Unidad 2 Ecuaciones[1]
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Unidad 2 Ecuación de segundo grado TEMA: Ecuación de Segundo Grado El tema de las ecuaciones de segundo grado corresponde a la unidad de solución de ecuaciones del programa de Matemática Básica. La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos. En esta sección aplicaremos distintos métodos para resolver ecuaciones de segundo grado y sus diferentes formas tales como: 1) Ecuaciones de segundo grado completa e incompleta 2) Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado
OBJETIVOS: Los Cursantes serán capaces de resolver ecuaciones de Segundo Grado aplicando diferentes métodos y situaciones a) b) c) d) e)
Resolver ecuaciones por factorización Resolver ecuaciones completando cuadrado Resolver ecuaciones por la fórmula general Resolver ecuaciones completas Resolver ecuaciones incompletas
La asignatura Matemática Básica se ofrece en el ciclo Básico a todos los estudiantes que ingresan al programa de formación de maestros en entorno virtual de la escuela de pedagogía de la Universidad Autónoma de Santo Domingo, por lo tanto el grupo al cual corresponde esta clase es muy heterogéneo. Estos contenidos están desarrollados en la unidad 2, en esta unidad tendremos un foro para aclarar dudas que puedan tener.
Contenido de la Unidad 2 Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en
es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera: 1.- Completa: Tiene la forma canónica:
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Métodos de solución: Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Incompleta pura: Es de la forma:
donde los valores de a y de c son distintos de cero.
Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0 3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.
Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
, donde el símbolo "±" indica que los dos valores y son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula celebérrima tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. se le conoce como discriminante A la expresión dentro de la raíz cuadrada y en función del mismo la ecuación admite tres tipos de soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo; 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero; 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo. http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo
Método de factorización: 1. Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución. Por ejemplo: si tenemos 6x²-7x = 3 Entonces, igualando a ceros tenemos 6x²-7x - 3 = 0 Para factorizar podemos tantear los siguientes factores:
(2x ± 3)(3x ± 1) Ya que vemos que (2x)(3x) = 6x² y el último término es -3 por lo que podemos suponer que los segundos términos de cada factor es -3 y +1. Finalmente la factorización correcta es (2x - 3)(3x + 1) = 0. La solución de la ecuación es cuando cada factor es igual a cero, ya que la ecuación es igual a cero.
2x - 3 = 0, por lo que 2x = 3 x = 3/2 3x + 1 = 0, por lo que 3x = -1 x = 1/3
2. Método de Completar Cuadrado Por ejemplo: si tenemos 4x²+12x = 7 Por inspección vemos que el lado izquierdo de la ecuación sería un cuadrado perfecto si tuviera un nueve. Vamos a agregar el 9 a ambos lados:
4x² +12x + 9 = 7 + 9 (2x + 3²) = 16
2x + 3 = ± √ 16 = ± 4 2x + 3 = 4, 2x = 1, x = 1/2 2x + 3 = -4, 2x = -7, x = -7/2
3. Método de la fórmula cuadrática. Si es difícil factorizar, entonces siempre puedes resolver cualquier ecuación cuadrática utilizando la fórmula:
Ejemplo:
Así que reemplazando los valores a = 2, b = 10 y c = 12:
Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el -
http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/solucion_de_ecuaciones_2o_grad.html
Casos de las Raíces En formula general de la ecuación x2 + bx + c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
1) b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
2) b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.
3) b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.
Soluciones complejas conjugadas
Ejemplos: Completa: Tiene la forma canónica, donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero:
ax2 + bx + c = 0
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu_Contenidos.html
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0 Extraemos factor común x:
ax2 + c = 0 Despejamos:
Soluciones complejas conjugadas Nota: Las soluciones complejas suelen denominarse incompatibles En estas direcciones puede encontrar mas ayuda
http://www.genmagic.org/mates5/sg1c.swf http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/solucion_de_ecuaciones_2o_grad.html http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=1 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
Resuelve las siguientes ecuaciones
OBJETIVOS: Los Cursantes serán capaces de resolver ecuaciones de Segundo Grado aplicando diferentes métodos y situaciones a) b) c) d) e)
Resolver ecuaciones por factorización Resolver ecuaciones completando cuadrado Resolver ecuaciones por la fórmula general Resolver ecuaciones completas Resolver ecuaciones incompletas
La asignatura Matemática Básica se ofrece en el ciclo Básico a todos los estudiantes que ingresan al programa de formación de maestros en entorno virtual de la escuela de pedagogía de la Universidad Autónoma de Santo Domingo, por lo tanto el grupo al cual corresponde esta clase es muy heterogéneo. Estos contenidos están desarrollados en la unidad 2, en esta unidad tendremos un foro para aclarar dudas que puedan tener.
Contenido de la Unidad 2 Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en
es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera: 1.- Completa: Tiene la forma canónica:
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Métodos de solución: Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Incompleta pura: Es de la forma:
donde los valores de a y de c son distintos de cero.
Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0 3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.
Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
, donde el símbolo "±" indica que los dos valores y son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula celebérrima tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. se le conoce como discriminante A la expresión dentro de la raíz cuadrada y en función del mismo la ecuación admite tres tipos de soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo; 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero; 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo. http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo
Método de factorización: 1. Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución. Por ejemplo: si tenemos 6x²-7x = 3 Entonces, igualando a ceros tenemos 6x²-7x - 3 = 0 Para factorizar podemos tantear los siguientes factores:
(2x ± 3)(3x ± 1) Ya que vemos que (2x)(3x) = 6x² y el último término es -3 por lo que podemos suponer que los segundos términos de cada factor es -3 y +1. Finalmente la factorización correcta es (2x - 3)(3x + 1) = 0. La solución de la ecuación es cuando cada factor es igual a cero, ya que la ecuación es igual a cero.
2x - 3 = 0, por lo que 2x = 3 x = 3/2 3x + 1 = 0, por lo que 3x = -1 x = 1/3
2. Método de Completar Cuadrado Por ejemplo: si tenemos 4x²+12x = 7 Por inspección vemos que el lado izquierdo de la ecuación sería un cuadrado perfecto si tuviera un nueve. Vamos a agregar el 9 a ambos lados:
4x² +12x + 9 = 7 + 9 (2x + 3²) = 16
2x + 3 = ± √ 16 = ± 4 2x + 3 = 4, 2x = 1, x = 1/2 2x + 3 = -4, 2x = -7, x = -7/2
3. Método de la fórmula cuadrática. Si es difícil factorizar, entonces siempre puedes resolver cualquier ecuación cuadrática utilizando la fórmula:
Ejemplo:
Así que reemplazando los valores a = 2, b = 10 y c = 12:
Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el -
http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/solucion_de_ecuaciones_2o_grad.html
Casos de las Raíces En formula general de la ecuación x2 + bx + c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
1) b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
2) b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.
3) b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.
Soluciones complejas conjugadas
Ejemplos: Completa: Tiene la forma canónica, donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero:
ax2 + bx + c = 0
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu_Contenidos.html
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0 Extraemos factor común x:
ax2 + c = 0 Despejamos:
Soluciones complejas conjugadas Nota: Las soluciones complejas suelen denominarse incompatibles En estas direcciones puede encontrar mas ayuda
http://www.genmagic.org/mates5/sg1c.swf http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/solucion_de_ecuaciones_2o_grad.html http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=1 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
Resuelve las siguientes ecuaciones
