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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TALLER No. 1 FUNCIONES Y LÍMITES

YURANIS ALTAHONA CASTRO 679236

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS DISTANCIA TRADICIONAL 2018

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS Administración de empresas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Unidad 1 TALLER No. 1 FUNCIONES Y LÍMITES Desarrolle el siguiente taller de los puntos 1 al 8. Se trata de puntos de aplicación de funciones a las ciencias empresariales a partir de conceptos como: Función costos C(x). Función ingreso R(x). Función utilidad P(x). 1. Una compañía ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana está dado por: C ( x )=6000+7 x +000,3 x

2

Evalúe el costo de producir: a. 100 unidades por semana. C(100)=6000 + 7(100) + 0,003(100)^2 C(100)=6000 + 700 + 0,003(10.000) C(100)=6000 + 700 +30 C(100) =6730 El costo de producir 100 unidades por semana es de 6730

b. 250 unidades por semana. C(250)=6000 + 7(250) + 0,003(250)^2 C(250)=6000 + 1750 + 0,003(62.500)

C(250)=6000 + 1750 + 187.5 C250) = 7937.5 El costo de producir 250 unidades por semana es de 7937.5

c. Ninguna unidad. C(0) = 6000 + 700(0) + 0,003(0) ^2 C(0) = 6000 + 0 + 0 C(0) = 6000

2. Para la función de costo costo de producir:

C ( x )=10−5 −( 5∗10−3) x 2 +43 x +230 calcule el

a. 2300 unidades. C(x) = -0.008x² + 43x + 230 C(2300) = -0.008(2300)² + 43(2300) + 230 C(2300) = $ 56810

b. 450 unidades.

C(450) = -0.008(450)² + 43(450) + 230 C(450) = $ 17960

3. Un fabricante puede vender 600 unidades de su producto al mes a un costo de $40 por unidad y 1000 unidades a un costo de $30 por unidad. Exprese la demanda del mercado x (el número de unidades

que pueden venderse al mes) como una función del precio por unidad, suponiendo que es una función lineal. Exprese los ingresos como: a. Una función del precio b. Una función de x a.

Una función del precio

Ingresos = Precio * Cantidad vendida P= 30$ ----------> X= 1000 P= 40$ ----------> X= 600 m= -400/10 = -40 Q= -40P +b 600=-40(40)+b b= 2200 X=2200-40P Ingresos = P*X Ingresos = P*(2200-40P) Ingresos = 2200P-40P²

b.

Una función de x

Ingresos = X*P X=2200-40P P= 55-X/40 Ingresos = X55-X²/40

4. Un edificio de departamentos tiene 140 habitaciones que puede rentar en su totalidad si la renta se fija en $400 al mes. Por cada incremento de $10 en la renta, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso mensual total R como una función de: a. x, si x es el número de incrementos de 10 dólares en la renta b. La renta mensual p Sabemos que tenemos un total de 140 habitaciones y que la renta fija es de 400$ por mes, además sabemos que la ganancia viene dada por:

Ingreso = Renta * habitaciones alquiladas. Renta = 400 + 10x Habitaciones alquiladas = 140-x Ingreso = (400+10x)*(140-x) Ingreso = 56000 + 1400x-400x -10x² Ingreso = 56000 + 1000x -10x²

5. El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por R ( x ) =24 x−0,02 x 2 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? R(x) = 24x - 0.02x^2 R(x) = 24 - 0.04x =0 x = 24/0.04 x = 600

El número de unidades que debe venderse es 600 para maximizar el ingreso mensual. Rmax = 24 * 600 - 0.02*(600)² = 7200 dólares. 6. La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P ( x ) =80 x −x2 Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?

7. Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 4000 y el costo variable por unidad de su producto es de $50. a. Determine la función de costo. b. El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I ( x )=70 x−0,02 x 2 . Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? c. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima?

Ecuación del Costo = Costo fijo + Costo Variable × Cantidad

C(x) = CF + CV× x C(x) = 4000 + 50x

Ecuación del Costo I(x)= 70x -0,02x²

Para hallar el número de unidades que maximice el Ingreso debo hallar la coordenada " x " del vértice de la Parábola.

