Unidad 3 (mat I)

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Dominar el manejo de las fracciones algebraicas y sus operaciones.

2. Resolver con destreza ecuaciones de distintos tipos y aplicarlas a la resolución de problemas.

3. Resolver ecuaciones

con

destreza

sistemas

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

EJERCICIOS A REALIZAR

1.1. Simplifica fracciones algebráicas.

1, 2, 3 y 4

1.2. Opera con fracciones algebraicas.

5, 6, 7, 8 y 9

2.1. Resuelve ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

11, 12, 13 y 14

2.2. Resuelve ecuaciones con radicales y con la incógnita en el denominador 2.3. Se vale de la factorización como recurso para resolver ecuaciones.

15, 16, 17, 18 y 19

2.4. Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

25, 26, 27, 28 y 29

2.5. Plantea y resuelve problemas mediante ecuaciones.

30, 31, 32, 33 y 34

20, 21, 22, 23 y 24

de 3.1. Resuelve sistemas de ecuaciones de 35, 36, 37, 38 y 39 primero y segundo grados y los interpreta gráficamente 3.2. Resuelve sistemas de ecuaciones con radicales 40, 41, 42, 43 y 44 y fracciones algebraicas (sencillos).

4. Interpretar y resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

3.3. Resuelve sistemas de ecuaciones con expresiones exponenciales y logarítmicas.

45, 46, 47, 48 y 49

3.4. Resuelve sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (con solución única) mediante el método de Gauss.

50, 51, 52, 53 y 54

3.5. Plantea y resuelve problemas mediante sistemas de ecuaciones.

55, 56, 57, 58 y 59

4.1. Resuelve e interpreta gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita (sencillos).

60, 61, 62, 63 y 64

CONCEPTOS

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

•Polinomios. Factorización. • Fracciones algebraicas. • Ecuaciones de segundo grado. • Ecuaciones con radicales. • Otros tipos de ecuaciones • Ecuaciones exponenciales. • Ecuaciones logarítmicas. •Sistemas de ecuaciones. • Inecuaciones.

• Factorización de un polinomio a partir de la identificación de sus raíces enteras • Operaciones con fracción algebraicas. Simplificación. • Manejo diestro de las técnicas algebraicas básicas. • Resolución diestra de ecuaciones de segundo grado (completas e incompletas) y bicuadradas. • Resolución de ecuaciones con radicales. • Resolución de ecuaciones de estos tipos: • Con denominadores literales. • Polinómicas de grado n con n – 2 raíces enteras. • De cualquier tipo, de forma aproximada. • Resolución de ecuaciones exponenciales. • Resolución diestra de ecuaciones logarítmicas. Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro. • Resolución de sistemas de ecuaciones de cualquier tipo que puedan desembocar en ecuaciones de las nombradas. Método de Gauss para resolver sistemas lineales 3 x 3 con solución única. • Resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones. • Traducción al lenguaje algebraico de problemas dados mediante enunciado.

• Hábito de contrastar el resultado final de un problema con el enunciado para determinar lo razonable o no del resultado obtenido. • Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados en problemas algebraicos. • Apreciación de la utilidad y la potencia que posee el simbolismo matemático. • Valoración del lenguaje algebraico para expresar relaciones de todo tipo.

-1IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

EJERCICIOS A REALIZAR POR EL ALUMNO. Ejercicio nº 1.- Simplifica: x 4 − 2x 3 − 3x 2 x 4 − 9x 2 Ejercicio nº 2.- Simplifica: x 5 + 6x 4 + 9x 3 x 3 + 3x 2 Ejercicio nº 3.- Simplifica: x3 − x x 3 + 3x 2 + 2x Ejercicio nº 4.- Simplifica la siguiente fracción algebraica: x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 3 − 2x 2 + x Ejercicio nº 5.- Realiza las siguientes operaciones y simplifica: 2x   x 2 + x  3   − ⋅  x x + 1   x − 1  Ejercicio nº 6.- Opera y simplifica: 2x 3x − 1 1 + − x −2 x + 2 x2 − 4 Ejercicio nº 7.- Efectúa estas operaciones y simplifica: ( x − 1) 2 ⋅ 1 − 3 x 2 x 2 − 1 ( x + 1) 2 Ejercicio nº 8.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:  3x   x3 − x  2x − 1  −   ⋅  2  x + 1 x − 1   − x − 6 x + 1  Ejercicio nº 9.- Opera y simplifica el resultado: 1 2 1 + + 2 2 x − 1 x −1 ( x − 1) Ejercicio nº 10.- Resuelve: 4x2 − 4x 3x + 4 a) − x = x2 − b) x 4 − 11x 2 + 28 = 0 3 3 Ejercicio nº 11.- Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: x 2 − 16 2 − 3x x 2 a) −x = − b) x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 3 3 3 Ejercicio nº 12.- Resuelve las siguientes ecuaciones: x2 x 2 − 12 a) − 4x = 3 + b) x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 2 4 Ejercicio nº 13.- Resuelve estas ecuaciones: 15 3 x 2 − x + 3 a) x 2 + = +3 b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0 4 4 Ejercicio nº 14.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones: x ( x − 1) a) x ( x + 4 ) − 5 = b) x 4 − 48 x 2 − 49 = 0 3 Ejercicio nº 15.- Encuentra las soluciones de las ecuaciones siguientes: 2x − 1 4 11 a) x + 4 = 4 x + 12 b) + = x x −1 2 Ejercicio nº 16.- Resuelve estas ecuaciones: 3 2 4 a) 3 x + 16 = 2 x − 1 b) + 2 = 1+ 2 x x x

-2IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº 17.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 x −2 5 a) 3 x − 3 + x = 7 b) + = x −1 x +1 4 Ejercicio nº 18.- Resuelve: 4x x 14 a) x + 5 − x = 3 b) + = x +2 x −2 3 Ejercicio nº 19.- Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: 3 2 11 a) x + 3 x + 10 = 6 b) + = x x+4 6 3 2 Ejercicio nº 20.- Resuelve esta ecuación: x − 2 x − 11x + 12 = 0 4 3 2 Ejercicio nº 21.- Descompón en factores y resuelve: x + x − 4 x − 4 x = 0 4 3 2 Ejercicio nº 22.- Factoriza y resuelve: x + x − 9 x − 9 x = 0 3 2 Ejercicio nº 23.- Resuelve la siguiente ecuación: x + 4 x − x − 4 = 0 3 2 Ejercicio nº 24.- Resuelve, factorizando previamente: x − 2 x − 5 x + 6 = 0 Ejercicio nº 25.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 7 a) 2 x −1 + 2 x + x = b) log ( x − 3 ) 2 + log 4 = log x 2 2 Ejercicio nº26.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4x − 2x−1 − 14 = 0 b) ln (2x) − ln (x + 1) = ln 4 Ejercicio nº 27.- Obtén las soluciones de cada una de estas ecuaciones: 3 a) 2 2 x − 2 x +1 + = 0 b) log ( x − 2 ) + log ( x − 3 ) = log 6 4 Ejercicio nº 28.- Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación: 1 1 79 a) 3 x + x − = b) ln ( 3 x − 1) = ln 2 + ln ( 4 x − 6 ) 3 9 3 Ejercicio nº 29.- Halla las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: 2 4 x −1 a) 3 x +2 = 16 b) log x 2 + log 4 = −2 2 Ejercicio nº 30.- Averigua un número sabiendo que la suma del doble de su inverso más

el triple de dicho número da como resultado

25 2

Ejercicio nº 31.- Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerséis tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey? Ejercicio nº 32.- Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno? Ejercicio nº 33.- Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? Ejercicio nº 34.- En un examen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 32,5 puntos, ¿cuántas preguntas acertó? Ejercicio nº 35.- Resuelve analítica y gráficamente este sistema: y = x 2 − 3 x   y − 2 x + 6 = 0 Ejercicio nº 36.- Resuelve analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución: x −1 y  + = 2 3 2  3 x + y = 7 

