Unde Elecromagnetice

46

Modulul 4 UNDE ELECTROMAGNETICE Conţinutul modulului: 4.1 Sinteza legilor fenomenelor electrice şi magnetice: ecuaţiile lui Maxwell 4.2 Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice 4.3 Producerea, structura şi caracteristicile undelor 4.4 Energia undei electromagnetice 4.5 Impulsul şi presiunea undelor electromagnetice 4.6 Gama undelor electromagnetice Evaluare: 1. Definirea mărimilor fizice şi precizarea unităţilor lor de măsură 2. Enunţul şi formula legilor fizice studiate 3. Răspunsuri la întrebările finale 4.1 Sinteza legilor fenomenelor electrice şi magnetice: ecuaţiile lui Maxwell Toate legile fenomenelor electrice şi magnetice studiate până acum (recomandăm cititorului interesat să revadă partea corespunzatoare din manualul de liceu sau alt manual) au fost reunite într-un grup de ecuaţii care poartă numele celui care a descoperit semnificaţia lor profundă, reuşind să prevadă, pe baza lor, existenţa undelor electromagnetice: J.C.Maxwell. Vom rescrie aceste ecuaţii pentru cazul vidului şi vom arăta cum se modifică ele într-un material. r r Două dintre ecuaţiile lui Maxwell implică integralele lui E şi B calculate pe suprafeţe închise. Prima este teorema lui Gauss pentru câmpul electric care afirmă că fluxul câmpului electric prin orice suprafaţă închisă este egal cu sarcina din interiorul suprafeţei, împărţită la ε o : r r q (4.1) ∫ EdS =

εo

Cea de a doua este o relaţie analoagă pentru câmpul magnetic şi afirmă că fluxul câmpului magnetic prin orice suprafaţă închisă este nul: r r (4.2) ∫ BdS = 0 Dacă prima ecuaţie arată că există sarcini electrice care crează câmp electric, cea de a doua arată că nu există sarcini magnetice.

47 Cea de a treia ecuaţie, numită Maxwell-Ampere, stabileşte că sursele câmpului magnetic pot fi atât curentul de conducţie ic , cât şi curentul de deplasare, ε 0

dΦ e (descoperit de către Maxwell): dt

r r dΦ e ⎞ ⎛ (4.3) B ∫ ¨dl = µ 0 ⎜⎝ ic + ε 0 dt ⎟⎠ iar cea de a patra, ecuaţia Maxwell-Faraday, arată că un câmp electric poate fi creat şi prin inducţie electomagnetică, de către un flux magnetic variabil: r r dΦ m (4.4) ∫ Edl = − dt Din ultima ecuaţie se vede că dacă există un flux magnetic r variabil, circulaţia câmpului E de-a lungul unei curbe închise nu este zero, cum se întâmplă cu câmpul electrostatic, deci, spre deosebire de acela, câmpul electric creat prin inducţie este neconservativ, liniile sale de câmp sunt linii închise. r In general câmpul electric E într-un punct al spaţiului poate fi r superpoziţia câmpului electrostatic E c creat de sarcini şi a câmpului r r r r indus, neelectrostatic, E n : E = Ec + E n . Partea electrostatică este r r întotdeauna conservativă, astfel că ∫ E c dl = 0 . Această parte nu r contribuie în integrala din ecuaţia (4.4), astfel că E din acea ecuaţie poate fi considerat câmpul total. Pe de altă parte, termenul r neconservativ E n nu contribuie în integrala din teorema lui Gauss (4.1), fluxul său printr-o suprafaţă închisă este întotdeauna nul (liniile r sale de câmp sunt închise); astfel, şi în acea ecuaţie E reprezintă câmpul total. Simetria ecuaţiilor lui Maxwell devine şi mai puternică dacă ne referim la mediul lipsit de sarcini ( q = 0 ) şi de conductori ( ic = 0 ): r r r r (4.1’) (4.2’) ∫ E dS = 0 ∫ B dS = 0 r r

d

r r

∫ Bdl = ε o µ o dt ∫ EdS r r

d

r r

∫ Edl = − dt ∫ BdS

(4.3’) (4.4’)

