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2. Modelo de Programación Lineal (MPL) El modelo matemático básico y fundamental de la Investigación de Operaciones es el denominado: Modelo de programación lineal. El MPL es la base para formular otros modelos de programación en busca de una solución óptima.

2.1

Estructura analítica

Cuando en un modelo matemático la función objetivo y todas las restricciones son lineales, tenemos un Modelo de Programación Lineal (MPL). Es decir:

En general este MPL podría representar una situación típica de producción y venta de n bienes con m restricciones correspondientes a disponibilidad máxima de m recursos, con una función objetivo de optimización (Maximizar beneficios o Minimizar costos) donde los cj son las contribuciones individuales

2.1.1

Coeficientes de contribución

Los coeficientes (cj) de las variables de decisión, en la función objetivo, son las contribuciones individuales al plan general de producción. En general, estos coeficientes o constantes (costo o ingreso unitario) se establecen en el "estudio de mercado".

2.1.2

Coeficientes técnicos

Las constantes o coeficientes (aij) de las variables de decisión, en cada una de las restricciones, son los requerimientos tecnológicos asociados al plan común de

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producción. Estos requerimientos o coeficientes (insumo-producto) se determinan en el "estudio técnico" del plan estratégico de la situación-problema o proyecto.

2.1.3

Dominio de definición

La última relación (xj ≥ 0) del modelo es una restricción implícita y se denomina condición o restricción de no negatividad. Esto es, el MPL requiere que todas las variables de decisión sean positivas o cero, es decir, no negativas. El conjunto de valores válidos que pueden tomar las variables de decisión se denomina dominio de definición, e implica una o dos restricciones implícitas (no negatividad, enteras, binarias) asociadas al modelo. Estas condiciones 'ocultas' están relacionadas con el contexto físico de la situación-problema; y, en general, involucran requerimientos de no negatividad (valores positivos) o de ser positivas y enteras (valores enteros positivos), para las variables.

2.2

Representación en dos dimensiones

Si el MPL implica solo dos variables, entonces se puede graficar en el plano cartesiano para establecer su solución. Empero, por el momento, lo que importa son los elementos implicados, conceptos y lenguaje técnico asociado. Diagrama de un problema de maximización con cuatro restricciones

r1 1

r2 1

r3 1

r4 1

fo

fo

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En general, las restricciones lineales (r1, r2, r3, r4) definen una figura convexa, denominada región factible, que indica el conjunto infinito (S) de soluciones posibles o factibles (buenas soluciones) del modelo; pues todos los puntos (pares ordenados) de S, verifican cada una de las restricciones. Cualquier punto exterior a la figura (S), es una solución no factible. Cualquier punto sobre la frontera (perímetro) de la región factible, se denomina punto extremo de la figura convexa.

2.2.1

Solución factible

Una solución factible es una solución para la que todas las restricciones del modelo se satisfacen. En el gráfico anterior, el conjunto de soluciones factibles está formado por los puntos que están sobre o dentro de la frontera del área sombreada (S). La región factible debe establecerse en función del dominio de definición de las variables de decisión. Considerando esto, el conjunto solución (S) puede ser infinito (área) o finito (solo puntos enteros). Si el dominio es el conjunto de números enteros positivos, entonces se deben resaltar, solamente, los puntos cuyas coordenadas son enteras para establecer la solución factible.

2.2.2 Solución óptima del MPL Estructurado el MPL en función del objetivo y los coeficientes de mercado y técnico, el propósito de la 'investigación operativa' es determinar la mejor solución; aplicando principios matemáticos y técnicas específicas de optimización. Dadas las propiedades de las figuras convexas, se concluye que las soluciones óptimas (mejores) deben ser puntos que están sobre un lado (arista) de la frontera (perímetro). Es más, un vértice del polígono convexo resulta ser la solución óptima única del MPL. Un vértice es la intersección de dos rectas, que incluyen los segmentos que forman parte del perímetro. En el gráfico de la sección 2.1.4, la mejor solución está definida por la intersección de las rectas r1 y r3 (punto óptimo). Como dos rectas, en el mismo plano, pueden ser incidentes, coincidentes o paralelas, su intersección será un punto común, infinitos puntos comunes, ningún punto en común, respectivamente. Dado lo anterior, si desplazando (paralelamente) la recta de la función objetivo (fo): 1. No se encuentra una arista (o un vértice: intersección de dos lados), entonces no hay puntos comunes; el modelo no tiene solución. Se dice, es un problema no acotado. 2. Coincide con una arista (la incluye), entonces el MPL tiene varias soluciones óptimas (x1, x2); pero solo un valor óptimo (z).

