Unidad 3,4 Y 5.docx

UNIDAD 3.- SOLUCION NUMERICA PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 METODOS DE SOLUCION NUMERICA PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con otra, convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil. Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 6 -15x + 20y = 5 Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones algebraicas). De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en la ecuación

no contendría dicha incógnita.

ni en , entonces

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es Sustituyendo

.

por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

.

Método de sustitución El método de sustitución para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo para resolver las siguientes ecuaciones simultaneas x + y – 3 (1) Y x – y = 1 (2) primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1): x = 3 – y (3) después sustituimos x con (3 – y) en la ecuación (2): (3 – y) – y = 1 (4)

3 – 2y = 1 3 – 1 = 2y 2 = 2y y = 2/2 = 1 como se muestra, se reduce el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con solo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. después sustituiremos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x: x+1=3 x = 3 -1 x=2 Método de Gauss El Método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineal en otro escalonado.

Por ejemplo:

El sistema transformado en matriz:

Si te fijas, ya podemos despejar directamente una de las incógnitas. Por tanto, este tipo de sistemas es muy fácil de resolver obteniendo el valor de las incógnitas de abajo hacia arriba. De esta manera, podemos ir sustituyendo los valores obtenidos en las anteriores. z=2 Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”: y+3.(2)=8;

y=8-6=2 y=+2 Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”: y=2 x+(2)+3.(2)=-8; x=-16 Si nuestro sistema no es un sistema escalonado, lo podemos resolver mediante el método de Gauss. El método consiste en “hacemos cero”, es decir, sometemos a las ecuaciones a transformaciones elementales: Multiplicamos por un número distinto de cero. Sumar una ecuación a otra multiplicada por un número. Para trabajar mejor utilizamos sólo los números (coeficientes y término independiente) y trabajamos con una estructura de matriz. Ejemplo:

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior. Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna: Primer paso, transformar la segunda fila, Fila uno multiplicada por -3 -3.(+1 +1 +1 +2)=-3 -3 -3 -6 Le sumo la fila 2.

Segundo paso, transformar la tercera fila, Fila uno multiplicada por +2. +2.(+1 + 1+1 +2 )=+2 +2 +2 +4 Le sumo la fila 3.

Así, la matriz resultante sería:

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna: Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila: Fila uno se mantiene. Fila dos se multiplica por 3. +3.(0 -5 -4 -2)=+0 -15 -12 -6 Fila tres se multiplica por 5. +5.(0 +3 +4 +6)=0 +15 +20 +30 Sumo la fila dos y tres transformadas.

De esta manera, el sistema resulta:

Solución: z=24/8=+3 z=+3 Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”: -5y-4.3=-2 -5y=-2+12 y=+10/-5=-2 y=-2 Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”: x+(-2)+3=+2 x=+2-3+2 x=+1 Regla de Cramer Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de la matriz de los términos independientes, .

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

por

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz cuadrada y Cramer para resolverlo:

de los coeficientes es una matriz

. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de

3.2 APLICACIONES Fracciones parciales Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones la idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo. Ejemplo Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución

Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución

Determinación de curvas Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. Ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q (−1, 2), y R (2, 3). Solución

La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, es decir se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4 es decir, se debe cumplir: a + b + c =4 Procediendo de igual manera con el punto Q (−1, 2): formulamos la ecuación: a – b + c =2 y para R (2, 3): 4a + 2b + c = 3. Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P, Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: a+b+c=4a −b+c=2 4a + 2b + c = 3 La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3 La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una función con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados. Balanceo de Reacciones Químicas Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve. Ejemplo Balancee la reacción química: aCH4 + bO2=cCO2 + dH2O Solución Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el número de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el número de átomos en cada miembro: Por los átomos de carbono: a = c. Por los átomos de oxigeno: 2 b = 2 c + d. Por los átomos de hidrógeno: 4 a = 2 d Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La fórmula general para las soluciones queda:

a = 1/2 d b=d c = 1/2 d El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2 Aplicaciones a Manufactura Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañon, clon, y lentapero-segura. Para armar una computadora modelo Canon necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes? Solución En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir: x = número de computadoras cañón y = número de computadoras clon z = número de computadoras lenta-pero-segura Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas. Ensamblado: 556(total) = 12 x (cañón) + 10 y (clon) + 6 z (lenta) Pruebas: 120(total) = 2.5 x (cañón) + 2 y (clon) + 1.5 z (lenta) Instalación de programas: 103(total) = 2 x (cañón) + 2 y (clon) + 1.5 z (lenta) Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

