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2.1 REDUCCIÓN DE CIRCUITOS SERIE-PARALELO La ley de Ohm, es una propiedad específica de ciertos materiales. La relación V = (I) (R) es un enunciado de la ley de Ohm. Un conductor cumple con la ley de Ohm sólo si su curva V-I es lineal; esto es si R es independiente de V y de I. La relación R = V/I sigue siendo la definición general de la resistencia de un conductor, independientemente de si éste cumple o no con la ley de Ohm. La intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente: RESISTENCIAS EN SERIE Y PARALELO: Analizar y simplificar un circuito serie o paralelo de resistencias es sencillo pues sólo es necesario hacer la simplificación correspondiente con ayuda de las fórmulas que se conocen. La situación es diferente cuando se tiene que simplificar un circuito que está compuesto por combinaciones de resistencias en serie y paralelo. Para simplificar un circuito complejo y obtener la resistencia equivalente, se utiliza un método de reducción y se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se reordena o reacomoda el circuito que se desea simplificar, de modo que vean claramente las partes dentro del circuito, que ya estén conectados en serie y paralelo. 2- A cada una de estas partes se le asigna un nuevo nombre, por ejemplo RA, RB, RC, RD, etc. 3- Se obtiene la resistencia equivalente de cada parte con ayuda de las fórmulas ya conocidas. (resistencias en serie y resistencias en paralelo)

4- Se reemplazan las partes dentro del circuito original con los valores de las resistencias equivalentes (RA, RB, etc.) obtenidas en el paso anterior 5- Se analiza el circuito resultante y se busca combinaciones (partes) adicionales serie y paralelo que hayan sido creadas. 6- Se repite nuevamente el proceso a partir del paso 2 con nombres diferentes para las resistencias equivalentes para evitar la confusión (ejemplo: RX, RY, RZ, etc.), hasta obtener una sola resistencia equivalente final de todo el circuito. LEYES DE KIRCHOFF LEY DE LOS NODOS O LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF: (KCL - Kirchhoff's Current Law - en sus siglas en inglés o LCK, ley de corriente de Kichhoff, en español) En todo nudo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. Un enunciado alternativo es: en todo nudo la suma algebraica de corrientes debe ser 0.

LEY DE CIRCUITO DE KIRCHHOFF: (KVL - Kirchhoff's Voltage Law - en sus siglas en inglés. LVK - Ley de voltaje de Kirchhoff en español) En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices. Un enunciado alternativo es: en toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico debe ser cero.

DIVISOR DE VOLTAJE Un divisor de voltaje será creado siempre que usted tenga dos resistencias (o Impedancias) en serie, con el punto "de despegue" de señal entre los dos. Divisor de Voltaje Básico este circuito es usado tanto en AC como DC y funciona idénticamente. El divisor de voltaje viene determinado por la siguiente fórmula. Vd = 1 + (R1 / R2) Donde Vd es el ratio de división de voltaje. Así, usando dos resistencias de 1K, (Caso 1) la división de voltaje es: 1 + (1 / 1) = 2. 1V a la entrada proporcionará 0.5V a la salida, y esto es verdad para DC, AC (RMS) o picos AC (según medida en osciloscopio). DIVISOR DE CORRIENTE Un divisor de corriente es una configuración presente en circuitos eléctricos que puede fragmentar la corriente eléctrica de una fuente en diferentes impedancias conectadas en paralelo. Supóngase que se tiene una fuente de corriente Ic, conectada en paralelo con ‘’n’’ impedancias. La polaridad negativa de la fuente Ic- debe estar conectada al nodo de referencia. Las impedancias deben cerrar el circuito. I2=Ic * R1 / (R1+R2) En un circuito en paralelo se reparte la corriente en forma proporcional a la conductancia y el circuito en serie se reparte la corriente en forma proporcional a las resistencias

