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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1: VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES TAREA 1

JUAN PABLO SANCHEZ SOLEDAD CÓDIGO: 13198690 NO DE GRUPO: 208046_85

TUTOR JOHN ALBEIRO MARTINEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD). ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERA TECNOLOGIA EN AUTOMATIZACION ELECTRONICA BUCARAMANGA 2019

INTRODUCCION

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

    

Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos. Encontrar el ángulo entre los vectores. Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b) Dados los vectores 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 

−3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 calcular:

 6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗)  Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores.  Calcular el producto cruz y el producto punto. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar

Desarrollo del los puntos: Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos. 𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑢 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶

señalamos los vectores y les damos una letra para identificarlos

Escriba aquí la ecuación.y procedemos hallar la magnitud utilizando el teorema de Pitágoras.

Magnitud: ⃗⃗⃗) = √(∆𝒙)𝟐 + (∆𝒚)𝟐 𝒅(𝝋

⃗⃗⃗ con esta formula hallaremos la magnitud del vector 𝝋

⃗⃗⃗) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 𝒅(𝝋

reemplazamos valores y realizamos la

operación elevando al cuadrado y sumamos. ⃗⃗⃗) = √(−𝟒)𝟐 + (𝟏)𝟐 𝒅(𝝋

realizamos la operación dentro de la raiz

⃗⃗⃗) = √𝟏𝟔 + 𝟏 𝒅(𝝋 ⃗⃗⃗) = √𝟏𝟕 𝒅(𝝋

extraemos la raiz

⃗⃗⃗) = 𝟒, 𝟏𝟐 𝒅(𝝋

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) = √(∆𝒙)𝟐 + (∆𝒚)𝟐 𝒅(𝝎

⃗⃗⃗⃗ con esta formula hallaremos la magnitud del vector𝝎

⃗⃗⃗⃗) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 𝒅(𝝎

reemplazamos valores y realizamos la

operación elevando al cuadrado y sumamos

⃗⃗⃗⃗) = √(𝟑)𝟐 + ( 𝟓)𝟐 𝒅(𝝎

realizamos la operación dentro de la raiz

⃗⃗⃗⃗) = √𝟗 + 𝟐𝟓 𝒅(𝝎 ⃗⃗⃗⃗) = √𝟑𝟒 𝒅(𝝎

extraemos la raiz

⃗⃗⃗⃗) = 𝟓, 𝟖𝟑 𝒅(𝝎

Dirección de los vectores 𝑏

≮ (𝜑 ⃗⃗) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 𝑎 1

≮ (𝜑 ⃗⃗) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) −4

haciendo uso de la fórmula de la tan

reemplazamos los valores

≮ (𝜑 ⃗⃗) = 𝑡𝑎𝑛−1 (−0,25 ) = −14,04° hallamos el valor usando la calculadora

≮ (𝜑 ⃗⃗) = −14,04° + 180° = 165.96° como se halla en el segundo cuadrante ≮ (𝜑 ⃗⃗) = 165.96°

b

≮ (ω ⃗⃗⃗) = tan−1 (a) 5

≮ (ω ⃗⃗⃗) = tan−1 (3)

haciendo uso de la fórmula de la tan reemplazamos los valores

≮ (ω ⃗⃗⃗) = tan−1 (1, 66) = 59,04° ≮ (ω ⃗⃗⃗) = 59,04°

Encontrar el ángulo entre los vectores.

Usaremos la fórmula del cos

𝜑∗ω

𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (|𝜑|∗|ω|)

reemplazamos los valores para hallar el ángulo

entre los dos vectores

β = cos−1 ( β = cos−1 (

3∗(−4)+(5∗1)

√17∗√34

−12 + 5 √578

)

) = cos −1 (

realizamos la opreación

−7

√578

) = cos −1 (−0,29116161)

≮ 𝛽 = 106,93°

Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. 𝜔 + 𝜑 = (−4,1) + (3,5) valores 𝜔 + 𝜑 = (−4 + 3), (1 + 5)

realizamos la suma de vectores reemplazando los

𝜔 + 𝜑 = (−1,6)

respuesta del vector suma

⃗⃗ Le damos al vector suma un nombre ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔+𝜑 =∀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝜔 + 𝜑) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 usando el teorema de pitágoras ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝜔 + 𝜑) = √(−1)2 + (6)2

reemplazamos los valores

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝜔 + 𝜑) = √1 + 36 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝜔 + 𝜑) = √37

sacamos la raiz

⃗⃗) = 6,083 𝑑(∀ 𝑏

⃗⃗= 𝑡𝑎𝑛−𝟏 ( ) ≮∀ 𝑎

usamos la función tan

6

⃗⃗= 𝑡𝑎𝑛−𝟏 ( ) =𝑡𝑎𝑛−𝟏 (−𝟔) ≮∀ −1 ≮ ⃗∀⃗= −80,54° ⃗⃗= −80,54° + 180° = 99.46° ≮∀

reemplazamos los valores

Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial.