UNIDAD 4.- INTERPOLACION

4.1 INTERPOLACION Es un proceso que permite deducir un valor entre dos valores bien definidos, que pueden estar en una tabla o en un gráfico lineal. Por ejemplo, si se sabe que 3 litros de leche valen $ 4 y que 5 litros valen $7, pero se quiere saber cuál es el valor de 4 litros de leche, se interpola para determinar ese valor intermedio. Para estimar un valor intermedio de una función se aproxima la función f(x) por medio de una recta r(x), lo que significa que la función varia linealmente con “x” para un tramo “x = a” y “x = b”; es decir, para un valor “x” en el intervalo (x0, x1) y (y0, y1), el valor de “y” es dado por la línea entre los puntos y se expresa por la siguiente relación: (y – y0) ÷ (x – x0) = (y1 – y0) ÷ (x1 – x0) Para que una interpolación sea lineal, es necesario que el polinomio de interpolación sea de grado uno (n = 1), para que se ajuste a los valores de x0 y x1. La interpolación lineal está basada en semejanza de triángulos, de tal manera que, derivando geométricamente de la expresión anterior, se puede obtener el valor de “y”, que representa el valor desconocido para “x”.

Una extrapolación es aquella en donde se asume que el rango para interpolar es x0 ˂ x ˂ x1, si es diferente de este rango. Partiendo de la ecuación de la recta, que es: y = ax + b, donde “a” es un coeficiente angular y “b” es un coeficiente lineal —como se muestra en la figura—, se forman dos triángulos con hipotenusa recta. Por semejanza de triángulos, se tiene que:

De esa forma se tiene que: a = tan Ɵ = (cateto opuesto1 ÷ cateto adyacente1) = (cateto opuesto2 ÷ cateto adyacente2) Expresado de otra forma, es: (y – y0) ÷ (x – x0) = (y1 – y0) ÷ (x1 – x0) Despejando “y” de las expresiones, se tiene: (y – y0) * (X1 – x0) = (x – x0) * (y1 – y0) (y – y0) = (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)] Así, se obtiene la ecuación general para interpolación lineal: y = y0 + (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)] En general la interpolación lineal da un error pequeño sobre el valor real de la función verdadera, aunque el error es mínimo en comparación a si se elige de forma intuitiva un número próximo al que se quiere hallar. Este error ocurre cuando se intenta aproximar el valor de una curva con una línea recta; para esos casos se debe disminuir el tamaño del intervalo para hacer más precisa la aproximación. Para mejores resultados respecto a la aproximación es recomendable utilizar funciones de grado 2, 3 o incluso de grados mayores para realizar la interpolación. Para estos casos el teorema de Taylor es una herramienta muy útil. Interpolación Lineal La interpolación lineal es el método más simple en uso hoy. Es el método usado por los programas de generación de gráficas, donde se interpola con líneas rectas entre una serie de puntos que el usuario quiere graficar. La idea básica es conectar los 2 puntos dados en xi, es decir (x0, y0) y (x1, y1). La función interpolante es una línea recta entre los dos puntos. Para cualquier punto entre los dos valores de x0 y x1 se debe seguir la ecuación de la línea y − x0 y1 − y0 = x − x0 x1 − x0, que se puede derivar geométricamente. En lo anterior, el único valor desconocido es y, que representa el valor desconocido para x, despejando queda: y = y0 + (x − x0) y1 − y0 x1 − x0, donde se asume que x0 < x < x1, de otra forma esto se conocería como extrapolación. Si se tienen más de dos puntos para la interpolación, es decir N > 2, con puntos x0, x1, · · ·, xN, simplemente se concatena la interpolación lineal entre pares de puntos continuos. Interpolación polinomial Cuando se tienen dos puntos, estos pueden ser unidos con una línea recta. Dos puntos cualquiera en un plano (x0, y0) and (x1, y1), donde x0 6= x1, determinan un polinomio de primer grado en x, donde la función pasa por ambos puntos (lo que se discutió en la sección

anterior). Una generalización de lo anterior sugiere que dados N puntos en un plano (xk, yk) con k = 1, 2, · · ·, N y distintos xk, existe un único polinomio en x de grado menor a N cuya función pasa por todos los puntos. Este tipo de polinomio se le conoce como polinomio de interpolación ya que reproduce los datos exactamente