EJERCICIOS 1. Halle todos los voltajes, circuito equivalente, corrientes, y potencias del siguiente circuito. R// R (Ohm) I (A) V (v) P (w) 1 70/61 A 70/61 v 4900/3721 w 2 60/61 A 120/61 v 7200/3721 w 3 5/61 A 15/61 v 75/3721 w 4 5/61 A 20/61 v 100/3721 w 5 5/61 A 25/61 v 125/3721 w 6 70/61 A 420/61 v 29400/3721 w 2. Halle todos los voltajes, circuito equivalente, corrientes, y potencias del siguiente circuito. R// R (Ohm) I (A) V (v) P (w) 12A2v4w 2 2/3 A 2/3 v 8/9 w 3 4/3 A 4 v 16/3 w 4 2/3 A 8/3 v 16/9 w

3. Halle todos los voltajes, circuito equivalente, corrientes, y potencias del siguiente circuito. R// R (Ohm) I (A) V (v) P (w) 11A1v1w 2 89/19 A 178/119 v 15542/2261 w 3 30/19 A 90/119 v 2700/2261 w 4 22/119 A 88/119 v 1936/14161 w 5 2/119 A 10/119 v 20/14161 w 6 2/119 A 12/119 v 24/14161 w 4. Halle todos los voltajes, circuito equivalente, corrientes, y potencias del siguiente circuito. R// R (Ohm) I (A) V (v) P (w) 1 325/569 A 325/569 v 0.3262 w 2 135/569 A 270/569 v 0.112 w 3 190/569 A 570/569 v 0.334 w 4 75/569 A 300/569 v 0.069 w 5 60/569 A 300/569 v 0.05 w 6 325/569 A 1950/569 v 1.957 w

5. Halle todos los voltajes, circuito equivalente, corrientes, y potencias del siguiente circuito. R// R (Ohm) I (A) V (v) P (w) 2 6805/5113 A 13610/5113 v 3.54270 w 3 3985/5113 A 11955/5113 v 1.82232 w 4 0.3063 A 3063/2500 v 0.375278 w 5 0.2225464 A 1.112730 v 0.2476 w 6 6461/12000 A 3.23050 v 1.73935 w 7 6461/12000 A 1.507566 v 0.324 w 8 6461/30000 A 1.722933 v 0.37106 w 9 0.08377 A 0.753784 v 0.0631 w 6. Considere el circuito y determine el valor de la potencia suministrada por la rama B y la potencia suministrada por la rama F. R// 0=2A-4A-I+1 F=3w I=-1 B=12w 7. Determine los valores de I2, I4, V2, V3 Y VC . R// 0=I2+6A-2A V2=6v

I2=-4A V3=-4v I4=5A V6=-3v 8. Considerar en el circuito: A. Suponer que R1=6 Ohm y R2=3 Ohm. Encontrar la corriente I y el voltaje v. B. Suponer que I=1.5 A y V=2V. Determinar las resistencias R1 y R2. C. Suponer en cambio que la fuente de voltaje suministra 24 w y que la fuente de la corriente suministra 9 w de potencia. Determinar la corriente I, el voltaje v y las resistencias R1 y R2. R// A.R1= 6 Ohm y R2=3 Ohm B. I=1.5A y V=2v I=V/R= (12v)/ (6 Ohm) =2A R1=V/I= (12v)/ (1.5A) =8 Ohm V=I*R= (3A)*(3 Ohm) =9v R2=V/I= (2v)/ (3A) =0.66 Ohm 9. Considerar el circuito que se muestra en la figura. Suponer que R1=6 Ohm y R2=3 Ohm. Encontrar la corriente I y el voltaje v. R// I=V/R I= (12v)/ (6 Ohm) =2A V=I/R V= (3A)/ (3 Ohm) =9v

10. Determinar el valor de R en el circuito B que hace que hace que el circuito B sea equivalente al circuito A. R// R= (1)/ ((1/29)+ (1/48))=16+16=32 Ohm El valor de la resistencia es de 32 Ohm. 11. En el circuito anterior encuentre la corriente I y el voltaje v. R// I=V/R= (24v)/ (24 Ohm)=1A V=I*R= (1A)*(24 Ohm) =24v