𝐴=𝜑 ⃗⃗ ∗ 𝜔 ⃗⃗ ∗ 𝑠𝑒𝑛∀

usamos la ecuación para hallar el área del paralelogramo

y reemplazamos los valores 𝐴 = √17 ∗ √34 ∗ 𝑠𝑒𝑛(106,93)= √578 ∗ (0,9566612416) = 22.999𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2 𝑨 = 𝟐𝟑𝒖𝟐

Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en GeoGebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

1. Dados los vectores 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 calcular:

−3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = −3(3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘) + 2(2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 ) multiplicamos los vectores por cada uno de los escalares

−3 𝑣 = (−3 ∗ 3), (−3 ∗ (−4)), (−3 ∗ 2) = (−9𝑖, 12𝑗, −6𝑘) realizamos las operaciones 2𝑤 = (2 ∗ 2), (2 ∗ (5)), (2 ∗ 4) = (4𝑖, 10𝑗, 8𝑘) realizamos las operaciones −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (−9𝑖, 12𝑗, −6𝑘) + (4𝑖, 10𝑗, 8𝑘) ahora sumamos los vectores −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (−9 + 4), (12 + 10), (−6 + 8) −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (−5𝑖, 22𝑗, 2𝑘) por último nos da el vector suma

6(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗)

multiplicación de dos vectores por un escalar reemplazamos los

valores 6(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6((3, −4,2) ∗ (2,5,4)) realizamos la multiplicación de los dos vectores 6(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6((3 ∗ 2), (−4 ∗ 5), (2 ∗ 4)) 6(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6(6 − 20 + 8)

realizamos la operación y el resultado por el

escalar 6(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6 ∗(-6) ⃗⃗ ∗ 𝒘 𝟔(𝒗 ⃗⃗⃗⃗) = −𝟑𝟔 Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. Hallamos las magnitudes de los vectores para hallar los cosenos |v ⃗⃗| = √x 2 + y 2 + z 2 |v ⃗⃗| = √32 + (−42 ) + 22

usando el teorema de pitágora

|v ⃗⃗| = √9 + 16 + 4 |v ⃗⃗| = √29 ⃗⃗ = 3i − 4j + 2k v

usamos para cada punto la función del coseno ya tenemos la

magnitud del vector x

3

cosα = |v⃗⃗| = y

−4

cosβ = |v⃗⃗| =

= −0,74 para el eje y tenemos

√29

z

cosδ = |v⃗⃗| =

= 0,56 para el eje x tenemos

√29

2 √29

= 0,37

|𝐰 ⃗⃗⃗| = √𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝐳 𝟐

para el eje z tenemos

usamos el teorema de pitágoras

|𝐰 ⃗⃗⃗| = √𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟒𝟐 |𝐰 ⃗⃗⃗| = √𝟒 + 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 |𝐰 ⃗⃗⃗| = √𝟒𝟓 𝐰 ⃗⃗⃗ = 𝟐𝐢 + 𝟓𝐣 + 𝟒𝐤

usamos para cada punto la función del coseno ya tenemos la

magnitud del vector x

cosα = |w = ⃗⃗⃗⃗| y

cosβ = |w| = z

cos¥ = |w = ⃗⃗⃗⃗|

2 √45 5 √45

= 0,3

para el eje x tenemos

= 0,75

para el eje y tenemos

= 0,60

para el eje z tenemos

4 √45

Calcular el producto cruz y el producto punto. Producto en punto

(𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = (3𝑖, −4𝑗, 2𝑘) ∗ (2𝑖, 5𝑗, 4𝑘)

con los vectores y sus valores procedemos

a realizar el producto punto (𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = (3 ∗ 2), (−4 ∗ 5), (2 ∗ 4)

multiplicando cada valor de los ejes por los

del otro vector, y (𝑣⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗⃗) = (6 − 20 + 8) se suman los resultados para obtener el valor del producto punto (𝒗 ⃗⃗ ∗ 𝒘 ⃗⃗⃗⃗) = −𝟔