In ultimele două integrale, în membrul drept, au fost exprimate fluxurile electric Φ e şi magnetic Φ m prin integralele de suprafaţă extinse pe suprafeţe delimitate de curbele închise pe care se calculează integralele din membrul stâng. Cea mai mare importanţă a acestor ecuaţii este că ele arată că variaţia în timp a unui câmp generează în spaţiul înconjurător pe celălalt. Toate relaţiile fundamentale între câmpuri şi sursele lor sunt conţinute în ecuaţiile lui Maxwell (din legea lui Gauss se poate obţine

48 legea lui Coulomb, din teorema lui Ampere se poate deduce legea r r Biot-Savart etc). Dacă adăugăm ecuaţia care defineşte pe E şi B prin forţele pe care le exercită asupra sarcinilor: r r r r F = q( E + v × B) (4.5) atunci dispunem de toate legile fenomenelor electrice şi magnetice prezentate în paragrafele precedente. In sfârşit, este de observat că ecuaţiile lui Maxwell ar dobândi o simetrie şi mai puternică dacă ar exista sarcini magnetice (monopoli magnetici). In cazul câmpurilor electrice şi magnetice în materiale, în ecuaţiile lui Maxwell se înlocuiesc permitivitatea electrică a vidului ε o şi permeabilitatea magnetică a vidului µ o prin mărimile corespunzătoare mediului, ε respectiv µ . Dacă valorile lui

ε şi µ diferă de la un punct la altul al spaţiului de integrare, atunci ε şi µ trebuie trecuţi în partea stângă a ecuaţiilor (4.1) şi respectiv (4.3), sub integrale; de asemenea, în ecuaţia (4.3) ε trebuie trecut sub integrala de suprafaţă corespunzătoare fluxului. Se pot evidenţia, în r r acest caz, câmpurile magnetic H şi inducţia electrică D prin relaţiile r r r r de material: B = µ H , respectiv D = ε E . 4.2 Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice Generalizarea legilor experimentale ale fenomenelor electrice şi magnetice, concretizată în ecuaţiile lui Maxwell, a evidenţiat faptul că: - în jurul unui câmp magnetic variabil în timp ia naştere un câmp electric ale cărui linii sunt închise; - în jurul unui câmp electric variabil în timp ia naştere un câmp magnetic ale cărui linii sunt închise.

a)

b) Fig. 4.1

Aceste rezultate importante sunt exprimate, în vid, în lipsa sarcinilor electrice şi a conductorilor, de ecuaţiile (4.3’) şi (4.4’) şi sunt ilustrate de fig.4.1.