-3IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº37.- Resuelve analíticamente el siguiente sistema e interprétalo gráficamente: y − 4 x − 2 = 0  y = x 2 + 3 x  Ejercicio nº 38.- Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones: y = x 2 − 2 x   y + x − 6 = 0 Ejercicio nº 39.- Halla la solución del siguiente sistema, analítica y gráficamente: x y  + = 3  3 2  x y + = 4 2 2  Ejercicio nº 40.- Halla las soluciones de este sistema: y = 3x + 1   x + y + 4 = y − x  Ejercicio nº 41.- Resuelve el siguiente sistema: 1 2 =  x+y 5  1 1 5 + = x y 2  Ejercicio nº 42.- Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: 2 3  + = 3 x y  x + y = 4  Ejercicio nº 43.- Resuelve el siguiente sistema: 3 x  − = 0 x y  2 x − y = 3 Ejercicio nº 44.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + y = 6   x − y = −3 Ejercicio nº 45.- Resuelve el sistema:  2 x + y = 32  ln x + ln y = ln 6 Ejercicio nº 46.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2log x + log y = 1   log x − 2log y = −2 Ejercicio nº 47.- Halla las soluciones del sistema:  y2 − x = 2  log ( x + y ) = 1 Ejercicio nº 48.- Obtén las soluciones del siguiente sistema: 2 x +1 + 2 y = 8   log y − log x = log 2 Ejercicio nº 49.- Resuelve: 2log x − log y = 0   2 y +2 x = 8

-4IES Dr Francisco Marín (Siles)

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Ejercicio nº 50.- Resuelve, aplicando el método de Gauss, el siguiente sistema de ecuaciones:  x + y + 2z = 6   x − 3y − z = 1  x − y − z = −1 Ejercicio nº 51.- Obtén la solución del siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:  x − y + 2z = 7   x + y − 3z = −5 2 x − y + 2z = 9 Ejercicio nº 52.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss: x − 2y + z = 6  3 x + y − z = 7  x − y + 2z = 6 Ejercicio nº 53.- Halla los valores de x, y, z mediante el método de Gauss: x + y − z = 2  2 x − 2 y + 3z = 1  x + 2 y − z = 4 Ejercicio nº 54.- Halla los valores de x, y, z mediante el método de Gauss: x + y − z = 2  2 x − 2 y + 3z = 1  x + 2 y − z = 4 Ejercicio nº 55.- Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:  x + 2 y − 2z = 6   x − 3 y + z = −7 2 x − y + z = −3 Ejercicio nº 56.- Un comerciante compró dos artículos por 30 euros y los vendió por 33,9 euros. En la venta del primer artículo obtuvo un 10% de beneficio y en la venta del segundo artículo ganó un 15%. ¿Cuánto le costó cada uno de los artículos? Ejercicio nº 57.3 La suma de dos números es 12 y la de sus inversos es . ¿Cuales son esos números? 8 Ejercicio nº 58.- Alberto compró 3 bolígrafos y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Ejercicio nº 59.- En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen; pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 2 100 envíos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. ¿Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron ese día? Ejercicio nº 60.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 4( x + 1) − 2 ≤ 0  2x + 4 ≥ 6  Ejercicio nº 61.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 3x − 2 < 4   2 x + 6 > x − 1 Ejercicio nº 62.- Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: − 2x + 4 ≤ − 2 Ejercicio nº 63.- Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: 2x + 1 > −5 Ejercicio nº 64.- Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: x2 + x − 6 ≤ 0

-5IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio nº 1.- Simplifica: x 4 − 2x 3 − 3x 2 x 4 − 9x 2 Solución: x 2 ( x − 3 ) ( x + 1) x 4 − 2x 3 − 3 x 2 x 2 x 2 − 2x − 3 x +1 = = = 4 2 2 2 2 x − 9x x x −9 x ( x − 3) ( x + 3) x + 3

(

(

)

)

Ejercicio nº 2.- Simplifica: x 5 + 6x 4 + 9x 3 x 3 + 3x 2 Solución: 2 x 3 x 2 + 6x + 9 x 5 + 6x 4 + 9x 3 x 3 ( x + 3) = = = x ( x + 3) = x 2 + 3 x 3 2 2 2 x + 3x x ( x + 3) x ( x + 3) Ejercicio nº 3.- Simplifica: x3 − x x 3 + 3x 2 + 2x Solución: x ( x − 1) ( x + 1) x3 − x x x2 −1 x −1 = = = 3 2 x ( x + 1) ( x + 2) x + 2 x + 3x + 2x x x 2 + 3x + 2

(

(

(

)

)

)

Ejercicio nº 4.- Simplifica la siguiente fracción algebraica: x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 3 − 2x 2 + x Solución: x 3 − 3x 2 + 3x − 1 ( x − 1) 3 = x − 1 = 2 x x 3 − 2x 2 + x x ( x − 1) Ejercicio nº 5.- Realiza las siguientes operaciones y simplifica: 2x   x 2 + x  3   − ⋅  x x + 1   x − 1  Solución: 2 x  x 2 + x 3( x + 1) − 2 x 2 x 2 + x 3 = ⋅ =  − ⋅ x ( x + 1) x −1  x x + 1 x − 1 3 x + 3 − 2 x 2 x ( x + 1) − 2 x 2 + 3 x + 3 ⋅ = x ( x + 1) x −1 x −1 Ejercicio nº 6.- Opera y simplifica: 2x 3x − 1 1 + − x −2 x + 2 x2 − 4 Solución: 2x 3x − 1 1 2 x ( x + 2) ( 3 x − 1) ( x − 2) 1 + − 2 = − − 2 = 2 2 x−2 x+2 x −4 x −4 x −4 x −4 =

2 x 2 + 4 x − 3 x 2 + 6 x + x − 2 − 1 −x 2 + 11x − 3 = x2 − 4 x2 − 4 Ejercicio nº 7.- Efectúa estas operaciones y simplifica: ( x − 1) 2 ⋅ 1 − 3 x 2 x 2 − 1 ( x + 1) 2 Solución: =