Producto en cruz 𝑖 𝑗 𝑘 |𝑣⃗| ∗ |𝑤 ⃗⃗⃗| = |3 −4 2| 2 5 4

realizamos la operación en la forma matricial, eliminando

la primera columna para hallar el valor de esta y así sucesivamente la j y la k −4 2 3 3 2 |𝑣⃗| ∗ |𝑤 ⃗⃗⃗| = | |𝑖 − | |𝑗 + | 5 4 2 2 4

−4 |𝑘 5

multiplicamos

en

diagonal

y

restamos la otra diagonal para i luego restamos la siguiente operación y sumamos la siguiente, Como veremos a continuación. |𝑣⃗| ∗ |𝑤 ⃗⃗⃗| = [(−4 ∗ 4) − (5 ∗ 2)]𝑖 − [(3 ∗ 4) − (2 ∗ 2)]𝑗 + [(3 ∗ 5) − (2 ∗ (−4))]𝑘 |𝑣⃗| ∗ |𝑤 ⃗⃗⃗| = [−16 − 10]𝑖 − [12 − 4]𝑗 + [15 − (−8)]𝑘

con

los

resultados

operación terminamos de hallar el vector resultante del punto en cruz. |𝑣⃗| ∗ |𝑤 ⃗⃗⃗| = −26𝑖 − 8𝑗 + 23𝑘 |𝒗 ⃗⃗| ∗ |𝒘 ⃗⃗⃗⃗| = (−𝟐𝟔, −𝟖, 𝟐𝟑)

de

la

Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en GeoGebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V 2 = (4,8) m/s.    

¿Cuánto vale el cambio de velocidad . ? ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo? Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. Dados: = (5, 12) y

= (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida

en radianes del ángulo

y

sea

.

DESARROLLO DEL EJERCICIO

La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1=(5,-3) m/s, al instante t1=25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2=(-4,8) m/s. ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 ?. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 Delta de la velocidad o variación es igual a la velovidad final menos la inical. Y reemplazamos los valores. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4,8) − (5, −3) ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = (−4 − 5), (8 − (−3)) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = (−9,11)

tenemos el vector delta de V

¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

𝑉=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉

esta dada por la expresión por el vector de la variación de la velocidad ∆𝑡 dividida por la variación del tiempo

𝑉=

(−9,11) 4

−9 11

=(4 ,

4

)

reemplazamos los valores

Y por común denominador factorizamos.

𝑽 = (−𝟐. 𝟐𝟓, 𝟐. 𝟕𝟓)m/s

y nos queda el vector solución.

Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.

|𝑉| = √𝑥 2 + 𝑦 2 usando el teorema de pitágoras y con los valores ya obtenidos, procedemos hallar el módulo o magnitud del vector V

|𝑉| = √ |𝑉| = √

−92 4

+

112 4

reemplazamos los valores en la ecuación y resolvemos

81 121 + 16 16

|𝑉| = √

202

|𝑉| = 3,55

16

extraemos la raiz y tenemos el valor que necesitamos.

𝑏

∅ = 𝒕𝒂𝒏−1 (𝑎)

∅ = 𝑡𝑎𝑛

−1

usamos la tangente para hallar la dirección del vector

11 4 −9 4

( )

∅ = 𝑡𝑎𝑛−1 (

reemplzamos losvalores en la ecuación

44 ) −36

∅ = −50,71°

Dados: 𝑎⃗ = (5, 12) y ⃗⃗ 𝑏 = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la ⃗⃗ y 𝑎⃗ sea 𝜋. medida en radianes del ángulo 𝑏 3

𝑎∗𝑏

𝑐𝑜𝑠𝛽 = |𝑎|∗|𝑏|

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

𝜋 3

=

haciendo uso del teorema del coseno (5,12)∗(1,𝑘)

(√52 +122 )∗(√12 +𝑘 2 )