2.2 Reducción delta estrella Teorema de MILLMAN En ocasiones nos podemos encontrar con circuitos donde no hay elementos en serie ni en paralelo. El teorema de Millman permite transformar un conjunto de tres resistencias en conexión estrella en otras tres resistencias equivalentes conectadas en triángulo o viceversa. Las tensiones, intensidades y potencias en el resto del circuito seguirán siendo las mismas. Aunque el circuito resultante no se ve simplificado, aplicando convenientemente este teorema, podemos transformar un circuito no simplificable en otro en el que sí es posible aplicar las reglas de asociación serie y paralelo. ESTRELLA (T, Y)

Conversión de triángulo a estrella

TRÁNGULO (∆, Π)

Regla: La resistencia de cualquier rama de la red en Y es igual al producto de los dos lados adyacentes de la red ∆ dividido entre la suma de las tres resistencias del ∆ Conversión de estrella a triángulo

Regla: Una resistencia de cualquier lado de la red ∆ es igual a la suma de las resistencias de la red Y multiplicadas de dos en dos y divididas por la resistencia opuesta de la red estrella Ejemplo1: Hallar la resistencia equivalente entre los puntos a y d del circuito Solución: RT=3,667Ω

Ejemplo2: Encontrar la resistencia equivalente RT y la tensión V0 en el circuito de la figura Solución: RT=3Ω

2.3 Análisis topológico de nodos y mallas Conocer para cada una de las ramas de un circuito sus voltajes de rama y sus corrientes de rama permiten realizar todos los cálculos requeridos en el circuito. Una manera de calcular estos valores es la aplicación de las leyes de Kirchhoff, la ley de Ohm y el principio de conservación de potencia. En un circuito tenemos siete ramas y seis nodos. Por tanto tendremos catorce variables: siete voltajes de rama y siete corrientes de rama. Si una de las variables de las ramas es conocida, por ejemplo si la rama AD corresponde a una fuente de voltaje conocida y las demás son resistencias conocidas, tendríamos trece incógnitas. De manera que debemos escribir trece ecuaciones. Para obtenerlas podemos hacer: dos de KVL para los dos caminos cerrados ABCDA y BEHCB, seis de KCL para los seis nodos, seis de la ley de Ohm para las seis ramas (resistencias) y una para la conservación de potencia. Esto nos da un total de 21 ecuaciones. Entre todas estas posibilidades, ¿cuáles seleccionar para tener un conjunto de trece ecuaciones linealmente independientes con trece incógnitas?

Los métodos de análisis de nodos y mallas son herramientas que permiten la aplicación organizada y sistemática de las leyes de Kirchhoff (KVL o KCL) para resolver problemas complejos con un número de incógnitas y ecuaciones linealmente independientes muy reducido. En el método de análisis de nodos nos interesa conocer los voltajes de nodo para cada nodo del circuito. En el método de análisis de mallas nos interesa conocer las corrientes de malla para cada malla del circuito. A partir de estas variables 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS 36 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes calculadas (voltaje de nodos o corrientes de malla) se pueden calcular todos los voltajes de rama y todas las corrientes de rama: los voltajes de rama se calculan como la diferencia entre los voltajes de nodos de los dos nodos de la rama; las corrientes de rama como la suma algebraica de las corrientes de lazo que pasan por la rama. Por el método de análisis de nodos, tendríamos seis incógnitas (seis nodos), los cuales se convierten en cinco si uno de los nodos es el de referencia. Por el método de lazos con tan solo dos incógnitas (corrientes de las dos mallas) y dos ecuaciones sería suficiente. Es importante anotar que con ninguno de los dos métodos tenemos el total de las variables directamente, pero se pueden calcular fácilmente a partir de ellas utilizando KVL y KCL. ANÁLISIS POR NODOS En el análisis por nodos se parte de la aplicación de KCL a cada nodo del circuito para encontrar al final todos los voltajes de nodo del circuito. Para que el sistema de ecuaciones sea consistente debe haber una ecuación por cada nodo. Así el número de incógnitas (voltajes de nodo) es igual al número de ecuaciones (una por nodo). De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccione el nodo de referencia se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes:

