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Departamento de ingeniería eléctrica

Materia: Control 1 Unidad 5: Estabilidad

ESTABILIDAD ABSOLUTA Criterio de raíces de la ecuación característica El sistema de control es estable si las raíces del denominador (ecuación característica) de la función de transferencia tienen partes reales negativas. En efecto, sea G(s) = N(s)/D(s) la función de transferencia de lazo cerrado de control. La ecuación característica es:

D(s) = aosn + a1sn-1 + . . . +an = 0 ( 9.1) Y es equivalente a la respuesta del sistema con excitación o entrada nula D(s)= 0 Si las raíces son s1, s2, . . . , sn la ecuación puede expresarse

D(s) = ao(s – s1) (s – s2) . . . (s – sn) = AeS1t + BeS2t +. . . + NeSnt

(9.2)

Se llega a la misma conclusión considerando que la respuesta a un impulso unitario de la función de transferencia G(s) es:

y que debe ser nula para que el sistema sea estable. Para que la expresión se anula cuando el tiempo tiende a infinito, es necesario que los valores reales de s1, s2, ...,sn sean negativos, ya que de este modo cada uno de los sumandos tiende a cero y la curva de respuesta se anula. Si las raíces s1, s2, ...,sn fueran positivas, cada uno de los términos A eS1t + B eS2t +. . . aumentarían con el tiempo. Si las raíces son complejas con una parte real y una imaginaria s = a + bj también existirá su valor conjugado s = a – bj y, por tanto, la respuesta a un impulso unitario de la función de transferencia G contendrá términos tales como:

L-1[G(s)] = e(+bj)t + . . . = eat (ejbt + e-jbt) + ... = eat . 2 cos bt + ...

(9.4)

que es una respuesta oscilatoria con una amplitud exponencial e at; para que disminuya con el tiempo es necesario que la parte real a sea negativa. Si la parte real fuera 0, la respuesta no se anula con el tiempo sino que se mantiene en un valor limitado. Así pues, la respuesta será estable si todas las raíces de la ecuación característica tienen la parte real negativa. Si estas raíces se representan en el plano imaginario de s deben estar a la izquierda del mismo (en el semiplano izquierdo LHP del plano s). Si al menos una raíz está en el semiplano derecho RHP del plano s, el sistema es inestable.

ESTABILIDAD RELATIVA El criterio de estabilidad de Routh brinda la respuesta sobre estabilidad absoluta. Esto, en muchos casos reales, no es suficiente; pues se requiere información sobre la estabilidad relativa del sistema. Un procedimiento útil para examinar la estabilidad relativa es desplazar el eje del plano s y aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es decir, se substituye s = s´ – s

(s = constante)

(9.11)

En la ecuación característica del sistema, se escribe el polinomio en términos de s´, y se aplica el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio en s´. La cantidad de cambios de signo en la primera columna del conjunto desarrollado por el polinomio en s´ es igual a la cantidad de raíces ubicadas a la derecha de la línea vertical s = –  Esta prueba indica la cantidad de raíces que quedan a la derecha de la línea vertical s = – . La utilidad del criterio de estabilidad de Routh en el análisis de sistemas lineales de control es limitada, principalmente porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad

relativa o como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, los efectos de la modificación de uno o dos parámetros de un sistema se pueden determinar examinando los valores que producen la inestabilidad.

Polos y ceros. Considerando un sistema descrito por la Ecuación dada tomando la transformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de transferencia del sistema G(s) será:

El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la ecuación igual a cero. Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:

donde zi = ceros de la función de transferencia pi = polos de la función de transferencia Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable. “Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del planos” La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad1 Ceros 1. El valor(es) para z donde el numerador de la función de trasferencia es igual a cero

2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea cero. Polos 1. El valor(es) para z donde el denominador de la función de transferencia es igual a cero 2. Las frecuencias complejas que hacen de la ganancia de la función de transferencia del filtro se infinita.

Estabilidad y polos. La estabilidad de un sistema se puede determinar considerando cómo cambia la salida con el tiempo después de una entrada impulso. Con un sistema estable la salida deberá tender a cero con el tiempo, y con un sistema inestable la salida con el tiempo. Considere un sistema sin ceros y un polo en -. La función de transferencia G(s) será: 𝐺(𝑠) =

1 𝑠+2

Por lo tanto, la salida 0a(s) está relacionada con la entrada ∅, (s) mediante

0𝑎 (𝑠) =

1 ∅, (𝑠) 𝑠+2

Si el sistema está sujeto a un impulso unitario, entonces 0, (𝑠) = 1 y de esta manera 𝜃𝑎 (𝑠) =

1 𝑠+2

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s+a) y así, la transformada inversa da por resultado: 𝜃𝑎 = 𝑒 −2𝑡 El valor de𝑒 −2𝑡 decrece con el tiempo, haciéndose cero en un tiempo infinito, por lo tanto, el sistema es estable. Ahora considere un sistema sin ceros y un polo en +2. La función de transferencia G(s) será: 𝐺(𝑠) =

1 𝑠− 2

Por lo tanto:

𝜃𝑎 (𝑠) =

1 ∅, (𝑠) 𝑠−2

Para impulso unitario, 𝜃𝑎 (𝑠) = 1y, de esta manera

𝜃𝑎 (𝑠) =

1 𝑠−2

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s+a) así, la transformada inversa da por resultado: 𝜃 = 𝑒 2𝑡 A medida que t se incrementa, el valor de 𝑒 2𝑡 también se incrementa, por lo tanto, el sistema es inestable.