-6IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

( x − 1) 2 2 =

1 3x ( x − 1) 3x − = − = 2 2 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 x − 1 ( x + 1) 2

⋅

x −1 3x x 2 − 1 − 6x x 2 − 6x − 1 − = = 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 2 ( x + 1) 2 ( x + 1)

Ejercicio nº 8.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:  3x   x3 − x  2x − 1  −   ⋅  2  x + 1 x − 1   − x − 6 x + 1  Solución:  ( 2 x − 1) ( x − 1) − 3 x ( x + 1) x3 − x x3 − x  2 x − 1 3 x    − = ⋅ =  ⋅ 2 ( x + 1) ( x − 1) −x 2 − 6 x + 1  x + 1 x − 1   − x − 6 x + 1  =

2 x 2 − 2 x − x + 1 − 3 x 2 − 3 x x ( x − 1) ( x + 1) ⋅ = ( x + 1) ( x − 1) −x 2 − 6 x + 1

=

−x 2 − 6 x + 1 x ( x − 1) ( x + 1) ⋅ =x ( x + 1) ( x − 1) −x 2 − 6 x + 1

Ejercicio nº 9.- Opera y simplifica el resultado: 1 2 1 + + 2 2 ( x − 1) x − 1 x − 1 Solución: 1 2 1 1 2 1 + + 2 = + + = 2 2 ( ) ( ) ( x + 1) x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 ( x − 1) ( x − 1) =

(

)

x + 1 + 2 x 2 − 1 + ( x − 1)

( x − 1) ( x + 1) 2

x + 1 + 2x 2 − 2 + x − 1

=

( x − 1) ( x + 1) 2

Ejercicio nº 10.- Resuelve: 4x2 − 4x 3x + 4 a) − x = x2 − 3 3 Solución: 4x 2 − 4x 3x + 4 a) − x = x2 − 3 3 4x 2 − 4x 3x 3x 2 3x + 4 − = − 3 3 3 3 4x 2 − 4x − 3x = 3x 2 − 3x − 4 x 2 − 4x + 4 = 0 x=

4±

16 − 16

2 b) x 4 − 11x 2 + 28 = 0

=

Cambio : x 2 = z

=

2x 2 + 2x − 2

( x − 1) 2 ( x + 1)

b) x 4 − 11x 2 + 28 = 0

4 =2 2 →

x 4 = z2

z 2 − 11z + 28 = 0 z=

11 ± 121 − 112 2

=

11 ± 2

Cuatro soluciones : x1 = − 7 ,

9

=

11 ± 3 2

x2 =

7,

→

z = 7   z = 4 

x 3 = −2,

→

x=± 7

→

x = ±2

x4 = 2

-7IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº 11.- Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: x 2 − 16 2 − 3x x 2 a) −x = − b) x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 3 3 3 Solución: x 2 − 16 2 − 3x x 2 a) −x = − 3 3 3 x 2 − 16 3 x 2 − 3 x x 2 − = − 3 3 3 3 x 2 − 16 − 3 x = 2 − 3 x − x 2 2 x 2 − 18 = 0 2 x 2 = 18 x2 = 9  x = −3  x=± 9 →   x = 3 b) x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 z=

5±

Cambio: x 2 = z

25 + 144 2

=

5 ± 169 2

=

5 ± 13 2

→ →

x 4 = z2

z 2 − 5z − 36 = 0 x = ±3

z = 9 →   z = −4 (no vale)

Dos soluciones: x1 = −3, x2 = 3 Ejercicio nº 12.- Resuelve las siguientes ecuaciones: x2 x 2 − 12 a) − 4x = 3 + b) x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 2 4 Solución: x2 x 2 − 12 2 x 2 16 x 12 x 2 − 12 a) − 4x = 3 + − = + 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 x − 16 x = 12 + x − 12 x − 16 x = 0 x = 0 → x ( x − 16 ) = 0  x − 16 = 0 → x = 16 b) x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 z=

4 ± 16 − 12 2

Cambio: x 2 = z =

4± 2

4

=

→

x 4 = z2

z 2 − 4z + 3 = 0

z = 3 → x = ± 3 4±2  →  2 z = 1 → x = ±1 

Cuatro soluciones : x1 = − 3 , x 2 =

3 , x 3 = −1, x 4 = 1

Ejercicio nº 13.- Resuelve estas ecuaciones: 15 3 x 2 − x + 3 a) x 2 + = +3 b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0 4 4 Solución: 4 x 2 15 3 x 2 − x + 3 12 15 3 x 2 − x + 3 a) x 2 + = +3 + = + 4 4 4 4 4 4 2 2 2 4 x + 15 = 3 x − x + 3 + 12 x +x =0 x = 0   x ( x + 1) = 0 →  x + 1 = 0 → x = −1 b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0

Cambio: x 2 = z

→

x 4 = z2

z 2 − 21z − 100 = 0

-8IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

z=

21 ±

441 + 400

=

2

21 ±

841 2

=

21 ± 29 2

→

z = 25 → x = ±5   z = −4 (no vale)

Dos soluciones: x1 = −5, x2 = 5 Ejercicio nº 14.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones: x ( x − 1) a) x ( x + 4 ) − 5 = b) x 4 − 48 x 2 − 49 = 0 3 Solución: x ( x − 1) x2 − x a) x ( x + 4 ) − 5 = x 2 + 4x − 5 = 3 3 2 2 2 3 x + 12 x − 15 = x − x 2 x + 13 x − 15 = 0 x = 1 − 13 ± 169 + 120 − 13 ± 289 − 13 ± 17  x= = = →  − 30 − 15 4 4 4  x = 4 = 2 b) x 4 − 48 x 2 − 49 = 0

Cambio: x 2 = z

→

x 4 = z2

z 2 − 48z − 49 = 0 z=

48 ±

2 304 + 196 2

48 ±

=

2 500 2

=

z = 49 → x = ±7 48 ± 50  →  2 z = −1 (no vale)

Dos soluciones: x1 = −7, x2 = 7 Ejercicio nº 15.- Encuentra las soluciones de las ecuaciones siguientes: 2x − 1 4 11 a) x + 4 = 4 x + 12 b) + = x x −1 2 Solución: a) x + 4 =

 ( x + 4) 2 = 4 x + 12  x 2 + 16 + 8 x = 4 x + 12 

4 x + 12

x 2 + 4x + 4 = 0 x=

−4±

16 − 16

2 Comprobación: x = −2

b)

→

−4 = −2 2

=

2=

4

→

sí es válida 2( 2 x − 1) ( x − 1) 8x 11x ( x − 1) + = 2 x ( x − 1) 2 x ( x − 1) 2 x ( x − 1)

2x − 1 4 11 + = x x −1 2

(

)