• Fuentes de corriente independientes • Fuentes de corriente controladas • Fuentes de voltaje independientes a tierra • Fuentes de voltaje independientes flotantes • Fuentes de voltaje controladas a tierra • Fuentes de voltaje controladas flotantes Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de nodos. El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de corriente independientes y fuentes de voltaje independientes a tierra. Este método NO aplica a los circuitos que tienen: 1. fuentes flotantes de voltaje (se usa el método de supernodos) 2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora) Si el circuito solo tiene fuentes de corriente independientes entonces se aplica el método general por el sistema llamado de inspección. ANÁLISIS POR MALLAS En el análisis de mallas se parte de la aplicación de KVL a un conjunto mínimo de lazos para encontrar al final todas las corrientes de lazo. A partir de las corrientes de lazo es posible encontrar todas las corrientes de rama. El número de lazos que se pueden plantear en un circuito puede ser muy grande, pero lo importante es que el sistema de ecuaciones represente un conjunto mínimo de lazos independientes.

Este conjunto mínimo es cualquiera en el cual todos los elementos (ramas) hayan sido tenidos en cuenta en al menos una malla. Las otras posibles mallas serán entonces redundantes. Aquí también el número de incógnitas (corrientes de lazo) debe ser igual al número de ecuaciones (una por malla del conjunto mínimo). De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccionen las mallas se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes: • Fuentes de corriente controladas • Fuentes de voltaje independientes • Fuentes de voltaje controladas • Fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas • Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de mallas. El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de voltaje independientes y fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas. Este método NO aplica a los circuitos que tienen: 1. Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas (se usa el método de supermalla) 2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora) Si el circuito solo tiene fuentes de voltaje independientes entonces se aplica el método general por el sistema llamado de inspección.

El número mínimo de lazos independientes que hay que definir para tener un sistema de ecuaciones linealmente independientes que se deben tener está dado por la siguiente relación: # Lazos independiente = # ramas – # nodos + 1 Para que un conjunto de lazos sea independiente se requiere que en cada uno de ellos exista al menos un elemento que haga parte de los otros lazos.

2.4 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Principio de Superposición Si en un sistema lineal la respuesta a una excitación xk (k=1,2,…,n) es una salida yk, la respuesta a una excitación compuesta por una combinación lineal de las excitaciones xk es una salida que es la misma combinación lineal de las excitaciones xk. La linealidad (y el principio de superposición) sólo se mantiene si las salidas son tensiones o corrientes y no si son potencias o energías. Aplicación del Principio de Superposición 

1º. Eliminar todas las fuentes independientes menos una y hallar la respuesta debida solamente a dicha fuente.



2º. Repetir el primer paso para cada una de las fuentes independientes que haya en el circuito.



3º. Sumar las repuestas parciales obtenidas para cada fuente.

Las fuentes independientes de tensión se anulan cortocircuitándolas (así se impone la condición de tensión generada nula), mientras que las de corriente se anulan abriendo el circuito (corriente nula). Aplicación del Principio de Superposición (cont.)

2.5 Teorema de Thevenin y Norton. Teorema de Thevenin El teorema de Thevenin proporciona una técnica para sustituir la parte fija por un circuito equivalente sencillo. Establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de tensión VTH en serie con una resistencia RTH.

*Calculo de la tensión equivalente de Thevenin: *Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto.

*Cálculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTH: *Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTH coincide con la resistencia RIN vista en los terminales del circuito.

*Poner las fuentes independientes a cero significa: 1.- Cortocircuitar las fuentes independientes de tensión. 2.- Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente.