49

Ansamblul câmpurilor electric şi magnetic, variabile în timp, care se generează reciproc, constituie un câmp electromagnetic. Variaţiile câmpului electric produc în spaţiul înconjurător un câmp magnetic, care nu rămâne constant deoarece variază câmpul electric care l-a generat. Dar variaţiile câmpului magnetic produc la rândul lor un câmp electric, de asemenea variabil, care , la rândul său generează un câmp magnetic etc, astfel câmpul electromagnetic este un proces oscilatoriu care se propagă din aproape în aproape, având o variaţie spaţio-temporală. Câmpul electromagnetic se propagă în spaţiu sub forma undelor electromagnetice. 4.3 Producerea, structura şi caracteristicile undelor Se ştie că într-un circuit oscilant LC se produc oscilaţii electromagnetice dar în acest caz câmpul este practic localizat în elementele circuitului (bobină şi condensator), fără a se propaga în spaţiu. Pentru a obţine un câmp electromagnetic care se propagă (unde), trebuie realizat un circuit oscilant deschis , care rezultă prin îndepărtarea armăturilor condensatorului, una de alta, şi prin întinderea spirelor bobinei încât să se ajungă la un fir conductor. Când un astfel de fir este străbătut de un curent alternativ de înaltă frecvenţă, în spaţiul din jurul său se generează unde electromagnetice. Circuitul oscilant deschis se numeşte şi dipol oscilant sau antenă. Sarcinile din dipol produc un câmp electric peste care se suprapune câmpul generat de variaţia în timp a câmpului magnetic produs de curentul din dipol. Prin suprapunerea acestor două câmpuri rezultă, în momentul când curentul în conductor este zero, un câmp electric cu linii de câmp închise. Acest câmp electric se “desprinde” de dipol şi începe să se propage. In semiperioada următoare, procesul se repetă, dar sensul câmpurilor electric şi magnetic este inversat. Distribuţia spaţială a câmpurilor este destul de complicată dar la distanţe mari de sursă r r vectorii E şi B sunt perpendiculari unul pe celălalt şi amândoi sunt perpendiculari pe direcţia de propagare a undei, care este direcţia radială, cu centrul în sursă. Prin urmare, în jurul unui punct la distanţă mare de sursă se poate spune că unda electromagnetică este plană. Să admitem o astfel de structură şi să cercetăm ce condiţii trebuie îndeplinite pentru a fi respectate legile câmpului electromagnetic. Fie frontul undei plane paralel cu planul yOz şi c r r viteza cu care unda se deplasează în lungul axei Ox, câmpurile E şi B fiind orientate după Oy respectiv după Oz (fig.4.2). Să considerăm o suprafaţă paralelipipedică având una din baze în planul frontului de undă iar a doua în dreapta, unde unda încă nu a ajuns . Deoarece această suprafaţă este închisă, fluxurile câmpurilor r r E şi B trebuie să fie nule, conform ecuaţiilor (4.1’) şi (4.2’). Dacă aceste câmpuri ar avea componentă în lungul axei Ox, aceasta ar

50

Fig. 4.2 produce un flux nenul prin baza din stânga, contrar ecuaţiilor (4.1’) şi r r (4.2’); prin urmare câmpurile E şi B sunt perpendiculare pe direcţia de propagare, adică unda electromagnetică este o undă transversală.

Fig. 4.3 Să considerăm acum un contur dreptunghiular efgh aflat în planul xOy, având o latură, de lungime a , în planul frontului de undă, iar cea paralelă cu ea fiind în dreapta frontului, la distanţă egală cu spaţiul străbătut de undă într-un timp dt : c ⋅ dt . Vom scrie ecuaţia (4.4’) pentru acest contur, parcurcându-l în sens orar, astfel încât normala la suprafaţa delimitată de el este orientată în sensul negativ al axei Oz. Integrala pe conturul închis, din membrul stâng al ecuaţiei, se poate scrie ca sumă de integrale pe fiecare latură. Pe laturile paralele r r cu Ox, aceste integrale sunt nule deoarece E⊥dl şi produsul lor scalar este zero; integrala pe latura din dreapta este de asemenea zero, r deoarece câmpul E este nul (în acel loc unda nu a ajuns încă); pe r r latura din stânga, E este paralel cu dl şi constant, încât iese de sub r r integrală. Se obţine ∫ Edl = Ea . Fluxul inducţiei magnetice prin conturul ales creşte în timpul dt de la zero la valoarea − B ⋅ a ⋅ c ⋅ dt r ( B este orientat în sens opus normalei la suprafaţă), astfel că variaţia sa în unitatea de timp, luată cu semn schimbat (adică membrul drept al

51 ecuaţiei (4.4’)) este: B ⋅ a ⋅ c , iar ecuaţia (4.4’) devine: Ea = Bac , din care se obţine: E = Bc (4.6) Să considerăm acum acelaşi contur dreptunghiular situat în planul xOz şi să aplicăm ecuaţia (4.3’). Cu raţionamente asemănătoare cazului precedent se obţine: Ba = ε o µ o Eac . Pentru ca această relaţie să fie compatibilă cu (4.6) trebuie ca viteza de propagare a undei în vid să fie: 1 c= (4.7)

