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´Indice general 1. Cinem´ atica del punto material 1.1. Espacio y Tiempo . . . . . . . . . . 1.2. Ecuaciones de la cin´ematica . . . . 1.3. Conceptos de sistemas de referencia 1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

13 13 13 19 23

2. Din´ amica 2.1. Sistemas Inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Campos de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2. TEOREMA DE CONSERVACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. CAMPO DE FUERZA CENTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ PARA UN SISTEMA DE PART´ICULAS 2.4. LEYES DE CONSERVACION 2.4.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. El momento y su conservaci´on en un sistema de part´ıculas . . . . 2.4.3. Momento de impulso del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 27 29 29 31 32 34 34 34 35 37

3. Principios Variacionales 3.1. LOS PRIMEROS PRINCIPIOS DE M´INIMO . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. El principio de Her´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. El principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. El principio de m´ınima acci´on de Maupertius . . . . . . . . . . 3.2. EL PRINCIPIO DE HAMILTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ HEUR´ISTICA DEL PRINCIPIO DE HAMILTON 3.3. JUSTIFICACION

43 43 43 43 44 45 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inercial y coordenadas curvil´ıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . .

4. ECUACIONES DE LAGRANGE 50 4.1. COORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS GENERALIZADAS . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. DESPLAZAMIENTOS REALES, POSIBLES Y VIRTUALES . . . . . . 51 ´ 4.3. ECUACION DE LAGRANGE DE PRIMERA CLASE . . . . . . . . . . 52 ´ DE LAGRANGE DE SEGUNDA CLASE . . . . . . . . . . 4.4. ECUACION 53 4.5. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS POTENCIALES . 56 ´ 4.6. CONCERVACION DEL IMPULSO GENERALIZADO . . . . . . . . . . 57 ´ 4.7. ENERGIA GENERALIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ´ ´ PARA LA ENERG´IA CINETICA ´ 4.8. ANALISIS DE LA EXPRESION . . . 59 4.9. SISTEMAS NO INERCIALES DE COORDENADAS . . . . . . . . . . . 61 1

12

Mec´anica Cl´asica

´ 5. CALCULO VARIACIONAL ´ 5.1. CALCULO VARIACIONAL EN INTEGRALES SENCILLAS . . . . . . ´ DE LA INTEGRAL FUN5.2. PROPIEDADES DE TRANSFORMACION DAMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. SENTIDO F´ISICO DE LOS PRINCIPIOS VARIACIONALES Y LA LAGRANGIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68

6. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS ´ AL PROBLEMA DE UN CUERPO . . . . . 6.1. REDUCCION 6.2. MOVIMIENTO EN CAMPO DE FUERZAS CENTRALES 6.3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . 6.4. POTENCIAL GRAVITATORIO . . . . . . . . . . . . . . . ´ DE LAS ORBITAS ´ 6.5. ECUACION . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. MOVIMIENTO PLANETARIO Y LEYES DE KEPLER . . ´ (SCATTERING) . . . . . . . . 6.7. TEOR´IA DE DISPERSION 6.7.1. Dispersi´on de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Secci´on diferencial de dispersi´on . . . . . . . . . . . . 6.7.3. Coordenadas y ´angulo de dispersi´on en el laboratorio

. . . . . . . . . .

80 80 81 84 86 87 88 91 92 93 94

˜ 7. OSILACIONES PEQUENAS ´ 7.1. ENERG´IA POTENCIAL Y CINETICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 7.2. SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . ´ DE UN SISTEMA BAJO FUERZA EXTERNA . . . . . 7.3. OSCILACION

97 97 98 101

´ DE HAMILTON 8. FORMULACION 8.1. ECUACIONES DE HAMILTON . . . . . . . . . . . . . ´ SIMPLECTICA ´ 8.2. NOTACION . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. INTEGRALES DE LAS ECUACIOES DE HAMILTON ´ 8.4. TRANSFORMACIONES CANONICAS . . . . . . . . . 8.5. CORCHETES DE POISSON . . . . . . . . . . . . . . . ´ DE HAMILTON-JACOBI . . . . . . . . . . 8.6. ECIACION

107 108 110 111 112 115 116

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9. MOVIMIENTO DE CUERPO R´IGIDO ´ 9.1. ENERG´IA CINETICA Y MOMENTO DE IMPULSO DE CUERPO R´IGIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. EL TENSOR DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 9.3. FORMA TENSORIAL DE LA ENERG´IA CINETICA . . . . . . . . . . 9.4. MOMENTO DE IMPULSO DEL CUERPO R´IGIDO . . . . . . . . . . . ´ DE MOVIMIENTO DE CUERPO R´IGIDO . . . . . . . . . 9.5. ECUACION ´ 9.6. ANGULOS DE EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. ECUACIONES DE EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 78

121 121 122 123 126 128 129 131

Cap´ıtulo 1 ´ tica del punto material Cinema 1.1.

Espacio y Tiempo

El movimiento mec´anico ocurre en el espacio y el tiempo. En mec´anica cl´asica se parte del modelo m´as simple de espacio-tiempo, es decir se toman en cuenta un espacio y un tiempo absolutos. Esto constituye un axioma fundamental. El espacio se considera como una variedad tridimensional homog´enea e isotr´opica euclideana, que denotaremos como: E 3 . El tiempo absoluto se considera una magnitud que cambia continuamente y que relaciona sucesos consecutivos que ocurren en el espacio, com´ unmente se dice que “fluye” del pasado al futuro. Si alg´ un instante se considera como inicial, entonces los eventos podr´ıan haber ocurrido antes o despu´es de ´este. Esto quiere decir que el rango de valores de esta magnitud es ´8 ă t ă `8. El tiempo es homog´eneo, igual en cualquier punto del espacio absoluto e independiente del movimiento de la materia. A partir de que el movimiento posee una caracter´ıstica relativa –es decir, hablamos del movimiento de los cuerpos en relaci´on con otros cuerpos materiales– surge el concepto de sistema de coordenadas. Con fines de factibilidad, un cuerpo r´ıgido se considera como un objeto cuya forma no cambia, y permanece inm´ovil. El movimiento de otros cuerpos en relaci´on con dicho cuerpo inm´ovil se denomina movimiento absoluto. Todo esto se modela frecuentemente como un sistema de tres ejes mutuamente perpendiculares, el cual se denomina sistema de referencia inm´ovil o sistema de coordenadas inm´oviles. Com´ unmente se usan las tres u ´ltimas letras del alfabeto latino –x, y, z– para denotar los valores algebraicos de estos ejes de coordenadas. Como unidad de medida del tiempo se 1 parte del d´ıa–; mientras que como toma el segundo –que se puede definir como la 86400 medida de longitud espacial se toma, por ejemplo, el metro, que es 1 650 763.73 veces la longitud de onda de la radiaci´on que corresponde al cambio de niveles energ´eticos 2p10 y 5d5 del a´tomo del kript´on-86 (en el vac´ıo) seg´ un el sistema internacional acordado en 1960. Es importante se˜ nalar que esta formulaci´on de los conceptos espacio y tiempo no es adecuada para teor´ıas de la relatividad –donde espacio y tiempo se consideran equivalentes– , pero para fines de teor´ıas cl´asicas de movimiento, lo mencionado es m´as que suficiente.

1.2.

Ecuaciones de la cin´ematica

Otro concepto fundamental de la mec´anica cl´asica es la abstracci´on referente a la conceptualizaci´on de punto material. Este concepto se puede concebir considerando que la masa del objeto en estudio se concentra en un punto interior del mismo y se desprecian el tama˜ no y la estructura del cuerpo en movimiento. Por lo tanto, es un convencionalismo 13

14

Mec´anica Cl´asica

considerar tal o cual objeto en movimiento como punto material o no. Por ejemplo, un sat´elite orbitando la Tierra puede ser considerado como punto material si lo comparamos con la dimensi´on de la Tierra, pero si en el proceso de estudio del comportamiento del sat´elite se ven cuestiones ligadas a elementos ubicados en ´este –como antenas, bater´ıas solares y dispositivos o´pticos–, entonces el sat´elite no puede ser considerado punto material, debido a que es necesario tener en cuenta sus rotaciones y un punto material no tiene rotaciones. El lugar geom´etrico de las posiciones sucesivas del punto material se llama trayectoria. Si en alg´ un intervalo de tiempo la trayectoria es una l´ınea recta, entonces el movimiento del punto es rectil´ıneo; en caso contrario, se llama movimiento curvil´ıneo. Un sistema de puntos materiales, o simplemente sistema, es un conjunto de puntos materiales escogidos bajo criterios espec´ıficos de estudio. La principal tarea de la cinem´atica es determinar el movimiento del punto o sistema, es decir, proveer un m´etodo de determinaci´on de las posiciones de las part´ıculas en cualquier instante sin que por ello debamos pensar en las causas que producen tal movimiento. Para determinar la posici´on de un punto material en el espacio, es necesario introducir un sistema de coordenadas en el que se pueda colocar todos los puntos del espacio, es decir, cada uno de ellos tendr´a alguna marca determinada, algo as´ı como nombre y apellido. Sea este sistema de coordenadas el que com´ unmente denominamos sistema de coordenadas cartesianas OXY Z, entonces la posici´on del punto material se determina por un vector llamado radio vector, cuyas componentes en un instante t1 ă t ă t2 ser´an tres cantidades escalares, que se denominar´an las coordenadas de la part´ıcula y la denotaremos como xptq, yptq, zptq. El radio-vector est´a dado por: rptq “ pxptq, yptq, zptqq,

(1.1)

la cual es una curva (continua) en el espacio tridimensional determinada por una funci´on vectorial de una variable real –que es el tiempo t – definida sobre alg´ un intervalo pa, bq. Por conveniencia, tomaremos las funciones de las coordenadas x, y, z con segundas derivadas continuas. La derivada con respecto al tiempo, de la curva es el vector vptq drptq dt ı 1 ” “ l´ım rpt ` ∆tq ´ rptq ∆tÑ0 ∆t „  xpt ` ∆tq ´ xptq ypt ` ∆tq ´ yptq zpt ` ∆tq ´ zptq “ l´ım , , ∆tÑ0 ∆t ∆t ∆t

vptq “ r9 ptq “

“ rxptq, 9 yptq, 9 zptqs. 9

(1.2)