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3. Intercepta en un vértice (punto extremo) a la figura convexa, entonces el problema tiene solución única, una solución óptima.

2.3

Supuestos fundamentales del MPL

Los supuestos básicos o fundamentales de los modelos de programación lineal son: linealidad, divisibilidad y certidumbre.

2.3.1

Linealidad

Este es el supuesto básico del modelo, el cual involucra la proporcionalidad aditividad.

y

la

Proporcionalidad, la contribución al beneficio, al costo, a los insumos y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable. Aditividad, el costo y las restricciones son la suma directa de las variables. Si el supuesto de linealidad falla, debiera considerarse el uso de Programación no Lineal; no obstante, en muchos casos podrá asumirse linealidad para los niveles de actividad relevantes y, en otros casos, existirá la posibilidad de replantear el problema en una forma adecuada para que se cumpla este supuesto.

2.3.2

Divisibilidad

Con este supuesto se asume que es posible fabricar y/o vender una fracción de unidad de producto. El nivel al cual se realice una actividad, puede ser cualquier valor real no negativo y no estará limitada a ser únicamente valores enteros. En caso contrario, debiera considerarse el uso de Programación Lineal Entera. Al respecto, el simple redondeo de una solución fraccionaria al entero más próximo, puede arrojar una solución no factible o una solución bastante alejada de la verdadera solución óptima entera.

2.3.3

Certidumbre

Los valores de los parámetros (coeficientes) del modelo son conocidos y ciertos para el estudio de la investigación operativa. En realidad, estos valores que se utilizan al formular el MPL, son sólo estimaciones hechas en el estudio técnico y de mercado. Sin embargo, el análisis de sensibilidad permite conocer el comportamiento de la solución óptima, ante variaciones en los valores de esos parámetros.

2.4

Los MPL requieren del Álgebra

Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de la programación lineal es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente.

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Luego de formulado el modelo matemático (problema) se lo debe expresar un su forma más simple posible, aplicando propiedades de las ecuaciones y/o inecuaciones hasta conseguir que el lado derecho de estas relaciones solo sea una constante positiva o cero. Hecho lo anterior, resolver el problema casi siempre es fácil. Empero, aunque el problema esté correctamente formulado, por desconocer o no aplicar las propiedades matemáticas su resolución puede complicarse. Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas literales” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular la función objetivo y las restricciones. Por ejemplo, si a y b representan el número de unidades a producir del producto A y B, respectivamente, y se tiene una capacidad máxima de 100 horas de mano de obra; considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será: 3a + 2b = 100 Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación anterior podría ser: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si se disponen de 100 horas como máximo, la restricción será: ………………………………………..3a + 2b ≤ 100 Para que sea aceptable para programación lineal, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que el número de productos tipo A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como: a ≥ 2b

a  2b ≥ 0

ó

Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que la cantidad de productos tipo A sea por lo menos tan grande como b - 2, entonces: Se tiene, o, por último

a a–b b–a

≥ ≥ ≤

b–2 -2 2

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Donde la última relación (b - a ≤ 2) es el modelo matemático más simple, lado derecho positivo. Finalmente, es sencillo convertir una desigualdad (inecuación) en una igualdad (ecuación). Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. Por ejemplo:

es lo mismo que

ba2

ba+h=2

Donde h representa la diferencia, o la holgura, entre b - a y 2. h se llama variable de holgura. Por otro lado, se restaría una variable de exceso (e) o superávit en el caso siguiente: a  2b  0

es lo mismo que

a  2b e = 0

Algunos métodos de solución, como el Método Símplex y la mayoría de los programas de computadora, requieren que todas las desigualdades se conviertan en igualdades. La metodología de programación lineal requiere que todas las variables de decisión sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución que diga: "Prodúzcanse menos dos cajas" o "Contrátense menos cuatro personas". Mientras que, no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de programación lineal, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema. Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra z para representarlo; y el objetivo se indica con Max (para maximizar, z) o con Min (para minimizar, z). La función objetivo tendrá, entonces, la forma: Max: z = 4a + 6b

2.5

ó

Min: z = 2x1 + 5x2

Formulación de MPL

Un MPL busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales (explícitas e implícitas). Un MPL está compuesto de lo siguiente: 1. Un conjunto de Variables de Decisión. 2. Una Función Objetivo.