𝜋 (5 ∗ 1) + (12 ∗ 𝑘) = 3 √169 ∗ √1 + 𝑘 2

reemplazamos los valores

𝜋

𝑐𝑜𝑠 =

5+12𝑘

3 13∗√1+𝑘 2 k para hallar su valor. 𝜋 1

𝑐𝑜𝑠 = 𝑐𝑜𝑠60° = 3

5+12𝑘 𝜋 𝑐𝑜𝑠 3

2

ya con estos datos empezamos a despejar la incognita

con este dato lo reemplazamos

= 13 ∗ √1 + 𝑘 2 =

5+12𝑘 1 2

= 13 ∗ √1 + 𝑘 2

5 + 12𝑘 1 = 13 ∗ √1 + 𝑘 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2(5 + 12𝑘) = 13 ∗ √1 + 𝑘 2 1 2 10 + 24𝑘 = 13 ∗ √1 + 𝑘 2 para eliminar la raíz elevamos a ambos lados de la igualdad por 2 y tenemos. (10 + 24𝑘)2 = (13 ∗ √1 + 𝑘 2 )2 usando la regla del binomio cuadrado perfecto realizamos este binomio y eliminamos la raíz. 100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 = 169 ∗ (1 + 𝑘 2 ) multiplicación

usando la ley distributiva realizamos la

100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 = 169 + 169𝑘 2 lado y lo igualamos a cero 0

colocamos todos los factores a un solo

407𝑘 2 + 480𝑘 − 69 = 0

𝑥= 𝑥=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

ya teniendo un trinomio aplicamos la fórmula cuadrática

fórmula cuadrática

−480±√4802 −4(∗407∗(−69)) 2∗407

reemplazamos los valores para hallar el valor

de k

𝑥=

−480±√230400−(−112332)

=

−480±√230400+112332 la regla de los 814

814 signos dice que -*-=+ −480+√342732 −480+585,433173 𝑥1 = = 814 814 resultado con la primera raíz.

=

105,433 814

= 0,13

para el primer

𝑥1 = 0,13 −480−√342732 𝑥2 = = −480−585,433173 = −1065,433173 = −1,31 para el 814 814 814 segundo resultado con la segunda raíz.

𝑥2 = −1,31

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices: 1 −2 𝐴=[ 1 5 0 3𝑥 2 [ 3 𝑦2 1 0

0 5 0 2

2 3 6 3 3 8] −3 0 −2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

9 −5 6 3 6 𝐵 = [1 0 −1 3 ] 5 7 −5

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] 𝐷= −1 0 −9 8

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

𝐴∙𝐵∙𝐶 4𝐵 ∙ 2𝐴 3𝐶 ∙ (−7𝐵) 𝐷2 𝐷∙𝐶 𝐶𝑇 ∙ 𝐷 𝐷𝑒𝑡(𝐵) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) (𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇

Compruebe sus respuestas en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Sean las siguientes matrices: 1 0 2 3 9 −5 6 −2 5 6 3 3 6 𝐴 = [ 1 0 3 8] 𝐵 = [1 0 −1 3 ] 5 2 −3 0 5 7 −5 −2 0 3𝑥 2 3 ] [ 3 𝑦2 (𝑥 + 𝑦) 1 0

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] 𝐷= −1 0 −9 8

𝐴∗𝐵∗𝐶 𝐴𝐵11 = (1 0 2 3) ∗ (9 1 0 5) = 9 + 0 + 0 + 15 = 24 primera fila por la primera columna

𝐴𝐵12 = (1 0 2 3) ∗ (−5 3 − 1 7) = −5 + 0 − 2 + 21 = 14 primera fila por la segunda columna 𝐴𝐵13 = (1 0 2 3) ∗ (6 6 3 − 5) = 6 + 0 + 6 − 15 = −3 primera fila por la tercera columna 𝐴𝐵21 = (−2 5 6 3) ∗ (9 1 0 5) = −18 + 5 + 0 + 15 = 2 segunda fila por la primera columna 𝐴𝐵22 = (−2 5 6 3) ∗ (−5 3 − 1 7) = 10 + 15 − 6 + 21 = 40 segunda fila por la segunda columna 𝐴𝐵23 = (−2 5 6 3) ∗ (6 6 3 − 5) = −12 + 30 + 18 − 15 = 21 segunda fila por la tercera columna 𝐴𝐵31 = (1 0 3 8) ∗ (9 1 0 5) = 9 + 0 + 0 + 40 = 49 tercera fila por la primera columna 𝐴𝐵32 = (1 0 3 8) ∗ (−5 3 − 1 7) = −5 + 0 − 3 + 56 = 48 tercera fila por la segunda columna 𝐴𝐵33 = (1 0 3 8) ∗ (6 6 3 − 5) = 6 + 0 + 9 − 40 = −25 tercera fila por la tercera columna 𝐴𝐵41 = (5 2 − 3 0) ∗ (9 1 0 5) = 45 + 2 + 0 + 0 = 47 cuarfta fila por la primera columna 𝐴𝐵42 = (5 2 − 3 0) ∗ (−5 3 − 1 7) = −25 + 6 + 3 + 0 = −16 cuarta fila por la segunda columna 𝐴𝐵43 = (5 2 − 3 0) ∗ (6 6 3 − 5) = 30 + 12 − 9 + 0 = 33 cuarta fila por la tercera columna 24 14 −3 2 40 21 𝐴𝐵 = ( ) 49 48 −25 47 −16 33 Ahora hacemos el mismo procedimiento para AB*C cada fila por columna