Si dibujamos el vector vptq como una flecha saliendo del punto rptq (como se muestra en la figura 1.1), entonces, ´este ser´a tangente a la curva y apuntar´a en la direcci´on en que cambia cuando se incrementa el tiempo t. La figura permite notar que el vector ∆r “ rpt`∆tq´rptq est´a dirigido a lo largo de la cuerda desde rptq a rpt`∆tq. Multiplicar ∆rptq por el escalar 1{∆t (para ∆t ‰ 0 ) resultar´a en un vector que apunte en la misma direcci´on si ∆t ą 0 ; o en la direcci´on opuesta si ∆t ă 0. Entonces ∆r{∆t apunta en la direcci´on en que se incrementa t y por tanto en la direcci´on en que se incrementa la longitud de la trayectoria, s. Si ∆t se acerca a cero, entonces rpt ` ∆tq se aproxima a rptq

Cinem´atica del punto material

15

Figura 1.1: Representaci´on del vector velocidad v, que es tangente a la curva.

y de esta manera, la direcci´on de la cuerda (y de ∆r{∆t) se aproxima a la direcci´on de la l´ınea tangente a la curva en rptq. M´as aun, para ∆t peque˜ no, la longitud de ∆r –es decir, la distancia de la l´ınea recta de rptq a rpt`∆tq– es una buena aproximaci´on a la longitud de arco | ∆s | entre estos puntos. Si interpretamos t como el tiempo, y las curvas como la trayectoria del movimiento de una part´ıcula, entonces › › › rpt ` ∆tq ´ rptq › ›, › (1.3) › › ∆t se aproxima a la rapidez promedio ∆s{∆t de la part´ıcula que se mueve sobre el arco desde rptq a rpt ` ∆tq. Sea s = s(t) la longitud de arco a lo largo de la curva desde el punto inicial rpaq al punto arbitrario rptq. As´ı spaq “ 0 y spbq es la longitud total de la curva. En el l´ımite, cuando ∆t Ñ 0, }9rptq} se denomina rapidez instant´anea, ds{dt. En este contexto, r9 ptq es a menudo llamado vector velocidad. La longitud de la curva despu´es de un tiempo t se encuentra mediante la expresi´on żt k r9 puq k du, (1.4) sptq “ a

y la longitud total de la curva, L, se obtiene por la integraci´on de la velocidad sobre el intervalo ra, bs. Lo anterior tambi´en se puede aplicar a curvas planas, es decir, curvas en E 2 que s´olo tienen dos componentes, cuyo radio-vector ser´a: rptq “ pxptq, yptqq. La derivada del vector velocidad aptq “ :rptq “ p: xptq, y:ptq, z:ptqq,

(1.5)

se denomina vector aceleraci´on. De acuerdo con la segunda ley de Newton (que estudiaremos m´as adelante), la fuerza Fptq que act´ ua sobre una part´ıcula, de masa m, cuando est´a en el punto rptq satisface la ecuaci´on Fptq “ m:rptq.

(1.6)

16

Mec´anica Cl´asica

As´ı, :rptq tiene direcci´on y magnitud proporcional a la fuerza resultante que act´ ua sobre la part´ıcula. En general, una curva tiene diferentes representaciones matem´aticas, es decir una curva se puede parametrizar de diferentes formas. Por ejemplo, los casos rptq “ pt, t2 q con 0 ď t ď 2, βptq “ p2t, 4t2 q con 0 ď t ď 1, γptq “ pt1{3 , t2{3 q con 0 ď t ď 8, (1.7) tienen la misma proporci´on de la par´abola y “ x2 como curva imagen. Entonces se puede decir que existen diferentes parametrizaciones de la par´abola. En muchos casos de la cinem´atica se usa el concepto de velocidad sectorial, para cuya definici´on se toma la siguiente expresi´on 1 σ “ r ˆ v. 2

(1.8)

Esta magnitud se deriva del hecho de que el m´odulo de la cantidad 12 r ˆ dr no es m´as que el a´rea que forma el radio-vector en un desplazamiento elemental dr de la part´ıcula. Por lo tanto, el m´odulo de la velocidad sectorial es igual a la velocidad con que cambia el ´area que describe el radio-vector del punto material. A menudo, como par´ametro est´andar es conveniente escoger la longitud de arco s, a lo largo de la curva, medida desde un punto inicial. Esta longitud de arco se calcula como żb dt. (1.9) s“ a

“ 1 y al comparar con la ec. (1.4) se deduce que r9 ptq es un Bajo este esquema, t “ s, ds dt vector unitario tangente que se denota como dr . (1.10) ds (Algunas veces hablaremos de r(t) como curva de velocidad unitaria.) Sea rpsq, a ď s ď b, cualquier curva parametrizada suave en t´erminos de la longitud de arco. En cada punto rpsq de la curva, Tpsq es el vector tangente unitario apuntando en la direcci´on en que se incrementa s. Entonces la funci´on vectorial Tpsq tiene una longitud constante, s´olo cambia su direcci´on, y la raz´on de este cambio (o giro) es una medida de la curvatura de r. 9 Espec´ıficamente, como Tpsq¨ Tpsq “ 1, entonces Tpsq¨ Tpsq “ 0; as´ı que el vector 9 aceleraci´on :rpsq “ Tpsq (tambi´en a menudo llamado vector de curvatura) es ortogonal 9 y m´as grande a T. Entre m´as r´apido gire T, m´as grandes son las componentes de T 9 tambi´en ser´a }T}. Entonces, para un incremento de radio-vector dr con una exactitud de segundo orden tendremos de (1.10) dr “ Tds. (1.11) Tpsq “ r9 psq “

Dirigimos el siguiente vector unitario N en direcci´on de dT (por la normal principal a la trayectoria). Esto se debe al siguiente razonamiento, sea el vector a, constante en longitud, es perpendicular al vector da pues si a ¨ a “ cte entonces a ¨ da “ 0, as´ı › › dT d2 r ›› d2 r ›› “ 2 “ › 2 › N, (1.12) ds ds ds

Cinem´atica del punto material de donde

17

1 d2 r N “ › d2 r › 2 . › 2 › ds

(1.13)

ds

Este vector unitario se puede escribir con ayuda del radio de curvatura R de la trayectoria que se define como la relaci´on entre el incremento del arco ds con respecto al incremento del ´angulo entre T y T ` dT. Es decir, tenemos R“

ds . dα

(1.14)

Como }dT} « dα, de (1.14) y (1.12) el radio de la curvatura ser´a R“

1 }

d2 r ds2

}

“

1 , kpsq

(1.15)

donde kpsq es la curvatura. De lo anterior, el vector normal principal, denotado por Npsq, puede definirse como Npsq “ R

dT . ds

(1.16)

Para una curva arbitraria r, la curvatura kpsq no es en general constante, sino que var´ıa punto a punto. Cuando kpsq ‰ 0, la curva se aproxima cercanamente por el c´ırculo de 1 radio R “ kpsq , el cual es tangente a r en rpsq y se encuentra sobre el plano de Tpsq y Npsq. Este c´ırculo, llamado c´ırculo osculatorio, tiene el mismo vector tangente, curvatura ´ y vector normal principal en rpsq como la curva r misma. Este es el c´ırculo que mejor se aproxima a la curva en el punto de tangencia. La figura 1.2 muestra el c´ırculo osculatorio en varios puntos de una elipse.

Figura 1.2: C´ırculos oscilatorios de una trayectoria el´ıptica El centro del c´ırculo osculatorio, llamado centro de curvatura de r en rpsq, es obtenido 1 yendo a una distancia kpsq en la direcci´on Npsq lejos de la curva. As´ı, el centro de curvatura en rpsq es el punto 1 cpsq “ rpsq ` Npsq. (1.17) kpsq El plano del c´ırculo osculatorio –es decir, el plano determinado por Tpsq y Npsq– es llamado plano osculatorio. Ver figura 1.3. Para obtener una descripci´on completa de los giros de la curva en el espacio, necesitamos tambi´en conocer la forma en que el plano osculatorio cambia cuando nos movemos

18

Mec´anica Cl´asica

Figura 1.3: Plano oscilatorio

a lo largo de la curva. Enseguida construimos el vector unitario B, perpendicular a los vectores T y N: B “ T ˆ N, (1.18) es el vector unitario normal al plano oscilatorio, llamado vector binormal, se muestra en la figura 1.3. Ahora calculamos la derivada respecto al tiempo del vector binormal: 9 “T 9 ˆN`TˆN 9 “ T ˆ N, 9 B

(1.19)

9 “ kN. Entonces N (como B) 9 es ortogonal tanto a T como a N, 9 B 9 lo anterior dado que T es m´ ultiplo de N. La torsi´on de r es la funci´on τ “ τ psq definida por la ecuaci´on 9 “ ´τ N. B

(1.20)

La funci´on τ mide la raz´on de giro del plano osculatorio. Para una curva planar, el plano osculatorio es aquel donde la curva existe; si B tiene componentes constantes entonces τ “ 0. El teorema fundamental de la geometr´ıa diferencial de curvas en E 3 enuncia que una curva est´a completamente determinada por sus funciones de curvatura y torsi´on. Espec´ıficamente, supongamos kpsq y τ psq funciones dadas definidas en alg´ un intervalo I, con k positiva y continuamente diferenciable y τ continua. Entonces existe una curva rpsq definida sobre I, para la cual s es la longitud de arco y k y τ son, respectivamente, la curvatura y la torsi´on. M´as aun, cualesquiera dos de tales curvas son congruentes. Consecuentemente, si nosotros especificamos, adem´as, los valores de r, T, N y B en cualquier punto s de I, entonces la curva est´a determinada u ´nicamente. En t´erminos de coordenadas normales, el vector velocidad se obtiene de 9 v “ sT.

(1.21)

La aceleraci´on se obtiene diferenciando la velocidad una vez m´as: a “ s: T ` s9 T9 .

(1.22)

N 9 T9 “ s. R

(1.23)

Ahora, usando (1.12) y (1.15)

Cinem´atica del punto material

19

Finalmente obtenemos

s9 2 N. (1.24) R Es frecuente encontrar que esta ecuaci´on tiene otra representaci´on, debido a que v “ s, 9 por lo que podemos escribir. v2 a “ v9 T ` N. (1.25) R De acuerdo con esta ecuaci´on, la aceleraci´on v9 es una aceleraci´on tangencial, mientras que la magnitud v 2 {R es la aceleraci´on normal o centr´ıfuga. Como puede apreciarse, la aceleraci´on tiene dos componentes. a “ s: T `

1.3.