*Determinación de entrada Rin: Caso 1: Circuito SIN fuentes dependientes. 1.- Se ponen las fuentes independientes a cero. 2.- Se calcula Rin mediante asociación de resistencias.

Caso 2: Circuito CON fuentes dependientes. 1.- Se ponen las fuentes independientes a cero. 2a. Se aplica una fuente de tensión Vo entre los terminales AB y se calcula la corriente Io que circula por la fuente. 2b. O bien, se aplica una fuente de corriente Io entre los terminales AB y se calcula la tensión Vo entre dichos terminales. Rin=Vo/Io

Teorema de Norton.

El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de corriente In en paralelo con una resistencia Rn.

*Calculo de la corriente de Norton: Utilizamos como circuito de carga un corto circuito.

*Cálculo de la resistencia de Norton: Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformación de fuentes.

Thevenin y Norton. 

El teorema de Thévenin nos dice que podemos reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia de tal forma que la relación corriente—voltaje en la carga se conserve sin cambios.

La metodología para aplicar el Teorema de Thévenin es la siguiente: 1. Identifique en el circuito la red A que contiene a los elementos de alimentación a la carga; y la red B que contiene a la carga. 2. Desconecte la red B, dejando las terminales en circuito abierto. 3. Determine el voltaje de en las terminales del circuito abierto utilizando las técnicas de análisis de circuitos. El voltaje encontrado corresponde al voltaje de Thévenin del modelo equivalente (VTH). 4. Para determinar la resistencia de Thévenin (RTH), elimine todas las fuentes independientes del circuito: Si no existen fuentes dependientes, determine la resistencia equivalente tomando como referencia el circuito abierto, este valor corresponde a la resistencia equivalente de Thévenin (RTH) 9 De existir fuentes dependientes, en el circuito abierto coloque una fuente voltaje de 1 V o de corriente de 1 A; determine la corriente o el voltaje en la fuente agregada según sea el caso y aplique la ley de Ohm para determinar el valor de la resistencia equivalente (RTH) 

El teorema de Norton es idéntico al teorema de Thévenin con la excepción de que el circuito equivalente es una fuente de corriente independiente en paralelo con una resistencia.

La metodología para aplicar el Teorema de Norton es la siguiente:

1. Identifique en el circuito la red A que contiene a los elementos de alimentación a la carga; y la red B que contiene a la carga. 2. Desconecte la red B, dejando las terminales en corto circuito. 3. Determine la corriente que circula entre las terminales del corto circuito utilizando las técnicas de análisis de circuitos. La corriente encontrada corresponde a la corriente de Norton del modelo equivalente (IN). 4. La resistencia de Norton (RN) se determina de la misma manera que la resistencia de Thévenin (RTH).

Relación entre Thevenin y Norton.

2.6 Teorema de máxima transferencia de potencia. El equivalente de Thevenin es útil para hallar la máxima potencia que un circuito lineal puede suministrar a una carga. Supóngase que se puede ajustar la resistencia de carga RL. Si el circuito entero se reemplaza por su equivalente de Thevenin exceptuando la carga, como se muestra en la figura 4.48, la potencia suministrada a la carga es:

En un circuito dado, VTh y RTh son fijos. Al variar la resistencia de carga RL, la potencia suministrada a la carga varía como se indica gráficamente en la figura 4.49. En esta figura se advierte que la potencia es mínima para valores pequeños o grandes de RL, pero máxima respecto de algún valor de RL entre 0 y ∞. Ahora se debe demostrar que esta máxima potencia ocurre cuando RL es igual a RTh. Esto se conoce como teorema de máxima potencia. La máxima potencia se transfiere a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin vista desde la carga (RL = RTh).

Para comprobar el teorema de la máxima transferencia de potencia, se deriva p en la ecuación (4.21) respecto a RL y se fija el resultado en cero. De ello se obtiene

La máxima potencia transferida se obtiene sustituyendo la ecuación (4.23) en la ecuación (4.21), de lo que resulta

La ecuación (4.24) sólo se aplica cuando RL = RTh. Cuando RL ≠ RTh, la potencia suministrada a la carga se calcula mediante la ecuación (4.21).