ε o µo

Inlocuind valorile permitivităţii electrice şi permeabilităţii magnetice, rezultă c ≅ 3 ⋅ 10 8 m / s = 300 000 km / s , adică viteza de propagare a luminii în vid, aceasta fiind una dintre dovezile privind natura electromagnetică a luminii. Dacă unda electromagnetică se propagă într-un mediu cu constantele ε şi µ , viteza de propagare a undei este: 1 v= (4.8)

εµ

iar indicele de refracţie al mediului se defineşte prin: c n = = ε r µr (4.9) v Câmpurile electric şi magnetic dintr-o undă electromagnetică variază în fază şi, pentru o undă sinusoidală plană, se pot descrie prin ecuaţiile : r r r x E = Eo sin ω (t − ) = E o sin(ω t − kx) (4.10) v r r r x B = Bo sin ω (t − ) = Bo sin(ω t − kx) (4.11) v ω = 2π f = 2π /T . (4.12) unde : In ultima relaţie ω este pulsaţia (frecvenţa unghiulară) a undei, f este frecvenţa undei, iar T este perioada. Mărimea: 2π 2π = (4.13) k= vT λ este modulul vectorului de undă (numit şi număr de undă), iar λ este lungimea de undă (distanţa parcursă de undă într-o perioadă). 4.4 Energia undei electromagnetice

Se ştie (vezi cursul de fizică din liceu) că în spaţiul în care există câmp electric, unităţii de volum îi revine energia dată de 1 we = ε o E 2 , iar în câmpul magnetic densitatea de energie este dată 2 1 B 2 . Intr-un domeniu în care se propagă o undă de wm = 2µ o electromagnetică, în fiecare punct din spaţiu există atât câmp electric

52 cât şi câmp magnetic, astfel că densitatea totală de energie datorată undei este: 1 1 2 w = εo E 2 + B . 2 2µ o Dacă se ţine seama de relaţiile (4.6) şi (4.7) se poate vedea uşor că componenta electrică a energiei este egală cu componenta magnetică, atsfel că se poate scrie: w = εo E2 (4.14) Dacă unda electromagnetică se propagă într-un material, în locul permitivităţii electrice a vidului intervine permitivitatea materialului ε . In relaţia (4.14), E este valoarea momentană a intensităţii câmpului electric al undei, variabilă în timp şi spaţiu, propagându-se conform ecuaţiei (4.10); prin urmare şi densitatea de energie variază în timp şi de la un punct la altul, adică unda electromagnetică transportă energie. Vom descrie transferul de energie de către unda electromagnetică prin mărimea S egală cu energia transmisă în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă, perpendiculară pe direcţia de propagare a undei. Să considerăm o undă electromagnetică plană care se propagă într-un mediu, în lungul axei Ox (frontul undei este paralel cu planul yOz). In timpul dt , frontul undei se deplasează în sensul axei Ox cu distanţa vdt , astfel că printr-o arie A normală pe direcţia de propagare, din planul în care se află frontul undei la momentul t , trece toată energia conţinută în cilindrul cu baza A şi lungimea vdt : wAvdt . Atunci, ţinând seamă de (4.14), (4.6) şi (4.8) pentru medii materiale, se obţine: EB wAvdt (4.15) S= = wv = ε vE 2 = µ Adt Definim vectorul Poynting : r 1 r r S = E×B (4.16)

µ

care este un vector având direcţia şi sensul de propagare a undei (energiei) şi mărimea egală cu energia transferată în unitatea de timp prin unitatea de arie normală la direcţia de propagare. Pentru unde sinusoidale descrise de ecuaţiile (4.10) şi (4.11), mărimea vectorului Poynting (4.15) se scrie: E B S = o o sin 2 (ω t − kx)