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3. Un conjunto de restricciones explícitas. 4. El dominio de definición de las variables de decisión.

2.5.1

Expresar el problema en términos matemáticos

Para formular un problema en forma matemática, primero se debe leer (varias veces) hasta comprenderlo (usando esquemas, tablas o diagramas); entendido el problema se declaran las variables de decisión y con ellas, deben expresarse las afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Es decir, para identificar y escribir (en orden), con símbolos matemáticos, las cuatro componentes del MPL: 1. Lea con atención el enunciado del problema, las veces que sean necesarias. 2. Lea el problema para identificar y declarar las "variables de decisión". 3. Lea el problema para establecer el objetivo: "maximizar" o "minimizar". 3.1 Identifique las "coeficientes de contribución". 3.2 Escriba la "función objetivo" utilizando las coeficientes (3.1) y las "variables de decisión" (2). 4. Lea el problema para identificar, en orden, cada "limitación o capacidad". 4.1 Identifique los "coeficientes técnicos" de la restricción. 4.2 Escriba la "restricción" usando los coeficientes (4.1) y las "variables de decisión" (2). Repita 4.1 y 4.2, para cada una de las restricciones explícitas del problema. 4.3 Finalmente, especifique el "dominio de definición" de las variables.

Ejemplos de Formulación de MPL En los ejemplo que siguen y en los problemas que se proponen, el propósito es estructurar o formular el MPL. Es decir, traducir o escribir el problema en términos matemáticos. Ejemplo 2.1 La empresa "ABC" produce dos tipos de juguetes: Súper (S) y Normal (N). Dispone de 1.200 kilos de plástico especial y de 40 horas de producción semanal. La producción total no puede ser mayor que 800 docenas y el número de docenas de S no puede exceder al número de docenas de N por más de 450. Para producir una docena de S se requieren dos kilos de plástico y tres minutos de producción por docena y N requiere un kilo de plástico y cuatro minutos de producción por docena. La venta de una docena de S implica una ganancia de $8 y N entrega $5 de utilidad por docena.

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La optimización, usando las técnicas de la Investigación de Operaciones, indica que se deben producir 480 docenas de S y 240 docenas de N para obtener una utilidad de $5.040 por semana. Formule el MPL. Luego, muestre que los valores entregados por la optimización verifican el modelo. Nota La solución (480, 240) será determinada en la próxima unidad. En esta unidad el propósito es, simplemente, formular el MPL; es decir, traducir el problema del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico (modelo matemático). Ejemplo 2.2 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga Bs0,20 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga Bs0,30 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de A, en la que caben 120, y otra para los impresos de B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Ejemplo 2.3 Un grupo de auditores especializado en liquidaciones impositivas y auditorías para empresas medianas, desea determinar el número óptimo de auditorías completas y liquidaciones que se debe realizar mensualmente para generar el mejor ingreso. El grupo dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuestos requiere ocho horas de trabajo y cinco horas de revisión, produce una ingreso de $100; no se pueden ejecutar más de 60 liquidaciones mensuales. Ejemplo 2.4 Una unidad educativa necesita comprar cierto tipo de equipos para el laboratorio de química. Dos fábricas pueden proveérselos. Dada la siguiente información: Concepto Cantidad de personal auxiliar simultáneo para la atención de cada equipo. Cantidad de alumnos que pueden trabajar simultáneamente por equipo. Cantidad de experimentos distintos que pueden realizarse simultáneamente por equipo. Costo de cada equipo en Bs

Fábrica 1

Fábrica 2

2

3

10

4

1

7

1000

1500

Para la atención de los equipos, el colegio no dispone de más de 23 docentes auxiliares, y desea que puedan trabajar simultáneamente en aquellos al menos 38 alumnos que realicen como mínimo 17 experimentos diferentes.

