Unidad-5-teoría-electromagnética.docx

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE OAXACA

TEORIA ELECTROMAGNÉTICA

REPORTE DE INVESTIGACIÓN

PROFESORA: ING. CRUZ ROBLES CONCEPCIÓN NOMBRE DEL ALUMNO: PEREZ SANTIAGO OMAR EDUARDO

UNIDAD V GRUPO: 4EC

Oaxaca de Juárez, Oaxaca a 4 de junio de 2018

Michael Faraday (1791-1867) fue un brillante físico y químico del reino unido, cuyos principales aportes a la ciencia fueron la inducción electromagnética o la electrólisis.

 En 1831, Faraday comenzó a profundizar en las propiedades electromagnéticas de los distintos materiales, comenzaron una gran serie de pruebas y experimentos que le llevaría a descubrir la inducción electromagnética.  Este descubrimiento surgió cuando enrolló en un arco de hierro, dos bobinas de alambre, llegando a la conclusión de que cuando aplicaba una corriente a una de las bobinas, la otra bobina que no había recibido corriente, también se cargaba de electricidad, otra serie de descubrimientos, que veremos más adelante, le llevaron a la conclusión de que se podía generar un campo eléctrico, a partir de un campo magnético variable.

 Si colocamos un imán, y esparcimos limaduras de hierro por encima, veremos el dibujo que crea, cada polo del imán captará las limaduras de hierro que se encuentran bajo su influencia, y es precisamente a eso que llamamos campos magnéticos.

Los electrones en movimiento, a través de un hilo conductor, crea un campo magnético, esto es lo que se conoce como electromagnetismo, si enrollamos el hilo, el efecto magnético se concentrará, al fluir los electrones por la bobina generando una fuerza magnética capaz de atraer objetos pequeños de hierro o acero.

Así es que la ley de Faraday o inducción electromagnética enuncia que el voltaje inducido en un circuito cerrado resulta directamente proporcional a la velocidad con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una dada superficie con el circuito haciendo de borde. Es decir, la fuerza electromagnética inducida en cualquier circuito cerrado es igual al negativo de la velocidad del tiempo del flujo magnético encerrado por el circuito.

LAS ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular de distintas maneras. Se pueden formular de forma integral o de forma diferencial y también se pueden expresar dependiendo de si la onda se propaga por el vacío o por un material. •

Describen como varían los campos eléctricos E y magnéticos H en el espacio y en el tiempo.

El físico escoses James C. Maxwell no descubrió en si estas ecuaciones, si no que las armo y junto. Son en realidad, 4 leyes sobre fenómenos eléctricos y magnéticos.

LEY DE GAUSS En esta ley se resumen varios datos sobre el campo eléctrico •

Las cargas eléctricas crean campo eléctrico.

•

Las líneas de campo eléctrico mueren en las cargas positivas y mueren en las cargas negativas.

•

El campo eléctrico se calcula a partir de la distribución de carga eléctrica.

LEY DE GAUSS MAGNETICA •

En esta ley se resumen varios datos sobre el campo magnético

•

No existen cargas magnéticas.

•

Las líneas de campo magnético son líneas cerradas.

LEY DE AMPERE Esta ley nos dice que: •

Las corrientes eléctricas generan campos magnéticos.

•

Las líneas de campo magnético generado por estas corrientes dan vueltas alrededor de las corrientes.

•

El campo magnético se puede calcular a partir de la distribución de corriente eléctrica.

ECUACIONES DE MAXWELL DE FORMA INTEGRAL Las ecuaciones en forma de integrales en el vacío son de la forma:

Ley de Gauss para electricidad

Ley de Gauss para magnetismo

Ley de inducción de Faraday

Ley de Ampere

Donde

es el campo eléctrico,

es el campo magnético,

es la corriente de

carga que, en parte, genera el campo magnético, Q es la carga estática que genera el campo eléctrico,

es la constante dieléctrica del vacío y μ0 es la permeabilidad

magnética del vacío. V es un volumen cualquiera dentro del cual está la carga Q,

es la superficie

cerrada que rodea el volumen V, S es una superficie no cerrada y

es la curva

cerrada que delimita la superficie S.

ECUACIONES DE MAXWELL DE FORMA DIFERENCIAL Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son:

Las ecuaciones de Maxwell son un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias). Maxwell reescribió estas ecuaciones integrales en forma diferencial haciéndolas compatibles.

De

este

modo

apareció

la

llamada corriente

de

desplazamiento definida como

Entonces las ecuaciones en el sistema internacional (de forma diferencial) son:



Ley de Gauss:

ü

- Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas.

ü

- Densidad de cargas existentes en el espacio.

ü

- Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos.



Ley de Faraday:

ü

- Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes.



Ley de Gauss para el campo magnético:

ü

Esta ley expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medioimanes.



Ley de Ampere-Maxwell:

ü

-

Permeabilidad

magnética,

característica

de

los

materiales paramagnéticos. ü

- Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superficie y es igual a

.

Que es la ley de Ampere. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducía a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

que ahora se conoce como ley de Ampere modificada o ley de Ampere-Maxwell. En la cual el término introducido es la corriente de desplazamiento. Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

ECUACIONES DE MAXWELL EN MEDIOS MATERIALES

Para medios materiales se definen los campos

y

gracias a los cuales

las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse de manera independiente al medio en el que están inmersos los campos. Estos campos están relacionados con los campos eléctricos y magnéticos mediante

las

relaciones

constitutivas (aquí

se

dan

para

medios isotrópicos homogéneos lineales):



- Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia.



- Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia.

Las relaciones constitutivas para el vacío se definen como:

De este modo las ecuaciones de Maxwell quedan así: 

Ley de Gauss:



Ley de Faraday:



Ley de Gauss para el campo magnético:



Ley de Ampere-Maxwell:

Donde ahora ρ y

corresponden a la carga y densidad de corriente libres,

representa el vector desplazamiento eléctrico y

el campo magnético. Esta

versión de las ecuaciones es equivalente a la del vacío, pero para ser completas, deben ser suplementadas con relaciones constitutivas, propias de cada medio material:

  

Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir, que

y

) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma:

En este caso se puede demostrar que tanto el campo forma de una ecuación de ondas con una velocidad

como el campo

toman la

igual a la velocidad

de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío.

3 Significado físico Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones:

Que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.

Que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes.

Que es la expresión diferencial de la ley de Faraday.

Que es la ley de Ampére. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducía a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

que ahora se conoce como ley de Ampére modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento.

Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

ECUACIONES DE MAXWELL EN TERMINO DE POTENCIALES Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector y potencial escalar . Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente.13 Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:

donde el signo menos es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.12 El campo eléctrico en función de los potenciales:

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo

magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge