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Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Agrarias

Unidad 6: Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = f(x) y sus derivadas y´, y´´, …,y(n) se llama ecuación diferencial. Se la puede escribir de la siguiente manera:

F ( x, y, y´, y´´,...., y

( n)

)0

Si la función buscada y = f(x) es de una sola variable independiente, la ecuación diferencial se llama ordinaria. (EDO)

Orden y grado de una ecuación diferencial El orden de la ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación. El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden. Ejemplos: 2 y´´ y´  2 xy es de 2°orden y 1°grado 2 y´´3 2 xy´2  2 y es de 2°orden y 3°grado

Solución general de una ecuación diferencial Toda función y = f(x) tal que introducida en la ecuación, la transforma en una identidad, se denomina solución de la ecuación diferencial.

Está constituida por todas las funciones que satisfacen la ecuación diferencial. La solución es una familia de curvas que difieren en una constante.

Solución particular de una ecuación diferencial Es la función que además de pertenecer a la solución general cumple una determinada condición, por ejemplo pasar por un punto P determinado.

EDO de primer orden

Una ecuación F ( x, y, y´)  0 que relaciona a la variable x, la función y= f(x) y la derivada primera y´ es una ecuación diferencial de primer orden.

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separadas Son aquellas donde los términos de ecuación diferencial pueden disponerse de manera que tome la forma: M ( x)dx  N ( y)dy  0 Su integral es: M ( x)dx  N ( y)dy  c





Esta ecuación también puede expresarse: dy M ( x)  dx N ( y )

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Se llama ecuación diferencial de variables separables a aquellas en las cuales se pueden separar las variables, es decir que en cada miembro quede una sola variable con su diferencial de modo que se pueda integrar. Son aquellas de la forma: Px, y dx  Q( x, y)dy  0

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Sean: Px, y   M1 ( x).N1 ( y) y Q( x, y)  M 2 ( x).N2 ( y)

Px, y dx  Q( x, y)dy  0

M1 ( x).N1 ( y)dx  M 2 ( x).N 2 ( y)dy  0 Dividimos por: N1 ( y).M 2 ( x) M 1 ( x).N1 ( y ) M 2 ( x).N 2 ( y ) dx  dy  0 N1 ( y ).M 2 ( x) N1 ( y ).M 2 ( x) M 1 ( x) N 2 ( y) dx  dy  0 M 2 ( x) N1 ( y )

M 1 ( x) N 2 ( y)  M 2 ( x)dx   N1 ( y) dy   0 

M 1 ( x) N 2 ( y)  M 2 ( x)dx   N1 ( y) dy  c

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separadas y separables Ejemplo 1. Resolver

dy  2x dx

Solución: separando las variables resulta Integrando ambos miembros:

Resolviendo las integrales:

dy  2 xdx

 dy   2 xdx

y  c1  x 2  c2

y  x 2  c2  c1 Como la diferencia de constantes es una constante podemos escribir c  c2  c1 obteniendo: y  x2  c

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Ejemplo 2. Resolver

y´4 xy  0 dy  4 xy  0 dx dy  4 xy dx dy  4 xdx y

Integrando ambos miembros:

dy  y    4 xdx

ln y  2 x 2  c1

ye

2 x 2 c1

2 x 2

y  e .ec1 2 x 2 y  c.e

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separadas y separables Ejercicios: Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1) 2)

3)

4)

y  2 x dx  (x 2

2

 3) y dy  0

x.dx  y.dy  0 dy y  dx x

5)

ydy  4 xdx  0

6)

y 2 dy  3x5dx  0

7)

dy x y e  0 dx

8)

dy x  senx  dx 3y2

y´ y 2

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de primer orden Se dice que la ecuación diferencial M x, y dx  N ( x, y)dy  0 es homogénea, si las funciones M y N son homogéneas respecto a las variables x y, y del mismo grado. Una función z = f(x,y) se llama homogénea de grado n si al multiplicar ambas variables por “t” (una constante arbitraria), la función queda multiplicada por tn ,o sea:

z  f (t.x, t. y)  t n . f ( x, y)

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Para resolver estas ecuaciones se recurre a un cambio de variables para transformarlas en una ecuación de variables separables.

Para ello, se divide toda la ecuación por xn , siendo n el grado de homogeneidad de las funciones M y N. De esta forma quedaría expresado:  y  y M  dx  N  dy  0 x x

Método de solución Sea la ecuación diferencial homogénea: M  y dx  N  y dy  0 y x x dy  x . du  u . dx Si u   y  u.x x M u dx  N (u).( x.du  udx)  0 M u dx  N (u).xdu  N (u).udx  0

M u   N (u).udx  N (u).xdu  0 M u   N (u).udx   N (u).xdu Separando las variables, se tiene: dx N (u )du si x  0     x  M u   N (u).u  M u   N (u ).u   0 N (u )du N (u )du ln( x)  ln c     ln( x)    c M u   N (u).u  M u   N (u).u 

xe





N ( u ) du c M u  N ( u ).u 

Ejercicios Propuestos 1) Verificar que las siguientes ecuaciones son homogéneas y hallar su solución general.

a) b) c) d)

( x 2  y 2 )dx  x. ydy y y ( x  y. cos )dx  x. cos dy  0 x x y y x ( x  y.e )dx  x.e x dy  0 con y (1)  0  y2   2  2 dx  dy  0 x 

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: 2 2 a) ( x 3  y 3 )dx  x. y 2 dy  0

b) ( x. y´)  y  2 xe

y x

c) ( y  3x )dx  2 x. ydy

d ) ( x  4 y)dx  2 xdy  0

( x  y )dx  x. ydy 2 2 ( x  y )dx  x. ydy  0

Ejercicio 1)a)

2

2

Determinamos si la ecuación diferencial es homogénea. Para ello, observamos si las funciones M ( x, y)  x 2  y 2  y N ( x, y)   x. y son homogéneas respecto a las variables x y, y del mismo grado. f ( x, y)  ( x 2  y 2 )dx  x. ydy Luego, hacemos:

tx  x, ty  y

f (tx, ty )  (t x  t y )dx  tx.tydy 2

2

2

2

f (tx, ty )  t [( x  y )dx  x. ydy ] 2

2

2

f (tx, ty )  t f ( x, y) 2

Por lo tanto, M y N son homogéneas de grado 2.