La forma de describir este tipo de polinomios es con la forma Lagrangiana:

donde hay N términos en la suma y N − 1 en los productos, de tal manera que esta expresión describe un polinomio de grado hasta N −1. Si P(x) es evaluado en los puntos x = xk, todos los productos excepto el k son ceros. Además el producto k es igual a 1, así que la suma es igual a yk y las condiciones de interpolación (puntos xk exactos) son cumplidas. Una forma más común de representar un polinomio, diferente a la Lagrangiana es de la forma

conocida como power form. Esta expresión se puede generalizar para polinomios de interpolación así:

donde con son los coeficientes, que deben ser estimados o encontrados. Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver con métodos de teoría de inversión y estimación paramétrica. Interpolación Spline Cubico En esta sección se describe un método que tiene dos características principales: 1. Es no-local, para definir una interpolación suavizada (smooth) con un polinomio cúbico. 2. La segunda derivada de la función de interpolación es continua Dada una serie tabulada de una función yi = y (xi) con i = 1, 2, · · ·, N, nos concentramos en un intervalo particular, por ejemplo entre xj y xj+1. La interpolación lineal daría

Debido a que la interpolación lineal es local, la ecuación tiene

donde se muestra que la segunda derivada no está definida ∞ justo en los puntos xk. El objetivo de los Spline cúbicos es generar una función de interpolación que tenga una primera derivada suavizada y una segunda derivada continua, tanto dentro de los intervalos como en los puntos xk.

4.2 APLICACIONES El número de bacterias por unidad de volumen existentes en una incubación después de x horas es presentado en la siguiente tabla. Se desea saber cuál es el volumen de bacterias para el tiempo de 3,5 horas.

Solución La tabla de referencia no establece un valor que indique la cantidad de bacterias para un tiempo de 3,5 horas pero sí se tienen valores superiores e inferiores correspondientes a un tiempo de 3 y 4 horas, respectivamente. De esa forma: x0 = 3

y0 = 91

x = 3,5

y =?

x1 = 4

y1 = 135

Ahora, se aplica la ecuación matemática para encontrar el valor interpolado, que es la siguiente: y = y0 + (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)]. Luego se sustituyen los valores correspondientes: y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4 – 3)] y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5 y = 113. Así se obtiene que para un tiempo de 3,5 horas, la cantidad de bacterias es 113, que representa un nivel intermedio entre el volumen de bacterias existentes en los tiempos de 3 y 4 horas. Ejemplo Luis tiene una fábrica de helados, y quiere hacer un estudio para determinar los ingresos que tuvo en agosto a partir de los gastos hechos. El administrador de la empresa realiza una gráfica que expresa esa relación, pero Luis desea saber: ¿Cuáles son los ingresos de agosto, si se realizó un gasto de $ 55 000?

Solución Es dada una gráfica con valores de los ingresos y los gastos. Luis quiere saber cuáles son los ingresos de agosto si la fábrica tuvo un gasto de $ 55 000. Ese valor no está reflejado directamente en la gráfica, pero se tienen los valores superiores e inferiores a este. Primero se realiza una tabla donde para relacionar los valores con facilidad:

Ahora, se utiliza la fórmula de interpolación para determinar así, el valor de y y = y0 + (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)] Luego se sustituyen los valores correspondientes: y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)] y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)] y = 56.000 + (22.000) * (0,588) y = 56.000 + 12.936 y = $ 68.936. Si se realizó un gasto de $ 55.000 en agosto, los ingresos fueron de $ 68 936 UNIDAD 5.- DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA

5.1.- DERIVACION NUMERICA Sea Y = f (X) una función tabular continua con n puntos que puede aproximarse a un polinomio de grado n 1 que pasa por todos los puntos incluidos en su forma tabular y cuya − variable independiente es equiespaciada con paso h = Cte., el polinomio interpolante que la representa es:

Se propone derivar la ecuación 1 con respecto a la variable independiente X. Dada la estructura de esta ecuación, es necesario aplicar la regla de la cadena:

Sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en 2 se obtiene:

2!

3!

