Un Ipa 2002

1.

Nilai dari A. (1 + 2 B. (1 + 2 C. (1 + 2

)9 )9 ) 18

untuk x = 4 dan y = 27 adalah ........ D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27

Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = ........ A. 6 dan 2 D. -3 dan 5 B. -5 dan 3 E. -2 dan 6 C. -4 dan 4 Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : 2x² + qx + (q - 1) = 0

q² - 4q + 4 = 16

ax² + bx + c = 0

q² - 4q - 12 = 0 (q - 6) (q + 2) = 0 Jadi q1 = 6 dan q2= -2 3. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x² - 9x + c = 0 adalah 121, maka nilai c = ........ A. -8 D. 5 B. -5 E. 8 C. 2 Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : 2x² - 9x + c = 0 Diskriminan = b² - 4ac (-9)² - 4(2)c = 121 81 - 8c = 121 8c = -40 c = -5 4.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan A. {x | -2 < x < 3, x R} B. {x | x < 3 atau x > 2, x R} C. {x | -6 < x < -2 atau x > 3, x R} D. {x | x < -2 atau x > 3, x R} E. {x | x > 3, x R} Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Pertidaksamaan 1. x 0

memiliki syarat :

2. x + 6 0 x -6

3.

dikuadratkan x² > x + 6 x² - x - 6 > 0 (x - 3) (x + 2) > 0 x1 = 3, x2 = -2

,x

R adalah ........

Gabungan 1, 2, dan 3 adalah : x > 3

{x | x > 3, x

R}

5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3, dan untuk x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ........ A. f(x) = 2x² - 12x + 16 D. f(x) = 2x² + 12x + 16 B. f(x) = x² + 6x + 8 E. f(x) = x² - 6x + 8 C. f(x) = 2x² - 12x - 16 Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Persamaan kuadrat dengan nilai minimum -2 untuk x = 3 adalah : f(x) = a(x - 3)² - 2 Untuk titik (0, 16) : 16 = a(0 - 3)² - 2 16 = 9a - 2 9a = 18 a=2 Jadi f(x) = 2(x - 3)< - 2 = 2(x² - 6x + 9) - 2 = 2x² - 12x + 18 - 2 = 2x² - 12x + 16 6. Jika panjang sisi-sisi ABC berturut-turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang BAC = , ABC = , dan BCA = , maka sin : sin : sin = ........ A. 4 : 5 : 6 D. 4 : 6 : 5 B. 5 : 6 : 4 E. 6 : 4 : 5 C. 6 : 5 : 4 Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Lihat gambar di bawah ini :

Jadi perbandingan sin

: sin

: sin

=6:5:4

7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan :

adalah {x, y, z}. Nilai x - y - z = ........ A. 7 B. 5 C. -1

D. -7 E. -13

Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

Hilangkan x (1) - (3) 2x + 3y - 6z = 42 2x - 3y - 4z = 12 6y - 2z = 30 3y - z = 15 .......................................(4) Hilangkan x (1) - (2) . 2 2x + 3y - 6z = 42 2x - 12y + 4z = -48 15y - 10z = 90 3y - 2z = 18 .................................(5) Hilangkan y (4) - (5) 3y - z = 15 3y - 2z = 18 z = -3 ......................................................................(6) Masukkan (6) ke (5) 3y - 2z = 18 3y - 2(-3) = 18 3y + 6 = 18 3y = 12 y = 4 ............................................................... (7) Masukkan (6) dan (7) ke (3) 2x - 3y - 4z = 12 2x - 3(4) - 4(-3) = 12

2x - 12 + 12 = 12 2x = 12 x = 6 Maka : x - y - z = 6 - 4 - (-3) = 5 8. Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah Un = 3n-5. Rumus jumlah n suku yang pertama deret tersebut adalah ........ A. D. Sn = (3n - 7) Sn = (3n - 3) B. E. Sn = (3n - 5) Sn = (3n - 2) C. Sn = (3n - 4) Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Rumus deret aritmetika : Un = 3n - 5 Jumlah suku ke n : Sn = Cari U1 Maka : Sn =

(U1 + Un) U1 = 3(1) - 5 = -2

(-2 + (3n - 5)) =

(3n - 7)

9. Jumlah n buah suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = Beda deret tersebut sama dengan ........ A. -5 D. 3 B. -3 E. 5 C. -2 Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Deret Aritmetika : Sn = (5n - 19) S2 = 1 (5 . 2 - 19) = -9 S1 = (5 . 1 - 19) = -7 Untuk deret Aritmetika S1 = U1 Rumus suku ke n : Un = Sn - Sn-1 U2 = S2 - S1 U2 = -9 - (-7) = -2

(5n - 19).