I(x) = 70x -0,02x² I'(x) = 70 -0,02x 70 - 0,04x = 0 x = -70/-0,04 x = 1750

Se deben vender 1750 unidades para Maximizar el Ingreso I(x)= 70x -0,02x² I(1750) = 70(1750) - 0,02(1750)² I(1750) = 61250

Ingreso Máximo = $ 61250 Utilidad = Ingreso - Costo

U(x) = 70x -0,02x² - (4000 + 50x) U(x) = 70x - 0,02x² - 4000 - 50x U(x) = -0,02x² + 20x - 4000

U'(x) = -0,04x + 20 -0,04x + 20 = 0 x = -20/-0,04

Función Utilidad

x = 500

Se deben producir y vender 500 unidades para Maximizar la Utilidad

U(x) = -0,02x² + 20x - 4000 U(500) = -0,02(500)² + 20(500) - 4000 U(x) = 1000

Utilidad Máxima = $ 1000

8. El número de viviendas construidas por año, N, depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula 100 N ( r )= 200+r 2 donde N está en millones. La tasa de interés actualmente está en 18% y se predice que disminuirá a 8% en los siguientes 3 años de acuerdo con la fórmula r ( t ) =24−

16 t t +48

donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora. Exprese N como una función del tiempo t. Calcule el valor de N cuando t =6

N(r) = 100/(200+r^2) r(t) = 24-16t/(t+48)

Por tanto, tenemos la función compuesta: N(t) = 100/(200+ (24-16t/(t+48²)) Ahora, teniendo la función compuesta buscamos cuando t = 6 el valor de N, tenemos: N(6) = 100/(200+ (24-16(6)/((6)+48)²) N(6) = 0.50 La función evaluada en 6 años tienen una valor de 0.50, esto nos indica que existe algún problema con las formulas, ya que en un año no se pueden construir media vivienda. En los ejercicios del 11 al 24 determine el límite y, cuando sea apropiado, indique los teoremas de límites que se aplicaron. 11. Lim (3x – 7) = lim 3x – lim 7 = 3 (5) – 7 x↔5 x↔5 x↔5 = 15 – 7 = 8

12. Lim (5x + 2) = lim 5x + lim 2 x↔-4 x↔-4 x↔-4 = 5 (-4) + 2 = -20 + 2 = -18

13. Lim (x² + 2x – 1) = lim x² + lim 2x – lim 1 x↔2 x↔2 x↔2 x↔2 = (2)² + 2(2) – 1 =4+4–1 =7

14. Lim (2x² - 4x + 5) = lim 2x² - lim 4x + lim 5 x↔3 x↔3 x↔3 x↔3 = 2(3)² - 4(3) + 5 = 3(9) – 12 + 5 = 27 – 12 + 5 = 20

15. lim (z³ + 8) = lim (z + 2) (z² - 2z + 4) z↔-2 z↔-2 = (-2 + 2) ((-2)² - 2(-2) + 4) = (0) (4 + 4 + 4) = (0) (12) = 0

16. lim (y³ - 2y² + 3y – 4) = lim y³ - lim 2y² + lim 3y – lim 4 y↔-1 y↔-1 y↔-1 y↔-1 y↔-1 = (-1)³ - 2(-1)² + 3(-1) – 4 = -1 – 2 – 3 – 4 = -10

17. lim 4x – 5 = lim 4x – lim 5 5x - 1 x↔3 x↔3 X↔3 lim 5x – lim -1 X↔3 x↔3 = 4(3) – 5 5(3) – 1 = 12 – 5 15 – 1 = 7 = 1 14 2

18. lim 3x + 4 = lim 3x + lim 4 x↔2 8x – 1 x↔2 x↔2 lim 8x – lim 1 x↔2 x↔2 = 3(2) + 4 8(2) -1 = 6+4 16 – 1 = 10 = 2 15 3

19. lim t² - 5 = lim t² - lim 5 t↔2 2t³ + 6 t↔2 t↔2 lim 2t³ + lim 6 t↔2 t↔2 = 2² - 5 2(2)³ + 6 = 4–5 16 + 6 = -1 22

