U4

RWTH Aachen

Institut f¨ ur Theoretische Physik A

Theoretische Physik I (Mechanik)

SS 09 Blatt 4 (30 Punkte) Abgabe 8. Mai 2009

Prof. Dr. V. Meden Dr. D. Schuricht

1. Pendel in beschleunigtem Zug

(je 2 Punkte = 6 Punkte)

In dieser Aufgabe betrachten wir ein Fadenpendel mit Mas~ = A~ex linear bese m und Fadenl¨ange R in einem mit A schleunigten Zug. Dabei wird die Erde als Inertialsystem gen¨ahert. In diesem Inertialsystem wirken die Gewichts~ = −mg~ez und die durch die Fadenspannung herkraft G ~ Der Winkel zwischen dem Favorgerufene Normalkraft N. den und der z-Achse werde mit φ bezeichnet.

φ

R

A

m

~ und N ~ im beschleunigten Bezugssystem (a) Welche Scheinkraft wirkt zus¨atzlich zu G des Zuges? Stellen Sie die Bewegungsgleichung in diesem Bezugssystem auf. ~ erf¨ (b) Welche Bedingung muss N ullen damit das Pendel im Bezugssystem des Zuges in Ruhe bleibt? Leiten Sie damit den Wert φ der Auslenkung in der Ruhelage her. (c) Wie lautet die Frequenz ω des Pendels f¨ ur kleine Auslenkungen? Ist ω gr¨oßer oder kleiner als die Frequenz ω0 eines Fadenpendels in einem Inertialsystem? 2. Gezeiten

(2+2+6+3+4+1+4+2 Punkte = 24 Punkte)

In dieser Aufgabe soll der Einfluß des Mondes auf die Oberfl¨ache der Ozeane untersucht werden. Dazu nehmen wir die Erde als kugelf¨ormig und von einem Ozean komplett bedeckt an. Wir betrachten ein kleines Volumenelement Wasser der Masse m auf der Ozeanoberfl¨ache. Auf dieses Volumenelement wirken drei Kr¨afte: Die Graviationskraft der Erde F~E , die Gravitationskraft des Mondes F~M und die Summe aller Kr¨afte F~ng die nicht durch die Gravitation hervorgerufen werden (zum Beispiel durch den Druck im Wasser). Der Koordinatenursprung O liege im Zentrum der Erde. Bezeichnungen: Abstand MondErde d0 , Radius der Erde RE , Mond- und Erdmasse MM/E , Gravitationskonstante G, Erdbeschleuningung g = GME /RE2 (siehe Skizze).

y m d Mond

r x

O

d0

Erde

y Q P Mond

R O

x Erde

(a) Bestimmen Sie F~E und F~M . Stellen Sie F~M in Abh¨angigkeit der Position d~ des Volumenelements relativ zum Zentrum des Mondes auf. (b) Bestimmen Sie die Beschleuingung des Koordinatenursprungs O aufgrund der Anziehungskraft des Mondes. Was ist die resultierende Scheinkraft F~S auf das Volumenelement? Seite 1 von 2

(c) Berechnen Sie die Gezeitenkraft F~G = F~M + F~S . Diskutieren Sie die Richtung dieser Kraft qualitativ f¨ ur die Punkte P , Q und R (siehe Skizze). Wie wird die Wasseroberfl¨ache verformt? Im folgenden soll die H¨ohe h der Gezeiten, d.h. der Unterschied zwischen Maximum und Minimum des Wasserspiegels, bestimmt werden. Sie k¨onnen verwenden, dass die Kr¨afte F~ng und F~E + F~G immer senkrecht auf der Oberfl¨ache des Ozeans stehen. Dies kann man aus der Tatsache folgern, dass das Wasser sich im Gleichgewicht befindet. Eine auftretende Tangentialkomponente w¨ urde zu einer Verschiebung der Wasserteilchen und damit einer Verformung der Wasseroberfl¨ache f¨ uhren bis die neue Gleichgewichtslage erreicht ist. ~ UE/G . (d) Bestimmen Sie das Potential U = UE + UG , wobei F~E/G = −∇ ¨ (e) Begr¨ unden Sie, dass die Wasseroberfl¨ache auf einer Aquipotentiallinie von U liegen muss. Folgern Sie daraus eine Relation zwischen UE/G (P ) und UE/G (Q). (f) Dr¨ ucken Sie UE (P ) − UE (Q) durch m, g und h aus. (g) Dr¨ ucken Sie UG (P ) und UG (Q) durch m, MM , G, d0 und RE aus. Entwickeln Sie das Ergebnis in RE /d0 ≪ 1 bis zur quadratischen Ordnung. (h) Zeigen Sie das h gegeben ist durch h=

3MM RE4 . 2ME d30

Welchen Wert erhalten Sie f¨ ur Erde und Mond? Hinweis: Masse Mond: MM = 7.35 × 1022 kg, Masse Erde: ME = 5.98 × 1024 kg, Radius Erde: RE = 6.37 × 106 m, Abstand Erde-Mond: d0 = 3.84 108 m.

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