Jadi beda = U2 - U1 = -2 - (-7) = 5 10. Banyak bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak ada angka yang sama adalah ........ A. 1.680 D. 1.050 B. 1.470 E. 840 C. 1.260 Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Ribuan : ada 4 angka yang dapat dipakai yaitu: 2, 3, 4, dan 5.(Bilangan yang diminta antara 2000 dan 6000) Ratusan : ada 7 yang dapat dipakai, sebab dari 8 angka, 1 angka sudah dipakai untuk ribuan Puluhan : ada 6 angka sebab 2 angka dipakai ribuan dan ratusan. Satuan : ada 5 angka sebab 3 angka sudah dipakai oleh ribuan, ratusan, dan puluhan. Jadi banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah 4 x 7 x 6 x 5 = 840 11. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah ........ A. D. B.

E.

C. Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Keluarga dengan tiga anak, kombinasi yang muncul : PPP, LLL, PPL, PLL ada 4 kemungkinan. Kemungkinan paling sedikit memiliki 2 anak laki-laki : LLL, PLL (ada 2) Jadi kemungkinan paling sedikit punya 2 anak laki-laki adalah 12.

Median dari data umur pada tabel di atas adalah ........ A. 16,5 D. 17,5 B. 17,1 E. 18,3 C. 17,3

=

Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Lihat tabel di bawah ini :

Rumus mencari median :

Dimana : Tb = tepi bawah = 15,5 i = interval kelas = 4 n = jumlah frekuensi = 100 fk = frekuensi kumulatif = 6 + 16 + 18 = 34 fm = frekuensi median = 40 Maka :

13. Diketahui cos (x - y) = dan sin x sin y = . Nilai tan x tan y = ........ A. D. B. C. Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y =

E.

cos x cos y +

=

cos x cos y =

-

=

Maka :

Jadi : tg x tg y = 14. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ........

A. y = 1 + sin 3x B.

D. y = 1 + 3 sin x E.

y = 1 + sin x C. y = sin (3x - 3)

y = 1 + 3 sin

x

Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Lihat grafik di bawah ini :

Grafik tersebut adalah grafik fungsi sinus, dengan periode = menjadi y = sin 3x Grafik sinus tersebut digeser ke atas 1 satuan. Jadi fungsinya : y = 1 + sin 3x

, sehingga fungsinya

15.

Jika f(x) = A. 2x - 1 B. 2x - 3 C. 4x - 5

dan (f g)(x) =

, maka fungsi g adalah g(x) = ........ D. 4x - 3 E. 5x - 4

Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

16. Nilai A.

= ........ D.

-

E.

B. C. 0 Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

17. = ........ A. 0 B. C. Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

D. 1 E. 3

18. jika f(x) = (2x - 1)² (x + 2), maka turunanya f'(x) = ........ A. 4(2x - 1) (x + 3) D. (2x - 1) (6x + 7) B. 2(2x - 1) (5x + 6) E. (2x - 1) (5x + 7) C. (2x - 1) (6x + 5) Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : f(x) = (2x - 1)² (x + 2) Misalkan : u = (2x - 1)² u' = 2(2x - 1).2 = 4(2x - 1) f(x) = u . v f'(x) = u' . v + u . v' = 4(2x - 1) (x + 2) + (2x - 1)² (1) = (2x - 1) (4x + 8) + (2x - 1)² = (2x - 1)(4x + 8 + 2x - 1) = (2x - 1)(6x + 7)

v = (x + 3) v' = 1

19. Persamaan garis singgung pada kurva y = -2x² + 6x + 7 yang tegak lurus garis x - 2y + 13 = 0 adalah ........ A. 2x + y + l5 = 0 D. 4x - 2y + 29 = 0 B. 2x + y - 15 = 0 E. 4x + 2y - 29 = 0 C. 2x - y - 15 = 0 Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Garis singgung pada y = -2x² + 6x + 7 Tegak lurus dengan x - 2y + 13 = 0 y= x+6 m1 = m1 . m2 = -1 m2 = -2 Gradien pada kurva merupakan turunannya : y = -2x² + 6x + 7 y' = -4x + 6 = -2 x=2 Untuk x = 2 y = -2(2)² + 6(2) + 7 = -8 + 12 + 7 = 11 Garis tersebut menyinggung kurva di titik (2, 11). Persamaan garisnya : y = mx + c 11 = -2(2) + c c = 15 Jadi persamaannya : y = -2x + 15 2x + y - 15 = 0

20. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volum kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah ........ A. 6 cm D. 12 cm B. 8 cm E. 16 C. 10 cm Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Misal : a = rusuk alas dan t = tinggi

Luas kotak tanpa tutup = Luas alas + 4 luas sisi = a² + 4 a.t = 432

Maka :

Jadi panjang rusuknya adalah 12 cm. 21. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : adalah ........ A. x < -14 B. x < -15 C. x < -16 Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

D. x< -17 E. x< -18

2-2x > 218x - 18 + 36 2-2x > 236 -2x > 36 x < - 18 22. Himpunan penyelesaian persamaan xlog (10x3 - 9x) = xlog x5 adalah ........ A. {3} D. {-3, -1, 1, 3} B. {1, 3} E. {-3, -1, 0, 1, 3} C. {0, 1, 3} Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : x log(10x3 - 9x) = xlog x5 10x3 - 9x = x5 x5 - 10x3 + 9x = 0 x(x4 - 10x2 + 9) = 0 x(x2 - 1) (x2 - 9) = 0 x(x + 1) (x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0 x1 = 0; x2 = -1; x3 = 1; x4 = -3; x5 = 3 Syarat untuk logaritma : x log(10x3 - 9x) = xlog x > 0 dan x 1 10x3 - 9x > 0 dan x5 > 0 Maka : x1 = 0 salah x2 = -1 salah x3 = 1 salah x4 = -3 salah x5 = 3 benar Jadi himpunan penyelesaian yang benar {3} 23. Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan : x+y 4 x+y 9 -2x + 3y 12 3x - 2y 12 adalah ........ A. 16 D. 36 B. 24 E. 48 C. 30 Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Keempat pertidaksamaan pada soal akan membentuk gambar seperti di bawah ini :

Fungsi obyektif 4x + 2y, kita test pada titik A, B, C, dan D A(4,0) 4(4) + 2(0) = 16 B(6,3) 4(6) + 2(3) = 30 C(3,6) 4(3) + 2(6) = 24 D(0,4) 4(0) + 2(4) = 8 Jadi nilai maksimumnya pada titik B(6,3) dengan nilai 30. 24.

Besar sudut antara A. 180° B. 90° C. 60°

dan

adalah ........ D. 30° E. 0°

Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Diketahui :

cos = 0° Jadi = 90° 25.

Diketahui vektor pada adalah ........

dan

. Proyeksi vektor orthogonal

A. B. C.

D. E.

Jawaban : E SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Proyeksi kedua vektor dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini :

26. Jarak antara titik pusat lingkaran x² - 4x + y² + 4 = 0 dari sumbu Y adalah ........ A. 3 D. B. 1 2 C. 2

E. 1

Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Lingkaran : x² - 4x + y² + 4 = 0 x² + y² - 4x + 4 0 Pusat : (- A, - B) = (- (-4), - (0)) = (2, 0) Jadi jarak titik pusat dengan sumbu Y adalah 2. 27. Koordinat salah satu fokus ellips 7x² + 16y² - 28x + 96y + 60 = 0 adalah ........ A. (2, 0) D. (-1, -3) B. (2, -6) E. (-2, -3) C. (2, -3) Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Persamaan Ellips :

7x² + 16y² - 28x + 96y + 60 = 0 (7x² - 28x) + (16y² + 96y) = -60 7(x² - 4x) + 16 (y² + 6y) = -60 7(x²-4x + 4) 16(y² + 6y + 9) = -60 + 28 + 144 7(x - 2)² + 16 (y + 3)² = 112

Pusat Ellips : (2, -3) a² = 16 dan b² = 7 c² = a² - b² = 16 - 7 = 9 c=3 Fokus :

F1(p+c, q) F1(2+3, -3) F1(5, -3) F2(p-c, q) F2(2-3, -3) F2(-1, -3) Dari pilihan jawaban salah satu fokusnya adalah (-1, -3) 28. Jika a sin x + b cos x = sin (30° + x) untuk setiap x, maka a A. -1 D. 2 B. -2 E. 3 C. 1

+ b = ........

Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : a sin x + b cos x = sin (30° + x) a sin x + b cos x = sin 30° cos x + cos 30° sin x =

cos x +

= Maka : a = Jadi : a

+b=

sin x

sin x +

cos x

, dan b = (

)+

=1

+

=2

29. Suatu suku banyak dibagi (x - 5) sisanya 13, sedang jika dibagi (x - 1) sisanya 5. Suku banyak tersebut jika dibagi x² - 6x + 5 sisanya adalah ........ A. 2x + 2 D. 3x + 2 B. 2x + 3 E. 3x + 3 C. 3x + 1 Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : F(x) = (x² - 6x + 5) H(x) + ax + b

F(x) = (x - 5) (x - 1) H(x) + ax + b F(x) dibagi (x - 5), sisanya = 5a + b = 13 F(x) dibagi (x - 1), sisanya = a + b = 5 4a =8 a =2 a+b=5 2+b=5 b=3 Jadi sisanya adalah ax + b = 2x + 3 30. Nilai A. 2 B. 1 C. -1

, maka nilai

Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

(33 - 32 + 2 . 3) - (p3 - p2 + 2p) = 40 (27 - 9 + 6) - (p3 - p2 + 2p) = 40 p3 - p2 + 2p + 16 = 0 (p + 2) (p2 - 3p + 8)= 0 p = -2 Jadi 31.

p=

(-2) = -1

p = ........ D. -2 E. -4

Luas daerah arsiran pada gambar di atas adalah ........ A. 5 satuan luas D. B. 9 satuan luas 7 satuan luas C. 8 satuan luas

E. 10

satuan luas

Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Cari titik potongnya : y = 2x y = 8 - x² 2x = 8 - x² x² + 2x - 8 = 0 (x - 2) (x + 4) = 0 x1 = 2, dan x2 = -4 Luas daerah yang diarsir 0 < x < 2

Luas daerah arsiran :

Luas merupakan nilai mutlak (positif), jadi luas daerah arsiran adalah 9

satuan luas

32. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis x + y - 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°. Volum benda putar yang terjadi adalah ........

A.

D. 15

satuan volum

B.

14

satuan volum

10

satuan volum

E. 15

satuan volum

14

satuan volum

C. Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Kita cari titik potongnya : x+y-2=0 y = -x + 2 y = x² -x + 2 = x² x² + x -2 = 0 (x + 2) (x - 1) = 0 x1 = -2 y = (-2)² = 4 (-2, 4) x2 = 1 y = (1)² = 1 (1, 1)

Jadi Rumus Volumenya :

33.

Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = A. D. B.

E.

C. Jawaban : A SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

34. Hasil dari A.

= ........

B. C. Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

D. E. 0

35. = ........ A.

D. E.

B. C. Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

36. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah ........ A. y = x + 1 D. B. y = x - 1 y= x+1 C. E. y=

x-1

y=

x-

Jawaban : C SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Persamaan garis y = 2x + 2 dicerminkan terhadap garis y = x Ubah x menjadi y dan y menjadi x, sehingga persamaannya menjadi : y = 2x + 2 x = 2y + 2 2y = x - 2

y=

x-1

37. Perhatikan gambar di bawah ini !

AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jarak titik A ke bidang TBC adalah ........ A. D. B. C. Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : AE adalah jarak A ke bidang TBC.

E. 5

BD adalah garis berat pada BCT E merupakan perpotongan ketiga garis berat. BE : ED = 2 : 1 Jadi :

38. Pada kubus ABCD.EFGH, Nilai cos = ........ A.

adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH.

B. C. Jawaban : B SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

D. E.

Lihat gambar kubus di bawah ini !

Sudut adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Kita ambil CDP, dan misalkan rusuk kubus = a.

PD =

ED =

a

Maka :

39. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut :

adalah ........ A. p r B. ~p r C. p ~r Jawaban : E

D. ~p r E. p r

SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian :

Lihat tabel kebenaran !

Dari tabel kebenaran ~p

r=p

r.

40. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk deret aritmetika adalah 12 cm. Jika sudut di hadapan sisi terpanjang adalah 120°, maka luas segitiga tersebut adalah ........ A. D. B.

E.

C. Jawaban : D SMU/Ebtanas/Matematika IPA/Tahun 2002

Penyelesaian : Kita misalkan sisi-sisi segitiganya : (a - b), a, dan (a + b)

Maka Kelilingnya = (a - b) + a + (a + b) = 12 3a = 12 a= 4 Rumus cosinus : (a + b)² = a² + (a - b)² - 2a (a - b) cos 120° a² + 2ab + b² = a² + a² - 2ab + b² - (2a² - 2ab)(2ab = a² - 2ab + a² - ab

)

2a² - 5ab = 0 Untuk a = 4 2 (4)² - 5 . 4 b = 0 20b = 32 b= Jadi sisi-sisi segitiganya adalah : (a - b), a, (a + b) (4 - 1 (2

), 4, (4 + 1

, 4, 5

)