Unidad 1 Grupal- Vectores Matrices Y Determinantes (1) (1).docx

TRABAJO GRUPAL UNIDAD 1 (VECTORES, MATRICES Y DETERMIANTES)

Tutor: WILLIAM MAURICIO SAENZ En la asignatura de: ALGEBRA LINEAL

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD MAYO 2016

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo, se presenta el desarrollar de la actividad, ciclo de la tarea, unidad 1 (Vectores, matrices y determinantes) del curso “Algebra Lineal” de acuerdo con los parámetros y requerimientos establecidos en la guía de actividades y en la rúbrica de evaluación. Los ejercicios que aquí se plantean, están directamente relacionados con las temáticas planteadas en la documentación del curso algebra lineal.

PROBLEMAS A DESARROLLAR

1. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares? a) ||𝑍|| = √(𝑥)2 + (𝑦)2

||𝑍|| = √(2)2 + (1)2 ||𝑍|| = √4 + 1 ||𝑍|| = √5 ||𝑍|| = 2,23𝑚

b) tan 𝜃 =

𝑦 𝑥

=

1

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 0,5 𝜃 = 26.56°

2

= 0,5

2. Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y gráfica

𝑣1 = 300 𝑐𝑜𝑠60 𝑖 + 300 𝑠𝑒𝑛60𝑖 𝑣1 = 150 𝑖 + 260 𝑗 𝑣2 = 500 cos 330 𝑖 + 500𝑠𝑒𝑛330𝑗 𝑣2 = 433𝑖 − 250𝑖 𝑣3 = 300𝑐𝑜𝑠270𝑖 + 300𝑠𝑒𝑛2770𝑗 𝑣3 = 𝑂𝑖 − 300𝑗

𝑅 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 𝑅 = (150 + 433 + 0)𝑖 + (260 − 250 − 300)𝑗 𝑅 = 583𝑖 − 290𝑗 |𝑅| = √(583)2 + (−290)2 = √423989 = 651.14𝑚 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

−290 583

−290 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 583 𝜃 = −26.44° 𝜃 = 360° − 26.44° = 333.5°

V1 300m

V2 500m

V3

3. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

⃗⃗⃗ 𝐴 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 = 4.13 cos(225) 𝑖 + 4.13𝑠𝑒𝑛(225) ⃗⃗⃗ 𝐴 = −2.9𝑖 − 2.9𝑗 ⃗⃗⃗ 𝐵 = 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 ⃗⃗⃗ 𝐵 = 5.26 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 5.26 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 ⃗ = 5.26 𝑖 𝐵 ⃗⃗⃗ 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 ⃗⃗⃗ 𝐶 = 5.94 𝑐𝑜𝑠26𝑖 + 5.94𝑠𝑒𝑛2.6𝑗 ⃗⃗⃗ 𝐶 = 5.34 𝑖 + 2.6𝑗 𝑠⃗⃗ = (−2.9 + 5.26 + 5.34)𝑖 + (−2.9 + 0 + 2.6)𝑗 = 7.7𝑖 − 0.3𝑗 ⃗⃗⃗ 𝑆 = √(7.7)2 +(0.3)2 = √59.38 = 7.70 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑠𝑥 𝑠𝑦

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

−0.3 7.7

−0.3 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 = ( ) = 𝜃 = −2.23° 7.7

N

𝐶 : 5.94𝑚

O

E ⃗ : 5.26𝑚 𝐵

𝐴: 4.13𝑚

S

4. Dados los vectores: u = -i + 2j -4k; w = 2i-3j+k y v= -4i+3j+2k Calcular a. u. w, w. v b. u x v, u x w c. (u x w). V d. Cos (u, w) Solución 𝒂) 𝑈. 𝑊 = (−1)(2) + (2)(−3) + (−4)(1) = −2 − 6 − 4 = −8 𝑊. 𝑉 = (2)(−4) + (−3)(3) + (1)(2) = −8 − 9 + 2 = −15 𝑈. 𝑊 = −8. 𝑊. 𝑉 = −15