2 2 x 2 − 3 x + 1 + 8 x = 11x 2 − 11x

 4 x 2 − 6 x + 2 + 8 x = 11x 2 − 11x 

0 = 7 x 2 − 13 x − 2 x=

13 ± 169 + 56 14

=

13 ±

225

14

=

13 ± 15 14

→

 x = 2 x = − 2 = − 1  14 7

Ejercicio nº 16.- Resuelve estas ecuaciones: 3 2 4 a) 3 x + 16 = 2 x − 1 b) + = 1+ 2 x x2 x Solución: a)

3 x + 16 = 2 x − 1

 3 x + 16 = ( 2 x − 1) 2  3 x + 16 = 4 x 2 + 1 − 4 x 

0 = 4 x 2 − 7 x − 15 x=

7±

49 + 240 8

=

7±

289 8

=

7 ± 17 8

→

 x = 3  x = − 10 = − 5  8 4

Comprobación: x =3

→

25 = 5

→

x = 3 sí vale.

x=

−5 → 4

49 7 − 7 = ≠ 4 2 2

→

x=

−5 no vale. 4

-9IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Hay una solución: x = 3 b)

3 2 4 + = 1+ 2 x x2 x

3x



x

2

+

2

x

x2

=

2

x

4

+

2



x2

3x + 2 = x 2 + 4



0 = x 2 − 3x + 2

3±

9 − 8 3 ±1 x = 2 = →  2 2 x = 1 Ejercicio nº 17.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 x −2 5 a) 3 x − 3 + x = 7 b) + = x −1 x +1 4 Solución: x=

a)



3x − 3 + x = 7

 3 x − 3 = ( 7 − x ) 2  3 x − 3 = 49 + x 2 − 14 x

3x − 3 = 7 − x

0 = x 2 − 17 x + 52 x=

17 ±

289 − 208

=

2

17 ±

81

2

17 ± 9 2

=

→

 x = 13    x = 4

Comprobación: x = 13 x=4

→

36 + 13 = 6 + 13 = 19 ≠ 7

→

9 +4 = 3+4 = 7

→

→

x = 13 no vale

x = 7 sí vale

Hay una solución: x = 4

4( x − 1) ( x − 2 ) 5( x − 1) ( x + 1) 8( x + 1) 2 x −2 5  4( x − 1) ( x + 1) + 4( x − 1) ( x + 1) = 4( x − 1) ( x + 1) + = x −1 x +1 4 8 x + 8 + 4 x 2 − 3 x + 2 = 5 x 2 − 1  8 x + 8 + 4 x 2 − 12 x + 8 = 5 x 2 − 5 x = 3 − 4 ± 16 + 84 − 4 ± 100 − 4 ± 10  x= = = →  2 2 2  x = −7 Ejercicio nº 18.- Resuelve: 4x x 14 a) x + 5 − x = 3 b) + = x +2 x −2 3 Solución: b)

(

a)

) (

x +5 −x =3 x=

−5±



=

−5±

9

2

=

−5±3 2

x = −1 →

4 +1= 2 +1= 3

x = −4

1 + 4 = 1+ 4 = 5 ≠ 3

→

 0 = x 2 + 4 x − 21

 x + 5 = 9 + x 2 + 6x  0 = x 2 + 5x + 4

x +5 =3+ x

25 − 16

2 Comprobación:

)

→

→

 x = −1   x = −4

x = −1 sí vale →

x = −4 no vale

Hay una solución: x = −1 14( x + 2) ( x − 2) 12 x ( x − 2) 3 x ( x + 2) 4x x 14  3( x + 2) ( x − 2) + 3( x + 2) ( x − 2) = 3( x + 2) ( x − 2) b) + = x +2 x −2 3

(

12 x 2 − 24 x + 3 x 2 + 6 x = 14 x 2 − 4 18 ±

324 − 224

18 ± 100

)

 15 x 2 − 18 x = 14 x 2 − 56  x 2 − 18 x + 56 = 0

 x = 14 18 ± 10 →  2 2 2 x = 4 Ejercicio nº 19.- Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: 3 2 11 a) x + 3 x + 10 = 6 b) + = x x+4 6 Solución: x=

a) x +

3 x + 10 = 6



=

=

3 x + 10 = 6 − x

 3 x + 10 = ( 6 − x ) 2  3 x + 10 = 36 + x 2 − 12 x

0 = x 2 − 15 x + 26

- 10 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

x=

15 ±

225 − 104 2

=

15 ± 121 2

=

15 ± 11 2

→

 x = 13   x = 2

Comprobación: x = 13 x=2

→ 13 + →

49 = 13 + 7 = 20 ≠ 6

2 + 16 = 2 + 4 = 6

→

→

x = 13 no vale

x = 2 sí vale

Hay una solución: x = 2 3 2 11 18( x + 4 ) 12 x 11x ( x + 4 ) b) + = + =  x x+4 6 6 x ( x + 4) 6 x ( x + 4) 6 x ( x + 4) 18 x + 72 + 12 x = 11x 2 + 44 x x=

− 14 ± 196 + 3168 22

=

 0 = 11x 2 + 14 x − 72

− 14 ±

3364

22

=

Ejercicio nº 20.- Resuelve esta ecuación: Solución: Factorizamos:

x − 2 x − 11x + 12 = ( x − 1) ( x − 4 ) ( x + 3 ) = 0 3

2

− 14 ± 58 22

→

 x = 2  x = − 72 = − 36  22 11

x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 = 0

→

x − 1 = 0 → x = 1  x − 4 = 0 → x = 4  x + 3 = 0 → x = −3 

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 1, x 2 = 4, x 3 = −3 Ejercicio nº 21.- Descompón en factores y resuelve: Solución: Sacamos factor común: x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x = x x 3 + x 2 − 4x − 4 = 0

(

x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x = 0

)

Factorizamos x + x − 4 x − 4 : 3

2

x 4 + x 3 − 4 x 2 − 4 x = x ( x + 1) ( x − 2) ( x + 2) = 0

→

x = 0   x + 1 = 0 → x = −1  x − 2 = 0 → x = 2  x + 2 = 0 → x = −2

Por tanto las soluciones de la ecuación son: x1 = 0, x 2 = −1, x 3 = 2, x 4 = −2 4 3 2 Ejercicio nº 22.- Factoriza y resuelve: x + x − 9 x − 9 x = 0 Solución: Sacamos factor común: x 4 + x 3 − 9x 2 − 9x = x x 3 + x 2 − 9x − 9 = 0 Factorizamos x 3 + x 2 − 9 x − 9 :

(

)

- 11 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x ( x + 1) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0

