Ubung 04
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- Words: 430
- Pages: 2
¨ Ubungen zur Atom und Moleku ¨ lphysik
SS 2009
¨ 4. Ubungszettel, Abgabe bis 18.5., 14:00 Uhr 1.) Bildpotentialzust¨ ande An manchen einkristallinen Metalloberfl¨achen k¨onnen Elektronen knapp unterhalb der Vakuumenergie nur schwer ins Volumen eindringen. Sie sind dann senkrecht zur Oberfl¨ache in einem Potentialtopf gefangen, der durch das attraktive Bildpotential und die repulsive Metalloberfl¨ache gebildet wird. Parallel zur Oberfl¨ache k¨onnen sich die Elektronen frei bewegen. Ist der Abstand des Teilchens zur Oberfl¨ache z, so ist das Potential n¨aherungsweise gegeben durch: e2 : z>0 − V (z) = 4·z +∞ : z ≤ 0
metal
vacuum e–
E 4 eV n=1
a) (3 P) Stellen Sie die (zeitunabh¨angige) Schr¨odinger-Gleichung ur dieses System auf band–f¨ und zeigen Sie, dass gap ikx x+iky y φn (~r) = Cn z Rn,l=0 (z/4)e
n=2 Evac
L¨osungen sind. Hierbei ist Cn konstant und die Rn,l=0 (z/4) sind die Radiall¨osungen ¨ image des Wasserstoffproblems (siehe: letzter Ubungszettel, beachte die Ersetzung von r potential durch z/4) b) (2 P) Berechen Sie die Eigenwerte (Energien) und plotten Sie die Aufenthaltswahr–4 eV scheinlichkeiten in z-Richtung f¨ ur die ersten drei gebundenen Bildpotentialzust¨ ande (n = 1, 2, 3). 10
c) (1 P) Diskutieren Sie warum die gr¨oßte Bindungsenergie der Zust¨ande 16 mal kleiner ist als die des 1s-Zustands im Wasserstoffatom. 2.) Kugelfl¨ achenfunktionen a) (1 P) Die Wellenfunktionen des H-Atoms lauten ψn,l,m (r, ϑ, ϕ) = Rn,l (r) Ylm (ϑ, ϕ). Hierbei sind die Ylm (ϑ, ϕ) die Kugelfl¨achenfunktionen. In Mathematica werden sie mit SphericalHarmonicY[l, m, ϑ, ϕ] oder der besseren Schreibbarkeit wegen mit SphericalHarmonicY[l, m, t, u] bezeichnet. Wie lauten die Funktionen explizit f¨ ur die Indices (l, m) = (1, 1), (2, −1) und (3, 3)? b) (2 P) Die Ylm (ϑ, ϕ) bilden ein vollst¨andiges Orthonormal-System. Damit l¨aßt sich jede quadratintegrable Funktionf (ϑ, ϕ) durch eine Linarkombination der Ylm (ϑ, ϕ) entwickeln. Die Entwicklungskoeffizienten al,m ermittelt man durch das Integral al,m =
Z 4π
(Ylm (ϑ, ϕ))∗ f (ϑ, ϕ) dΩ.
Geben Sie die Entwicklungskoeffizienten von f (ϑ, ϕ) = sin(ϑ2 ) f¨ ur l ≤ 5 numerisch an. Hinweis: Konjugiert komplex heisst: Conjugate[ ] und nicht vergessen den Raumwinkel dΩ in Kugelkoordinaten auszudr¨ ucken.
Bitte wenden.
z 20
3.) Rydbergatome (3P) Plotten Sie f¨ ur ein Wasserstoffatom die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten r2 |Rn,l (r)|2 ur l = 5 und 0 ≤ m ≤ 5. Welche dieser f¨ ur n = 100 und l = 0, 50, 90, 99 sowie |Ylm (ϑ, ϕ)|2 f¨ Funktionen kommen der klassischen Beschreibung einer Kreisbahn am n¨achsten? Hinweis: Verwenden Sie in Mathematica SphericalPlot3D zur Darstellung der Winkelfunktionen.