𝐴𝐵𝐶11 = (24 14 − 3) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 56 + 3 = 59 𝐴𝐵𝐶12 = (24 14 − 3) ∗ (−2 3 0) = −48 + 42 + 0 = −6

𝐴𝐵𝐶13 = (24 14 − 3) ∗ (3 5 − 9) = 72 + 70 + 27 = 169 𝐴𝐵𝐶14 = (24 14 − 3) ∗ (5 4 8) = 120 + 56 − 24 = 152 𝐴𝐵𝐶21 = (2 40 21) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 160 − 21 = 139 𝐴𝐵𝐶22 = (2 40 21) ∗ (−2 3 0) = −4 + 120 + 0 = 116 𝐴𝐵𝐶23 = (2 40 21) ∗ (3 5 − 9) = 6 + 200 − 189 = 17 𝐴𝐵𝐶24 = (2 40 21) ∗ (5 4 8) = 10 + 160 + 168 = 338 𝐴𝐵𝐶31 = (49 48 − 25) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 192 + 25 = 217 𝐴𝐵𝐶32 = (49 48 − 25) ∗ (−2 3 0) = −98 + 144 + 0 = 46 𝐴𝐵𝐶33 = (49 48 − 25) ∗ (3 5 − 9) = 147 + 240 + 225 = 612 𝐴𝐵𝐶34 = (49 48 − 25) ∗ (5 4 8) = 245 + 192 − 200 = 237 𝐴𝐵𝐶41 = (47 − 16 33) ∗ (0 4 − 1) = 0 − 64 − 33 = −97 𝐴𝐵𝐶42 = (47 − 16 33) ∗ (−2 3 0) = −94 − 48 + 0 = −142 𝐴𝐵𝐶43 = (47 − 16 33) ∗ (3 5 − 9) = 141 − 80 − 297 = −236 𝐴𝐵𝐶44 = (47 − 16 33) ∗ (5 4 8) = 235 − 64 + 264 = 435 𝟓𝟗 −𝟔 𝟏𝟔𝟗 𝟏𝟑𝟗 𝟏𝟏𝟔 𝟏𝟕 𝑨𝑩𝑪 = ( 𝟐𝟏𝟕 𝟒𝟔 𝟔𝟏𝟐 −𝟗𝟕 −𝟏𝟒𝟐 −𝟐𝟑𝟔

Representación en geogebra

𝟏𝟓𝟐 𝟑𝟑𝟖 ) 𝟐𝟑𝟕 𝟒𝟑𝟓

a) 4𝐵 ∗ 2𝐴

2𝐴11 = (2 ∗ 1) = 2 2𝐴12 = (2 ∗ 0) = 0 2𝐴13 = (2 ∗ 2) = 4

2𝐴14 = (2 ∗ 3) = 6 2𝐴21 = (2 ∗ (−2)) = −4 2𝐴22 = (2 ∗ 5) = 10 2𝐴23 = (2 ∗ 6) = 12 2𝐴24 = (2 ∗ 3) = 6 2𝐴31 = (2 ∗ 1) = 2 2𝐴32 = (2 ∗ 0) = 0 2𝐴33 = (2 ∗ 3) = 6 2𝐴34 = (2 ∗ 8) = 16 2𝐴41 = (2 ∗ 5) = 10 2𝐴42 = (2 ∗ 2) = 4 2𝐴43 = (2 ∗ (−3)) = −6 2𝐴44 = (2 ∗ 0) = 0 2 0 2𝐴 = (−4 10 2 0 10 4