Ejercicio 1)a)

( x 2  y 2 )dx  x. ydy  0

2 x Dividimos la ecuación por , ya que es una función

homogénea de grado 2.

(x2  y2 ) x. y dx  2 dy  0 2 x x  y2  y 1  2 dx  dy  0 x  x  (1  u 2 )dx  udy  0

y  y  u.x x dy  x.du  u.dx

u

(1  u 2 )dx  u.( x.du  u.dx)  0

Ejercicio 1)a) (1  u )dx  u.( x.du  u.dx)  0 2

(1  u 2 )dx  u.x.du  u 2 .dx  0 (1  u  u )dx  u.x.du  0 2

2

1.dx  u.x.du dx  u.du x dx  x   u.du 2 u2 c u 2 ln( x)  c x e 2

Ejercicio 1)a)

Si queremos hallar y sólo bastará reemplazar nuevamente por y/x: 2

u ln( x)  c 2 y2 2. ln( x)  2  c x 2 x 2 . ln( x)  c  y 2

y

2 x . ln( x)  c 2

y  x. 2. ln( x)  c

Ejercicio 2)a)

x

3



 y 3 dx  x. y 2 dy  0

Determinamos si la ecuación diferencial es homogénea. Para ello, observamos si las funciones M ( x, y)  x  y  y N ( x, y )  x. y son homogéneas respecto a las variables x y, y del mismo grado. 3

3

2





f ( x, y)  x3  y3 dx  x. y 2 dy

f (tx, ty )  [(tx ) 3  (ty ) 3 ] dx  [tx. (ty ) 2 ] dy





f (tx, ty )  t 3 x 3  t 3 y 3 dx  tx. t 2 y 2 dy





f (tx, ty )  t 3 x 3  y 3 dx  x. y 2 dy





Por lo tanto, M y N son funciones homogéneas de grado 3.

Dividimos la ecuación por u

y  y  u.x x

dy  x.du  u.dx

x 3:

x

3



 y3 x. y 2 dx  3 dy  0 3 x x

y3 y2 (1  3 ) dx  2 dy  0 x x

(1  u 3 ) dx  u 2 dy  0 (1  u 3 ) dx  u 2 ( x.du  u.dx)  0

(1  u 3 ) dx  u 2 .x.du  u 3.dx  0 (1  u 3  u 3 ) dx  u 2 .x.du dx  u 2 .x.du dx  u 2 .du x

Integrando ambos miembros:

dx 2  u  x  .du u3 ln( x)   c  3

xe

u3 c 3

y Si reemplazamos u  x

u3 ln( x)  ln c  3

y3 3 ln(c.x)  x3

y 3  x3 .3 ln(c.x)

y  x.3 3 ln(c.x)

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden es aquella que puede escribirse de la forma: y´ P( x). y  Q( x) siendo P(x) y Q(x) funciones continuas de x. Solución General Si y  u.v  y´ u´.v  v´.u Sustituimos en la ecuación diferencial: y´ P( x). y  Q( x) (u´.v  v´.u)  P( x).u.v  Q( x) v.(u´ P( x).u)  v´.u  Q( x)

du du   P( x).u Si u´ P( x).u  0   P( x).u  0  dx dx

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden du   P( x).u dx Separando las variables: du   P( x).dx u du Integrando ambos miembros:  u   P( x).dx

ln u   P( x).dx

ue

  P ( x ). dx

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Como u´ P( x).u  0  v´.u  Q( x) Como u  e

  P ( x ). dx

dv  P ( x ). dx .e  Q( x )  dx

dv  Q( x).e

 P ( x ). dx

dx

 P ( x ). dx dv  Q ( x ). e dx  

v   Q( x).e  P ( x ). dxdx  c

Solución General:

y  u.v  y  e  P ( x ). dx.[ Q( x).e  P ( x ). dxdx  c]

Por ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial y´ x. y  2 x Si hacemos P( x)  x y Q( x)  2 x Se tiene: y´ P( x). y  Q( x) Si y  u.v  y´ u´.v  v´.u Sustituimos en la ecuación diferencial:

(u´.v  v´.u)  x.u.v  2 x du du du Si u´ x.u  0   x.u  0    x.u    x.dx dx dx u du  u   x.dx ln u   x.dx

ue

x2  2

Como: u´ x.u  0  v´.u  2 x

dv .e dx

x2  2

 2 x  dv 

2x e

x2  2

 dv   2 x.e Solución General:

x2 2

dx  dv  2 x.e dx 

x2 2

dx  v  2e

 y  u.v  y  e .2e  x2 2

x2 2

x2 2

c

  c 

Ejercicios

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

3 2 a) y´ y  x  x x

dy 4 c) ( x  1)  2 y  ( x  1) dx

b) x. y´ y  x  x

d ) y´ sen( x). y  3senx

2