U8

RWTH Aachen

Institut f¨ ur Theoretische Physik A

Theoretische Physik I (Mechanik)

SS 09

Dr. D. Schuricht

Blatt 8 (35 Punkte) Abgabe 12. Juni 2009

1. Perle an Stange I

(je 2 Punkte = 8 Punkte)

Prof. Dr. V. Meden

Eine Perle der Masse m gleitet im Schwerefeld F~g = −mg~ey der Erde reibungsfrei auf einer Stange, die um den zeitlich konstanten Winkel α nach oben geneigt ist (siehe Skizze). (a) F¨ uhren Sie die Lage s der Perle auf der Stange als generalisierte Koordinate ein. Bestimmen Sie x(s), y(s). (b) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L=T −V.

y m s

Fg

α

x

(c) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur s in der Lagrangeform. (d) Geben Sie die allgemeine L¨osung s(t) an. 2. Perle an Stange II

(je 2 Punkte = 10 Punkte)

Betrachten Sie das System aus Aufgabe 1, jedoch nehme nun der Neigungswinkel der Stange linear mit der Zeit zu, d.h. α = α(t) = ω t. (a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L = T − V . (b) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur s in der Lagrangeform. (c) Geben Sie die allgemeine L¨osung s(t) an. (d) Die Perle werde im Abstand s0 vom Ursprung festgehalten und zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen. L¨osen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur diese Anfangsbedingungen. (e) Wie verh¨alt sich die L¨osung aus (d) f¨ ur kleine Zeiten ω t ≪ 1? F¨ uhren Sie dazu eine 2 Taylorentwicklung bis ∼ (ωt) durch. Hinweis zur Bestimmung der partikul¨aren L¨osung in (c): Ansatz vom Typ der rechten Seite.

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3. Gekoppelte Kugeln

(2+2+3+4+2+4 Punkte = 17 Punkte)

Zwei Massepunkte der Masse m seien durch eine masselose, nichtdehnbare Schnur der L¨ange l miteinander verbunden. Einer der Massepunkte gleite reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene. Die Schnur l¨auft durch ein Loch in der Ebene, wodurch der zweite Massepunkt, der unter dem Einfluss der Schwerkraft F~g = −mg~ez steht, vertikale Bewegungen ausf¨ uhren kann. Das Loch in der Ebene befinde sich im Koordinatenursprung.

ez ex

m ey

Fg

ez

m (a) Geben Sie die holonom-skleronomen Zwangsbedingungen in der Form hi (~r1 , ~r2 ) = 0,

i = 1, . . . , 4,

an, wobei ~r1 = x1~ex + y1~ey + z1~ez und ~r2 = x2~ex + y2~ey + z2~ez den Koordinatenvektor des oberen bzw. unteren Teilchens bezeichne. (b) F¨ uhren Sie Polarkoordinaten r und φ auf der Ebene als generalisierte Koordinaten ein und dr¨ ucken Sie die kartesischen Koordinaten der beiden Teilchen durch diese aus. (c) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L = T − V . (d) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur r und φ in der Lagrangeform. Welche Bewegungsgleichung kann sofort integriert werden? Welcher Erhaltungssatz steckt dahinter? (e) Zeigen Sie, dass das obere Teilchen sich auf einer Kreisbahn bewegen kann. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit des oberen Teilchens in Abh¨anigkeit vom Kreisradius r0 . (f) Zeigen Sie, dass die Bewegung des Teilchens auf der Kreisbahn stabil verl¨auft. Machen Sie dazu den Ansatz r(t) = r0 + s(t) mit |s(t)|/r0 ≪ 1. Entwickeln Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur kleine s(t)/r0 und zeigen Sie, dass das obere Teilchen harmonische Schwingungen um die Kreisbahn ausf¨ uhrt. Bestimmen Sie die Frequenz dieser Schwingungen.

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