, quando é negativa (movimento retrógrado), o gráfico é uma reta decrescente. O coeficiente angular da reta, isto é, sua inclinação, corresponde à velocidade escalar instantânea da partícula, ou seja, se a inclinação da reta é x, então, v= tg x.

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Movimento uniformemente variado (MUV) Diferente do que ocorre no movimento uniforme, o movimento uniformemente variado tem-se que a velocidade sofre variações iguais em iguais intervalos de tempo e, desta maneira, a aceleração é constante e diferente de zero. Logo, a velocidade aumenta de forma proporcional, como temos intervalos de mesmo valor. O que é a aceleração? A aceleração está relacionada à mudança de velocidade. Por exemplo, um automóvel que se encontra em repouso, no instante t1 = 0 s, começa a se locomover e após 1 segundo de movimento sua velocidade é de 10m/s. Isso significa que, nesse intervalo de tempo, ∆t = t 2 − t1 , esse automóvel sofreu uma aceleração, que pode ser medida nesse intervalo de tempo por meio da fórmula abaixo, onde α é a aceleração e ∆v é a variação da velocidade, dada por ∆v = v2 − v1 .

a =

∆v v2 − v1 = ∆t t 2 − t1

Estudaremos o movimento uniformemente variado considerando a velocidade sempre com valor positivo, isto é, considerando que a partícula se movimenta a favor da orientação positiva da trajetória. Desse modo, teremos: A aceleração do movimento será positiva quando a velocidade aumentar, conforme o tempo aumenta, isto é, v 2 > v1 (∆v > 0) . Nesse caso, diz-se que o movimento é acelerado. A aceleração do movimento será negativa quando a velocidade diminuir conforme o tempo aumenta, isto é, v 2 < v1 (∆v < 0) . Nesse caso, diz-se que o movimento é retardado.

Exemplos Exemplo 1: Certo corpo desloca-se em uma trajetória retilínea. No instante t1 = 2 s, sua velocidade é de 20 m/s e no instante t2 = 4 s sua velocidade é de 40 m/s. Qual a aceleração desse corpo nesse intervalo de tempo? Seu movimento é considerado retardado ou acelerado?

Solução Coletemos os dados do enunciado: t1 = 2 s

v1 = 20 m/s

t2 = 4 s

v2 = 40 m/s

Definindo aceleração, temos:

a =

∆v v2 − v1 = ∆t t 2 − t1

Assim, temos:

= a

∆v = ∆t

40

m m m − 20 20 s s s 10 m = = 4 s − 2s 2s s2

Portanto, esse corpo desenvolveu uma aceleração de 10 m/s2 nesse intervalo de tempo, o que quer dizer que sua velocidade aumentou em 10 m/s a cada segundo. O movimento é acelerado, pois a aceleração é positiva. 12

Exemplo 2: Certa partícula mantém um deslocamento em uma trajetória retilínea. No instante t1=1s sua velocidade é de 50 m/s e no instante t2 = 5 s sua velocidade é de 10 m/s. Qual sua aceleração no intervalo anunciado? O movimento pode ser classificado como retardado ou acelerado?

Solução Aplicando a fórmula, temos:

Temos os dados: t1 = 1 s

v1 = 50 m/s

t2 = 5 s

v2 = 10 m/s

a=

∆v = ∆t

10

m m m − 50 −40 s s = s = −10 m 5 s − 1s 4s s2

Portanto, a partícula obteve aceleração de -10 m/s2 nesse período de tempo, o que significa que sua velocidade cai em 10 m/s a cada segundo de tempo. Como a aceleração é negativa, o movimento é retardado.

Cálculo da Velocidade Se uma determinada partícula se encontra em movimento uniformemente variado, e com uma velocidade inicial v0 no instante em que começamos a contar o tempo, t0=0, sua aceleração α é constante, isto é, o valor da aceleração é numericamente nigual ao valor da variação da velocidade em cada 1s. Assim, temos:

t = 0s t = 1s t = 2s t = 3s

→ → → →

v = v0 v = v0+ 1 ∙ α

v = v0 + 2 ∙ α v = v0 + 3 ∙ α

Isto nos leva à conclusão de que, depois de t segundos, a velocidade será: v = v0 + αt (função da velocidade do MUV)

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Gráfico da função velocidade Para chegarmos ao gráfico da função velocidade de um movimento uniformemente variado, vamos construir uma tabela para um MUV, cuja função velocidade é dada por v=3 +2t, no SI. Temos: » v = v0 + αt » v0 = 5 m/s » α = 2 m/s2

t(s) s(m)

0 3

1 5

2 7

3 9

4 11

5 13

Agora, de posse desses valores, podemos construir o gráfico dessa função. Figura 4 - Função da Velocidade MUV.