4 6 12 6 ) 6 16 −6 0

4𝐵11 = (4 ∗ 9) = 36 4𝐵12 = (4 ∗ (−5)) = −20 4𝐵13 = (4 ∗ 6) = 24 4𝐵21 = (4 ∗ 1) = 4 4𝐵22 = (4 ∗ 3) = 12 4𝐵23 = (4 ∗ 6) = 24 4𝐵31 = (4 ∗ 0) = 0 4𝐵32 = (4 ∗ (−1)) = −4 4𝐵33 = (4 ∗ 3) = 12 4𝐵41 = (4 ∗ 5) = 20 4𝐵42 = (4 ∗ 7) = 28 4𝐵43 = (4 ∗ (−5)) = −20

36 −20 24 4 12 24 4𝐵 = ( ) 0 −4 12 20 28 −20

4𝐵 ∗ 2𝐴 =No es posible realizar la operación. Representación en geogebra, se ve que no es posible

b) 3𝐶 ∗ (−7𝐵)

3𝐶11 = (3 ∗ 0) = 0 3𝐶12 = (3 ∗ (−2)) = −6 3𝐶13 = (3 ∗ 3) = 9 3𝐶14 = (3 ∗ 5) = 15 3𝐶21 = (3 ∗ 4) = 12 3𝐶22 = (3 ∗ 3) = 9 3𝐶23 = (3 ∗ 5) = 15 3𝐶24 = (3 ∗ 4) = 12 3𝐶31 = (3 ∗ (−1)) = −3 3𝐶32 = (3 ∗ 0) = 0 3𝐶33 = (3 ∗ (−9)) = −27 3𝐶34 = (3 ∗ 8) = 24 0 −6 9 3𝐶 = ( 12 9 15 −3 0 −27

15 12) 24

−7𝐵11 = (−7 ∗ 9) = −63 −7𝐵12 = (−7 ∗ (−5)) = 35 −7𝐵13 = (−7 ∗ 6) = −42 −7𝐵21 = (−7 ∗ 1) = −7 −7𝐵22 = (−7 ∗ 3) = −21 −7𝐵23 = (−7 ∗ 6) = −42 −7𝐵31 = (−7 ∗ 0) = 0 −7𝐵32 = (−7 ∗ (−1)) = 7 −7𝐵33 = (−7 ∗ 3) = −21 −7𝐵41 = (−7 ∗ 5) = −35 −7𝐵42 = (−7 ∗ 7) = −49 −7𝐵43 = (−7 ∗ (−5)) = 35 −63 −7 −7𝐵 = ( 0 −35

35 −42 −21 −42 ) 7 −21 −49 35

3𝐶 ∗ (−7𝐵)

3𝐶(−7𝐵)11 = (0 − 6 9 15) ∗ (−63 − 7 0 − 35) = 0 + 42 + 0 − 525 = −483 3𝐶(−7𝐵)12 = (0 − 6 9 15) ∗ (35 − 21 7 − 49) = 0 + 126 + 63 − 735 = −546 3𝐶(−7𝐵)13 = (0 − 6 9 15) ∗ (−42 − 42 − 21 35) = 0 + 252 − 189 + 525 = 588 3𝐶(−7𝐵)21 = (12 9 15 12) ∗ (−63 − 7 0 − 35) = −756 − 63 + 0 − 420 = −1239 3𝐶(−7𝐵)22 = (12 9 15 12) ∗ (35 − 21 7 − 49) = 420 − 189 + 105 − 588 = −252 3𝐶(−7𝐵)23 = (12 9 15 12) ∗ (−42 − 42 − 21 35) = −504 − 378 − 315 + 420 = −777 3𝐶(−7𝐵)31 = (−3 0 − 27 24) ∗ (−63 − 7 0 − 35) = 189 + 0 + 0 − 840 = −651 3𝐶(−7𝐵)32 = (−3 0 − 27 24) ∗ (35 − 21 7 − 49) = −105 + 0 − 189 − 1176 = −1470 3𝐶(−7𝐵)33 = (−3 0 − 27 24) ∗ (−42 − 42 − 21 35) = 126 + 0 + 567 + 840 = 1533 −𝟒𝟖𝟑 −𝟓𝟒𝟔 𝟓𝟖𝟖 𝟑𝑪(−𝟕𝑩) = (−𝟏𝟐𝟑𝟗 −𝟐𝟓𝟐 −𝟕𝟕𝟕) −𝟔𝟓𝟏 −𝟏𝟒𝟕𝟎 𝟏𝟓𝟑𝟑