20. lim 2x + 1 = x↔-1 x² - 3x + 4

lim 2x + lim 1 x↔-1 x↔-1 lim x² - lim 3x + lim 4 x↔-1 x↔-1 x↔-1

= 2(-1) + 1 (-1²) - 3(-1) + 4 =

-2 + 1 1+3+4

= -1 8

21. lim √8r + 1 = √lim 8r + lim 1 r↔1 r + 3 r↔1 r↔1 lim r + lim 3 r↔1 r↔1 = √8(1) + 1 1+3 = √8 + 1 4 = √9 = 3 4 2 22. lim x↔2

√x² + 3x + 4 = √limx² + lim 3x + lim 4 x³ + 1 x↔2 x↔2 x↔2 lim x³ + 1 x↔2 = √ 2² + 3(2) + 4 2³ + 1 = √4 + 6 + 4 8+1 = √14 9

= 7 3

23. lim √³ x² - 3x + 4 = √³lim x² - lim 3x + lim 4 x↔4 2x² - x – 1 x↔4 x↔4 x↔4 lim 2x² - lim x – lim 1 x↔4 x↔4 x↔4 = √³ 4² - 3(4) + 4 2(4)² - 4 – 1 = √³ 16 – 12 + 4 2(16) – 4 – 1 = √³

8 32 – 4 -1

= √³ 8 = 2 27 3

24. lim √³ 5 + 2x = √³ lim 5 + lim 2x x↔-3 5–x x↔-3 x↔-3 lim 5 – lim x x↔-3 x↔-3 = √³ 5 + 2(-3) 5 – (-3) = √³ 5 + -6 5 +3 = √³ -1 = 1 8 2

31. Lim x² - 49 = (x – 7) (x + 7) x↔7 X – 7 (x – 7) = (x – 7) . (x + 7) (x – 7) = 1. (x + 7) = (x + 7) = x + 7 Lim x² - 49 = x + 7 = lim x + lim 7 x↔7 X – 7 x↔7 x↔7 = 7 + 7 = 14 Lim x² - 49 = 14 x↔7 X – 7

32. Lim z² - 25 z↔-5 z + 5

= (z – 5) (z + 5) = (z – 5) . (z + 5) x+5 (z + 5) = (z – 5) . 1 = (z – 5) = z – 5 Lim z² - 25 = z – 5 = lim z – lim 5 z↔-5 z + 5 z↔-5 z↔-5 = -5 -5 = -10 Lim z² - 25 = -10 z↔-5 z + 5

33. Lim 4x² - 9 = (2x – 3) (2x + 3) = (2x – 3) . (2x + 3) X↔3/2 2x + 3 (2x + 3) (2x + 3) = (2x – 3) . 1 = (2x – 3) = 2x – 3 Lim 4x² - 9 = 2x – 3 = lim 2x – lim 3 X↔3/2 2x + 3 x↔3/2 x↔3/2 = 2(3/2) – 3 = 6/2 – 3 = 3 – 3 Lim 4x² - 9 = 0 X↔3/2 2x + 3

34. Lim 3x – 1 = (3x – 1) = (3x – 1) . 1 x↔1/3 9x² - 1 (3x – 1) (3x + 1) (3x – 1) (3x + 1) = 1. 1 = 1 = 1 (3x + 1) (3x + 1) 3x + 1 Lim 3x – 1 = 1 = lim 1 x↔1/3 9x² - 1 3x + 1 x↔1/3 lim 3x + lim 1 x↔1/3 x↔1/3 = 1 = 1 = 1 = 1 3(1/3) + 1 3/3 + 1 1 + 1 2 Lim 3x – 1 = 1 x↔1/3 9x² - 1 2

35. Lim 35² - 85 – 16 = (s – 4) (3s + 4) = (s-4) . (35 + 4) s↔4 25² - 95 + 4 (s – 4) (25 – 1) s – 4) (25 – 1) = 1. (3s + 4) = 3s + 4 (2s – 1) 2s – 1 Lim 35 + 4 = lim 35 + lim 4 s↔4 25 – 1 s↔4 s↔4 = 3(4) + 4 lim 25 – lim1 2(4) - 1 s↔4 s↔4 = 12 + 4 = 8 8–1 7 Lim 35² - 85 – 16 = 8 s↔4 25² - 95 + 4 7

