Unidad 4_arboles_ejes_elm-130_s1_2018.pdf

Profesor: Darío Alejandro Pérez Jeldes.

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Eje: es todo elemento mecánico para transmitir movimiento o potencia, generalmente de sección circular, con diámetro mucho menor que su longitud. Ejes fijos: sirven sólo para sostener partes giratorias, como ruedas, poleas, rodamientos (móviles, son los que transmiten potencia).

Husillos, eje de potencia, árbol (entre otros): son nombres utilizados para designar a ejes móviles para un determinado fin. En el diseño de un eje se debe considerar: ➢ Resistencia ➢ Fatiga ➢ Deformaciones críticas ➢ Revoluciones críticas

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Inicialmente el diámetro del eje es desconocido, pero se supone una geometría definida a priori. La forma geométrica general es el de una barra redonda escalonada, con resaltos u hombros.

Eje con los distintos cambios de sección posibles

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Dispositivos para fijar las ruedas transmitiendo así momento rotacional: ➢ ➢ ➢ ➢

Cuñas o chavetas Tornillos de fijación Pasadores Ajuste a presión

o

poleas

al

eje,

Se tiene que:

 = G    r0 =   l

T





r

max

T  r0 = J

  r0 =

G

l

T  r0 l T l    r0 =   = J G J G

en el diseño: J = i

J= Elemento cilíndrico sometido a un par de torsión



  d 04

(barra)

32

  (d 04 − d i4 ) 32

Donde: T : momento de torsión l : longitud de la barra G : módulo de rigidez J : momento polar de inercia R : distancia al punto analizado

(tubo)

El tubo mostrado en la figura transmite 23,55 [kW] de potencia (P) cuando gira a 3000 [rpm]. Calcule el ángulo de deformación angular por metro lineal.

10 [mm]

- Propiedades del tubo d e = d i + 2  e = 10 + 2  4 = 18[mm] 4 [mm]

- Condiciones de trabajo

J=

(

  de 4 − di 4 32

) = 3,14  (18

4

− 10 4

32

) = 9319[mm ] = 9,319 10

(T = momento de torsión, w = velocidad angular)

4

−9

[m 4 ]

 rad  rad  revolucion  2     1  min  w = 3000[rpm] = 3000   = 314  seg   1  revolucion  60  seg  min         P 23550 P =T w →T = = = 75[ N  m] w 314 - Angulo de deformación ( para largo (l ) =1 [m] ) siendo Gacero=81000 [MPa] =8,1E10 [N/m2]

 l

=

T 75 = = 0,0993º [rad/metro lineal] J  G 9,319 10−9  8,11010

 

El diseño de un eje implica determinar su diámetro adecuado para transmitir potencia bajo ciertas condiciones de carga. Existió en el código ASME, una fórmula para determinar el diámetro de un eje, basada en la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo.

  d  Fa 16  2 2  ( ) d3 =  k  M + 1 + K + k  T f t  f  8    adm  1 + K 4  

(

)

(

)

2

(1)

La ecuación anterior fue reemplazada por un criterio basado en fatiga, conocida como: Fórmula elíptica ASME.

:

 n  a   Se

2

  n  m   =1  +      Sy  2

n: factor de seguridad Donde:

n = 1,6 → 2,5 En la práctica, un eje se calcula por resistencia y se verifica por fatiga

Analogía de la formulación de la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo : Mf

Mf

Fa

d

T

M f c

4  Fa x = + I  d2 T d / 2  xy = J

x

xy

xy xy

xy

x

T

  d4 ,I = 64   d4 ,J = 32

y

Fa z



x

x =  xy =

Eje bajo condiciones de carga axial (Fa), momento flector (Mf) y momento torsor (T).

32  M f

 d3 16  T   d3

+

4  Fa  d2

La fórmula para determinar el diámetro de un eje, basada en la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo:

  d  Fa 16  2 2  ( ) d3 =  k  M + 1 + K + k  T f t  f  8    adm  1 + K 4  

(

)

(

)

2

K : relación de diámetros, en el caso de eje hueco: K = dint. /d Eje macizo: K = 0

Mf : momento flector T : momento torsor Fa : carga axial

Otros factores:  = 1 , para cargas de tracción

:

1     1 − 0,004     r  =  S     y    r    2 nE

 adm :  adm

 0,3  S y  0,18  S u  =  0,3  0,75  S y  0,18  0,75  S u

  115 r   115 r

ℓ: longitud del eje r: radio de giro (k en la materia de vigas) I r= =k A

sin chavetero Se elige el menor valor, en cada caso

con chavetero

Utilizando la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo:

 adm   adm

 16  M f 2  Fa  +   d3  d2 

16    d3

 M 

f

   

2

 16  T  + 3    d  

F d  + a  8 

2

2

+T 2

2 Sy F  d 16   3 2 a d   M f +  + T ;  adm =   adm  8  2n

Fa  d  32n  2  d   M f +  +T   Sy  8  2

3

(2)

Utilizando el Teorema de Von Mises:

 ' =  A2 −  A   B +  B2   adm  + 3  2 x



Sy n

Fa  d  32n  T  d  M f +  + 3     Sy  8  2 2



2 xy

3

2

(3)

 1, 2 y 3 son fórmulas útiles para calcular inicialmente el diámetro del eje, por resistencia Sin embargo, antes de utilizar una fórmula por resistencia, se deben determinar las secciones críticas del eje, esto para conocer la zona que gobernará el diseño.