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Decidir qué cantidad de equipos de cada fábrica le conviene adquirir para que el costo total sea mínimo. Ejemplo 2.5 En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen $450 y las de tipo halógena, $600. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrán producir para obtener la máxima facturación? Ejemplo 2.6 Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer igual o más veces el trayecto que el avión B, pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer por lo menos 60 vuelos, pero no más de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana $300.000 y $200.000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos deben hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? Ejemplo 2.7 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el costo de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? Ejemplo 2.8 En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de $1.000 y el del tipo Y es de $3.000. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? Ejemplo 2.9 Usted es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100.000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule un modelo de Programación Lineal para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría

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que comprar usted con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.

Acciones Precio ($) Rend. Anual estimado/acción ($) Inversión posible ($) A1 60 7 60.000 A2 25 3 25.000 A3 20 3 30.000 Ejemplo 2.10 Una empresa Financiera dispone de 100 millones de pesos para invertir. Su objetivo es maximizar la ganancia esperada para el año que viene. Sus posibilidades de financiación son las siguientes: Activo financiero Rentabilidad (%) Inversión máxima (millones) Renta Variable 14 40 Letras del Tesoro 12 70 Bonos del Tesoro 10 30 Renta Fija Privada 13 20 A parte de las condiciones de rentabilidad e inversión máxima se considera que por razones de riesgo se deben cumplir, adicionalmente, con las siguientes condiciones:  Por lo menos el 30% de las inversiones deben quedar invertidos en renta variable y letras del tesoro.  No más del 45% deben quedar invertidos en bonos del tesoro y renta fija privada.  No más del 30% debe quedar invertidos en renta variable y renta fija privada.

Problemas de Formulación de MPL 2.1 La empresa GTC produce dos clases de herramientas: llaves inglesas y alicates, para satisfacer la demanda del mercado (empresas y particulares). El estudio, técnico y de mercado, ha estimado los parámetros que se indican en la tabla que sigue. Dada esta información, calcular el número de llaves y alicates que se debe fabricar parta obtener la mejor utilidad. Datos técnicos y de mercado

Concepto Acero Máquina de moldeo Máquina de montaje

Llaves

Alicates Disponible 1,0 27.000 kilos 1,5 1,0 21.000 horas 1,0

0,5 0,3 Demanda 15.000 16.000 Beneficio unitario ($) 0,10 0,13

9.000 horas

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2.2 Una agropecuaria utiliza diariamente por lo menos 800 kilos (k) de alimento especial para ganado. Este alimento es una mezcla de maíz y semilla de soya, con la siguiente composición: Alimento Maíz Semilla de soya

Proteína Fibra Costo/kilo 0,30 0,09 0,02

0,60

0,06

0,90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteína y cuando mucho un 5% de fibra. Determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento. 2.3 El señor Aventura se dedicará al engorde de dos tipos de ganado: A y B, con un capital inicial de Bs150.000 y un potrero con 200 hectáreas de pasto sembrado. Ha estimado que el costo de producción de cada res será: Tipo A Bs1.450 y del tipo B Bs1.100. Dada la limitación de su potrero que puede albergar sólo 1.000 reses, decide comprar más reses tipo A; y el total no puede ser inferior a 350 cabezas. Si cada res tipo A puede vender en Bs2.100 y el B en Bs1.650, ¿cuántas de cada tipo debe comprar y vender para optimizar su inversión? 2.4 Un estudiante de la universidad afirma que: "Sólo el trabajo y nada de diversión definen un hombre aburrido". Por esto, quiere distribuir su tiempo disponible de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Estima que el juego es dos veces más divertido que el trabajo, pero decide estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, asume que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego? 2.5 Considérense dos alimentos: A y B. Cada unidad del alimento A contiene 20 unidades del nutriente I y 60 unidades del nutriente II. Cada unidad del alimento B contiene 30 unidades del nutriente I y 23 unidades del nutriente II. Se ha determinado que los niños en edad de educación primaria deben consumir diariamente por lo menos 350 unidades del nutriente I y 700 unidades del nutriente II, cada uno. Si a cada niño de esa edad, en un área urbana, se le va a hacer entrega de una bolsa que contenga los alimentos A y B, determinar cuántas unidades de A y cuantas de B debiera incluir la bolsa, a un costo total mínimo y cumpliendo los requerimientos nutricionales. El costo de cada unidad de A es $25 y el de cada unidad de B es de $9. 2.6 Resuelva el problema anterior considerando 1.000 niños y un presupuesto fijo de $120.000/día 2.7 Una persona ha desarrollado dos tipos de juego de salón para adultos, hechos a mano, que vende a tiendas en todo el país. Aunque la demanda de estos juegos excede su capacidad de producción, la persona continúa trabajando sola y limita su trabajo semanal a 50 horas. El juego tipo 01 se produce en 3,5 horas y arroja una ganancia de $28, mientras que el juego 02 toma 4 horas para su producción y da una ganancia de $31. Cuántos juegos de cada tipo deberá producir semanalmente esta persona, si su objetivo es maximizar la ganancia total?