Conceptos de sistemas de referencia inercial y coordenadas curvil´ıneas

El concepto de punto aislado se concibe como aquel punto material que no interacciona con otros cuerpos. Por eso, llamaremos sistema inercial de movimiento a aquel sistema en relaci´on con el cual el punto material aislado se encuentra en reposo o tiene un movimiento rectil´ıneo uniforme desde cualquier posici´on inicial bajo cualquier direcci´on de la velocidad. En este sistema de referencia, el radio-vector del punto material es una funci´on lineal del tiempo, es decir, se cumple que r “ v0 t ` r0 ,

(1.26)

donde v0 y r0 son cualesquier vectores que representan, respectivamente, la velocidad y posici´on iniciales. En general, no siempre es adecuado analizar el movimiento de los cuerpos macrosc´opicos en un sistema de coordenadas cartesianas, px, y, zq o px1 , x2 , x3 q. Por ejemplo, si el movimiento del cuerpo presenta simetr´ıa cil´ındrica, entonces lo mas conveniente es usar coordenadas cil´ındricas. En caso de existir un sistema de coordenadas ortogonales pq1 , q2 , q3 q, coordenadas cirvil´ıneas, que se relaciona con el sistema de coordenadas px1 , x2 , x3 q por xi “ xi pqj q, (1.27) con transformaci´on inversa qj “ qj pxi q,

(1.28)

el movimiento de la part´ıcula se considera dado, si sus coordenadas son funciones conocidas del tiempo qi ptq. El elemento de l´ınea en coordenadas curvil´ıneas est´a dado por 2

ds “

3 ÿ

h2j dqj2 ,

(1.29)

j“1

las cantidades hj se denominan coeficientes de Lame o factores de escala. El vector de posici´on en el sistema de coordenadas curvil´ıneas se determina por rptq “

3 ÿ j“1

hj qj ej ,

(1.30)

20

Mec´anica Cl´asica

donde ej son los vectores ortonormales que forman una base del sistema de coordenadas curvil´ıneas. De (1.30) es posible encontrar Brptq “ hj ej , Bqj

(1.31)

es decir h2j

› › ˙2 3 ˆ › Brptq ›2 ÿ Bx k › “ “ ›› , Bqj › Bqj k“1

(1.32)

adem´as se observa que ej “

1 Brptq . hj Bqj

(1.33)

Encontremos las proyecciones vqi y aqi de la velocidad v y de la aceleraci´on a de un punto P en los ejes del sistema de coordenadas curvil´ıneas. De las ecuaciones (1.2), (1.8) y (1.33) obtenemos Br Br Br dr “ q91 ` q92 ` q93 , dt Bq1 Bq2 Bq3

v “

(1.34)

al usar (1.31) se puede escribir v “ h1 e1 q91 ` h2 e2 q92 ` h3 e3 q93 ,

(1.35)

se define vqi “ hi q9i ,

(1.36)

v “ vq1 e1 ` vq2 e2 ` vq3 e3 .

(1.37)

por lo cual

Vamos a encontrar ahora las componentes de la aceleraci´on aqi “ a¨ ei . De la ecuaci´on (1.33) tenemos ˆ ˙ „ ˆ ˙ ˆ ˙ 1 d Br d Br 1 dv Br dv aqi “ ¨ ei “ ¨ “ v¨ ´v¨ , (1.38) dt hi dt Bqi hi dt Bqi dt Bqi donde

d dt

ˆ

Br Bqi

˙

B “ Bq1

ˆ

Br Bqi

˙

B q91 ` Bq2

ˆ

Br Bqi

˙

B q92 ` Bq3

ˆ

Br Bqi

˙ q93 .

(1.39)

Como r es una funci´on continua diferenciable de q1 , q2 y q3 , entonces, se puede cambiar el orden de las derivadas con respecto a qk pk “ 1, 2, 3q y qi , es decir ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ d Br B Br Br Br B dr Bv q91 ` q92 ` q93 “ “ “ . (1.40) dt Bqi Bqi Bq1 Bq2 Bq3 Bqi dt Bqi Por otra parte, de (1.35) se tiene Bv “ hi ei , B q9i

(1.41)

Cinem´atica del punto material

21

al comparar este resultado con (1.31) Br Bv “ . Bqi B q9i

(1.42)

Finalmente se sustituye (1.40) y (1.42) en (1.38) „ ˆ ˙ ˆ ˙ 1 d Bv Bv aqi “ v¨ ´v¨ . hi dt B q9i Bqi

(1.43)

Si ahora introducimos T “ 12 v2 , entonces la expresi´on para las aceleraciones aqi toman la forma „ ˆ ˙ ˆ ˙ BT 1 d BT ´ . (1.44) aqi “ hi dt B q9i Bqi con i “ 1, 2, 3. Ejemplo 1.1 : Encontrar la velocidad y aceleraci´on de un punto material en coordenadas cil´ındricas. Soluci´ on Para coordenadas cil´ındricas, tenemos q1 “ ρ, x “ ρ cos ϕ,

q2 “ ϕ,

q3 “ z,

y “ ρ sin ϕ,

z “ z,

y las magnitudes hρ “ 1, hϕ “ ρ, hz “ 1. Entonces, para calcular la velocidad usamos las definiciones de radio-vector y velocidad, tenemos r “ ρnρ ` znz , (1.45) con

Entonces v“

ˆ nz “ k,

(1.46)

nρ “ cos ϕi ` sin ϕj.

(1.47)

d dr 9 ρ ` ρn9 ρ ` zn 9 z, “ r9 “ pρnρ ` znz q “ ρn dt dt

(1.48)

donde 9 n9 ρ “ ´ipsin ϕqϕ9 ` jpcos ϕqϕ,

(1.49)

n9 z “ 0.

(1.50)

Ahora vamos a obtener las expresiones para los vectores unitarios i y j en t´erminos de nρ y nz . En principio, sabemos que nρ “ i cos ϕ ` j sin ϕ,

(1.51)

al considerar que nρ ¨ nϕ “ 0 en el plano xy, se deduce que nϕ “ ´i sin ϕ ` j cos ϕ.

(1.52)

i “ cos ϕnρ ` sin ϕnϕ ,

(1.53)

Despejando tenemos que

22

Mec´anica Cl´asica j “ cos ϕnϕ ` sin ϕnρ .

(1.54)

De lo anterior, obtenemos que en sistema de coordenadas cil´ındricas la velocidad ser´a v “ ρn 9 ρ ` ρϕn 9 ϕ ` zn 9 z.

(1.55)

Para encontrar la aceleraci´on, debemos hacer algunos c´alculos semejantes. A partir de la expresi´on para la aceleraci´on: :“ a“r

¯ d2 r d´ 9 ρn ` pρ ϕqn 9 ` zn 9 “ ρ ϕ z , dt2 dt

(1.56)

se obtiene a “ p: ρ ´ ρϕ9 2 qnρ `

1d 2 9 ϕ ` z:nz , pρ ϕqn ρ dt

(1.57)

donde aρ “ ρ: ´ ρϕ9 2 , aϕ “

1d 2 9 pρ ϕq, ρ dt

az “ z:.

(1.58) (1.59) (1.60)

Ejemplo 1.2 : Un punto material se mueve por una elipse cuyos semiejes son a y b. La velocidad sectorial en relaci´on con el centro de la elipse es constante. Definir la aceleraci´on de la part´ıcula como funci´on de su posici´on r. Soluci´ on Colocamos el origen de coordenadas en el centro de la elipse y dirigimos el eje OZ perpendicular al plano de la trayectoria. Entonces escogemos los ejes x y y de tal manera que tengamos la ecuaci´on de la elipse de la siguiente manera x2 y 2 ` 2 “ 1. a2 b

(1.61)

Como la velocidad sectorial es constante, entonces su componente en z ser´a 1 9 “ σ0 . σz “ pxy9 ´ y xq 2

(1.62)

Usando la ecuaci´on de la elipse –pero diferenciada con respecto al tiempo– conjuntamente con la ecuaci´on anterior, encontramos que x9 “ ´

2σ0 y, b2

2σ0 x, a2 de donde se encuentra que la aceleraci´on es: y9 “

a“´

4σ02 r. a2 b 2

(1.63) (1.64)

(1.65)

Cinem´atica del punto material

23

Ejemplo 1.3 : Una part´ıcula se mueve en el plano z “ 0, por una espiral logar´ıtmica ρ “ C exppkϕq y con una proyecci´on de velocidad sectorial constante σz “ σ0 . Encontrar las componentes normal y tangencial de la aceleraci´on como funciones de ρ. Soluci´ on Supongamos que el ´angulo formado por el vector T y el eje x es igual a α, entonces tendremos T “ pcos α, sin α, 0q, (1.66) nρ “ pcos ϕ, sin ϕ, 0q nϕ “ psin ϕ, cos ϕ, 0q.

(1.67)

a “ aT T ` aN N “ aρ nρ ` aϕ nϕ .

(1.68)

aT “ aρ cos δ ` aϕ sin δ, ø componente tangencial

(1.69)

aN “ ´aρ sin δ ` aϕ cos δ, ø componente normal

(1.70)

Como sabemos Por lo tanto,

donde δ “ α ´ ϕ, que es el ´angulo entre T y nρ . De la definici´on de espiral logar´ıtmica se sabe que k “ cot δ, y de acuerdo con la condici´on del problema aϕ “ 0, por lo que deducimos 1 1 (1.71) σ0 “ ρ2 ϕ9 “ C 2 ϕ9 expp2kϕq, 2 2 entonces p2σ0 q2 aρ “ pk 2 ´ 1qϕ9 2 ` k ϕ: “ ´pk 2 ` 1q 2 . (1.72) ρ Al final obtenemos la componente de la aceleraci´on ? ? p2σ0 q2 p2σ0 q2 aT “ ´k k 2 ` 1 2 , aN “ k 2 ` 1 2 . ρ ρ

1.4.

(1.73)

Problemas

1. Una varilla AB resbala por los extremos A y B a lo largo de dos rectas perpendiculares entre s´ı, de tal manera que el extremo B de la varilla se mueve con velocidad constante c a lo largo de la recta OY . Encontrar la aceleraci´on del punto M de la varilla si MA=a y M B “ b. El extremo B empieza su movimiento desde el punto O. 2. La dependencia de xptq se define por la ecuaci´on xptq “ a sinpω t ` k xptqq. Si xp0q “ 0, hallar xptq. 3. Encontrar la velocidad, aceleraci´on y velocidad sectorial de una part´ıcula en un sistema de coordenadas esf´ericas. 4. Una part´ıcula de masa m y carga q penetra en una zona con campo el´ectrico constante homog´eneo E con velocidad v0 perpendicular a la direcci´on del campo. Definir la trayectoria de la part´ıcula. 5. Las coordenadas cil´ındricas de una part´ıcula durante su movimiento en relaci´on con un sistema de coordenadas S cambian con el tiempo de acuerdo con ρptq “ ρ9 0 t ` ρ0 ,

24

Mec´anica Cl´asica ϕptq “ ϕ9 0 t ` ϕ0 , zptq “ z90 t ` z0 . Encontrar la trayectoria, las velocidades sectorial y lineal, as´ı como la aceleraci´on de la part´ıcula. Analizar tres casos por separado, considerando que las velocidades iniciales en las coordenadas son iguales a cero.