Esta última ecuación (5) representa la primera derivada del polinomio interpolante que representa a la función tabular. Derivando a 5 utilizando de nuevo la regla de la cadena mostrada en la ecuación 2:

Y derivando de nuevo:

Retomando la ecuación 5. Si se trunca el polinomio interpolante hasta la primera diferencia y se sustituye a dicha diferencia por los puntos que la conforman en el orden en que aparecen en la función tabular se obtiene:

Analizando esta última ecuación se percibe que por provenir de un polinomio interpolante truncado a la primera diferencia resulta solo función de dos puntos provenientes de la función tabular: (X0, Y0) y (X1, Y1). El polinomio que une a dos puntos es de grado n = 1, es decir, una línea recta que solo puede ser derivada en una ocasión (dado que el valor de la siguiente derivada seria 0). Por otra parte, la interpretación que hace el Cálculo diferencial de la derivada en el valor de la pendiente de la recta tangente en determinado punto de la curva a derivar. En este sentido, ya que nuestra curva a derivar es una línea

recta compuesta por dos puntos sólo puede obtenerse el valor de la derivada en cada uno de esos puntos, pero en todo caso, la pendiente de la recta tangente será igual en ambos puntos. La consideración sobre la obtención de la derivada en un punto es importante en este desarrollo ya que el resultado del uso de las técnicas de interpolación es obtener el valor de la pendiente de la recta tangente, no su expresión analítica. Es por esto que de acuerdo al polinomio interpolante seleccionado debe especificarse claramente el su orden de interpolación y, en consecuencia, el punto en el cual desea obtenerse la derivada. Este punto seleccionado se denomina pivote. Para la ecuación 8 la derivada puede obtenerse sólo en dos puntos, pero el resultado en ambos es el mismo. Como una convención se establece como pivote al punto (X0, Y0); para indicarlo se subraya el coeficiente respectivo. Por otra parte, a manera de establecer una notación más práctica, se eliminan los indicativos de las ordenas de la ecuación dejándose sólo los coeficientes, pero en todo caso, la ecuación de derivación numérica contempla siempre iniciar en la ordenada Y0.

Utilizando una notación más convencional en la derivada e incluyendo el punto de derivación (pivote) se tiene:

Finalmente, er representa el error que debe añadirse a la ecuación 9 para que el valor sea exacto. El cálculo del error merece ser analizado en forma separada, pero se adelanta que se obtiene una aproximación a ´el por medio del criterio del término siguiente [1]. Ahora bien, si se desea obtener formulas con menor error intrínseco se propone que la ecuación 5 sea truncada a partir de la segunda diferencia.

2!

0

r

Las ecuaciones que se obtengan de 10 se denominaran de segundo orden de interpolación. Al considerarse una segunda diferencia se consideran a los puntos (X0, Y0), (X1, Y1) y (X2, Y2) de la función tabular. En consecuencia pueden ser varios tipos de curvas las que unan a estos tres puntos y que la derivada obtenida en cada punto es diferente. Dado lo anterior, deben calcularse tres ecuaciones particulares para obtener las derivadas valuadas en (X0, Y0), (X1, Y1) y (X2, Y2) respectivamente.



Para la derivada en (X0, Y0). El puntoh pivote se ubica en el primer punto de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = Xk−X0 el valor de referencia es el propio Xk = X0, por lo que k = 0. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 10 se obtiene:



Para la derivada en (X1, Y1). El punto pivote se ubica en el segundo punto h de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = Xk−X0 el valor de referencia es Xk = X1, por lo que k = 1. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 10 se obtiene:



Para la derivada en (X2, Y2). El punto pivote se ubica en el segundo punto h de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = Xk−X0 el valor de referencia es Xk = X2, por lo que k = 2. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 10 se obtiene:

Este proceso debe seguirse para definir otras formas de derivación numérica, incluso para derivadas de orden superior. No existe límite en cuanto al orden de interpolación que pueda elegirse, aunque por consideraciones del error el tercer orden de interpolación es el mayor utilizado comúnmente. Se presentan a continuación los esquemas de derivación comúnmente utilizados: Primer orden de Interpolación

Segundo orden de Interpolación

Tercer orden de Interpolación

Como una técnica de comprobación de la correcta conformación de todas estas fórmulas, los coeficientes que las forman siempre deben sumar 0. Es necesario resaltar la relación que existe entre el orden de la derivada y el orden de interpolación (orden de la diferencia máxima del polinomio interpolante) de cada fórmula. Si se desea obtener la segunda derivada de una función, para que este valor no sea 0 es necesario que el orden del polinomio del cual procede sea al menos de 2; para lograr esto, la función deberá ser aproximada a través de un polinomio compuesto por 3 puntos por lo que debe considerar hasta la segunda diferencia. En consecuencia, el menor orden de interpolación disponible para obtener una fórmula de segunda derivada debe ser precisamente de segundo orden de interpolación.