→

x = 0   x + 1 = 0 → x = −1  x − 3 = 0 → x = 3 x + 3 = 0 → x = −3

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 0, x 2 = −1, x 3 = 3, x 4 = −3 3 2 Ejercicio nº 23.- Resuelve la siguiente ecuación: x + 4 x − x − 4 = 0 Solución: Factorizamos:

x + 4 x − x − 4 = ( x − 1) ( x + 1) ( x + 4 ) = 0 3

2

x − 1 = 0 → x = 1   x + 1 = 0 → x = −1  x + 4 = 0 → x = −4 

→

x1 = 1,

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:

x 2 = −1,

Ejercicio nº 24.- Resuelve, factorizando previamente: Solución: Factorizamos:

x − 2 x − 5 x + 6 = ( x − 1) ( x − 3 ) ( x + 2) = 0 3

2

→

x 3 = −4

3

x − 2x 2 − 5x + 6 = 0

x − 1 = 0 → x = 1  x − 3 = 0 → x = 3  x + 2 = 0 → x = −2 

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 1, x 2 = 3, x 3 = −2 Ejercicio nº 25.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 7 a) 2 x −1 + 2 x + x = b) log ( x − 3 ) 2 + log 4 = log x 2 2 Solución: 1 7 2x 1 7 a) 2 x −1 + 2 x + x = + 2x + x =  2 2 2 Hacemos el cambio de variable: 2x = y 2 2 y 1 7 +y+ =  y 2 + 2y 2 + 2 = 7 y → 3 y 2 − 7 y + 2 = 0 2 y 2

- 12 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

y=

7±

49 − 24 7 ± 25 7 ± 5 = = 6 6 6

•y =2

→

2x = 2

1 3

→

2x =

•y =

→

1 3

→

y = 2  y = 2 = 1  6 3

x =1

→

x = log 2

log 3 1 = − log 2 3 = − = −1, 58 3 log 2

Hay dos soluciones: x = 1; x2 = −1,58 b) log (x − 3)2 + log 4 = log x log [4(x − 3)2 ] = log x 4(x − 3)2 = x → 4(x2 − 6x + 9) = x 4x2 − 24x + 36 = x → 4x2 − 25 x 6 + 36 = 0 x=

25 ±

625 − 576 25 ± 49 25 ± 7 = = 8 8 8

Hay dos soluciones: x1 = 4; x 2 = Ejercicio nº26.a) 4x − 2x−1 − 14 = 0 Solución:

→

x = 4   x = 18 = 9  8 4

9 4

b) ln (2x) − ln (x + 1) = ln 4

(2 )

( )

2x 2x x 2 − 14 = 0 → 2 − − 14 = 0 a) 4 − 2 − 14 = 0 2 2 Hacemos el cambio de variable: 2x = y y y 2 − − 14 = 0 → 2y 2 − y − 28 = 0 2 y = 4 1 ± 1 + 224 1 ± 225 1 ± 15  y = = = →  − 14 7 4 4 4 y = 4 = 2 • y = 4 → 2x = 4 → x = 2 −7 −7 •y = → 2x = → Solución no válida. 2 2 Solo hay una solución: x = 2 2x 2x b) ln ( 2 x ) − ln ( x + 1) = ln 4  ln x + 1 = ln 4  x + 1 = 4 → 2 x = 4( x + 1) 2 x = 4 x + 4 → − 2 x = 4 → x = −2 x

x −1



2 x

−

Pero, al sustituir x = −2 en la ecuación, quedaría ln (−4) − ln (−1), que no existen. Por tanto, la ecuación no tiene solución. Ejercicio nº 27.- Obtén las soluciones de cada una de estas ecuaciones: 3 a) 2 2 x − 2 x +1 + = 0 b) log ( x − 2 ) + log ( x − 3 ) = log 6 4 Solución: 2 3 3 a) 2 2 x − 2 x +1 + = 0  2x − 2 ⋅ 2x + = 0 4 4 Hacemos el cambio de variable: 2x = y 3 y 2 − 2y + = 0 → 4 y 2 − 8 y + 3 = 0 4 12 3  y = = 8 ± 64 − 48 8 ± 16 8 ± 4  8 2 y = = = →  4 1 8 8 8 y = =  8 2 log 3 3 3 3 •y = → 2x = → x = log 2 = log 2 3 − 1 = − 1 = 0, 58 2 2 2 log 2

( )

- 13 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

•y =

1 2

→

2x =

1 2

→

x = −1

Hay dos soluciones: x1 = 0,58; x2 = −1

 log [ ( x − 2) ( x − 3 ) ] = log 6  ( x − 2) ( x − 3 ) = 6

b) log ( x − 2) + log ( x − 3 ) = log 6 2

x − 5x + 6 = 6 x 2 − 5x = 0

→

x ( x − 5) = 0

 x = 0 (no vale)   x = 5

→

Hay una única solución: x = 5 Ejercicio nº 28.- Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación: 1 1 79 a) 3 x + x − = b) ln ( 3 x − 1) = ln 2 + ln ( 4 x − 6 ) 3 9 3 Solución: 1 79 a) 3 x + 3 −x − = 3 9 Hacemos el cambio de variable: 3x = y y+ y =

1 1 79 − = y 3 9 82 ±

→

9 y 2 + 9 − 3 y = 79 y

 9 y 2 − 82y + 9 = 0

6724 − 324 82 ± 6400 82 ± 80 = = 18 18 18

• y = 9 → 3x = 9 → x = 2 1 1 •y = → 3x = → x = −2 9 9 b) ln ( 3 x − 1) = ln 2 + ln ( 4 x − 6 ) 3 x − 1 = 2( 4 x − 6 )

→

→

y = 9  2 1  y = 18 = 9

Hay dos soluciones: x1 = 2; x2 = −2

 ln ( 3 x − 1) = ln [ 2 ( 4 x − 6) ] 

3 x − 1 = 8 x − 12

 11 = 5 x → x =

11 5

11 5 Ejercicio nº 29.- Halla las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: 2 4 x −1 a) 3 x +2 = 16 b) log x 2 + log 4 = −2 2 Solución: 2 4 x −1 a) 3 x + 2 = 16 → 2 4 x −1−( 3 x + 2 ) = 16 2 2 4 x −1−3 x −2 = 2 4 → 2 x −3 = 2 4 → x − 3 = 4 → x = 7 Hay una solución: x = 7 Hay una única solución: x =

b) log x 2 + log 4 = −2



log (4x ) = −2 2

4 x 2 = 10 −2



→

4x 2 =

1 100

1 1 1  Hay dos soluciones: x1 = − 1 ; x 2 = 1 → x=± =± 400 400 20 20 20 Ejercicio nº 30.- Averigua un número sabiendo que la suma del doble de su inverso más x2 =

el triple de dicho número da como resultado

25 2

Solución: Llamamos x al número buscado y planteamos la ecuación: 2 25 + 3x =   4 + 6 x 2 = 25 x 6 x 2 − 25 x + 4 = 0 x 2 x = 4  25 ± 625 − 96 25 ± 529 25 ± 23 x= = = →  12 12 12  x = 2 = 1 Hay dos soluciones: 4 y 1  12 6 6

- 14 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº 31.- Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerséis tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey? Solución: Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos. Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85x. El que está rebajado un 20% costará 0,8x. Por tanto, el total que ha pagado es: 3 · 0,85x + 0,8x + x = 108,75  2,55x +0,8x + x =108,75  4,35x = 108,75 108, 75 x= = 25 euros 4, 35 Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros. El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha tenido que pagar 21,25 euros. Ejercicio nº 32.- Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno? Solución: Llamamos x a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la información:

La edad de Cristina hace 2 años era el doble que la de Carlos, es decir: x + 6 = 2( x − 2) Resolvemos la ecuación: x + 6 = 2 x − 4  10 = x Por tanto, Carlos tiene 10 años y Cristina, 18. Ejercicio nº 33.- Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? Solución: 500 Llamamos x al número de amigos. Cada uno tiene que pagar euros. x Si fueran x + 2 amigos (dos amigos más), cada uno tendría que pagar: 500 − 12,5 euros ( 12,5 euros menos) x  500  Como en total son 500 euros, ( x + 2)  − 12, 5  = 500 x   Resolvemos la ecuación: 1 000 1 000 − 25 = 500  − 12, 5 x + − 25 = 0 x x − 12, 5 x 2 + 1 000 − 25 x = 0  12, 5 x 2 + 25 x − 1 000 = 0

500 − 12, 5 x +

x=

− 25 ±

625 + 50000 25

=

− 25 ±

50625 25

=

− 25 ± 225 25

→

x = 8    x = −10 (no vale) 

Son, por tanto, 8 amigos. Ejercicio nº 34.- En un examen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 32,5 puntos, ¿cuántas preguntas acertó? Solución: Llamamos x al número de preguntas que acertó. Acertó → x  Así: Falló → 40 − x  Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue: x + 0, 5( 40 − x ) = 32, 5  x + 20 − 0, 5 x = 32, 5  0, 5 x = 12, 5 

- 15 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

x=

12, 5 = 25 0, 5

Por tanto, acertó 25 preguntas. Ejercicio nº 35.- Resuelve analítica y gráficamente este sistema: y = x 2 − 3 x   y − 2 x + 6 = 0 Solución: • Lo resolvemos analíticamente: 2 y = x 2 − 3x  y = x − 3x  y − 2 x + 6 = 0 x 2 − 3 x − 2 x + 6 = 0; x 2 − 5 x + 6 = 0 x=

5±

25 − 24 2

=

5±

1

2

=

5 ±1 2

→

x = 3   x = 2 

→

y =0

→

y = −2

x1 = 3  x 2 = 2   y  y 1 = 0 y 2 = − 2 • Interpretación gráfica: y = x 2 − 3x   La parábola y la recta se cortan en los puntos (3, 0) y ( 2, − 2) y = 2x − 6  Solución :

Ejercicio nº 36.- Resuelve analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución: x −1 y  + = 2 3 2  3 x + y = 7  Solución: • Resolvemos analíticamente el sistema: x −1 y  2 x − 2 3 y 12  + = 2 + =  2 x − 2 + 3 y = 12 3 2 6 6 6     3 x + y = 7 3 x + y = 7  3 x + y = 7 2 x + 3 y = 14 y = 7 − 3 x; 2 x + 3 ( 7 − 3 x ) = 14 3 x + y = 7  2 x + 21 − 9 x = 14 ; 2 x − 9 x = 14 − 21; − 7 x = −7 ; x = 1; y = 7 − 3 ⋅ 1 = 7 − 3 = 4 Solución: x = 1; y = 4 • Interpretación gráfica: 2 x + 3 y = 14

→

3x + y = 7

→

14 − 2 x   3  Estas dos rectas se cortan en el punto (1, 4). y = 7 − 3 x  y=

Ejercicio nº37.- Resuelve analíticamente el siguiente sistema e interprétalo gráficamente:

- 16 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

y − 4 x − 2 = 0  y = x 2 + 3 x  Solución: • Lo resolvemos analíticamente: y − 4 x − 2 = 0 y = 4 x + 2  y = x 2 + 3x  4 x + 2 = x 2 + 3 x; 0 = x 2 − x − 2 x=

1±

1+ 8 2

=

1±

9 2

=

1± 3 2

→

 x = 2 → y = 10    x = −1 → y = −2 

x1 = 2  x 2 = − 1   y  y 1 = 10  y 2 = − 2 • Interpretación gráfica: y = 4x + 2   La recta y la parábola se cortan en los puntos (2, 10) y ( −1, − 2). y = x 2 + 3x  Solución :

Ejercicio nº 38.- Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones: y = x 2 − 2 x   y + x − 6 = 0 Solución: • Resolvemos analíticamente el sistema: 2 y = x 2 − 2x  y = x − 2x  y + x − 6 = 0 x 2 − 2 x + x − 6 = 0; x 2 − x − 6 = 0 x=

1±

1 + 24 2

=

1±

25 2

=

1± 5 2

→

x = 3 → y = 3    x = −2 → y = 8 

x1 = 3  x 2 = − 2  y  y 1 = 3 y 2 = 8  • Interpretación gráfica: y = x 2 − 2 x  La parábola y la recta se cortan en los puntos (3, 3) y ( −2, 8).  y = 6−x  Solución :

- 17 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº 39.- Halla la solución del siguiente sistema, analítica y gráficamente: x y  + = 3  3 2  x y + = 4  2 2 Solución: • Resolvemos el sistema analíticamente: x y  2 x 3 y 18  2 x + 3 y = 18 + = 3 + =  6  3 2 6 6     y =8−x x y x y 8  x+y =8  + = 4 + =   2 2 2  2 2 2x +3(8−x) = 18; 2x + 24 −3x = 18; −x = −6 x=6 → y=8−6=2 Solución: x = 6; y = 2 • Interpretación gráfica: x y 18 − 2 x 2 −2  + =3 → y = = 6− x = x + 6  3 2 3 3 3  x y  + =4 → y =8−x  2 2 Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

Ejercicio nº 40.- Halla las soluciones de este sistema: y = 3x + 1   x + y + 4 = y − x  Solución: y = 3x + 1  y = 3 x + 1   x + 3x + 1 + 4 = 3x + 1 − x x + y + 4 = y − x  4 x + 5 = 2 x + 1; 4 x + 5 = 4 x 2 + 1 + 4 x; x=± 1

→

4 = 4x 2 ;

 x = −1 →   x = 1 → 

4 x + 5 = ( 2 x + 1)

2

x2 = 1

no válida y=4

Hay una solución: x = 1;

y=4

Ejercicio nº 41.- Resuelve el siguiente sistema: 1 2 = x + y 5   1 1 5 + = x y 2  Solución: 1 2 = x + y 5  1 1 5  + = x y 2  5 = 2x +

2 ; x

5 = 2( x + y )    2y + 2 x = 5 xy  5 x = 2 x 2 + 2;