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2.8 Usted dispone de $250.000 para invertir en los activos financieros: RV (renta variable), BB (bonos del Banco Central)) y BT (bonos del Tesoro). Cada activo RV cuesta $900 y el rendimiento esperado es 12 %; el precio del BB es $1.000 y genera un beneficio del 6 %; el costo de cada BT es $1.000 y rinde el 8 %. La inversión en los activos RV y BT no debe superar al 60 % del total invertido. Lo invertido en BB tiene que ser superior a $20.000, y la inversión en BT no puede ser inferior a la inversión en los activos RV. Determine el máximo rendimiento monetario anual. 2.9 Se dispone en el mercado de dos productos, A y B, para alimentar cierta clase de animales. El producto A contiene por cada kg 100 g de nutriente C y 200 g de nutriente D. El producto B contiene por cada kg, 200 g de C y 200 g de D. Se sabe que se deben suministrar por día, a cada animal, no menos de 600 g del nutriente C y no menos de 1 kg del nutriente D. Determinar cuántos kg del producto A y cuántos del producto B se deben suministrar a cada animal para que el gasto sea mínimo, sabiendo que el kg del producto A cuesta $4 y que el kg del producto B cuesta $5.- 5 2.10 Un agente económico tiene disponibles $6.000 para invertir. Tiene dos ofertas de participar como socio de dos negocios diferentes. Oferta 1, invertir $5.000 y 400 horas de su tiempo, y la ganancia estimada (ignorando el valor del dinero en el tiempo) sería de $4.500. Oferta 2, $4.000 de inversión y 500 horas, con una ganancia estimada de $4.500. Sin embargo, ambas ofertas son flexibles y permiten entrar al negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras, este agente está buscando un trabajo interesante para el verano y dispondrá de 600 horas a lo sumo, ha decidido participar en una o ambas ofertas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Determine esa ganancia total. 2.11 La empresa VAM elabora artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo puertas y ventanas de vidrio, en tres plantas diferentes (1, 2 y 3). En la uno, se hacen los marcos y molduras de aluminio; en la dos, los marcos de madera; en la tres, se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Se planifica descontinuar los productos no rentables, para incursionar con dos nuevos productos que tienen demanda. Uno de los productos es una puerta de vidrio con marco de aluminio, el otro es una ventana grande con marco de madera y vidrio doble. El plan propuesto indica en la tabla que sigue, para cada planta, el porcentaje de la capacidad disponible y el porcentaje que requiere cada unidad producida por hora; y la ganancia por unidad de producto/hora. Determine la tasa de producción de los dos productos, que maximizan las ganancias. Planta Puerta Ventana Capacidad disponible 1 1% 0% 4% 2 0% 2% 12% 3 3% 2% 18% Utilidad $180 $300 Nota: La tasa de producción será el número de unidades producidas por hora. 2.12 Resuelva el problema anterior, suponiendo que las ganancias netas por hora deben superar los $3.000 para que se justifique la implementación de la producción de los dos nuevos productos.

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2.13 Resuelva el problema 2.8, suponiendo que la ganancia por Ventana es $120 (en vez de $300). 2.14 tres.

Resuelva el problema 2.8, ignorando las restricciones de las Plantas dos y

2.15 A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que los invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?