El criterio de estabilidad de Routh - Hurwitz. Conocer las raíces de la ecuación característica, para comprobar si las partes reales de todas ellas son negativas y asegurar así que el sistema es estable, es difícil cuando el orden del sistema es superior a dos. El problema se incrementa si además, los coeficientes de la ecuación no son valores numéricos, sino que dependen de algún parámetro variable. El criterio de Routh-Hurwitz aplicado a la ecuación característica de un sistema permite conocer si es estable o no, sin necesidad de calcular las raíces de dicha ecuación característica. Sea la función de transferencia (6.1)

Su ecuación característica (4.1) posee coeficientes ai reales.

Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún coeficiente nulo o negativo, el sistema no sería estable. Si se cumple la condición anterior, que se conoce como condición de Cardano-Viète, el sistema puede ser estable o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma que sigan el patrón impuesto por la siguiente tabla:

Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas inmediatamente superiores. Así los coeficientes bi se calculan como sigue:

Análogamente, los coeficientes ci se calculan:

A partir de un momento, los coeficientes de las filas valen sucesivamente cero. Estos ceros a veces son necesarios para calcular coeficientes posteriores. Se puede observar que el cálculo de los coeficientes sigue un patrón que se puede memorizar. El denominador siempre es el primer coeficiente de la fila inmediatamente superior. El numerador depende de los coeficientes de las dos filas inmediatamente superiores y es la diferencia de dos productos cuyos términos poseen una posición cruzada. Para sucesivos coeficientes, los dos primeros términos siempre se emplean en el producto cruzado, mientras que los otros dos van avanzando. El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que sólo posee un coeficiente no nulo, d en la expresión (5.3) . El criterio afirma que el sistema es estable si y sólo si todos los coeficientes de la primera columna de RouthHurwitz son positivos. Es, por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la forman los primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio sólo se fije en los primeros coeficientes, las filas hay que completarlas enteras, porque todos los coeficientes son necesarios para calcular los inferiores. Cuando no se cumple el criterio de Routh-Hurwitz, es posible conocer el número de polos del sistema que están en el semiplano de parte real positiva. Existen tantos polos con parte real positiva como cambios de signo aparecen a la largo de la primera columna de Routh-Hurwitz. Es importante recalcar que criterio de Routh-Hurwitz informa sobre la estabilidad absoluta, es decir, se limita a mostrar si el sistema es estable o no, sin indicar el grado de estabilidad o inestabilidad, lo próximo o lo alejado que se está de volverse inestable o estable.2

2

W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.

Dado que la estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su función de transferencia, es decir por la ubicación de las raíces de un cierto denominador, planteamos ahora el siguiente problema:

¿Cómo determinar si las raíces de un polinomio como (1) están ubicadas todas en el semiplano izquierdo?

Antes de contestar esta pregunta, hacemos notar lo siguiente:  Si el polinomio tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero, entonces tiene al menos una raíz en el semiplano derecho o en el eje imaginario.  Si el polinomio tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos extraer conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces. Para demostrar lo anterior, supóngase primero que el polinomio tiene sólo raíces reales, y por tanto puede factorizarse así:

Si las raíces αι son todas negativas, los términos – αι serán todos positivos, y en general el producto tendrá todos los coeficientes positivos. De esta forma, los coeficientes de (1) serán todos positivos o todos negativos, dependiendo del signo de G en (2). Por esta razón, si p(s) tiene coeficientes de signos diferentes o cero, necesariamente al menos un término – αι debe ser negativo, lo que implicaría que tendría al menos una raíz positiva (en el semiplano derecho). Ahora supóngase que (1) tiene dos raíces complejas conjugadas:

El producto de los términos que tienen que ver con las raíces complejas es:

Si, es decir si las raíces están en el semiplano izquierdo, (4) tendrá sólo coeficientes positivos, y por tanto (1) tendrá todos sus coeficientes del mismo signo (positivos si G es positiva y negativos si G es negativa).

Como consecuencia de lo anterior, si (1) tiene coeficientes de signos diferentes, o cero, podemos asegurar que tiene una o más raíces en el semiplano derecho o en el eje imaginario. Si por el contrario tiene todos los coeficientes de igual signo, es necesario realizar otro tipo de pruebas antes de establecer la ubicación de sus raíces. Una de esas pruebas se conoce como la prueba de Routh-Hurwitz, para lo cual es necesario primero construir un arreglo específico con los coeficientes de (1).

LOCALIZACION DE LAS RAICES

Método del lugar de las raíces

EJEMPLO :

Las raíces se mueven por el eje real hasta el centro de gravedad y luego por la asíntota hasta ¥. El sistema nunca será inestable, pues las raíces se mueven siempre sobre el semiplano izquierdo del gráfico (para cualquier valor de K). Aumentando K, habrá un valor para el cual las raíces serán iguales. Si K sigue aumentando, comenzarán a aparecer pares de raíces complejas conjugadas y el sistema tendrá oscilaciones, pero seguirá siendo estable. Para K tendiendo a infinito, las raíces serán imaginarias puras y el sistema presentará oscilaciones de amplitud constante.