Ukuran Penyebaran Data.docx

UKURAN PENYEBARAN DATA Dengan menentukan pemusatan data dan ukuran letak data ternyata belum cukup untuk memberikan gambaran yang jelas dari suatu data. Pada pengukuran statistika, selain ukuran pemusatan dan ukuran letak, juga ada Ukuran Penyebaran Data. Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data suatu menyebar dari rata-ratanya. Pada ukuran penyebaran data, kita akan mempelajari materi Jangkauan (Range), Simpangan, Ragam (Variansi), ukuran penyebaran pada nilai kuartil, dan Pencilan (Outlier).

Jenis – jenis ukuran penyebaran data a. Jangkauan (Range) Jangkauan sering disebut range atau rentang. Jangkauan dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Disini kita simbolkan jangkauan dengan huruf R. Rumus umum jangkauan (range) :

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Keterangan :

𝑅 = Jangkauan atau Range 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 = nilai atau data terkecil 𝑥𝑚𝑖𝑛 = nilai atau data terbesar 1. Data tunggal Untuk jangkauan data tunggal, langsung tentukan nilai terbesar dan terkecilnya, lalu dikurangkan.

2. Data berkelompok Untuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

b. Simpangan rata - rata Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata-ratanya).

1. Data tunggal 𝑛

1 𝑆𝑅 = ∑ | 𝑥𝑖 − 𝑥̅ | 𝑛 𝑖=1

Keterangan :

𝑆𝑅 = simpangan rata – rata 𝑛 = ukuran data (total frekuensi) 𝑥𝑖 = data ke-i dari data x1,x2,x3,...,xn 𝑥̅ = rataan hitung ∑ = notasi sigma yang artinya jumlahan | xi - 𝑥̅ | = harga mutlak dari xi - 𝑥̅ yang hasilnya selalu positif

2. Data berkelompok

∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥̅ | 𝑆𝑅 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 Keterangan :

𝑆𝑅 = simpangan rata – rata 𝑛 = banyak kelas 𝑥𝑖 = nilai tengah kelas ke-i 𝑥̅ = rataan hitung 𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 = total frekuensi

c. Simpangan baku (standar deviasi) Dalam statistika dan probabilitas, simpangan baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.

1. Data tunggal Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1,x2,...,xn. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang ditentukan oleh rumus berikut.

𝑆= √

2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )

𝑛−1

𝜎= √

Untuk Sampel Berlaku untuk n < 30

Keterangan :

𝑆 = simpangan baku xi = nilai data ke-i 𝑥̅ = rata - rata n = jumlah seluruh frekuensi ∑ = notasi sigma yang artinya jumlahan

2 ∑𝑛 𝑖=1 ( 𝑥𝑖 − 𝜇 ) 𝑛

Untuk Populasi Berlaku untuk n ≥ 30

2. Data berkelompok Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh x1,x2,...,xn dan masing-masing data mempunyai frekuensi f1,f2,...,fn. Simpangan baku (S) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus.

𝑆= √

2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )

𝑛−1

𝜎= √

Untuk Sampel Berlaku untuk n < 30

Keterangan :

𝑆 = simpangan baku xi = nilai data ke-i 𝑥̅ = rata - rata n = jumlah seluruh frekuensi ∑ = notasi sigma yang artinya jumlahan fi = frekuensi

2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 ( 𝑥𝑖 − 𝜇 ) 𝑛

Untuk Populasi Berlaku untuk n ≥ 30

d. Varian atau Ragam Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya, sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar disekitar rerata dan dari satu sama lainnya.

1. Data Tunggal

∑ | 𝑥𝑖 + 𝑥̅ |2 𝑉= 𝑛 Keterangan : V = Varian atau Ragam ∑ = notasi sigma yang artinya jumlahan n = jumlah seluruh xi = nilai data ke-i

𝑥̅ = rata - rata

2. Data Berkelompok

∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥̅ |2 𝑉= ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 Keterangan : V = Varian atau Ragam ∑ = notasi sigma yang artinya jumlahan n = jumlah seluruh xi = nilai data ke-i

𝑥̅ = rata - rata fi = frekuensi

e. Lima Serangkai Statistik lima serangkai hanya sebutan dari kumpulan nilai yang didapat dari suatu data tertentu. Dari suatu data yang terdiri atas kumpulan nilai datum, terdapat lima buah nilai yang merupakan hal penting untuk memberikan gambaran tentang kecenderungan pemusataan data (tendensi sentral). Selain itu juga mempermudahkan kita untuk penganalisaan data selanjutnya. Kelima buah nilai itu dikenal sebagai statistik lima serangkai. Statistik lima serangkai terdiri dari datum terkecil atau statistik minimum (xmin), datum terbesar atau statistik maksimum (xmaks), kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3).

Rumus umum :

𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑥𝑚𝑎𝑥 Keterangan :

𝑥𝑚𝑖𝑛 = nilai min Q1 = kuartil bawah Q2 = kuartil tengah Q3 = kuartil bawah

𝑥𝑚𝑎𝑥 = nilai max f. Rataan Dua

𝑅2 =

𝑄1 + 𝑄3 2

g. Rataan Tiga

𝑅3 =

𝑄1 + 2𝑄2 + 𝑄3 2

h. Jangkauan kuartil atau Hamparan

𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1

i. Jangkauan semi kuartil atau simpangan kuartil 𝑄𝑑 =

𝑄3 − 𝑄1 2