Observamos pelo gráfico que a função v = 5 + 2t é representado graficamente por uma reta crescente. Quando a aceleração da partícula no MUV é positiva (movimento acelerado), o gráfico é uma reta crescente e, quando é negativa (movimento retardado) , o gráfico é uma reta decrescente. O coeficiente angular da reta, isto é, sua inclinação, corresponde à aceleração da partícula, ou seja, se a inclinação da reta é x, então, α= tg x.

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Função horário do MUV Como vimos, no MUV, a velocidade varia conforme o tempo, segundo a função: v=v0+αt. Queremos também estudar, neste tipo de movimento, a variação do espaço com o tempo, e encontramos a função horária para o MUV. Considerando o gráfico da velocidade em função do tempo, a área S, delimitada pelo eixo horizontal (t) e pelo gráfico da função velocidade do MUV, no intervalo de tempo, representa numericamente a variação do espaço, nesse intervalo de tempo. Essa área corresponde à de um trapézio de altura t, base menor v0 e base maior v. Figura 5- A área S representa numericamente Δs.

Temos: S=

( base  maior + base  menor ) ⋅ altura 2

S=

(ν + ν 0 ) ⋅ t (1) 2

Mas, S =∆s =s − s0 . Substituindo esta expressão em (1), obtemos:

(v + v ) ⋅ t s − s0 = 0 (2) 2

Substituindo v = v0 + αt, em (2), obtemos a função horário do MUV:

(v + at + v0 ) ⋅ t s − s0 =0 2 ( 2v + at ) ⋅ t s − s0 = 0 2 2v0 t + at 2 s − s0 = 2 at 2 s = s0 + v0 t + 2

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O gráfico da função horário do MUV é uma parábola com concavidade voltada para cima, quando a aceleração for positiva, e com concavidade voltada para baixo, quando a aceleração é negativa. Figura 6 - Gráficos da função horária do Movimento Uniformemente Variado.

No instante tx, valor correspondente ao vértice da parábola, ocorre a mudança de sentido do percurso, ou seja, é o instante em que a velocidade é nula. Até aí o movimento é retardado e, a partir desse instante, é acelerado.

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Exercícios Propostos 1. Um bloco de massa 5kg é abandonado do alto de um prédio de 45 metros de altura. Considerando a aceleração da gravidade como 10m/s2 , determine o tempo de queda deste bloco até atingir o solo: a. 3s b. 10s c. 15

Expectativa de resposta: Inicialmente, é preciso identificar cada um dos valores fornecidos pelo problema. A massa é 5kg (m) , a altura de 50 metros é o espaço percorrido pelo bloco até atingir o solo (S) e a aceleração da gravidade 10m/s2 (a). Substituindo na função horária, temos:

at 2 2 10t 2 45 =0 + 00 t + 2 2 10t 45 = 2 45.2 = 10t 2 s = s0 + v0 t +

90 = 10t 2 90 = t2 10 9 = t2 O tempo de queda do bloco foi de 3 segundos do alto do prédio até atingir o solo.

t= 9 t = 3s

2. Um carro está a 50m/s quando o sinal de trânsito fica vermelho. Acionando os freios, imediatamente, ele consegue parar desacelerando o carro em 4 segundos. Determine a desaceleração em m/s: a) 25 m / s2 b) 12,5 m/s2 c) 45 m/s2

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Expectativa de resposta:

∆V a =  T Identificando os valores do problema, temos a velocidade 50m/s e o tempo de 50 a =  parada 4 segundos. 4 12,5  a =  m / s2 Convertendo para km/h, temos que 12,5 . 3,6 = 45Km/h²

3. Com base nos dados do exercício anterior, qual seria a distância percorrida do momento inicial da frenagem até a parada total do carro? a) 300m b) 400m c) 500m

Expectativa de resposta: Sabemos que:

a =  12,5  m / s2 t =  4 s v =  50m / s

Calculando o espaço percorrido, consideramos o espaço inicial como Zero:

at 2 s = s0 + v0 t + 2 12,5.4 2 s= 0 + 50.4 + 2 12,5.16 s =+ 0 200 + 2 200 s =+ 0 200 + 2 s =+ 0 200 + 100 s = 300m O carro precisaria estar pelo menos a 300 metros do sinal para conseguir parar.

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Material Complementar Para aprofundar um pouco mais sobre os conteúdos estudados, consulte as indicações a seguir: Texto que trata da aplicação do MUV no lançamento vertical e queda livre dos corpos, de autoria do professor Alberto Ricardo Prass, disponível em:

Leitura: http://www.fisica.net/mecanicaclassica/lancamento_vertical_e_queda_livre.pdf

Sites: http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-uniforme.htm http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-acelerado-retardado-uniforme.htm http://www.alunosonline.com.br/fisica/movimento-acelerado-retardado.html

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Referências MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de física. Scipione. São Paulo, 1997. RAMALHO JR, Francisco. Elementos de física, v.1. Ed. Moderna. São Paulo, 1986.

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Anotações

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