Unidad No,1.docx

SOLUCIÓN UNIDAD 1 TAREA 1 – OPERACIONES BÁSICAS DE SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS

CURSO: SEÑALES Y SISTEMAS – 203042A_611

REALIZADO POR: WILMER NOSSA PINO

GRUPO DE TRABAJO: 203042_37

TUTOR DE MÓDULO: ING. FREDDY VALDERRAMA.

UNAD – Universidad Nacional Abierta y a Distancia. FEBRERO 2019. VALLE DEL CAUCA.

SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS DEFINICIÓN DE CONCEPTOS

¿Qué es una señal periódica? De un ejemplo de una señal periódica. LAS SEÑALES PERIÓDICAS:

son aquellas a las cuales se les puede encontrar un patrón de repetitividad, es decir, que después de un determinado tiempo, vuelve a repetirse uno a uno los valores anteriores, una y otra vez. A este patrón se lo reconoce como ciclo de la onda y el tiempo que tarda en completarse un ciclo es el período. Lógicamente, el período se mide en unidades de tiempo.

La unidad para representar un período es el segundo, aunque con mucha frecuencia se utilizan submúltiplos del segundo. EJEMPLO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA.

El valor de T es conocido como el periodo de la señal. La relación entre el periodo T y la frecuencia f se da por la ecuación:

Otra forma de escribir la ecuación es:

para cualquier valor de t y cualquier número entero m. El periodo fundamental T0 de x(t) es el valor positivo más pequeño que hace posible la ecuación descrita.

¿Qué es una señal aperiódica? De un ejemplo de una señal aperiódica. UNA SEÑAL APERIÓDICA, O NO PERIÓDICA:

Son las que cambian constantemente sin exhibir ningún patrón o ciclo que se repita en el tiempo. Sin embargo, se ha demostrado mediante una técnica denominada transformada de Fourier, que cualquier señal aperiódica puede ser descompuesta en un número infinito de señales periódicas. Las señales aperiódicas pueden ser:

 Estrictamente limitadas en el tiempo: Son aquellas señales que por sí mismas tienen un nacimiento y un final. Por ejemplo, un impulso eléctrico.  Asintóticamente limitadas en el tiempo: Son aquellas que producto de ser racionales y como resultado de una división, en ciertos puntos, tienden a infinito.

EJEMPLO DE SEÑAL APERIÓDICA, O NO PERIÓDICA

En éste caso, los valores de la señal no se repiten para ningún valor de T.

También para algunos problemas se considera que T → ∞.

Un ejemplo del tipo de señal es: x(t)=t^2x(t)=t2 Código del ejemplo anterior:

¿Cómo se calcula la energía y la potencia de una señal continua y de una señal discreta?

Según lo obtenido en el libro subministrado por el ING Freddy Valderrama tutor de curso de señales y sistemas el bibliográfico de Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Señales. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 8-11). Don de explica el tema sobre Energía y potencia de señales continuas:

Para señales continuas la energía y la potencia se calculan mediante las siguientes formulas: ∞

𝐸 = ∫ 𝑃𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃𝑖 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 −∞

𝑃=

1 ∫ |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇 𝑇

Para señales discretas la energía y potencia se calculan con las siguientes formulas respectivamente:

∞

𝐸 = ∑ |𝑥[𝑛]|2 𝑛=−∞ 𝑀

1 𝑃 = lim ∑ |𝑥[𝑛]|2 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 𝑛=−𝑀

Explique y grafique señales armónicas y senoides en tiempo continuo y discreto. Señales en tiempo continuo y en tiempo discreto. Si la variable independiente puede tomar cualquier valor real decimos que la señal es en tiempo continuo y la denotamos como x(t) (t ∈ R, siendo R el cuerpo de los números reales). Si la variable independiente toma solo valor en los números enteros decimos que la señal es en tiempo discreto (también denominada secuencia) y la denotamos como x[n] (n ∈ Z, siendo Z el anillo de los números enteros).

Ejemplo 1.1

Un ejemplo de señal en tiempo continuo es:

x(t) = t

y un ejemplo de señal en tiempo discreto es:

x[n] = n

que representamos en la Figura 1.1.

Indique cuales son las señales encontradas comúnmente.