Cap´ıtulo 2 ´ mica Dina 2.1.

Sistemas Inerciales

Cuando se estudia los cuerpos materiales en relaci´on con las causas que originan y condicionan su evoluci´on en el tiempo, se dice que tenemos el problema din´amico de sistemas mec´anicos. Pero antes es necesario recordar el concepto de punto material. Esta denominaci´on se refiere a la idealizaci´on de un cuerpo material reducida a dimensiones cero, pero que conserva su masa y algunas propiedades que m´as adelante veremos. Estas propiedades surgen de la aplicaci´on de las leyes de la mec´anica implementadas en forma sistem´atica por Isaac Newton. La fundamentaci´on de la mec´anica te´orica se basa en las ecuaciones de Newton. Estos axiomas se comprueban por las observaciones de muchos siglos que realiz´o la humanidad. Estas leyes toman como principal argumento la idealizaci´on del espacio y del tiempo, es decir, consideran ambas nociones como dos entidades independientes y absolutas en todo el Universo. Esta idealizaci´on no siempre es correcta, por ejemplo cuando las velocidades de los objetos se acercan a la velocidad de la luz. Al medir distancias en el espacio en determinados tiempos, se recurre a formular, antes de las mediciones, un sistema especial de referencias. Com´ unmente este sistema se denomina sistema de coordenadas o sistema de referencia. Si tenemos un sistema de coordenadas que permanece est´atico o se desplaza a trav´es del espacio uniformemente con velocidad constante, decimos que el sistema de referencia es inercial. Las ecuaciones, as´ı como las leyes de la mec´anica, son id´enticas en cualquier sistema de referencia inercial. En esto radica el principio de relatividad de Galileo. Por otro lado, la existencia de sistemas de referencia inerciales debe ser tratada con cautela, todo depende del nivel de idealizaci´on que queremos hacer al estudiar los problemas mec´anicos. Por ejemplo, cuando el movimiento de cuerpos celestes se estudia como sistema de referencia inercial, se considera un sistema cartesiano (denominado as´ı en honor a Ren´e Descartes, fil´osofo franc´es que lo ide´o), cuyo origen se encuentra en cualesquiera de las llamadas estrellas inm´oviles, y cuyos ejes se dirigen a otras estrellas inm´oviles. Todo esto sin importar incluso el hecho de que las denominadas “estrellas inm´oviles” en realidad s´ı est´an en movimiento en relaci´on con otros objetos celestes, y adem´as a velocidades enormes. Pero esta idealizaci´on es bastante buena cuando estudiamos, por ejemplo, el movimiento de los planetas en nuestro sistema solar. En resumen, para describir cualquier proceso f´ısico mec´anico necesitamos definir la posici´on de ´este en un sistema de coordenadas en cualquier instante. Resumiendo, podemos afirmar lo siguiente: si consideramos una part´ıcula que viaje a velocidad constante y adem´as tomamos un sistema de referencia en el que dicha part´ıcula permanezca en reposo, estaremos considerando que dicho sistema lleva una velocidad 25

26

Mec´anica Cl´asica

constante, y por lo tanto lo llamaremos inercial. Si tenemos dos sistemas de referencia con movimiento rectil´ıneo y uniforme uno con respecto al otro, y si adem´as uno de ellos es inercial, el otro tambi´en lo ser´a. La experiencia ha mostrado que todas las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, que las ecuaciones que expresan dichas leyes son invariantes respecto a transformaciones de coordenadas y de tiempo, las cuales hacen pasar de un sistema inercial a otro. Este razonamiento es conocido como principio de relatividad. Galileo es a quien debemos la primera discusi´on clara sobre tales cuestiones. En su libro, en el que aboga por la idea de Cop´ernico acerca del sistema solar en contra de la de Ptolomeo,1 Galileo dijo que el hecho de que se dejara caer libremente un objeto y ´este describiera una trayectoria vertical no pod´ıa implicar que la Tierra se encontrara en reposo. Para apoyar su opini´on hizo una analog´ıa: si se deja caer una piedra desde lo m´as alto del m´astil de un barco, ´esta caer´a al pie del m´astil sin importar si el barco se encuentra en reposo o en movimiento rectil´ıneo y uniforme. Entonces se habla de un principio de relatividad, puesto que contiene la afirmaci´on de que una cierta ley de la naturaleza (la ley de la ca´ıda libre de los cuerpos) es la misma en todos los sistemas de referencia que difieran tan s´olo en una velocidad constante. Supongamos ahora que tenemos dos sistemas de referencia, el barco en movimiento horizontal con velocidad constante, y otro fijo, por ejemplo, en tierra. Un observador situado en el barco confirmar´a que la trayectoria que describe la piedra es una l´ınea vertical, mientras que uno que est´e colocado en el sistema fijo observar´a que la piedra describe una trayectoria parab´olica. Si analizamos estos movimientos mediante la din´amica de Newton descubriremos que, aunque los movimientos son diferentes, las conclusiones que pueden obtenerse acerca del valor de la aceleraci´on, y por consiguiente de la fuerza que causa el movimiento, son iguales. La relaci´on entre las medidas tomadas, tanto en un sistema de referencia inercial Spx, y, z, tq como en otro S 1 px1 , y 1 , z 1 , t1 q, se expresa mediante un conjunto de ecuaciones de transformaci´on, que en la mec´anica newtoniana son conocidas como ecuaciones de ´ transformaci´on de Galileo. Estas son: x1 “ x ´ vt y1 “ y z1 “ z t1 “ t

(2.1)

donde v es la velocidad que un sistema de referencia inercial lleva respecto del otro. Adem´as, las velocidades en ambos sistemas est´an relacionadas de la siguiente manera: u1x “ ux ´ v a1x “ ax

(2.2)

donde ux y x son la velocidad del objeto en el sistema de referencia en reposo y su aceleraci´on, respectivamente. Las ecuaciones de la transformaci´on inversa de Galileo son x “ x1 ` vt y “ y1 z “ z1 t “ t1 1

(2.3)

Galileo, Di´ alogos acerca de los dos sistemas principales del Universo –el de Ptolomeo y el de Cop´ernico, Imprenta de la Universidad de California, Berkeley, 1953.

Cinem´atica del punto material

27

de donde podemos obtener ux “ u1x ` v ax “ a1x

(2.4)

Las tres primeras ecuaciones (2.1) bastan por s´ı solas para definir la relaci´on entre dos sistemas inerciales en movimiento relativo. No se hubiese considerado la cuarta, puesto que el concepto de tiempo universal es inherente al fundamento de la mec´anica newtoniana: “El tiempo absoluto, verdadero y matem´atico, por s´ı mismo y debido a su propia naturaleza, transcurre sin relaci´on alguna con el exterior”.2 Dadas estas ecuaciones, la relaci´on de las medidas de la velocidad en sistemas inerciales diferentes queda definida por completo y la medida de una aceleraci´on en un sistema de referencia inercial es la misma para todos los sistemas de referencia inerciales a este u ´ltimo. Por lo tanto, en la mec´anica newtoniana la aceleraci´on es invariante.

2.1.1. Leyes de Newton Comenzaremos simplemente por enunciar las leyes de Newton en su forma convencional: 1. Si sobre un punto material no act´ ua ninguna fuerza externa, entonces ´este mantendr´a su estado de reposo o de movimiento rectil´ıneo uniforme sin cambio. Si un sistema de puntos materiales se mueve debido s´olo a causa de los movimientos de sus propios componentes, entonces este sistema se llama sistema aislado. Pero esto es una idealizaci´on. Varios casos son sistemas en donde las injerencias externas son tratadas como perturbaciones. Con frecuencia, en el estudio mec´anico de tales sistemas es conveniente despreciar tales perturbaciones. 2. La cualidad que tienen los cuerpos de oponerse a que su estado de movimiento mec´anico sea cambiado, se denomina inercia. La medida de la inercia es lo que se conoce como masa, que es proporcional a la cantidad de materia que re´ une esta masa. La masa tiene propiedades aditivas y es escalar positivo. La masa del punto material es constante y no depende de las condiciones de su movimiento. Para unidad de medida de las masas se toman las unidades internacionales de medida cuya unidad es el kilogramo. Si un punto material se mueve con velocidad cambiante entonces esto implica que se est´a moviendo con una aceleraci´on, y que la causa de este comportamiento es la acci´on de fuerzas sobre la part´ıcula. La relaci´on matem´atica entre la masa y la fuerza es: F “ ma “ m

dv dt

(2.5)

donde a es la aceleraci´on adquirida, y F es la fuerza resultante de todas las fuerzas que act´ uan sobre el punto material. Para la unidad de medida de la fuerza se considera que si sobre un cuerpo de masa de 1kg act´ ua una fuerza que acelera al m punto en 1 s2 , entonces la fuerza se medir´a en la unidad denominada newton. 3. Si un punto material act´ ua sobre otro mediante una fuerza, este u ´ltimo tambi´en actuar´a sobre el primero, con una fuerza de la misma intensidad, pero en direcci´on contraria. 2

Newton, Principia, Libro I, “Scholium after Definitions”.

28

Mec´anica Cl´asica Es posible agrupar las fuerzas de la siguiente manera: 1. Fuerzas de campos. Toda regi´on del espacio donde una magnitud –ya sea escalar o vectorial– toma, en general, un valor diferente en cada instante y en cada punto de la regi´on se denomina campo. As´ı que las fuerzas que definen campos son, por ejemplo, la electromagn´etica y la gravitacional, entre otras. Por ejemplo, las fuerzas potenciales que dependen de la posici´on y del tiempo ˙ ˆ BV BV BV , , (2.6) Fpr, tq “ ´∇V pr, tq “ ´ Bx By Bx Aqu´ı, la funci´on V pr, tq es denominada potencial. Las fuerzas de atracci´on gravitacional, las electrost´aticas y las moleculares de Van der Waals son fuerzas potenciales. Otras m´as complejas, que adem´as dependen de las velocidades, son las denominadas fuerzas potenciales generalizadas, por ejemplo, las fuerzas de Lorentz: e F “ p9r ˆ Bq c donde es la carga del electr´on, c es la velocidad de la luz y B es el campo magn´etico. 2. Fuerzas disipativas o fuerzas de rozamiento, las cuales dependen de la velocidad con la que se est´a moviendo el cuerpo. Generalmente, estas fuerzas tienen la forma: F “ ´αv donde α es una constante. 3. Fuerzas de reacci´on de ligaduras, que dependen de la distribuci´on de los objetos r´ıgidos que tienen contacto con el punto material en estudio y que restringen su movimiento.