2.7 Aplicación de software transferencia de potencia TÍTULO: Software de Análisis de Circuitos Mediante Métodos Avanzados de Resolución para uso docente. Autor: Ayose Lomba Pérez. Tutor/es: José Miguel Monzón Verona y Antonio Andrés Ocón Carreras. Fecha Lectura: Septiembre 2009.

Web: www.avalon-alp.es Descripción: La actividad pionera por la que se caracteriza la U.L.P.G.C. y su firme apuesta por la divulgación y uso de software libre han dado paso en los últimos años a la aparición de la Oficina del Software Libre (OSL) y a la elaboración de nuestra propia distribución GNU/Linux basada en Ubuntu y bautizada como SILU (acrónimo de Sistema Informático Libre Universitario). La posibilidad de satisfacer las necesidades técnicas de distintas asignaturas de la titulación de Ingeniero Industrial y la tendencia anteriormente citada de la universidad ha promovido la idea de este proyecto.

El desarrollo propio de aplicaciones gratuitas es una característica de innovación y un claro ejemplo de reutilización de los propios recursos. Además de una mejora en la capacidad de redistribución de los presupuestos asignados a los departamentos. Debemos tener presente que todo software libre no supone coste alguno en su utilización y explotación en ninguna de sus diferentes posibilidades de licencias. La idea de crear un programa abierto nace de la posibilidad de un continuo crecimiento del mismo con las aportaciones que puede tener por parte de los usuarios en las diferentes asignaturas para las que está pensado y por la comunidad de software libre. Acceder al código de un programa de análisis de circuitos facilita la comprensión de los mismos lo cual mejora el alcance que pueden tener asignaturas no sólo troncales sino de especialidad como es ampliación de teoría de circuitos. Conocida las similitudes entre métodos de cálculo en electricidad y en estructuras, el motor básico desarrollado de nuestro programa en este proyecto, no sólo abre una puerta a la elaboración de más librerías para la especialidad de electricidad. Sino que también hace posible el desarrollo de funciones y nuevas librerías para análisis de estructuras y sistemas mecánicos. Objetivos. La finalidad de este proyecto fué la creación de un software base de análisis de circuitos lineales con una librería de elementos desarrollada para tal estudio, que a su vez pueda ser ampliado mediante el diseño de nuevas librerías de otro tipo de elementos. Este programa se desarrolló haciendo uso exclusivo de software libre por lo que se presentó en licencia GPL v 3.0 dejando su utilización, distribución y mejora del código completamente abierto para la comunidad universitaria y sus diferentes usuarios.

El software desarrollado hace uso de métodos avanzados de resolución de circuitos. Para su correcto funcionamiento se implementó un entorno gráfico que facilita la elaboración de los circuitos, para lo que utilizó un programa de dibujo. Tras el diseño del esquema inicial se crearon las funciones pertinentes para analizar, calcular y representar las diferentes variables eléctricas del circuito. Todo este proceso quedó embebido en un único entorno que se procuró de intuitivo y de fácil manejo al que se denomina Ávalon. Se adjuntó un manual de usuario del programa así como formas de generar nuevos elementos que no estén recogidos en la librería inicial, que es perfectamente modificable configurable y ampliable. Se presentó todo su código explicado con detalle, además de ejemplos de circuitos elaborados y analizados paso a paso a modo de tutoriales. A su vez, todo la base matemática de los métodos y la justificación de los mismos se expone con detalle para una mejor asimilación del funcionamiento del software. Todo el programa se desarrolló en C++ bajo una distribución Linux. El uso de las librerías gráficas Qt desarrolladas por la empresa Nokia-Qt (Antigua TROLLTECH) garantizará que nuestro programa podrá ser instalado en los diferentes sistemas operativos del mercado libres y de pago. PÓSTER