Según lo obtenido en el libro subministrado por el ING Freddy Valderrama tutor de curso de señales y sistemas el bibliográfico de Ambardar, A. (2002). Procesamiento de

señales analógicas y digitales: Señales. Cengage Learning, 2nd ed. Se puede concluir que son:

SEÑALES DE PULSO

El pulso rectangular rect(t) y el pulso triangular tri(t) se definen como

Ambos son simétricos pares y poseen área unitaria y altura unitaria. La señal

describe un pulso rectangular de ancho a, centrado en t =

β. La señal

describe un pulso triangular de ancho 2acentrado

en t = β. Estas señales de pulso sirven como ventanas para limitar y dar forma a señales arbitrarias. Así, h(t) = x(t) rect(t) es igual a x(t) truncada abruptamente más allá de ǀt ǀ= 0.5, en tanto que x (t) tri(t) es igual a x(t) linealmente afilada en torno a t = 0 y cero más allá de ǀtǀ = 1.

LA FUNCIÓN SENE La función sene se encontrará en muchos contextos y se define como

Puesto que el término seno oscila mientras el factor 1/t disminuye con el tiempo, senc(í) muestra oscilaciones que decaen. En t = 0, la función sene produce la forma indeterminada 0/0. Empleando la aproximación sen(a) ≈ a (o regla de l’Hôpital), establecemos que senc(í) = 1 en el límite cuando t→ 0:

Qué es una función sinc(x) y su grafíquela

LA FUNCIÓN SINC:

se denota como sinc (x) y posee dos formas de definición. La primera definición a la haremos referencia en la definición normalizada, esta se relaciona con el análisis de sistemas y señales en ingeniería lo cual es importante para el procesamiento de señales digitales (audio, voz, imágenes, video). También se relaciona con la teoría de la información. Esta es una rama matemática que encierra la probabilidad y la estadística y que trata el estudio de la información y su relacionamiento (canales de comunicación, canales de datos, criptografía, compresión de datos.

Generalmente se define de la siguiente forma:

Explique y grafique la función impulso.

En términos aproximados, un impulso es un pico estrecho y alto con área finita. Una definición informal de la función de impulso unitario, denotada por δ(t) y también llamada función delta o función de Dirac, es

Lo anterior indica que ót) es de duración cero, pero posee área finita. Para exponerlo de la mejor manera posible, introducimos un tercer criterio igualmente extravagante que señala que δ(t) no está acotada (infinita o indefinida) en t = 0 (todo lo cual haría que se sobresaltara cualquier matemático).

¿Qué es un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI)? respuesta al impulso (h[n] o h(t)) caracteriza completamente el sistema. Es decir, a partir de la respuesta al impulso podemos conocer la salida ante cualquier entrada mediante la operación de convolución.

Las representaciones de los sistemas LTI continuos y discretos en t´erminos de sus respuestas al impulso unitario est´an dados por

Las propiedades que cumple la convolución son:

a) Conmutativa

b) Asociativa

c) Distributiva

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1 operaciones básicas en señales continuas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal x(t) de la figura 1, obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica):

a. 𝑦(𝑡) = −𝑎𝑥(𝑡 + 𝑎)

(ìtem grupal)

b. 𝑠(𝑡) = 𝑥(−𝑏𝑡 − 5) SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1

𝑦(𝑡) = −7𝑥(𝑡 + 7)

𝑠(𝑡) = 𝑥(−2𝑡 − 5)

X(t) 2 1

-2

-1

0

1

2

Figura 1. Señal a trabajar en el ejercicio 1 Fuente: Popia SCRIPT EN MATLAB

GRAFICAS OBTENIDAS EN MATLAB

DESARROLLO DE CODIGO %CODIGO DISEÑADO POR:% %NOMBRE: WILMER NOSSA PINO% %,,,,,,,,,,,EJERCICIO No.3,,,,,,,,,,,,,,% %GRUPO: 203042_37 SISTEMAS Y SEÑALES% a=7; b=2; t=[-2,-1,1,1,2,2]; x=[0,-2,2,-1,-1,0]; subplot (3,1,1) plot(t,x,'g') title ('Señal Continua x(t) - WILMER NOSSA PINO') xlabel('tiempo'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-3 3]) grid on; subplot (3,1,2) plot(t-a,-a*x,'r') title (['y(t)=-7x(t-7) - WILMER NOSSA PINO']) xlabel('tiempo'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-9 -2]) grid on; subplot (3,1,3) plot(-1/b*(t+5),x,'b') title (['s(t)=x(-3t-5) - WILMER NOSSA PINO']) xlabel('tiempo'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-6 3]) grid on;