Ejemplo 2.1 Encontrar la velocidad que adquiere una part´ıcula como resultado de la acci´on de una fuerza instant´anea Fx “ aδpt ´ t0 q, si v(0)=0 (por δptq entendemos la delta funci´on de Dirac). Soluci´ on Escribimos la ecuaci´onn de Newton m: x “ aδpt ´ t0 q Ahora la integramos y obtenemos ż a x9 “ δpt ´ t0 qdt “ θpt ´ t0 q m donde la funci´on discontinua de Heviside es: " 1, x ą 0 θpxq “ 0, x ă 0 Esta funci´on se puede escribir como ˆ ˙ 1 |x| 1` θpxq “ 2 x

Cinem´atica del punto material

29

2.1.2. Campos de fuerza En esta secci´on, nos ocuparemos de campos que no cambien en el tiempo, es decir, campos estacionarios. Como ejemplos de campos escalares podr´ıamos citar el campo de temperaturas en el interior de una habitaci´on, el campo de densidades del globo terr´aqueo, el campo de presiones en el interior de un fluido, etc´etera. Un tipo especial de campos vectoriales es el de fuerzas. Diremos que un campo de fuerzas es una regi´on del espacio donde la fuerza toma un valor diferente en cada punto de la regi´on. La noci´on de campo de fuerzas constituye una nueva forma de entender la interacci´on entre part´ıculas, suponiendo una primera como la creadora del campo, y la segunda como la detectora (sensible) del campo de fuerzas. Es decir, una part´ıcula con ciertas propiedades crea un campo (perturba las propiedades del medio que la rodea), el cual ser´a detectado (aparece una fuerza sobre ella) si introducimos en esa regi´on del espacio perturbado otra part´ıcula sensible (con propiedades an´alogas a la creadora) al campo. En diversas ramas de la F´ısica se trata el concepto de campo introduci´endolo de forma m´as o menos intuitiva y formul´andolo, para luego realizar c´alculos con ´el. Analizaremos ahora en forma rigurosa estos conceptos. En F´ısica, una magnitud es un campo cuando est´a definida en todo el espacio. Si esta magnitud es un n´ umero, un escalar, entonces tendremos un campo escalar, si es en cambio un vector, ser´a un campo vectorial. Por ejemplo, en un d´ıa con mucho viento, la temperatura en cualquier parte de una ciudad ser´a un campo escalar. As´ı, podemos decir que en el punto X existen tantos grados de temperatura, mientras que en el Y habr´a otros ciertos grados de temperatura. Dada la temperatura de cualquier punto de esa ciudad tendremos un campo escalar (de temperaturas). Si para esta misma ciudad tomamos la intensidad y direcci´on del viento como un vector, entonces tendremos un campo vectorial. An´alogamente, podremos decir: “En este punto, el vector de la velocidad del viento es tanto, pero en este otro punto es cuanto”. As´ı, tendremos definida una cierta magnitud vectorial en todos los puntos del espacio. En F´ısica, estos campos se llaman campos vectoriales de fuerza, si lo que el vector representa es la fuerza que act´ ua o se ejerce en cada punto del espacio. Estamos hablando ya de la interacci´on entre part´ıculas mediante el concepto de campos de fuerzas.

2.1.3. Trabajo Se denomina trabajo infinitesimal al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. dW “ F¨ dr “ Ft ds donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento y ds es el m´odulo del vector desplazamiento. El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales żB WAÑB “ F¨ dr (2.7) A

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento

30

Mec´anica Cl´asica

W “ Ft s Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre una part´ıcula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula. Para ver esto, calculamos: dv dr dv ¨ dt “ m ¨ vdt dt dt dt md m “ pv¨ vqdt “ dpv 2 q 2 dt 2 e introduciendo en la definici´on de trabajo (2.7), tenemos que F¨ dr “ m

(2.8)

1 1 WAÝÑB “ mvB2 ´ mvA2 “ TB ´ TA 2 2 1 2 donde TA “ 2 mvA es la energ´ıa cin´etica en el punto A. De manera an´aloga se define la energ´ıa cin´etica en el punto B. El teorema del trabajo y la energ´ıa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que act´ ua sobre una part´ıcula es igual a ∆T donde T “ 21 mv 2 , es decir, modifica su energ´ıa cin´etica. Si TA ą TB entonces WAÝÑB ă 0 y ser´a la part´ıcula la que habr´a realizado trabajo, con la consiguiente disminuci´on de la energ´ıa cin´etica. Si consideramos que la fuerza F proviene del gradiente de alguna funci´on escalar U ~ F “ ´∇U

(2.9)

el trabajo elemental para esta fuerza ser´a entonces ~ ¨ dr “ dU dW “ ´∇U

(2.10)

de (2.9) y de (2.10) ż U“´

F~ ¨ d~r ` C

donde c: arbitrario, ”nivel cero” por lo que escribiremos la ecuaci´on (2.7) como żB F¨ dr “ UA ´ UB

(2.11)

A

La ecuaci´on anterior indica que la fuerza neta que act´ ua sobre una part´ıcula F tiene la peculiaridad de que el trabajo necesario para llevar la part´ıcula desde el punto A al punto B sin que var´ıe la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula, depende s´olo de dichas posiciones; no de la trayectoria que siga la part´ıcula. Como sabemos, la condici´on necesaria y suficiente para que la funci´on vectorial F se pueda representar como el gradiente de una funci´on escalar es que su rotacional sea id´enticamente nulo. rotF~ “ 0 entonces F~ se puede expresar solo como gradiente de escalar. La definici´on de energ´ıa potencial, en t´erminos del trabajo realizado para llevar la part´ıcula de la posici´on A a la posici´on B, es la ecuaci´on (2.11). Aqu´ı,U se llama energ´ıa potencial. En la mayor´ıa de los sistemas f´ısicos de inter´es, la energ´ıa potencial es una funci´on de la posici´on y, quiz´a, del tiempo. Adem´as, la energ´ıa potencial carece de significado f´ısico absoluto; s´olo las diferencias de energ´ıa potencial tienen sentido f´ısico, como puede verse en la ecuaci´on (2.11).

Cinem´atica del punto material

2.2.

31

´ TEOREMA DE CONSERVACION

Como el vector velocidad est´a definido por dr (2.12) dt entonces, la cantidad de movimiento o ´ımpetu p de la part´ıcula es, por definici´on: V“

p ” mv

(2.13)

Si sobre la part´ıcula act´ uan varias fuerzas, entonces, debido a la segunda ley de Newton, tomamos la resultante de todas estas fuerzas que act´ uan sobre ella y, en t´erminos de la cantidad de movimiento, podemos escribirla como F“

dp dt

(2.14)

De la ecuaci´on anterior, podemos ver que si la part´ıcula es libre, es decir, no existen fuerzas que act´ uen sobre ella, F=0 y entonces P=constante. Por lo que p ser’a un vector que no var´ıa con el tiempo, y el ´ımpetu de una part´ıcula libre se conserva. El momento cin´etico o angular L de una part´ıcula respecto de un punto desde el cual se mide r es, por definici´on: L”rˆp El momento de una fuerza con respecto al mismo punto es, por definici´on: M”rˆF que es lo mismo, dada la ecuaci´on (2.14), M “ r ˆ p9 Si ahora consideramos la derivada del momento cin´etico, de tal forma que L9 “ r9 ˆ p ` r ˆ p9 y, dado que, la velocidad r9 y el momento lineal p son vectores que apuntan en la misma direcci´on, de tal manera que r9 ˆ p, entonces L9 “ M Cuando sobre una part´ıcula no act´ ua momento alguno, es decir, M=0, entonces L9 “ 0 ´ y, por tanto, L permanecer´a constante a lo largo del tiempo. Este es el segundo teorema de conservaci´on, el cual nos dice que el momento cin´etico de una part´ıcula libre de la acci´on de momentos de fuerza se conserva. Veamos ahora qu´e pasa con la energ´ıa del sistema. Como bien sabemos, la energ´ıa total de cualquier sistema est´a dada por la suma de la energ´ıa cin´etica m´as la energ´ıa potencial E “T `U (2.15) Si tomamos la derivada total con respecto al tiempo de esta energ´ıa total, obtendremos que

32

Mec´anica Cl´asica

dE dT dU “ ` dt dt dt pero, por la ecuaci´on (2.8): dT dr “ F¨ “ F¨ r9 dt dt por otro lado, si la energ´ıa potencial es funci´on de las coordenadas y del tiempo, entonces: ÿ BU dxi BU dU “ ` dt Bx dt Bt ÿ BU BU i 9 x ` “ Bxi Bt BU “ ∇U ¨ r9 ` Bt lo que nos da: dE BU “ pF ` ∇U q¨ r9 ` dt Bt pero ya vimos que si las fuerzas que estamos considerando provienen de un potencial Ñ Ý F “ ´∇U , entonces dE BU “ dt Bt Si tenemos que la energ´ıa potencial U no depende expl´ıcitamente del tiempo, diremos que el campo de fuerzas representado por F es conservativo.

2.3.