SS 2009
¨ 4. Ubungszettel, Abgabe bis 18.5., 14:00 Uhr 1.) Bildpotentialzust¨ ande An manchen einkristallinen Metalloberfl¨achen k¨onnen Elektronen knapp unterhalb der Vakuumenergie nur schwer ins Volumen eindringen. Sie sind dann senkrecht zur Oberfl¨ache in einem Potentialtopf gefangen, der durch das attraktive Bildpotential und die repulsive Metalloberfl¨ache gebildet wird. Parallel zur Oberfl¨ache k¨onnen sich die Elektronen frei bewegen. Ist der Abstand des Teilchens zur Oberfl¨ache z, so ist das Potential n¨aherungsweise gegeben durch: e2 : z>0 − V (z) = 4·z +∞ : z ≤ 0
metal
vacuum e–
E 4 eV n=1
a) (3 P) Stellen Sie die (zeitunabh¨angige) Schr¨odinger-Gleichung ur dieses System auf band–f¨ und zeigen Sie, dass gap ikx x+iky y φn (~r) = Cn z Rn,l=0 (z/4)e
n=2 Evac
L¨osungen sind. Hierbei ist Cn konstant und die Rn,l=0 (z/4) sind die Radiall¨osungen ¨ image des Wasserstoffproblems (siehe: letzter Ubungszettel, beachte die Ersetzung von r potential durch z/4) b) (2 P) Berechen Sie die Eigenwerte (Energien) und plotten Sie die Aufenthaltswahr–4 eV scheinlichkeiten in z-Richtung f¨ ur die ersten drei gebundenen Bildpotentialzust¨ ande (n = 1, 2, 3). 10
c) (1 P) Diskutieren Sie warum die gr¨oßte Bindungsenergie der Zust¨ande 16 mal kleiner ist als die des 1s-Zustands im Wasserstoffatom. 2.) Kugelfl¨ achenfunktionen a) (1 P) Die Wellenfunktionen des H-Atoms lauten ψn,l,m (r, ϑ, ϕ) = Rn,l (r) Ylm (ϑ, ϕ). Hierbei sind die Ylm (ϑ, ϕ) die Kugelfl¨achenfunktionen. In Mathematica werden sie mit SphericalHarmonicY[l, m, ϑ, ϕ] oder der besseren Schreibbarkeit wegen mit SphericalHarmonicY[l, m, t, u] bezeichnet. Wie lauten die Funktionen explizit f¨ ur die Indices (l, m) = (1, 1), (2, −1) und (3, 3)? b) (2 P) Die Ylm (ϑ, ϕ) bilden ein vollst¨andiges Orthonormal-System. Damit l¨aßt sich jede quadratintegrable Funktionf (ϑ, ϕ) durch eine Linarkombination der Ylm (ϑ, ϕ) entwickeln. Die Entwicklungskoeffizienten al,m ermittelt man durch das Integral al,m =
Z 4π
(Ylm (ϑ, ϕ))∗ f (ϑ, ϕ) dΩ.
Geben Sie die Entwicklungskoeffizienten von f (ϑ, ϕ) = sin(ϑ2 ) f¨ ur l ≤ 5 numerisch an. Hinweis: Konjugiert komplex heisst: Conjugate[ ] und nicht vergessen den Raumwinkel dΩ in Kugelkoordinaten auszudr¨ ucken.
Bitte wenden.
z 20
3.) Rydbergatome (3P) Plotten Sie f¨ ur ein Wasserstoffatom die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten r2 |Rn,l (r)|2 ur l = 5 und 0 ≤ m ≤ 5. Welche dieser f¨ ur n = 100 und l = 0, 50, 90, 99 sowie |Ylm (ϑ, ϕ)|2 f¨ Funktionen kommen der klassischen Beschreibung einer Kreisbahn am n¨achsten? Hinweis: Verwenden Sie in Mathematica SphericalPlot3D zur Darstellung der Winkelfunktionen.
