Unidad3

Integrantes:  Douglas A. Olivares Mena  David a. Tellez Sanchez  Norwick Vanegas Salazar  Leandro Vanegas Alfaro

LÓGICA  Es la ciencia que expone las leyes,

modos y formas del conocimiento científico. Se trata de una ciencia formal que no tiene contenido, sino que se dedica al estudio de las formas válidas de inferencia. Es decir, se trata del estudio de los métodos y los principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

LÓGICA PROPOSICIONAL  Trata los formas argumentales cuya validez

depende del significado de las expresiones y, o, si… entonces, etc. La Lógica Proposicional es el sistema lógico más simple y básico. Trata la clase de argumentos cuya validez depende exclusivamente de cómo están “conectados” los enunciados: de aquellos argumentos que son deductivos en virtud de su estructura proposicional. Es decir, dentro de los argumentos deductivos, la Lógica Proposicional tratará de un subconjunto particular de estos argumentos, de los argumentos que resultan deductivos debido a cómo están conectados los enunciados entre sí. Este es el objeto de la

Sintaxis Características generales de la Lógica proposicional:  Una lógica de oraciones y/o propiedades  No distingue entre elementos no explícitos en el lenguaje  Semántica: Verdadero/falso

El lenguaje proposicional consta de:  Un conjunto numerable, Var, de

variables proposicionales: p0, p1, . . .  Las conectivas lógicas: ¬ (negación) y v (disyunción).  Símbolos auxiliares: “(” y “)”.

Semántica  Para la negación es la función

La función de verdad de la disyunción es la función

 Las variables proposicionales se

interpretan mediante una valoración de verdad, es decir, una aplicación.  Podemos extender cada valoración, v,

al conjunto de todas las formulas de manera que para cada formula F se verifique:

 Fijada v estas ecuaciones permiten

asignar de manera única un valor v(F) a cada formula. Se dice que v(F) es el valor de verdad de F respecto de v.  Para las demás conectivas podemos usar las funciones de verdad:

Ejemplo  Si hace frío, entonces Juan no sale y

estudia. Es fácil ver como el lenguaje natural es ambiguo. Podemos interpretar de dos maneras el enunciado molecular: 1a) Cuando hace frío Juan no sale y además Juan estudia, haga frío o calor. 1b) Juan solo estudia cuando hace frío y no sale.

Forma Normal Clausal  Un literal es una variable proposicional o      

una variable proposicional negada (o sea, con el símbolo ¬ delante). En el primer caso diremos que es un literal positivo, y, en el segundo, que es un literal negativo. Una cláusula es una sentencia de la forma: L1 V L2 V Ln donde los Li son literales y están unidos por disyunciones. Una sentencia está en forma clausulada si tiene la forma: (L11 V L12 V...) Λ (L21 V L22 V..) Λ ...

Conversión a Forma Clausal  Eliminar condicionales y

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bicondicionales: A ⇒ B ≡ ¬A V B A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) Λ (B ⇒ A) ≡ (¬A V B) Λ (¬B V A) Introducir negaciones mediante las equivalencias (1) (doble negación), (2) y (3) (de Morgan): ¬(¬A) ≡ A ¬(A V B) ≡ ¬A Λ ¬B ¬(A Λ B) ≡ ¬A V ¬B

LÓGICA DE PRIMER ORDEN (LPO)  Lógica de primer orden o cálculo de

predicados de primer orden es cualquier sistema de la lógica matemática que extiende la lógica proposicional empleando variables, predicados y cuantificadores de variables. A su vez es extendida por la lógica de segundo orden.  La lógica proposicional sólo puede representar hechos acerca del mundo.  La lógica de primer orden describe un mundo que consta de objetos y propiedades (o predicados) de esos objetos.  Una función es una relación en la cual sólo hay un valor para un input dado.

Ejemplos  Objetos: gente, casas, números,

planetas,...  Relaciones: progenitor, hermano-de, mayor-que,...  Propiedades: rojo, pequeño, primo,...  Funciones: padre-de, uno-más-que

El cálculo de predicados consiste de:  Reglas de formación (una definición

recursiva del conjunto de las fórmulas).  Un conjunto finito de reglas de inferencia.  Un conjunto (posiblemente infinito numerable) de axiomas o esquemas axiomáticos.

 La lógica de primer orden es aquella en

donde solamente se cuantifican las variables individuales. Estas últimas corresponden al sujeto de una oración, desde la perspectiva de la gramática usual.  Por ejemplo: la frase "Los hombres son mortales"  El sujeto "hombres" está cuantificado de manera universal, es decir, "Todos los hombres" y hace la referencia universal de que "Todos los hombres son mortales".

Denotación de términos  Las reglas de formación definen el lenguaje de

la lógica de primer orden como Lenguaje formal de la siguiente manera.  Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. Los símbolos constantes son términos. Los términos también se pueden construir a partir de símbolos de funciones y símbolos de constantes, ej., Padre de(Juan).  La lógica de primer orden tiene sentencias como lógica proposicional y, además, tiene términos, que representan objetos. Para construir términos se usan símbolos constantes, variables y funciones, y cuantificadores y símbolos predicado son usados para construir sentencias.

Syntaxis y semántica 

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La semántica formal de los términos es la siguiente: Una interpretación especifica una relación funcional referida por el símbolo función y objetos referidos por los símbolos constantes. En consecuencia, un término función se refiere a el objeto n+1 en una tupla cuyos primeros n elementos son aquellos referidos por los argumentos de la función. Símbolos constantes: A, B, C, 1, Juan,... Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. Símbolos predicado: Vecino, Hermano,... Un símbolo predicado se refiere a una relación particular en el modelo. Por ejemplo, Hermano; dado que Hermano es un símbolo de relación binaria, la relación a que se refiere debe ser también binaria, es decir, debe darse o fallar entre pares de objetos. Símbolos de función: Coseno, Padre de, Pierna Izquierda de Una relación funcional relaciona un objeto a exactamente otro único objeto.

Cuantificadores  Nos permiten expresar propiedades de     

colecciones de objetos. Hay dos cuantificadores en lógica de primer orden: universal y existencial. Cuantificación existencial: Realiza afirmaciones acerca de al menos algún objeto. Cuantificadores anidados: Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Igualdad  Con frecuencia el símbolo de igualdad se

incluye como un símbolo especial. Esto se debe a que la noción de igualdad es muy importante en nuestro modo de pensar. Con este símbolo, podemos escribir cosas como Padre(Juan)=José, con el objeto de afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José. Igualdad puede ser pensada como un símbolo de relación binaria ordinaria, así la interpretación de = es un conjunto de pares.  La igualdad puede ser usada para decir que hay dos o más individuos con una

FORMA NORMAL CONJUNTIVA  Se supone que todas las

disyunciones (V) de la BC se agrupan en una conjunción (Λ) implícita grande, por lo que a esta forma se le denomina forma normal conjuntiva (CNF), aún cuando cada oración en particular es una disyunción (V)

 Una fórmula P está en forma normal

conjuntiva si tiene la forma siendo y cada es una disyunción de literales. Por otro lado la fórmula P se encuentra en forma normal disyuntiva si tiene la forma y cada es una conjunción de literales.