µ

Se vede că modulul vectorului Poynting variază în timp şi spaţiu. Valoarea medie a modulului vectorului Poynting într-un punct se numeşte intensitate a undei în acel punct, I. Se ştie că valoarea medie a lui sin 2 (ω t − kx) într-un punct ( x fixat) este ½. Atunci: I = S med =

E o Bo E2 1 = o = ε Eo2 v = wmed v 2µ 2vµ 2

(4.17)

53 în care wmed este valoarea medie a densităţii de energie a undei. Din ultima egalitate a relaţiei (4.17) se vede că intensitatea undei reprezintă energia medie care străbate în unitatea de timp unitatea de arie dintr-o suprafaţă normală la direcţia de propagare a undei. In SI, intensitatea undei se măsoară în J/s.m2=W/m2. 4.5 Impulsul şi presiunea undelor electromagnetice

Undele electromagnetice transportă impuls. Acest impuls este o proprietate a câmpului, el nu este asociat unei mase în mişcare, ca în cazurile uzuale din mecanică. Să considerăm cazul particular al unei unde electromagnetice plane care se propagă în lungul axei Ox, în sensul pozitiv, care întâlneşte o foaie dintr-un material cu rezistivitate destul de mare. Un electron din această foaie este supus acţiunii câmpurilor electric şi magnetic ale undei (fig. 4.4). Sub acţiunea câmpului electric, electronul, supus şi altor interacţiuni în foaie, va dobândi o viteză de antrenare (drift), v d , în sens opus câmpului electric. Electronul care se mişcă cu viteza v d în câmpul magnetic al undei, va fi supus forţei Lorentz , în direcţia Ox: Fx = ev d B . Conform legii a doua a lui Newton, impulsul transferat electronului în unitatea de timp, pe direcţia Ox, din partea câmpului va fi: dp e = Fx = ev d B (4.18) dt Energia cedată în unitatea de timp (puterea) unui electron din foaie de către undă, prin acţiunea câmpului electric, este: dWe = Fe v d = eEv d (4.19) dt Impărţind (4.18) la (4.19) şi ţinând seamă de (4.6), , între impulsul şi energia transferate de undă în unitatea de timp se stabileşte relaţia: dp e 1 dWe = dt c dt sau, după integrare: 1 p e = We c Dacă se înmulţesc ultimele două relaţii cu numărul de electroni din foaie, se obţin relaţiile dintre impulsul şi energia tranferate foii de către undă în unitatea de timp, respectiv într-un timp oarecare: dp 1 dW = (4.20) dt c dt 1 p = W (4.21) c Presiunea p rad exercitată de undă (radiaţie) asupra foii cu aria A este egală cu forţa medie care acţionează normal pe unitatea de suprafaţă; aplicând (4.20) pentru valori medii, se obţine:

54

Fig. 4.4 I 1 ⎛ dp ⎞ 1 ⎛ dW ⎞ = (4.22) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎝ dt ⎠ med c ⎝ Adt ⎠ med c Relaţia (4.22) s-a obţinut în ipoteza că unda este absorbită complet de către foaie; dacă unda este reflectată în totalitate, atunci : 2I (4.23) p rad = c Discuţiile privind propagarea undelor electromagnetice în materiale s-au referit în principal la materiale dielectrice. In materialele conductoare undele electromagnetice se propagă doar pe distanţe foarte mici. Intr-un conductor, câmpul electric trebuie să fie nul; când o undă electromagnetică este incidentă pe un astfel de material ea este total reflectată. Conductorii reali, cu rezistivitate finită, permit pătrunderea undei pe o anumită adâncime şi unda este parţial reflectată. p rad =

