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MATEMÁTICAS 2.º ESO Unidad 5: Expresiones algebraicas

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Expresiones algebraicas LECTURA INICIAL

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Las expresiones algebraicas son un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.

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Historia del álgebra

Busca en la web

¿ Por qué llamamos x a la incógnita?

Biografía de Al-Khwarizmi

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Esquema de contenidos Expresiones algebraicas

Lenguaje algebraico

Expresiones algebraicas Polinomios Monomios Concepto Operaciones

Concepto Suma y resta Multiplicación y división

Factor común Igualdades notables

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Lenguaje algebraico El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números. El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico. LENGUAJE USUAL

LENGUAJE ALGEBRAICO

La suma de dos números

x +y

Un número aumentado en tres unidades

x +3

El triple de un número más otro número

3⋅x +y

La mitad de un número

x 2

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Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican. Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión 2 algebraica x − 3 ⋅ x cuando x = -1 y x = 2.

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Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican. Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica x 2 − 3 ⋅ x cuando x = -1 y x = 2.

Para

x = -1

(-1)2 − 3 ⋅ ( −1) = 1 + 3 = 4

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Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican. Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica x 2 − 3 ⋅ x cuando x = -1 y x = 2.

Para

x = -1

Para

x=2

(-1)2 − 3 ⋅ ( −1) = 1 + 3 = 4 (2)2 − 3 ⋅ (2) = 4 − 6 = −2

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Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras. El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras con sus exponentes son la parte literal. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.    monomio      − 24 x 3 y 2 z → grado = 3 + 2 + 1 = 6   

coeficiente parte literal

   monomio      5 2 .780 h p → grado = 5 + 1 = 6 

coeficiente parte literal

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Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

MONOMIO

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

x2

2

− 6x 2

−6

4x 2y 3z

4

x 2y 3z

6

− 1 y 3z 3

−1 3

y 3z

4

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Monomios Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal. Monomios opuestos. Decimos que dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.

− 14 a 3c b 2

7 a 3b 2 c y

3 x2 y 4 a 2b c 3x y

y 4x y2 y y

- 4 b a 2c 1 xy 3

SEMEJANTES

OPUESTOS

SÍ

NO

NO

NO

SÍ

SÍ

SÍ

NO

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Operaciones con monomios. Suma y resta

La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

7a b3 − 5 b c

En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

11 a 2b 3 − 2 b 3 a 2

1 xy+ xyz 3

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Operaciones con monomios. Suma y resta

La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

11 a 2b 3

− 2b 3a 2

Los monomios son semejantes, entonces:

11a 2b 3 + ( −2b 3 a 2 ) = 11a 2b 3 − 2a 2b 3 = = (11 − 2) a 2b 3 = 9a 2b 3

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Operaciones con monomios. Suma y resta

Los monomios no son semejantes, entonces lo dejamos indicado:

1 xy + xyz 3

En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

7ab 3 − 5bc

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división

Recuerda: x m ⋅ x n = x m+ n x m : x n = x m−n x0 = 1

x1 = x

Para multiplicar dos monomios, por un lado multiplicamos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales. Para dividir dos monomios, por un lado dividimos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales. Es lo mismo: 3 ⋅x = 3 ⋅x = 4 4 3x = (3 )x 4 4

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división Ejemplos: a)

b)

c)

d)

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división Ejemplos: a)

2 2 12 (−6a ) ⋅ ( a 3 ) = (−6 ⋅ ) ⋅ (a ⋅ a 3 ) = − a 3+1 = −4a 4 3 3 3

b)

c)

d)

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división Ejemplos: a)

2 2 12 (−6a ) ⋅ ( a 3 ) = (−6 ⋅ ) ⋅ (a ⋅ a 3 ) = − a 3+1 = −4a 4 3 3 3

b)

(5 x 3 ) ⋅ (−2 x) = (5 ⋅ −2) ⋅ ( x 3 ⋅ x) = −10 x 3+1 = −10 x 4

c)

d)

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división Ejemplos: a)

2 2 12 (−6a ) ⋅ ( a 3 ) = (−6 ⋅ ) ⋅ (a ⋅ a 3 ) = − a 3+1 = −4a 4 3 3 3

b)

(5 x 3 ) ⋅ (−2 x) = (5 ⋅ −2) ⋅ ( x 3 ⋅ x) = −10 x 3+1 = −10 x 4

c)

7 a 3b 7 (7a b) : (2a ) = (7 : 2) ⋅ (a b : a ) = ⋅ 2 = ab 2 a 2 3

2

3

2

d)

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Operaciones con monomios. Multiplicación y división Ejemplos:

2 3

2 3

a) (−6a ) ⋅ ( a 3 ) = ( −6 ⋅ ) ⋅ ( a ⋅ a 3 ) = −

12 3+1 a = −4a 4 3

b)

(5 x 3 ) ⋅ (−2 x) = (5 ⋅ −2) ⋅ ( x 3 ⋅ x) = −10 x 3+1 = −10 x 4

c)

7 a 3b 7 (7a b) : (2a ) = (7 : 2) ⋅ (a b : a ) = ⋅ 2 = ab 2 a 2

d)

x2 y y 8y (8 x y ) : ( x ) = (8 : 1) ⋅ ( x y : x ) = 8 ⋅ 3 = 8 = x x x

3

2

2

3

3

2

2

3

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Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente. El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.

       polinomio        2 2 2 4 x y − 15 xy +  x 2 − 5 xy + 3y − 5                   tér min os

término independiente

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Polinomios Un valor numérico de un polinomio, P(x), para un valor de x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable por el valor a en el polinomio y operando. Ejemplo: calcular el valor numérico del polinomio para x = 2 y x = -1.

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3

P (2) = 4(2)3 − 2(2) 2 + 2 − 3 = 32 - 8 + 2 - 3 = 23 P (−1) = 4(−1) 3 − 2(−1) 2 + (−1) − 3 = − 4 - 2 - 1- 3 = -10

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo. Sumar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3

Q ( x ) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo. Sumar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3

Q ( x ) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

- 2x 4 + x 3 + 5x 2 + 3x + 2

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo. Sumar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3

Q ( x ) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

- 2x 4 + x 3 + 5x 2 + 3x + 2 - 2x 4 + 5x 3 + 3x 2 + 4 x − 1

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo. Sumar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3

Q ( x ) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

- 2x 4 + x 3 + 5x 2 + 3x + 2 - 2x 4 + 5x 3 + 3x 2 + 4 x − 1

P( x) + Q( x) = −2 x 4 + 5 x 3 + 3x 2 + 4 x − 1 SIGUIENTE

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Restar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3 Q( x) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Restar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3 Q( x) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

Calculamos el opuesto de Q(x)

− Q ( x ) = +2 x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3 x − 2

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Restar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3 Q( x) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

Calculamos el opuesto de Q(x)

− Q ( x ) = +2 x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3 x − 2 Sumamos P(x) y - Q(x)

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

+ 2x 4 − x 3 − 5x 2 − 3x − 2

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Restar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3 Q( x) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

Calculamos el opuesto de Q(x)

− Q ( x ) = +2 x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3 x − 2 Sumamos P(x) y - Q(x)

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

+ 2x 4 − x 3 − 5x 2 − 3x − 2 + 2x 4 + 3x 3 − 7x 2 − 2 x − 5

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Operaciones con polinomios. Suma y resta Restar:

P( x ) = 4x 3 − 2x 2 + x − 3 Q( x) = −2 x 4 + x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2

Calculamos el opuesto de Q(x)

− Q ( x ) = +2 x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3 x − 2 Sumamos P(x) y - Q(x)

+

4x 3 - 2x 2 + x

-3

+ 2x 4 − x 3 − 5x 2 − 3x − 2 + 2x 4 + 3x 3 − 7x 2 − 2 x − 5

P( x) − Q( x) = P( x) + (−Q( x)) = 2 x 4 + 3x 3 − 7 x 2 − 2 x − 5

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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

P ( x ) = − x 4 + 3 x 3 − 2x 2 + 3 Q( x ) = 3 x 2 − 5 R( x ) = 5 x 4 − 2x 3 + x 2

a)

2 x 2 ⋅ P ( x) − x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 3 2x2 − 2 x6 + 6 x5 − 4 x 4 + 6 x 2

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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

P ( x ) = − x 4 + 3 x 3 − 2x 2 + 3 Q( x ) = 3 x 2 − 5 R( x ) = 5 x 4 − 2x 3 + x 2

b)

P ( x) ⋅ Q ( x)

− x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 3 3x2 − 5 + 5 x 4 − 15 x 3 + 10 x 2 − 15 - 3x 6 + 9x 5 - 6x 4

+ 9x 2

- 3x 6 + 9x 5 − x 4 − 15 x 3 + 19x 2 − 15 SIGUIENTE

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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

P ( x ) = − x 4 + 3 x 3 − 2x 2 + 3 Q( x ) = 3 x 2 − 5 R( x ) = 5 x 4 − 2x 3 + x 2

c)

R( x) 2x

(5 x 4 − 2 x 3 + x 2 ) : (2 x) = (5 x 4 : 2 x) + ((−2 x 3 ) : 2 x) + ( x 2 : 2 x) 5 1 = x 3 + (−1x 2 ) + x 2 2 5 1 = x3 − x 2 + x 2 2

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Factor común Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto. Factor común

a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c) Propiedad distributiva

Factor común

a ⋅ b − a ⋅ c = a ⋅ (b − c) Propiedad distributiva

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Factor común Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

14 x 3 + 8 x 2 + 4 x = 7 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x + 23 ⋅ x ⋅ x + 2 2 ⋅ x factor común 2x 14 x 3 + 8 x 2 + 4 x = 2 x(7 x 2 + 4 x + 2)

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Factor común Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

12 y 2 x 2 − 18 xy 2 + 24 xy   factor común 6xy m.c.d .(12,18,24) = 6  12 y 2 x 2 − 18 xy 2 + 24 xy = 6 xy(2 yx − 3 y + 4)

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Igualdades notables El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 SIGUIENTE

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Igualdades notables

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

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Igualdades notables

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( x + 2) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

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Igualdades notables

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( x + 2) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (3x − 1) 2 = (3 x) 2 − 2 ⋅ 3 x ⋅1 + 12 = 9 x 2 − 6 x + 1 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2

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Igualdades notables

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( x + 2) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (3x − 1) 2 = (3 x) 2 − 2 ⋅ 3 x ⋅1 + 12 = 9 x 2 − 6 x + 1 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 ( x + 3)( x − 3) = x 2 − 32 = x 2 − 9

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Actividad: Descubriendo fórmulas matemáticas

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2aa.htm En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad se refiere al lenguaje algebraico.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

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