5.2.- INTEGRACION NUMERICA SIMPLE Sea

una función continua y definida en el intervalo

primitiva de

, entonces:

y sea

una función

El problema en la práctica se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la función primitiva requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:

Las fórmulas de Newton-Cotes a desarrollar son las tres primeras, constituidas por las reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). El algoritmo de Romberg forma parte de una técnica conocida como método de extrapolación de Richardson. Fórmulas de Integración de Newton-Cotes Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de

donde es un polinomio de aproximación de grado para ciertos valores de que se escogen apropiadamente (se suele conocer también como polinomio de interpolación, ya que la condición es que tome los mismos valores que la función original en los puntos elegidos). Estas fórmulas se pueden aplicar también a una tabla de datos, siendo éstos los puntos a considerar. Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de formas abiertas.

y

, en caso contrario, se llaman

Regla del Trapecio Corresponde al caso donde ,

Donde

es decir:

es un polinomio de grado 1.

En el gráfico trazamos la recta que une los puntos: (a, f(a)) y (b, f(b)) obteniendo un trapecio cuya superficie será, aproximadamente, el valor de la integral I.

Así tendremos:

conocida como Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo el área del trapecio que se forma.

, que es precisamente

Ejemplo Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:

Solución Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:

Por lo tanto tenemos que:

Ejemplo: Usar la regla del trapecio para aproximar la integral:

Solución Igual que en el ejemplo anterior, sustituimos los datos de manera directa en la fórmula del trapecio. En este caso, tenemos los datos:

Por lo tanto, tenemos que:

La regla del trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo todos de la misma longitud

en

subintervalos,

.

Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que:

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:

Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:

Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma, tenemos finalmente:

Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Cuantos más subintervalos se usen, mejor será la aproximación a la integral, hasta que la importancia de los errores por redondeo comiencen a tomar relevancia.

La regla de Simpson Para cada intervalo, la regla de Simpson aproxima la función a integrar f(x) con una parábola F(x) ≈ αx2 + βx + γ donde todos los intervalos tienen un muestreo homogéneo. Sin la intención de derivar esta relación, para el intervalo −1 and +1 la función f(x) se puede expresar como la suma ponderada de valores de la función en tres puntos, así:

Este ´ultima aproximación se puede generalizar evaluando la función en dos intervalos adyacentes, de tal forma que la función f(x) se evalúa en los dos extremos (i ± 1) y un punto central (i).

En términos de nuestra regla de integración standard se obtienen los pesos

Sin embargo, es importante notar que el número de puntos N TIENE que ser impar para la regla de Simpson. Esto puede no ser una dificultad para funciones que se pueden evaluar en cualquier punto, pero si puede ser una limitación si se tienen datos de campo o de laboratorio.

CONCLUSIONES Los métodos de resolución de problemas de ecuaciones lineales se aplican en diversas ramas de la ciencia lo que se busca es la eficiencia de un sistema determinado, esta puede ser lograda por las matemáticas aplicadas ahorrando tiempo valioso en los procesos y desarrollo; la interpolación es un tema amplio en donde existen distintos métodos, los cuales nos ayuda con diferentes polinomios ya sea de primer grado o segundo en cuanto más grande la función mayor precisión en la interpolación ya que este se va formando de una línea a una curvatura. La interpolación es una herramienta útil y práctica, ya que nos ofrece diversos métodos para encontrar puntos dentro de un conjunto de puntos ya dados. Pero la diversidad de métodos que existen pueden confundir al usuario al momento de utilizarlos, puesto que algunos son muy sencillos pero su resultado no es aproximado al verdadero, y otros que al contrario su resultado es muy certero pero el camino para llegar a él, es bastante complicado, por lo tanto, se debe de manejar con mucho cuidado y se tiene que tener un conocimiento amplio del tema para usarlos correctamente. Por otra parte la regla de Simpson es una mejora sobre la regla Trapezoidal, con una pequeña adición en la dificultad de la implementación del algoritmo.

BIBLIOGRAFIA

https://prezi.com/lktprauj-0qz/metodos-de-resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales/ http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_l ineales.html https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/ https://lacienciaparatodos.wordpress.com/tag/interpolar/ http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Tema3/Derivacion.pdf http://wwwprof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/integracion.pdf