36. Lim 3x² - 17x + 20 = (x – 4) (3x – 5) = 1. (3x – 5) X↔4 4x² - 25x + 36 (x – 4) (4x – 9) (4x – 9) = 3x – 5 4x - 9 lim 3x – lim 5 = x↔4 x↔4 = 3(4) – 5 lim 4x – lim9 4(4) – 9 x↔4 x↔4 = 12 – 5 = 7 = 1 16 – 9 7

37. Lim y³ + 8 = (y + 2) (y² - 2y + 4 = 1. (y² - 2y + 4) y↔-2 y + 2 (y + 2) = y² - 2y + 4 = lim y² - lim 2y + lim 4 y↔-2 y↔-2 y↔-2 = (-2)² - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 16

38. Lim s³ - 1 = (s – 1) (s² + 5 + 1) = 1. (s² + s + 1) s↔1 s – 1 (s – 1) = s² + 5 + 1 = lim s² + lim 5 + lim 1 s↔1 s↔1 s↔1 = (1)² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

39. Lim √y² - 9 = √(y – 3) (y + 3) y↔-3 2y² + 7y + 3 (y + 3) (2y + 1) = √y – 3 = √(-3) -3 2y + 1 2(-3) + 1 = √ -6 = √-6 = √6 -6 + 1 -5 5

40. Lim √8t³ - 27 = √(2t – 3) (4t² + 6t + 9) t↔3/2 4t² - 9 (2t – 3) (2t + 3) = √(4t² + 6 + 9) (2t + 3) = √lim 4t² + lim 6t + lim 9 t↔3/2 t↔3/2 t↔3/2 lim 2t + lim 3 t↔3/2 t↔3/2 = √4(3/2)² + 6(3/2) + 9 2(3/2) + 3 = √9 + 9 + 9 . √27 6 6 = 3 √6

41. Lim √x – 1 = lim √x – 1 . √x + 1 X↔1 x – 1 x↔1 x – 1 √x + 1 = lim (√x)² - 1 = x–1 x↔1 (x – 1) (√x + 1) (x – 1) (√x + 1) = lim (x – 1) . 1 = 1 . 1 x↔1 (x – 1) √x + 1 √x + 1 = lim 1 = 1 = 1 x↔1 √x + 1 √1 + 1 1 + 1 =1 2

42. Lim √x + 5 – 2 = lim (√x + 5 – 2) (√x + 5 + 2) x↔-1 x + 1 x↔-1 (x + 1) (√x + 5 + 2) = lim (√x + 5)² - (2)² x↔-1 (x + 1) (√ x + 5 + 2) = lim x+5–4 x↔-1 (x + 1) (√x + 5 + 2) = lim x+1 x↔-1 (x + 1) (√x + 5 + 2) = lim 1 = 1 x↔-1 √x + 5 + 2 √1 + 5 + 2 = 1 = 1 = 1 √4 + 2 2+2 4

43. Lim √h + 2 - √2 = lim (√h + 2 - √2) (√h + 2 + √2) h↔0 h h↔0 h(√h + 2 + √2) = lim (√h + 2)² - (√2)² h↔0 h(√h + 2 + √2) = lim h+2–2 = h h↔0 h(√h + 2 + √2) h(√h + 2 + √2) = lim 1 = 1 h↔0 (√h + 2 + √2) √0 + 2 + √2 = lim 1 = 1 √2 + √2 2√2

44. Lim √³x – 1 = lim (√³x – 1) (√³x² + √³x + 1) x↔1 x – 1 x↔1 (x – 1) (√³x² + √³x + 1) = lim (x – 1) x↔1 (x – 1) (√³x² + √³x + 1) = lim 1 x↔1 √³x² + √³x² + 1 = 1 = 1 √³(1)² + √³1 + 1 √³1 + √³1 + 1 = 1 =1 1+1+1 3