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 2

operaciones básicas en señales discretas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), sea 𝑥[𝑛] = {−2,3, 4̌, 3, −4,2} , dibuje las siguientes señales y determine su energía. Posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab u Octave y anexando el resultado junto con el script (práctica)::

a. 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛 − 𝑎] (ìtem grupal) b. 𝑧[𝑛] = −𝑥[−2𝑛 + 𝑏] 𝑛

c. 𝑤[𝑛] = 𝑏. 𝑥 [ − 𝑏] 4

SCRIPT EN MATLAB SCRIPT EN MATLAB

GRAFICAS OBTENIDAS EN MATLAB

DESARROLLO DE CODIGO EJERCICIO No.3 %CODIGO DISEÑADO POR:% %NOMBRE: WILMER NOSSA PINO% %,,,,,,,,,,,EJERCICIO No.2,,,,,,,,,,,,,,% %GRUPO: 203042_37 SISTEMAS Y SEÑALES% a=7; b=2; n=[-2,-1,0,1,2,3]; x=[-2,3,4,3,-4,2]; subplot (4,1,1) stem(n,x,'g'); title ('Señal Discreta x[n] - WILMER NOSSA PINO') xlabel('Muestras'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-9 4]) subplot (4,1,2) stem(-(n+a),x,'r'); title ('y[n]=x[-n-7] - WILMER NOSSA PINO') xlabel('Muestras'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-9 4]) subplot (4,1,3) stem(4*(n+b),b*x,'b'); title ('z[n]=3x[n/4+3] - WILMER NOSSA PINO') xlabel('Muestras'); ylabel('Amplitud'); xlim ([-9 10])

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 3 Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía Ambardar y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al impulso del siguiente sistema:

𝒚̈ (𝒕) + 𝟔𝒚̇ (𝒕) + 𝒃𝒚(𝒕) = 𝒙(𝒕)

Nota: Los pasos para determinar la respuesta impulso son: Obtener la ecuación característica del sistema:

ÿ (t) =

d2 y(t) = s2 dt

ẏ (t) =

dy(t) =s dt

y(t) = 1 La ecuación del sistema s 2 + 6𝑠 + 1 = 0

Hallar las raíces 𝑠=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazando: 𝑠= 𝑠= 𝑠1 =

−6 ± √62 − 4 2

−6±√36−4 2

−6 + √32 = −0.1716 2

𝑠= 𝑠2 =

−6±√32 2

−6 − √32 = −5.8284 2

Encontrar la respuesta natural (ver tabla 4.1 del libro guía, Ambardar)

Derivar la respuesta natural

Con ℎ(0) = 0 ℎ́(0) = 1 se obtiene: ℎ(0) = 𝑘1 + 𝑘2 = 0 ℎ´(0) = −0.17𝑘1 − 5.83𝑘2 = 1

Encontrar los valores de las constantes

𝑘1 = −𝑘2 Reemplazo en la Ec. derivada: −0.17(−𝑘2 ) − 5.83𝑘2 = 1 0.17𝑘2 − 5.83𝑘2 = 1 𝑘2 = −0.1766 Ahora reemplazo en la ecuación 1 𝑘1 = −(−0.1766) = 0.1766 Por tanto: 𝑘1 = 0.1766 𝑘2 = −0.1766 Obtener la respuesta al impulso. La respuesta al impulso es:

ℎ(𝑡) = 0.1766𝑒 −0.17 − 0.1766𝑒 −5.83

REFERENCIA BIBLIOGAFICAS

Energía y potencia de señales continuas: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Señales. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 8-11). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?tabID=&userGroupName=u nad&inPS=true&prodId=GVRL&contentSet=GALE&do

Sistemas lineales invariantes en el tiempo Modulaci´on y Procesamiento de Se˜nales Pablo Zinemanas, Mauricio Ramos {pzinemanas, mramos}@fing.edu.uy Centro Universitario Regional Este Sede Rocha Tecn´ologo en Telecomunicaciones Curso 2017 https://eva.udelar.edu.uy/pluginfile.php/567674/mod_resource/content/2/mps_03_s lits.pdf

SEÑALES Y SISTEMAS http://blog.espol.edu.ec/telg1001/senales-periodicas-y-no-periodicas/

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SISTEMAS LINEALES Tema 2. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (Sesión 2) http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/sl/apuntes/Tema2Sesion2.pd sion2.pdf