CAMPO DE FUERZA CENTRAL

Sea que tengamos un sistema mec´anico cuyos vectores de posici´on no dependen del tiempo; este sistema se denomina sistema estacionario. Por otro lado, un campo se denomina potencial si existe una funci´on escalar que depende de las coordenadas de la part´ıcula Φpx, y, zq tal que las derivadas de esta funci´on con respecto a las coordenadas son iguales a las magnitudes de las fuerzas en las distintas direcciones de los ejes coordenados Fx , Fy , Fz : Fx “

BΦ BΦ BΦ , Fy , Fz , Bx By Bz

La funci´on Φpx, y, zq se denomina funci´on de fuerza. Esta funci´on no existe para todo campo de fuerzas, la condici´on de que las fuerzas sean potenciales se define a partir de las siguientes relaciones: BFx BFy BFy BFz BFx BFz “ , “ , “ Bx By By Bz Bx Bz Cuando se analiza el caso de varias part´ıculas, digamos N part´ıculas, introducimos el espacio de 3N dimensiones cuyas coordenadas ser´an xi , yi , zi , donde i=1, 2, 3. An´alogamente, como en el caso para una part´ıcula, si existe un campo de fuerzas potenciales es

Cinem´atica del punto material

33

necesario que: Fix “

BΦ BΦ BΦ , Fiy “ , Fiz “ Bxi Byi Bzi

(2.16)

En el caso general, la fuerza total que act´ ua sobre la part´ıcula i se puede escribir como Fi “ F˚i ` F˚˚ i , i “ 1, 2, ..., N El primer t´ermino representa todas las fuerzas tipo potenciales definidos por (2.9), mientras que el segundo t´ermino representa todas aquellas fuerzas no potenciales. Si la dependencia con respecto al tiempo no existe para la funci´on de fuerzas Φ, entonces tenemos el caso de fuerzas conservativas. El trabajo infinitesimal realizado por estas fuerzas conservativas puede ser definido como: dW “

N ÿ

Fi ¨ dri

i“1

Esta expresi´on puede representarse en otra forma usando las ecuaciones antes mencionadas: dW “

N ÿ

ˆ “

i“1

BΦ BΦ BΦ dxi ` dyi ` dzi Bxi Byi Bzi

˙

Es decir, el trabajo elemental es una diferencial total de la funci´on de fuerzas, por lo que, cuando un sistema conservativo se mueve, el trabajo total que realiza el sistema desde un tiempo t1 hasta un tiempo t2 no depende del camino recorrido en el espacio configuracional o de posiciones. As´ı: W1Ñ2 “ Φ2 Ñ Φ1 es decir, W depende s´olo del estado inicial y final del movimiento. Como ejemplo de campos de fuerza que dependen de las posiciones, tomaremos la fuerza central que definiremos a continuaci´on. Sea que O nos denote el punto del origen de coordenadas, entonces la fuerza se representa como: r r El trabajo elemental de una fuerza central se calcula mediante Fprq “ F prq

r F prq F prq 2 dpr¨ rq “ dr “ F prqdr “ ´dΦ dW “ Fprq “ F prq ¨ dr “ r 2r 2r Entonces dW “ ´dΦ “ F prqdr por consiguiente ż Φ“´

F prqdr ` cte.

De esta manera, un campo de fuerzas que tiene como funci´on de fuerzas a la funci´on Φ, de la ecuaci´on anterior, se llama campo central.

34

Mec´anica Cl´asica

2.4.

´ PARA UN SISTEMA LEYES DE CONSERVACION ´ DE PARTICULAS

2.4.1. Conceptos fundamentales Supongamos que tenemos un sistema de N puntos materiales que tienen masa y que interaccionan entre s´ı y con el exterior, de tal forma que, aplicando la segunda ley de Newton, la ecuaci´on correspondiente a cada una de las part´ıculas se escribe como mi

N ÿ dvi “ Fi ` Fik pi “ 1, 2, 3...q dt k“1

(2.17)

donde Fi es la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula i debido a interacciones externas al sistema y Fik es la fuerza con la que interacciona la part´ıcula k con la part´ıcula i. Por otro lado, dentro del sistema es necesario considerar las fuerzas entre las mismas part´ıculas desde el punto de vista de la tercera ley de Newton. Por lo tanto, tendremos que Fik “ ´Fki

(2.18)

Adem´as, la acci´on de un cuerpo sobre s´ı mismo es nula, es decir Fii “ 0, por lo que tenemos N ÿ N ÿ Fik “ 0 (2.19) k“1 i“1

Demostremos esto. Si en la ecuaci´on (2.19) cambiamos de lugar i por k y luego k por i obtenemos N ÿ N ÿ

Fik “

k“1 i“1

N ÿ N ÿ

Fki

k“1 i“1

de donde N N 1ÿÿ pFik ` Fki q Fik “ 2 k“1 i“1 k“1 i“1 N ÿ N ÿ

Porque, de acuerdo con (2.18),Fik ` Fki “ 0.

2.4.2. El momento y su conservaci´on en un sistema de part´ıculas Consideremos que el momento lineal de la i–´esima part´ıcula es P i “ m i vi Entonces el momento lineal del sistema completo de part´ıculas es la suma P“

N ÿ

pi

i“1

De acuerdo con (2.17) y con (2.19) tenemos N N N N ÿ N N ÿ ÿ ÿ dP d ÿ dpi ÿ “ p “ “ Fi ` Fik “ Fi dt dt i“1 i i“1 dt i“1 i“1 k“1 i“1

Cinem´atica del punto material o bien

35

N ÿ dP “ F, F “ Fi dt i“1

(2.20)

Es decir, la derivada del impulso del sistema con respecto al tiempo es igual a la suma “ 0 es decir, de las fuerzas externas. Cuando no existan fuerzas externas, tendremos dP dt en este caso el impulso del sistema es invariante P“

N ÿ

pi “ const

i“1

Lo anterior es la formulaci´on del teorema de conservaci´on del momento lineal de un sistema de part´ıculas, el cual nos dice que cuando la resultante de las fuerzas exteriores es nula, se conserva la cantidad de movimiento total. Si representamos la masa total del sistema de part´ıculas por M“

N ÿ

mi

i“1

y, si ri es el radio vector de la i–´esima part´ıcula, el vector de posici´on del centro de masa (c.m.) del sistema estar´a dado por: řN mi ri (2.21) R “ ři“1 N i“1 mi y la cantidad de movimiento lineal del sistema ser´a 9 P “ MR

(2.22)

Ahora, la derivada de la cantidad de movimiento estar´a dada por dP d2 R “M 2 dt dt De la f´ormula anterior, deducimos que la cantidad de movimiento lineal total o ´ımpetu total del sistema se conserva cuando no hay fuerza externa. Podemos observar que, seg´ un la ecuaci´on (2.22), la cantidad de movimiento lineal del sistema es la misma que la de una part´ıcula de masa M ubicada en la posici´on del centro de masa y que realiza su movimiento de la misma forma que ´este. Esta ley se puede considerar como una consecuencia de la homogeneidad del espacio, lo que quiere decir que el movimiento es invariante respecto de la elecci´on del origen de coordenadas en un sistema cerrado. Como el origen de coordenadas no entra en la ecuaci´on de movimiento general, a excepci´on de que podr´ıa aparecer si existiesen fuerzas externas, entonces es obvio que si no existen fuerzas externas al sistema, no existe dependencia del origen de coordenadas.

2.4.3. Momento de impulso del sistema Recordemos que el momento de impulso (cin´etico o angular) L de una part´ıcula est´a dado por L“rˆp

36

Mec´anica Cl´asica

De esta definici´on es obvio que el momento de impulso para un sistema de part´ıculas ser´a N ÿ

L“

ri ˆ pi

i“1

Si ahora calculamos la derivada de esta cantidad respecto al tiempo N N ÿ dL ÿ “ r9 i ˆ pi ` ri ˆ p9 i dt i“1 i“1

como vimos antes, el primer t´ermino de la ecuaci´on anterior es igual a cero debido a que los vectores r9 i y pi son paralelos entre s´ı. Entonces, usando la ecuaci´on (2.17), la derivada anterior queda como N N ÿ N ÿ dL ÿ “ ri ˆ Fi ` ri ˆ Fik dt i“1 i“1 k“1

(2.23)

Ahora, si suponemos que las fuerzas son centrales, es decir, que: Fik “ Fik pri ´ rk q el u ´ltimo t´ermino de la ecuaci´on (2.23) se anula. Cambiando de sub´ındice i por k, la comprobaci´on es: N N ÿ ÿ

ri ˆ Fik “

N ÿ N ÿ

rk ˆ Fki “ ´

rk ˆ Fik

i“1 k“1

k“1 i“1

i“1 k“1

N N ÿ ÿ

donde, usando la ecuaci´on (2.18), obtenemos la siguiente expresi´on: N N ÿ ÿ

N

N

N

N

1ÿÿ 1ÿÿ ri ˆ Fik “ pri ˆ Fik ` rk ˆ Fki q “ pri ´ rk q ˆ Fik “ 0 2 i“1 k“1 2 i“1 k“1 i“1 k“1 debido a (2.24). Entonces podemos afirmar que, en el caso de que las fuerzas sean centrales, la magnitud evoluciona con el tiempo de acuerdo con: dL dt si la proyecci´on del momento de fuerza sobre un eje en cualquier tiempo es igual a cero, entonces la proyecci¨ı¿ 12 n del momento de impulso en este eje se conserva dara Lz “ 0, y por lo tanto Mz “ Mzo N

dL ÿ “ ri ˆ Fi dt i“1

(2.24)

~9 “ M ~ L ~ se denomina momento de fuerzas, y la suma de todos estos La cantidad rk ˆ Fi “ M momentos se llama momento de las fuerzas externas al sistema. Si el momento de fuerzas externas vale cero, entonces, de acuerdo con (2.25), dL “ 0 y el momento de impulso dt

Cinem´atica del punto material

37

del sistema queda constante. As´ı, cuando desaparece el momento de fuerzas externas, el momento de impulso se mantiene constante, la cual es una ley de conservaci´on. El momento de impulso depende de la elecci´on del sistema de coordenadas, desde el cual salen los vectores que definen la posici´on de los puntos materiales. Sea que el radio vector ri represente la posici´on del punto material; R, el radio vector del centro de masa del sistema de part´ıculas; r1i y , el radio vector que une el centro de masa con la part´ıcula; entonces podemos escribir L“

N ÿ

ri ˆ pi “

i“1

N ÿ i“1

˜ “

R ˆ pi `

ÿ

pi

r1i ˆ pi

i“1

¸ Rˆ

N ÿ

N ÿ

`

i

r1i ˆ pi

i“1

que finalmente puede escribirse en forma compacta como: L “ R¨ P ` L1 El u ´ltimo t´ermino es el momento de impulso del sistema con respecto al centro de masas. Como es obvio, L1 no depende de la elecci´on del origen de coordenadas. Si consideramos que el momento de fuerza con respecto al centro de inercia es nulo –es decir, si R=0–, entonces L “ L. Que el momento de impulso se torne nulo implica que no hay una direcci´on privilegiada en el espacio para el sistema en estudio. En este caso el espacio se presenta isotr´opico, es decir, las propiedades del sistema son independientes a cualquier rotaci´on del sistema de referencia.

