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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TAPACHULA

Catedrático: ING. MUÑOZ LÓPEZ ROSEL

Materia: MATEMATICAS DISCRETAS.

Integrantes: AGUIRRE BRAVO VICTOR MANUEL. CRUZ CHÁVEZ GUILLERMO ARMANDO. REYES OVANDO CLEIBER RAUL.

1° SEMESTRE C

UNIDAD 2

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TAPACHULA DE CÓRDOVA Y ORDÓÑEZ A 5 DE OCTUBRE DEL 2015

“ÍNDICE”

Conjuntos __________________________________________________________lV 2.1 Característica de los conjuntos _______________________________________lV 2.1.1 Conjunto universo, vacío __________________________________________V 2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios _____________V 2.1.3 Subconjuntos ___________________________________________________Vl 2.1.4 Conjunto potencia _______________________________________________vll 2.2 Operaciones en conjuntos

________________________________________VllI

2.3 Propiedades de los conjuntos ________________________________________IX 2.4 Aplicaciones de conjuntos ___________________________________________X Conclusión ______________________________________________________XII

“Introducción”

En este trabajo se analizaran todo acerca de los conjuntos, tiene muchos tipos de conjuntos que se dispersan en variables o constantes, sus características son como objetos que pueden ser personas, colores, números, etc. conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento, números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios que se representan a través de diagramas como el de venn. Radicando que a partir de los conjuntos se reconstruyen las matemáticas los cuales son de suma importancia para la materia.

CONJUNTOS Un conjunto, es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

A; es el conjunto de los números naturales menores que 5. B; es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C; es el conjunto de las letras a, e, i, o y u. D; es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A, ♠ ∈ D Amarillo ∉ B, z ∉ C

2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

2.1.1 CONJUNTO UNIVERSO VACIÓ

En lógica y matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos y lógica de clases, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.

2.1.2 NÚMEROS NATURALES REALES E IMAGINARIOS

ENTEROS

RACIONALES

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. [Cita requerida] Sus características estructurales más importantes son:

1. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

3. Admiten relación de orden

4. Admiten relación de equivalencia

5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

Números naturales El 1 Números primos Números compuestos Números enteros El cero Números enteros negativos Números racionales Números irracionales Números reales Número imaginario Extensiones de los números reales Números complejos Números complejos algebraicos 8. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números complejos. 9. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del diagrama del Dominó o de Llaves. Los números enteros constituyen a los naturales. Los racionales son fracciones y enteros.

2.1.3 SUBCONJUNTOS

En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A “está contenido” dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un supe conjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:

A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B, B es un súper conjunto de A, y se denota B ⊇ A Otras maneras de decirlo son “A está incluido en B”, “B incluye a A”, etc.

Ejemplos.

El “conjunto de todos los hombres” es un subconjunto del “conjunto de todas las personas”. {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4} {2, 4, 6,…} ⊆ {1, 2, 3,..} = N ({Números pares} ⊆ {Números naturales})

2.1.4 CONJUNTO POTENCIA En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S. Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S entonces su conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del nésimo elemento de S. Hay 2n tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales.

2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN INTERSECCIÓN COMPLEMENTO DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:



Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.



Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.



Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.



Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.



Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a “A” y su segundo elemento “b” pertenece a “B”.

2.3 PROPIEDAD DE CONJUNTOS

- Propiedad Idempotente “A υ A=A”

Propiedad Conmutativa. “A υ B= B υ A”

- Intersección con el Vacío

- Propiedad Asociativa “(A υ B ) υ C = A υ (B υ C)”

.

Propiedad Distributiva “A U (B ᴨ C)= (A U B) ᴨ (A U C)”

2.4 APLICACIONES DE CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

“Conclusión”

Se pudo dar a conocer lo que son los conjuntos en matemáticas para que sirve cada punto, pudimos conocer sus características, números, potencia, propiedades, aplicaciones. Cada conjunto brinda las mejores posibilidades tanto como analistas e ingenieros facilitan el trabajo y elección de varias alternativas ara la solución del problema el cual logre ser resuelto con mayor eficacia, se aprendió cada punto relevante para darle aplicación a las matemáticas en la construcción de conjuntos.