𝒃) 𝑖 𝑗 𝑈𝑥𝑉 = |−1 2 −4 3

𝑘 −4| = (4 + 12)𝑖 − (−2 − 16)𝑗 + (−3 + 8)𝑘 = 16𝑖 + 18𝑗 + 5𝑘 2

𝑖 𝑗 𝑈𝑥𝑊 = |−1 2 2 −3

𝑘 −4| = (2 − 12)𝑖 − (−1 + 8)𝑗 + (3 − 4)𝑘 = −10𝑖 − 7𝑗 − 𝑘 1

𝑈𝑥𝑉 = 16𝑖 + 18𝑗 + 5𝑘 , 𝑈𝑥𝑊 = −10𝑖 − 7𝑗 − 𝑘

𝒄) (−10𝑖 − 7𝑗 − 𝑘). (−4𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘) = (−10)(−4) + (−7)(3) + (−1)(2) = 40 − 21 − 2 = 17

𝑑) cos(𝑢, 𝑤) =

𝑢. 𝑤 |𝑢||𝑤|

𝑈. 𝑊 = −8 |𝑢| = √(−1)2 + (2)2 + (−4)2 = √21 |𝑤| = √(2)2 + (−3)2 + (1)2 = √14 cos(𝑢, 𝑤) =

−8 √21√14

= −0.466

5. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

A requiere 50 bandejas. B requiere 80 bandejas. C requiere 100 bandejas. Cuánto requiere en Kg de cada uno? A 𝑀 40 𝑅 [160 𝐶𝑎 80

B 120 120 120

C 150 𝐴 80 ] . [𝐵 80 𝐶

26 50 ] = [ 25 80 21 100

600 600] 600

26,6 𝑀 26600 1 [25600] = [25,6] 𝑅 1000 21,6 𝐶𝑎 21600 Requiere 26,6 kg de manchego. 25,6kg de roqueforts. 21,6kg de camemberts.

5.1 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. a. Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por 1

determinantes utilizando la fórmula 𝐴−1 = det(𝐴) ∗ 𝐴𝑑𝑗 𝐴

2 1 [2 2 1 2

6 1 0 4| 0 1 3 0 0

0 1 ] 𝐹 𝐹 [ 0 3 1 2 1 2

2 3 0 2 4| 0 1 6 1

0 1 𝐹 − 2𝐹 1 0] 𝐹2 − 2𝐹1 1 0 0 3

1 2 3 0 [0 −2 −2| 0 0 −3 0 1

0 1 1 2 3 0 3 1 −2] 𝐹3 − ( ) 𝐹2 [0 −2 −2| 0 2 0 −2 0 0 3 1

0 1 1 1 −2] 𝑅3 ( ) 3 −3/2 1

−1 3/2 0 1 1 2 3 0 𝑅1 − 3𝑅3 1 2 0 1 −2 ] 0 [0 −2 −2| 0 [ | 2/3 𝑅2 +2𝑅3 0 −2 0 0 0 1 1/3 −1/2 1/3 0 0 1 1/3 −1/2 1 0 0 −1/3 3/2 −4/3 −1 1 0 0 −4/3] 𝑅2 ( ) [0 1 [0 −2 0| 2/3 2 0 0 1 1/3 −1/2 1/2 0 0

2 2 1 𝐶𝑜𝑒𝑓(𝐴) = − [ 2 1 [ + [2 +[

4 2 4 2 ] −[ ] +[ 3 1 3 1 6 2 6 2 ] +[ ] −[ 3 1 3 1 6 2 6 2 ] −[ ] +[ 4 2 4 2

−2 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐶𝑜𝑒𝑓(𝐴) = [−2 2

9 −8 0 4] −3 2

2 ] 2 1 ] 2 1 ] 2]

−4/3 2/31 ] 1/2

−2 −2 2 𝐶𝑜𝑒𝑓(𝐴) = [ 9 0 −3] −8 4 2

det(𝐴) = 2(−2) − 2(−9) + (−8) = 6

1 3 3 2 1 1 −2 9 −8 1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [−2 0 4 ]= − 0 det(𝐴) 6 3 2 −3 2 1 1 [ 3 −2 −

𝐴−1

0 −1/3 3/2 0 0| −1/3 1 1/3 −1/2

0 −4/3] 𝑅1 +𝑅2 1/2

4 3 2 3 1 3 ]

−

CONCLUSIONES

Para la realización de los problemas planteados, se hizo indispensable el estudio y apropiación de cada una de las temáticas suministradas en el curso, además de la investigación por otros medios de ejemplos y ejercicios de modo que quedara más claro los conceptos. Estos problemas permitieron que se lograra poner en práctica las lecciones aprendidas; además, que por ser un trabajo colaborativo, se evidencian la participación de los integrantes del curso y de esta manera no sólo se observa el desarrollo de un trabajo en equipo.

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