2.4.4. Energ´ıa Consideremos el trabajo realizado sobre el sistema para llevarlo desde el estado 1, definido por las coordenadas ri hasta el estado 2, de coordenadas ri , distintas de las anteriores. El trabajo W1Ñ2 se define de forma an´aloga a cuando tuvimos el caso de una part´ıcula, es decir ÿż 2 Fi ¨ dri (2.25) W1Ñ2 “ i

1

˙ ÿ ż 2 ˆ1 2 mi vi “ T2 ´ T1 “ d 2 1 i donde la energ´ıa cin´etica T queda definida como ÿ ÿ1 T “ Ti “ mi vi2 2 i

(2.26)

(2.27)

Sea R el vector de posici´on del centro de masa respecto del origen del sistema de coordenadas O y sea r1i el vector de posici´on de la 1-´esima part´ıcula respecto al centro de masa. Entonces los radios vectores de las trayectorias satisfacen: ri “ r1i ` R

(2.28)

vi “ v1i ` v

(2.29)

y

38

Mec´anica Cl´asica donde

dR dt es la velocidad del centro de masa relativa a O, y v“

v1 “

dr1 dt

(2.30)

(2.31)

es la velocidad de la i-´esima part´ıcula relativa al centro de masa del sistema. Utilizando la ecuaci´on (2.30), tenemos que vi ¨ vi “ pv1i ` vq¨ pv1i ` vq “ vi12 ` v 2 ` 2 pv1i ¨ vq Por lo tanto, la energ´ıa cin´etica del sistema ser´a: ˜ ¸ ÿ1 ÿ1 ÿ1 d T “ mi pvi1 q2 ` mi vi2 ` mi r1i ¨ v 2 2 dt 2 i i i ř 1 Pero, dado que i mi ri “ 0 (TAREA: demostrar esta relaci´on), entonces la energ´ıa ˜ cin´etica total řdel sistema es igual a la suma de la energ´ıa cin´etica de una partAcula de masa M “ i mi que se mueve a la velocidad del centro de masa y la energ´ıa cin´etica del movimiento de las part´ıculas individuales en relaci´on con el centro de masa, es decir: T “

ÿ1 i

2

mi pvi1 q2 `

ÿ1 2

i

mi vi2 “

donde M“

ÿ

M v2 1 ÿ 1 ` mi pvi1 q2 2 2 i 2

(2.32)

mi

i

.

Si consideramos la fuerza como la suma de las fuerzas externas al sistema de part´ıculas Fi y las fuerzas internas Fji que se ejercen entre las part´ıculas, como se hace en la ecuaci´on (2.17), tendremos que ÿż 2 ÿ ż2 Fi ¨ dri ` Fji ¨ dri (2.33) W1Ñ2 “ i

i,j‰i 1

1

Cuando las fuerzas externas se deriven de un potencial, podremos escribir el primer t´ermino como ÿż 2 ÿ Fi ¨ dri “ pUi1 ´ Ui2 q (2.34) i

1

i

Si las fuerzas interiores son conservativas, las fuerzas mutuas entre la i-´esima y j´esima part´ıculas, Fij y Fij , se podr´an obtener de un potencial Uij . Para que se cumpla la tercera ley de Newton, el potencial Fij s´olo podr´a ser funci´on de la distancia entre las part´ıculas Uij “ Uij p| ri ´ rj |q (2.35) Entonces, el segundo t´ermino de (2.34) toma la forma ÿ ż2 ÿż 2 Fji ¨ dri “ pFij ¨ drj ` Fji ¨ dri q i,j‰i 1

iăj

1

Cinem´atica del punto material

39 ÿż 2

Fij ¨ pdrj ´ dri q

“ 1

iăj

ÿż 2 “ iăj

Fij ¨ drij

1

donde drij “ dri ´ drj . Para poder realizar la integraci´on, debemos tomar en cuenta que: ´Fij ¨ drij “ ´Fij ¨ pdrj ´ dri q “ ∇j Uij ¨ dxj ` ∇i Uji ¨ dxi “ dUij as´ı, ÿ ż2

Fji ¨ dri “

i,j‰i 1

iăj

ÿż 2 iăj

ÿż 2

dUij “ ´

1

Fij ¨ drij

1

ÿ

Uij |21

iăj

por lo que la ecuaci´on (2.34) queda como W1Ñ2 “

ÿ

Ui |21 ´

i

ÿ

Uij |21

iăj

Como ya mencionamos, la expresi´on anterior se obtuvo bajo la suposici´on de que las fuerzas se derivan de un potencial, en cuyo caso la energ´ıa potencial total del sistema se escribe como ÿ ÿ U“ ui ` Uij (2.36) i

iăj

por consiguiente, W1Ñ2 “ ´U “ U1 ´ U2

(2.37)

Si tomamos en cuenta el resultado obtenido en la ecuaci´on (2.27), entonces Ti ` U1 “ T2 ` U2 por lo que, de acuerdo con la ecuaci´on (2.15), se tiene que E1 “ E2 , siendo E1 la energ´ıa total del sistema en el estado 1, y E2 en el estado 2. Lo anterior enuncia el teorema de conservaci´on de la energ´ıa total de un sistema de part´ıculas. Ejemplo 2.2 Un electr´on se mueve en un campo magn´etico homog´eneo H “ H0 k y un campo U0 2 2 el´ectrico radial cuyo potencial es ϕ “ 2R 2 px ` y q. Considerando que en el momento inicial t=0, xp0q “ acosα; yp0q “ bsenα; z(0)=0, v(0)=0, encontrar la ley de movimiento ` H ˘2 4e U o 0 0 on es e “ e0 . del electr´ın si e0mc ą mR 2 , y la carga del electr´ Soluci´ on Escribimos la ecuaci´on general de movimiento m:r “ ´e0 E ´

e0 V ˆH c

(2.38)

40

Mec´anica Cl´asica Entonces, en el sistema de coordenadas cartesianas : ´ ω02 x ` Ωy9 “ 0 x y: ´ ω02 y ` Ωx9 “ 0 z: “ 0

(2.39)

e 0 U0 e0 Ho donde ω “ mR on (2.40) encontramos zptq “ 0 y de las dos 2 y Ω “ mc . De la ecuaci´ primeras ecuaciones –introduciendo ξ “ x ` iy y considerando las condiciones iniciales– encontramos

9 “0 ξ: ´ ω02 ξ ´ iΩξ9 “ 0; ξp0q “ a exppiaq, ξp0q Buscamos la soluci´on de la ecuaci´on anterior en forma ξ “ C exppiωtq. Por lo tanto, tenemos ω 2 ` ω02 ´ ωΩ “ 0, de donde, como es obvio ¨ ˛ d ˆ ˙2 Ω 2ω0 ‚ ω1,2 “ ˝1 ˘ 1 ´ 2 Ω entonces, por el principio de superposici´on, la soluci´on adquiere la forma siguiente: ξ “ C1 exppiω1 tq ` C2 exppiω2 tq de donde –usando nuevamente condiciones iniciales– tendremos C1 “ ´

ω1 ω2 a exppiαq; C2 “ ´ a exppiαq ω1 ´ ω2 ω1 ´ ω2

por lo que la soluci´on tendr´a la forma ξ“´

a exppiαq p´ω2 exppiω1 tq ` ω1 exppiω2 tqq ω1 ´ ω2

que en coordenadas cartesianas ser´an a p´ω2 cospω1 t ` αq ` ω1 cospω2 t ` αqq ω1 ´ ω2 a x “ Imξ “ p´ω2 sinpω1 t ` αq ` ω1 sinpω2 t ` αqq ω1 ´ ω2 x “ Reξ “

Ejemplo 2.3 Analizar el movimiento de una part´ıcula en un campo potencial (ver figura 2.1) 1 U pxq “ px2 ´ 1qpA ´ x2 q 2 donde A es un par´ametro del sistema mec´anico en estudio. Soluci´ on La integral de energ´ıa entonces es 1 E “ mx9 2 ` U pxq 2 analizaremos el sistema para dos condiciones de fronteras f´ısicamente aceptables es decir cuando

Cinem´atica del punto material

41

Figura 2.1: Potencial del ejemplo 2.3.

aqt Ñ ˘8, x Ñ 0, x9 Ñ 0 bqt Ñ ˘8, x Ñ cte, x9 Ñ 0 Para el caso a), la energ´ıa ser´a igual a A. Para el caso b), los m´ınimos del potencial corresponden a las constantes x Ñ cte. Entonces, de la ecuaci´on de la integral de energ´ıa obtenemos żx ? dx a t“ m 4 2 xo x x ´ pA ` 2qx ` p2A ` 1q Hay varias opciones para resolver esta ecuaci´on. Por ejemplo siA ą 4, entonces una soluci´on posible es x“

´2a b ? ∆ b ´ ´∆coshp2 m t ` ϕ0 q

siendo a “ 2A ` 1, b “ ´pA ` 2q ˆ ˙ 2a ` bx0 ? ∆ “ Ap4 ´ Aq, ϕ0 “ arcosh x0 ´∆ Ejemplo 2.4 Un haz de electrones se mueve en un campo magn´etico homog´eneo constante con inducci´ın magn´etica B=(0,0,B) perpendicular al plano de la pantalla. Las velocidades iniciales de los electrones determinadas por vp0q “ pν0 cosα, ν0 sinα, uq se diferencian por los valores del ´angulo α. Encontrar las condiciones bajo las cuales los electrones se enfocan en un punto. Soluci´ on

42

Mec´anica Cl´asica

Como de costumbre, al principio debemos escoger el sistema de referencia. Colocamos el origen de coordenadas en el punto de salida de los electrones y dirigimos el eje Z paralelamente al vector de inducci´on magn´etica B. Las ecuaciones de movimiento ser´an las siguientes: e0 B x : “ ´ω y, 9 ω“ (2.40) mc y: “ ω x, 9 z: “ 0 (2.41) De la ecuaci´on (2.42) encontramos z(t)=ut y la primera integral de movimiento y9 ´ ωx “ y90

(2.42)

La soluci´on para el sistema de ecuaciones (2.41), (2.43) adquiere la forma x“´

y90 x9 0 p1 ´ cospwtqq ` senpωtq ω ω

x9 0 y90 p1 ´ cospwtqq ` senpωtq (2.43) ω ω Si hacemos un cambio de variables para los par´ametros v0 “ Rω, entonces representamos la ecuaci´on (2.44) en forma y“

x “ ´R sin α ` R sinpωt ` αq y “ R cospαq ´ R cospωt ` αq y en el plano XY la trayectoria se proyectar´a como una circunferencia px ` R sinpαqq2 ` py ´ R cospαqq2 “ R2 Veamos las condiciones. Sea que τ es el tiempo que tardan los electrones en llegar a la pantalla que se encuentra a una distancia L desde el punto de donde salen: L “ uτ . Los electrones que salen bajo distintos valores de α se enfocan en diferentes lugares de la pantalla. Pero bajo la condici´on ωτ “ 2πn todos los electrones se enfocan en el punto (0,0,L). Por consiguiente, la longitud del tubo deber´a satisfacer la condici´onL “ 2π mcu n. e0 B PROBLEMAS 1. Dado un electr´on que se encuentra en movimiento en campos magn´eticos y el´ectricos cruzados homog´eneos constantes E=(0,E,0),B=(0,0,B), encontrar rptq, si rp0q “ 0,Vp0q “ v0 . 2. Encontrar la ley de movimiento de una part´ıcula que se mueve en un campo cuyo potencial es U pxq “ U0 tan2 p xa q. 3. La energ´ıa total de una part´ıcula que se mueve en un campo potencial U prq “ ´ rα2 ln rr0 es igual a cero. Encontrar la trayectoria de la part´ıcula. 4. Integrar la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula libre en coordenadas cil´ındricas. 5. Encontrar la energ´ıa potencial de interacci´on de una esfera homog´enea de masa M, de radio a y que se encuentra a una distancia r desde su centro a una part´ıcula de masa m.