𝐷2

0 3𝑥 2 𝐷2 = (3 𝑦 2 1 0

−2 0 3 ) ∗ (3 (𝑥 + 𝑦) 1

3𝑥 2 𝑦2 0

−2 3 ) (𝑥 + 𝑦)

𝐷211 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (0 3 1) = 0 + 9𝑥 2 − 2 = 9𝑥 2 − 2 𝐷212 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 0 + 3𝑥 2 𝑦 2 + 0 = 3𝑥 2 𝑦 2 𝐷213 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = 0 + 9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦) = 9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦) 𝐷2 21 = (3 𝑦 2 3) ∗ (0 3 1) = 0 + 3𝑦 2 + 3 = 3𝑦 2 + 3 𝐷2 22 = (3 𝑦 2 3) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 9𝑥 2 + 2𝑦 2 + 0 = 9𝑥 2 + 2𝑦 2 𝐷2 23 = (3 𝑦 2 3) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = −6 + 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) = 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) − 6 𝐷2 31 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (0 3 1) = 0 + 0 + (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) 𝐷2 32 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 3𝑥 2 + 0 + 0 = 3𝑥 2 𝐷2 33 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = −2 + 0 + (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = −2 + (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐 𝑫𝟐 = (𝟑𝒚𝟐 + 𝟑 (𝒙 + 𝒚)

𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 𝟑𝒙𝟐

𝟗𝒙𝟐 − 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝟑𝒚𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝒚) − 𝟔 ) −𝟐 + (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)

𝐷∗𝐶 𝐷𝐶11 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 12𝑥 2 + 2 = 12𝑥 2 + 2 𝐷𝐶12 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (−2 3 0) = 0 + 9𝑥 2 + 0 = 9𝑥 2 𝐷𝐶13 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (3 5 − 9) = 0 + 15𝑥 2 + 18 = 15𝑥 2 + 18 𝐷𝐶14 = (0 3𝑥 2 − 2) ∗ (5 4 8) = 0 + 12𝑥 2 − 16 = 12𝑥 2 − 16 𝐷𝐶21 = (3 𝑦 2 3) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 4𝑦 2 − 3 = 4𝑦 2 − 3 𝐷𝐶22 = (3 𝑦 2 3) ∗ (−2 3 0) = −6 + 3𝑦 2 + 0 = 3𝑦 2 − 6 𝐷𝐶23 = (3 𝑦 2 3) ∗ (3 5 − 9) = 9 + 5𝑦 2 − 27 = 5𝑦 2 − 18 𝐷𝐶24 = (3 𝑦 2 3) ∗ (5 4 8) = 15 + 4𝑦 2 + 24 = 4𝑦 2 + 39 𝐷𝐶31 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (0 4 − 1) = 0 + 0 − 1(𝑥 + 𝑦) = −1(𝑥 + 𝑦) 𝐷𝐶32 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (−2 3 0) = −2 + 0 + 0 = −2 𝐷𝐶33 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (3 5 − 9) = 3 + 0 − 9(𝑥 + 𝑦) = 3 − 9(𝑥 + 𝑦) 𝐷𝐶34 = (1 0 (𝑥 + 𝑦)) ∗ (5 4 8) = 5 + 0 + 8(𝑥 + 𝑦) = 5 + 8(𝑥 + 𝑦)

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝟗𝒙𝟐 𝟓𝒚𝟐 − 𝟏𝟖 𝟒𝒚𝟐 + 𝟑𝟗 ) 𝑫𝑪 = ( 𝟒𝒚𝟐 − 𝟑 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔 −𝟏(𝒙 + 𝒚) 𝟑 − 𝟗(𝒙 + 𝒚) 𝟓 + 𝟖(𝒙 + 𝒚) −𝟐

a) 𝐶 𝑇 ∗ 𝐷 0 4 −1 −2 3 0 𝐶𝑇 = ( ) 3 5 −9 5 4 8 𝐶 𝑇 𝐷11 = (0 4 − 1) ∗ (0 3 1) = 0 + 12 − 1 = 11 𝐶 𝑇 𝐷12 = (0 4 − 1) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 0 + 4𝑦 2 + 0 = 4𝑦 2 𝐶 𝑇 𝐷13 = (0 4 − 1) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = 0 + 12 − 1(𝑥 + 𝑦) = 12 − 1(𝑥 + 𝑦) 𝐶 𝑇 𝐷21 = (−2 3 0) ∗ (0 3 1) = 0 + 9 + 0 = 9 𝐶 𝑇 𝐷22 = (−2 3 0) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = −6𝑥 2 + 3𝑦 2 + 0 = −6𝑥 2 + 3𝑦 2 𝐶 𝑇 𝐷23 = (−2 3 0) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = 4 + 9 + 0 = 13