5 = 2 x + 2y 5 = 5 xy

→

1 = xy

→y =

1 x

0 = 2x 2 − 5 x + 2

- 18 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

x=

5±

25 − 16 4

=

5±

9

=

4

5±3 4

 x = 2 →    2 1 x = = 4 2 

→

y= →

1 2 y =2

1  x1 = 2  x2 =  2 Hay dos soluciones : y 1 y1 =  y 2 = 2 2  Ejercicio nº 42.- Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: 2 3  + = 3 x y  x + y = 4  Solución: 2 3  2 3  + = 3 x + 4 − x = 3  2( 4 − x ) 3x ( 4 − x ) 3x x y + =   x ( 4 − x ) x ( 4 − x ) x( 4 − x )  x + y = 4  y = 4 − x  8 − 2 x + 3 x = 12 x − 3 x 2 ;

x=

11 ±

121 − 96 6

=

3 x 2 − 11x + 8 = 0

11 ±

25 6

=

11 ± 5 6

16 8 4  x = 6 = 3 → y = 3   x = 1 → y = 3  

→

8 x = 1  3 y 2 Hay dos soluciones :   4 y 2 = 3 y1 =  3 Ejercicio nº 43.- Resuelve el siguiente sistema: 3 x  − = 0 x y  2 x − y = 3 x1 =

Solución: 3 x  − = 0 x y  2 x − y = 3

x2 3 x2 2x − = 3; 3

3 y − x 2 = 0   2 x − y = 3 

0 = x 2 − 6 x + 9;

x=

6±

y=

36 − 36 2

=

6x − x 2 = 9

6 =3 2

→

y =3

Solución: x = 3; y = 3 Ejercicio nº 44.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + y = 6   x − y = −3 Solución: 2 x + y = 6   x − y = −3

y = 6 − 2 x   x + 3 = y 

6 − 2x =

x +3

3 − 2x =

x

- 19 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

( 3 − 2x ) 2

=

( x) ; 2

9 + 4 x 2 − 12 x = x;

4 x 2 − 13 x + 9 = 0

18 9   x = 8 = 4 → no válida 13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5  x= = = →  8 8 8 x = 1 → y = 4      La solución x = 9 no es válida, puesto que 3 − 2 ⋅ 9 = − 3 ≠ 9 = 3   4 4 2 4 2   La única solución del sistema es x = 1, y = 4. Ejercicio nº 45.- Resuelve el sistema:  2 x + y = 32  ln x + ln y = ln 6 Solución:  2 x + y = 32  ln x + ln y = ln 6 5x − x 2 = 6

→ =

 2 x + y = 25  ln ( xy ) = ln 6 0 = x 2 − 5x + 6

5 ± 1 5 ±1 = 2 2

→

x + y = 5 xy = 6 

y =5−x x(5 − x ) = 6

5±

→ x= x = 3    x = 2

25 − 24 = 2 → y = 5−3 = 2 →

y =5−2=3

Hay dos soluciones: x1 = 3, y1 = 2 x2 = 2, y2 = 3 Ejercicio nº 46.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2log x + log y = 1   log x − 2log y = −2 Solución: 2log x + log y = 1  2 ( 2log x + log y ) = 2 log x − 2log y = 2 log x − 2log y = −2  4 log x + 2 log y = 2 log x − 2 log y = −2 5 log x = 0 → log x = 0 → x = 1 Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda: 2 log x + log y = 1 → log y = 1 → y = 10 Por tanto, la solución es x = 1, y = 10. Ejercicio nº 47.- Halla las soluciones del sistema: y2 − x = 2   log ( x + y ) = 1 Solución: y2 −2 = x  y2 − x = 2  log ( x + y ) = 1 log y 2 − 2 + y = 1 → y 2 − 2 + y = 10

(

y 2 + y − 12 = 0 •y =3

→

→

)

y=

y = 3   y = −4 x = 16 − 2 = 14

− 1 ± 1 + 48 1 ± 49 − 1 ± 7 = = 2 2 2

x =9−2 =7

• y = −4 →

→

Hay dos soluciones: x1 = 7, y1 = 3 x2 = 14, y2 = −4 Ejercicio nº 48.- Obtén las soluciones del siguiente sistema: 2 x +1 + 2 y = 8   log y − log x = log 2

- 20 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Solución: 2 x +1 + 2 y = 8   y  log = log 2 x 

 2 x +1 + 2 y = 8  log y − log x = log 2 2 x +1 + 2 2 x = 8 z=

−2±

•z=2

→

( )

2x ⋅ 2 + 2x

2

=8

2x = 2

→

y = 2x

Cambio: 2 x = z

z = 2   z = −4 x = 1 → y = 2 • z = −4 →

4 + 32 − 2 ± 36 − 2 ± 6 = = 2 2 2 →

2 x +1 + 2 y = 8  y  =2  x

→

2z + z 2 = 8

→ z 2 + 2z − 8 = 0

→

2 x = −4

→

No vale

El sistema tiene una única solución: x = 1, y = 2 Ejercicio nº 49.- Resuelve: 2log x − log y = 0   2 y +2 x = 8 Solución: 2log x − log y = 0 log x 2 = log y  x 2 = y     y +2 x 3 2 y +2x = 8 y + 2 x = 3 2 = 2    x2 = y   y = 3 − 2 x  x=

−2±

x 2 = 3 − 2x

→

x 2 + 2x − 3 = 0

4 + 12 − 2 ± 16 − 2 ± 4 = = 2 2 2

→

x = 1 → y = 1    x = −3 (no válida)

Hay una única solución: x = 1, y = 1 Ejercicio nº 50.- Resuelve, aplicando el método de Gauss, el siguiente sistema de ecuaciones:  x + y + 2z = 6   x − 3y − z = 1  x − y − z = −1 Solución: x + y + 2z = 6 1ª x + y + 2z = 6 1ª     x − 3 y − z = 1  2ª − 1ª → − 4 y − 3z = −5  2ª − 2 ⋅ 3ª →   x − y − z = −1  3ª − 1ª − 2y − 3z = −7  3ª Ejercicio nº 51.- Obtén la solución del siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:  x − y + 2z = 7   x + y − 3z = −5 2 x − y + 2z = 9 Solución: x − y + 2z = 7  1ª x − y + 2z = 7 1ª     x + y − 3z = −5 2ª − 1ª → 2y − 5z = −12  2ª − 2 ⋅ 3ª →   2 x − y + 2z = 9  3ª − 2 ⋅ 1ª y − 2z = −5  3ª