➢

Los esfuerzos de flexión, torsión o axiales pueden estar presentes tanto en componentes medios como en alternantes. Para el análisis, es suficientemente simple combinar los diferentes tipos de esfuerzos en esfuerzos de von Mises alternantes y medios, Algunas veces es conveniente adaptar las ecuaciones específicamente para aplicaciones de ejes. En general, las cargas axiales son comparativamente muy pequeñas en ubicaciones críticas donde dominan la flexión y la torsión, por lo que pueden dejarse fuera de las siguientes ecuaciones. Los esfuerzos fluctuantes debidos a la flexión y la torsión están dados por:

 a ' =  a + 3 a 2

2

; a ' =  a =

 m ' =  m 2 + 3 m 2 m =

M f  32

 d

3

; m = 0

M t 16 = 259,26   m ' = 3  m 3  d

=

Un eje debe ser lo suficientemente rígido como para no producir vibraciones o ruidos debido a la deflexión angular o lineal, evitando así el fallo prematuro o deterioro de rodamientos y engranajes montados sobre el. Efectos de un peso en eje: a) caso ideal, sin deflexión

f

d

b) caso real, con deflexión y desviación angular de los rodamientos.

Para rodamientos, la vida útil disminuye un 20% por cada 0,001 rad (0,0057º)

T 

Por lo general se admite un ángulo de distorsión  de 0,25° por metro lineal de eje

r∙=∙l r  =

Torsión de un eje, debido a la aplicación de un momento de torsión



G T l = GJ

l

 = E  = G G=

, : deformación angular T r  d4 , = ,J = J 32  T  rad   = l G  J  m 

, E: módulo de elasticidad , G: módulo de rigidez

E , n: módulo de Poisson 2(1 + n )

Efecto de pesos en un eje, con deflexión y desviación angular de los rodamientos. y 





x



d1

d

d2

d2y M = dx 2 E  I



En este caso, se debe determinar la máxima deflexión d en el eje y contrastarla con los valores admisibles según los elementos soportados   •Doble integración  d = y (x) =  •Superposición  •Método de área de momentos  Finalmente, en el diseño de ejes se deberá comprobar : d < dadm (dadm depende del elemento instalado o montado sobre el eje)

Todos los ejes en rotación (incluso aquellos que no soportan ninguna carga) se deflectan, y esta deflexión depende de: •Rigidez del eje •Masas que soporta •Amortiguación del sistema La deflexión en función de la velocidad angular d(w), presenta valores máximos dmax para ciertas velocidades. La velocidad crítica del eje, o frecuencia natural wc , es la velocidad a la cual el eje se vuelve . dinámicamente inestable, lo que trae consigo, mayor probabilidades de sacudidas o grandes vibraciones. En el funcionamiento de un eje se deben evitar estas velocidades críticas dmax(wc) . Los ejes poseen infinitas velocidades críticas, pero generalmente el diseño sólo se consideran las dos primeras, ya que el resto queda fuera del rango de operación Como regla práctica en el diseño la velocidad del eje es:

 = 0,6  c

La primera velocidad crítica (o frecuencia natural más baja) es . Sustituyendo la solución en las ecuaciones de energía potencial y cinética se tiene:

W k d c = = W m g



c =

g  rad  d  s 

Si el eje está soportado en sus extremos y tiene como única carga su propio peso, entonces:

c =

5 g  4 d max

dmax: máxima deflexión producida por una carga uniformemente distribuida. 

 y



x



dmax



Eje cuya única carga es su propio peso

➢

➢

Sirven para transmitir potencia o momento rotacional y como elementos de sujeción, fijación y/o seguridad Existen múltiples tipos de chavetas, siendo las más conocidas las planas, con o sin talón, y la Woodruff. a) chaveta cuadrada b) chaveta redonda c) y d) pasadores redondos e) pasador cónico o ahusado f) pasador elástico tubular partido Nota: Los pasadores en e) y f) tienen un largo exagerado para mostrar el biselado en los extremos.

a) Chaveta (o cuña) con talón

➢ Algunas aplicaciones de cuñas cuadradas y rectangulares estándar.

b) Chaveta Woodruff.

➢ Dimensiones de cuñas Woodruff. Serie en pulgadas.

Sistema de chaveta plana: a) conjunto eje, b) vista 3D de una polea, chaveta plana chaveta

c) fuerzas aplicadas a la chaveta.

F F

T =F

d 2

; T : Par de torsión.

72620  Pot hp T= → kg  cm nrpm

; n : revoluciones por minuto.

En el diseño existen dos esfuerzos que deben verificarse:

→ Corte → Aplastamiento

Corte: Área de Esfuerzo de corte

w ℓ

F = w

;

S sy Sy 2 T =  = d  w n 2n

n: usualmente 2-3

w

Aplastamiento: Área de esfuerzo compresión

w ℓ w

c =

F Ac

c =

4 T  d  w

F w  2 0,9  S y

; c =

n

➢ Estilos de cuñeros en ejes.

(Diseño de Máquinas, R. Norton, Primera edición)

➢ Factores de concentración de esfuerzos para un cunero en el extremo, a flexión (Kt) y a torsión (Kts)

(Diseño de Máquinas, R. Norton, Primera edición)