4.6 Gama undelor electromagnetice

Undele electromagnetice acoperă un spectru foarte larg de frecvenţe sau de lungimi de undă ( λ = c / f ). Cea mai uzuală împărţire a radiaţiilor electromagnetice se face după lungimea de undă în vid sau frecvenţă. Oscilaţiile electromagnetice cu frecvenţa de 50 Hz (60Hz) corespund curentului alternativ. Undele radio se întind în domeniul de frecvenţă de la zeci de hertzi până la un GHz. Se utilizează în transmisiile radio şi TV. După lungimea de undă se subîmpart în unde lungi (30 km - 750 m), unde medii (750-50 m), unde scurte (50-10 m) şi unde ultrascurte (10 m 30cm). Microundele sunt generate ca şi undele radio de instalaţii electronice, au lungimea de undă între 30cm - 1mm. Se folosesc în

55

Lungimea de undă (m)

Frecvenţa (Hz)

Domeniul

3× -15

_10

_1023

_

_

_

_

_10-12

_1020

_

_

_

_

_10-9

_1017

_

_

_

_

Ultraviolet

_10-6 1 µ

_1014

VIZIBIL

_

_

_

_

_10-3 1 mm

_1011

_

_

_

Radiaţii γ

Regiunea optică

Infraroşu Microunde 1 GHz

_ 0

Radiaţii X

8

Unde

_10 1 m

_10

Ultrascurte

_

_

Unde scurte

Unde

1 MHz Unde medii

radio

_

_ 3

5

_10 1 km

_10

_

_

_

_

_106

_102

_

_10

hertziene

Unde lungi 1 kHz C.alternativ

sistemele de telecomunicaţii, în radar, în cercetarea ştiinţifică, la încălzire. Radiaţia infraroşie cuprinde domeniul de lungimi de undă situat între 10-3m - 7,8.10-7m. Sunt produse de corpurile încălzite, dar în ultimul timp sau realizat şi instalaţii electronice care generează

56 infraroşii. Sunt folosite la fotografia în întuneric, instalaţii militare, cercetare. Radiaţia vizibilă este cuprinsă în domeniul lungimilor de undă aproximativ de la 7,5.10-6m până la 4.10-6m, reprezentând o porţiune foarte îngustă a spectrului undelor electromagnetice, care pot impresiona retina ochiului uman. Radiaţiile cu diferite lungimi de undă crează senzaţia unor culori specifice: λ (µm)

Culoare

> 0,61 0,59 - 0,61 0,57 - 0,59 0,5 - 0,57 0,45 - 0,5 < 0,45

Roşu Orange Galben Verde Albastru Violet

Radiaţia ultravioletă este situată în domeniul lungimilor de undă cuprinse între 3,8.10-7m şi 6.10-10m. Este generată în Soare, lămpile cu vapori de mercur, etc. Ca şi lumina vizibilă, radiaţiile ultraviolete sunt emise în urma tranziţiilor electronilor periferici din atomi. Radiaţiile X (Roentgen) sunt produse ca urmare a tranziţiilor electronilor din straturile profunde ale atomilor sau prin frânarea particulelor încărcate cu sarcini electrice. Sunt folosite pentru studiul structurii substanţelor, în medicină, etc. Radiaţia γ ocupă regiunea superioară a spectrului undelor electromagnetice ( frecvenţa >3.1018Hz) şi provine în urma proceselor nucleare. In diagrama de mai sus sunt prezentate sintetic aceste domenii, cu indicarea aproximativă a limitelor dintre ele. Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor prezentate şi evaluare: 1. Scrieţi expresiile pentru fluxul câmpului electric şi fluxul câmpului magnetic. 2. Care sunt sursele câmpului electric?. 3. Care sunt sursele câmpului magnetic?. 4. Scrieţi expresia forţei cu care câmpul electric, respectiv magnetic acţionează asupra unei sarcini. 5. Ce este câmpul electromagnetic? 6. Ce structură are o undă electromagnetică? 7. Ce se înţelege prin intensitate a undei electromagnetice? Unitate de măsură. 8. Prezentaţi gama undelor electromagnetice.