→

x − y + 2z = 7    − z = −2   y − 2z = −5 

→

z = 2   y = −5 + 2z = −5 + 4 = −1   x = 7 + y − 2z = 7 − 1 − 4 = 2

Solución : x = 2 , y = −1 , z = 2

- 21 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Ejercicio nº 52.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss: x − 2y + z = 6  3 x + y − z = 7  x − y + 2z = 6 Solución: x − 2y + z = 6 1ª x − 2y + z = 6  1ª     3 x + y − z = 7  2ª − 3 ⋅ 1ª → 7 y − 4z = −11 2ª − 7 ⋅ 3ª →   x − y + 2z = 6 3ª − 1ª y + z = 0 3ª − 11  z= =1 x − 2y + z = 6 − 11     → − 11z = −11  → y = − z = −1  Solución : x = 3 , y = −1 , z = 1    y +z = 0 x = 6 + 2y − z = 6 − 2 − 1 = 3   Ejercicio nº 53.- Halla los valores de x, y, z mediante el método de Gauss: x + y − z = 2  2 x − 2 y + 3z = 1  x + 2 y − z = 4 Solución: y =2 x + y − z = 2  1ª x + y − z = 2   − 3 + 4y − 3 + 8   z= = =1 2 x − 2y + 3z = 1 2ª − 2 ⋅ 1ª → − 4 y + 5z = −3 → 5 5   x + 2y − z = 4  3ª − 1ª y = 2  x = 2 − y + z = 2 − 2 +1= 1 Solución : x = 1 , y = 2 , z = 1 Ejercicio nº 54.- Halla los valores de x, y, z mediante el método de Gauss: x + y − z = 2  2 x − 2 y + 3z = 1  x + 2 y − z = 4 Solución: y =2 x + y − z = 2  1ª x + y − z = 2   − 3 + 4y − 3 + 8   z= = =1 2 x − 2y + 3z = 1 2ª − 2 ⋅ 1ª → − 4 y + 5z = −3 → 5 5   x + 2y − z = 4  3ª − 1ª y = 2  x = 2 − y + z = 2 − 2 +1= 1 Solución : x = 1 , y = 2 , z = 1 Ejercicio nº 55.- Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:  x + 2 y − 2z = 6   x − 3 y + z = −7 2 x − y + z = −3 Solución: x + 2y − 2z = 6  1ª x + 2y − 2z = 6 1ª     x − 3 y + z = −7 2ª − 1ª → − 5 y + 3z = −13  2ª − 3ª →   2 x − y + z = −3 3ª − 2 ⋅ 1ª − 5 y + 5z = −15  3ª : ( − 5 )

- 22 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

2  = −1 −2   → → y = 3 + z = 3 − 1 = 2  Solución : x = 0 , y = 2 , z = −1  x = 6 − 2 y + 2z = 6 − 4 − 2 = 0    Ejercicio nº 56.- Un comerciante compró dos artículos por 30 euros y los vendió por 33,9 euros. En la venta del primer artículo obtuvo un 10% de beneficio y en la venta del segundo artículo ganó un 15%. ¿Cuánto le costó cada uno de los artículos? Solución: Llamamos x al precio del primer artículo e y al precio del segundo. Así: x + y = 30  y = 30 − x  1,1x + 1,15 y = 33, 9 1,1x + 1,15( 30 − x ) = 33, 9 z=

x + 2 y − 2z = 6    − 2z = 2   y − z = 3 

1,1x + 34, 5 − 1,15 x = 33, 9; − 0, 05 x = −0, 6; x = 12 El primer artículo le costó 12 euros y el segundo, 18. Ejercicio nº 57.-

y = 30 − 12 = 18.

La suma de dos números es 12 y la de sus inversos es

3 . ¿Cuales son esos números? 8

Solución: Llamamos x e y a los números que buscamos. Así: x + y = 12  x + y = 12  y = 12 − x   1 1 3  + =  x y 8  8 y + 8 x = 3 xy  8( 12 − x ) + 8 x = 3 x ( 12 − x ) 96 − 8 x + 8 x = 36 x − 3 x 2 ; x 2 − 12 x + 32 = 0;

x=

3 x 2 − 36 x + 96 = 0

12 ±

144 − 128 2

=

12 ±

16

2

=

12 ± 4 2

→

x = 8   x = 4 

→

y=4

→

y =8

Los números son el 4 y el 8. 9  =3  3 x + y + 2z = 6     − 7 + 3z − 7 + 9   → 3z = 9  → y = = = −1  Solución : x = 1 , y = −1 , z = 3 − 2 − 2    − 2y − 3z = −7  x = 6 − y − 2z = 6 + 1 − 6 = 1   Ejercicio nº 58.- Alberto compró 3 bolígrafos y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Solución: Llamamos x al precio de cada bolígrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja. Así:  2, 9 − 3 x 3 x + 2y = 2, 9  3 x + 2y = 2, 9 y=   0, 8 ⋅ 3 x + 0, 85 ⋅ 2y = 2, 42 2, 4 x + 1, 7 y = 2, 42 2 z=

 2, 9 − 3 x  2, 4 x + 1, 7  = 2, 42  2, 4 x + 4, 93 − 5,1x = 2, 42  2 4, 8 x + 4, 93 − 5,1x = 4, 84   2 −0, 3 x = −0, 09  x = 0, 3 → y = 1 Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro. Ejercicio nº 59.- En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen; pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 2 100 envíos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. ¿Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron ese día?

- 23 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

UNIDAD 3: ÁLGEBRA. 1ºBCN (MATEMÁTICAS I).

Solución: Llamamos x al número de envíos válidos e y al número de envíos defectuosos. Así: x + y = 2 100  y = 2 100 − x 6 x − 8 y = 9 688  6 x − 8( 2 100 − x ) = 9 688 6 x − 16 800 + 8 x = 9 688; 14 x = 26 488; x = 1892 y = 2 100 − 1892 = 208 Por tanto, el número de envíos válidos fue de 1 892 y el de envíos defectuosos, 208. Ejercicio nº 60.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 4( x + 1) − 2 ≤ 0  2x + 4 ≥ 6  Solución: 4( x + 1) − 2 ≤ 0 4 x + 4 − 2 ≤ 0 4 x ≤ −2 x ≤ − 2  x ≤ − 1    4  2 2x + 4 ≥ 6 2x + 4 ≥ 6  2x ≥ 2   x ≥ 1  x ≥1

Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución. Ejercicio nº 61.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 3x − 2 < 4   2 x + 6 > x − 1 Solución: 3 x − 2 < 4  3 x < 6 x < 2   2 x + 6 > x − 1 x > −7 x > −7

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x < 2 y x > −7} = {x / −7 < x < 2} = (−7, 2) Ejercicio nº 62.- Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: − 2x + 4 ≤ − 2 Solución: • Resolvemos la inecuación: − 2x + 4 ≤ − 2 → − 2x ≤ − 6 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3 Soluciones: { x / x ≥ 3 } = [3, + ∞) La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta y = −2x + 4 va por debajo (coincide) con la recta y = −2. Es decir, −2x + 4 ≤ −2

Ejercicio nº 63.- Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: 2x + 1 > −5 Solución: • Resolvemos la inecuación: 2x + 1 > −5 → 2x > −6 → x > −3 Soluciones: {x / x > −3} = (−3, +∞) • Interpretación gráfica: para valores de x mayores que −3, la recta y = 2x + 1 va por encima de la recta y = −5. Es decir, 2x + 1> −5.

- 24 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”

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Ejercicio nº 64.- Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: x2 + x − 6 ≤ 0 Solución: x = 2 − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5  x2 + x − 6 = 0 → x = = = →  2 2 2  x = −3  La parábola y = x2 + x − 6 corta al eje X en −3 y en 2. En el intervalo [−3, 2], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−3, 2].

- 25 IES Dr Francisco Marín (Siles)

Fuente: CD evaluación “Anaya”