𝐶 𝑇 𝐷31 = (3 5 − 9) ∗ (0 3 1) = 0 + 15 − 9 = 6 𝐶 𝑇 𝐷32 = (3 5 − 9) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 9𝑥 2 + 5𝑦 2 + 0 = 9𝑥 2 + 5𝑦 2 𝐶 𝑇 𝐷33 = (3 5 − 9) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = −6 + 15 − 9(𝑥 + 𝑦) = 9 − 9(𝑥 + 𝑦) 𝐶 𝑇 𝐷41 = (5 4 8) ∗ (0 3 1) = 0 + 12 + 8 = 20 𝐶 𝑇 𝐷42 = (5 4 8) ∗ (3𝑥 2 𝑦 2 0) = 15𝑥 2 + 4𝑦 2 + 0 = 15𝑥 2 + 4𝑦 2 𝐶 𝑇 𝐷43 = (5 4 8) ∗ (−2 3 (𝑥 + 𝑦)) = −10 + 12 + 8(𝑥 + 𝑦) = 2 + 8(𝑥 + 𝑦) 11 4𝑦 2 12 − 1(𝑥 + 𝑦) 9 −6𝑥 2 + 3𝑦 2 13 𝐶𝑇𝐷 = 6 9𝑥 2 + 5𝑦 2 9 − 9(𝑥 + 𝑦) 2 2 2 + 8(𝑥 + 𝑦)) (20 15𝑥 + 4𝑦

b) 𝐷𝑒𝑡(𝐵) c) 𝐷𝑒𝑡(𝐷)

0 𝐷𝑒𝑡(𝐷) = |3 1

3𝑥 2 𝑦2 0

−2 0 3𝑥 2 3 | 3 𝑦2 | (𝑥 + 𝑦) 1 0

𝐷𝑒𝑡(𝐷) = ((0 ∗ 𝑦 2 ∗ (𝑥 + 𝑦)) + (3𝑥 2 ∗ 3 ∗ 1) + (−2 ∗ 3 ∗ 0)) − ((1 ∗ 𝑦 2 ∗ −2) + (0 ∗ 3 ∗ 0) + ((𝑥 + 𝑦) ∗ 3 ∗ 3𝑥 2 )) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) = (0 + 9𝑥 2 + 0) − (−2𝑦 2 + 0 + 9𝑥 2 (𝑥 + 𝑦)) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) = (9𝑥 2 ) − (−2𝑦 2 + 9𝑥 2 (𝑥 + 𝑦)) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) = (9𝑥 2 ) + 2𝑦 2 − 9𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 𝐷𝑒𝑡(𝐷) = −9𝑥 3 + 9𝑥 2 − 9𝑥 2 𝑦 + 2𝑦 2

No es posible y en geogebra vota este resultado

(𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇 9 1 𝐵 𝑇 = (−5 3 6 6

0 5 −1 7) 3 5

𝐵 𝑇 − 𝐶11 = (9 − 0) = 9 𝐵 𝑇 − 𝐶12 = (1 − (−2)) = 3 𝐵 𝑇 − 𝐶13 = (0 − 3) = −3 𝐵 𝑇 − 𝐶14 = (5 − 5) = 0 𝐵 𝑇 − 𝐶21 = (−5 − 4) = −9 𝐵 𝑇 − 𝐶22 = (3 − 3) = 0 𝐵 𝑇 − 𝐶23 = (−1 − 5) = −6 𝐵 𝑇 − 𝐶24 = (7 − 4) = 3 𝐵 𝑇 − 𝐶31 = (6 − (−1)) = 7 𝐵 𝑇 − 𝐶32 = (6 − 0) = 6 𝐵 𝑇 − 𝐶33 = (3 − (−9)) = 12 𝐵 𝑇 − 𝐶34 = (5 − 8) = −3 9 3 −3 0 𝐵 𝑇 − 𝐶 = (−9 0 −6 3 ) 7 6 12 −3 𝟗 −𝟗 𝟕 𝟑 𝟎 𝟔 (𝑩𝑻 − 𝑪)𝑻 = ( ) −𝟑 −𝟔 𝟏𝟐 𝟎 𝟑 −𝟑

CONCLUSONES

BIBLIOGRAFIA

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