Cap´ıtulo 3 Principios Variacionales 3.1.

´ LOS PRIMEROS PRINCIPIOS DE MINIMO

La idea sobre la que los principios variacionales se sustentan es que en la naturaleza algunas cantidades de un proceso f´ısico resultan m´ınimas. Ya desde los primeros fil´osofos y cient´ıficos, se trat´o de reducir los problemas de la naturaleza a leyes y principios de m´ınimo o de lo m´as simple. Siguiendo esta idea, Arist´oteles (384-322 a.c.) dec´ıa que cualquier movimiento ten´ıa que ser rectil´ıneo, circular o una combinaci´on de ambos, ya que ´estos eran los movimientos m´as simples.

3.1.1. El principio de Her´on Un intento por desarrollar un principio de m´ınimo fue hecho por Her´on de Alejandr´ıa, quien, en el siglo II a.C., encontr´o que la ley de reflexi´on de la luz puede obtenerse cuando un rayo de luz es reflejado por un espejo, la trayectoria que toma para llegar hasta el ojo del observador es m´as corta que cualquiera otra reflejada. Puede usarse una construcci´on geom´etrica sencilla para comprobar que este principio de m´ınimo nos puede llevar a la igualdad de los a´ngulos de incidencia y reflexi´on.

3.1.2. El principio de Fermat Sin embargo, el principio de m´ınimo de Her´on no puede suministrarnos una expresi´on correcta para la refracci´on; esto se logr´o hasta aproximadamente 1 500 a˜ nos despu´es, en 1657 cuando Pierre de Fermat (1601-1665) enunci´o su propio principio, llamado principio de m´ınimo tiempo, que inclu´ıa tanto la reflexi´on como la refracci´on. Este principio enuncia que la luz se propaga de un punto a otro a lo largo de la trayectoria que le toma el m´ınimo tiempo, aun si tiene que desviarse de la trayectoria verdaderamente m´as corta para hacerlo. Uno puede demostrar que de este principio resultan tanto la ley de la reflexi´on como la ley de Snell. Sin embargo, esto no es siempre cierto en casos m´as generales; se dice entonces que el sistema evoluciona de acuerdo con principios de “extremum”. Ejemplo 1 Encontrar la ley de la reflexi´on y la ley de Snell a partir del principio de Fermat. Soluci´ on Consideremos que la luz viaja del punto S al punto P y pasa a trav´es de 0. Sabemos que la luz pasa de un medio donde tiene una velocidad νi a un medio donde tiene una velocidad distinta νt , as´ı que, calculamos el tiempo que tarda en viajar la luz del punto S al punto P, de acuerdo a los datos de la figura 3.1. 43

44

Mec´anica Cl´asica

Figura 3.1: Esquema para ser utilizado el principio de Fermat en la refracci´on de la luz.

El tiempo se divide en dos partes: el tiempo que tarda en viajar en el primer medio, 1

ti pxq “

SO ph2 ` x2 q 2 “ νi νi

y el tiempo que tarda en el segundo medio, 1

OP rb2 ` pa ´ xq2 s 2 ti pxq “ “ νt νt Por lo que tiempo total es de tpxq “ ti pxq ` tt pxq. Para minimizar tpxq con respecto a “ 0, es decir las variaciones en x ponemos dtpxq dx dt x ´pa ´ xq “ “0 1 ` 1 dx νi ph2 ` x2 q 2 νt rb2 ` pa ´ xq 2 s Usando el diagrama de la figura 3.1, lo anterior se puede rescribir como sin θi sin θt “ νi νt la cual es, por supuesto, la ley de Snell. Entonces si un haz de luz debe de ir de S a P en el m´ınimo tiempo posible, debe satisfacer la ley emp´ırica de la refracci´on. Para ver si es el m´ınimo tiempo, es necesario calcular la segunda derivada.

3.1.3. El principio de m´ınima acci´on de Maupertius En 1744, el astr´onomo y matem´atico franc´es Maupertius (1698–1759) enunci´o su famoso principio de m´ınima acci´on, le principe de la moindre quantit´e d’action.1 Maupertius bas´o su principio en consideraciones teol´ogicas, por lo que consideraba que la acci´on es 1

Este principio se mencion´ o por primera vez en dos art´ıculos: uno, enviado a la Academia de Ciencias de Par´ıs en 1744 y el otro a la Academia Prusiana, dos a˜ nos despu´es.

Cinem´atica del punto material

45

minimizada por la sabidur´ıa de Dios.2 La definici´on de Maupertius para la acci´on fue muy oscura, ya que era diferente para cada experimento que realiz´o. En estudios posteriores, Leonard Euler (1707–1793) şy Joseph Lagrange (1736–1813) t encontraron que Maupertius defin´ıa la acci´on como S “ t01 νds donde ν es la velocidad y ds es el elemento de curva, posteriormente intentaron hacer de este principio un teorema exacto de la din´amica3 sin las consideraciones teol´ogicas.

3.2.

EL PRINCIPIO DE HAMILTON

En trabajos publicados entre 1834 y 1835, William Rowan Hamilton (1805–1865) expuso el principio din´amico variacional sobre el cual se fundamenta toda la Mec´anica Cl´asica. El principio de Hamilton puede enunciarse como: De todas las trayectorias posibles que puede seguir un sistema din´amico para desplazarse de un punto a otro en un intervalo de tiempo determinado, la trayectoria verdadera seguida es aquella que hace m´ınima la integral temporal de la energ´ıa cin´etica menos la energ´ıa potencial. A partir de este principio se puede deducir el principio de m´ınima acci´on,4 ya que es m´as general que este u ´ltimo.

3.3.

´ HEURISTICA ´ JUSTIFICACION DEL PRINCIPIO DE HAMILTON

Para poder realizar esta justificaci´on analizaremos el caso m´as simple, es decir, el caso de una part´ıcula en movimiento libre. Consideremos espacio y tiempo como homog´eneos y uniformes, y a su vez consideraremos que el espacio es is´otropo, es decir que se observa de la misma forma o las mismas propiedades, en todas direcciones. La homogeneidad del espacio y del tiempo significa que la energ´ıa cin´etica T de alguna part´ıcula en movimiento no puede contener expl´ıcitamente ni el vector de posici´on r de la part´ıcula ni el tiempo t; es decir, T ser´a s´olo funci´on de la velocidad v. Puesto que el espacio es is´otropo, la energ´ıa cin´etica no puede depender tampoco de la direcci´on del vector v; por tanto, ser´a funci´on solamente de su valor absoluto, es decir, es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad, T „ v¨ v “ ν 2 , m´as aun, la energ´ıa cin´etica est´a dada por 1 T “ mν 2 2

(3.1)

donde m es la masa de la part´ıcula. Supongamos que deseamos viajar del punto A al punto B (ver figura 3.2), y consideremos el movimiento solamente en la dimensi´on x. Es claro que para ello necesitamos un 2

El enunciado original del principio es el siguiente: “L’action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l’espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l’Etre suprˆeme: Lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature, la quantit´e d’action employ´ee pour ce changement est toujours la plus petite qu’il soit possible”que brevemente dice que el movimiento din´amico tiene siempre lugar bajo una acci´ on m´ınima. 3 ˆ Para ver este teorema y como se lleg´ o a ´el, v´ease Terletsky (1987:A§3-4) 4 Para revisar dicha deducci´ on v´ease Goldstein (1996:446ss).

46

Mec´anica Cl´asica

cierto intervalo de tiempo que denotaremos como τ . Existen dos formas principales para viajar de A a B, una de ellas es viajar variando la velocidad durante el trayecto, que es m´as complicada que la de viajar a velocidad constante. La forma de calcular la velocidad promedio es tomar la distancia total recorrida y dividirla por el tiempo empleado para recorrerla.

Figura 3.2: Trayectorias posibles para viajar de A a B. De lo anterior podemos decir que la velocidad m´as simple con la que podemos ir de un lugar a otro es necesariamente la velocidad constante o velocidad promedio.5 Por lo tanto, podemos enunciar un primer lema: La trayectoria m´as simple o ideal que puede seguir una part´ıcula para viajar de un lugar a otro es aquella en la que la velocidad promedio de la part´ıcula es la misma en cada punto de la trayectoria, es decir, viaja a velocidad constante. Veamos ahora un poco de Estad´ıstica.6 Una variable aleatoria continua x est´a completamente definida por la funci´on de probabilidad F pxq. Ahora introduzcamos el concepto de densidad de probabilidad. Si la probabilidad de la ocurrencia de x en el intervalo px, x ` dxq es dF pxq, tenemos que dF pxq “ f pxqdx, donde f pxq es la densidad de probabilidad o funci´on de distribuci´on. La condici´on de normalizaci´on para una variable aleatoria continua est´a dada por ż f pxqdx “ 1 (3.2) pxq

donde la integraci´on se realiza por todos los valores posibles de x, lo cual se denota por (x). 5

Se puede comprobar f´ acilmente que viajar a velocidad constante implica viajar a velocidad promedio. La herramienta para hacerlo se dar´ a m´ as adelante, ver ecuaci´on 3.6. 6 Este repaso fue tomado de Terletsky (1987:XX 2).

Cinem´atica del punto material

47

El valor promedio (o medio, o esperado) para una variable continua νpxq est´a dado por ż ν“ νf pxqdx (3.3) pxq

Definimos como desviaci´on est´andar –σν – la desviaci´on de la variable ν de su valor promedio ν. Una manera de medir esta desviaci´on en t´erminos de los valores promedio de ν y ν 2 es la siguiente: (3.4) σν2 “ ν 2 ´ ν 2 De la ecuaci´on anterior podemos ver que ν2 ě ν2

(3.5)

Como el tiempo se ha considerado uniforme, entonces el promedio temporal de alguna variable continua –en este caso ν– se obtiene a partir de (3.3) y la condici´on de normalizaci´on ż 1 τ ν“ νdt (3.6) τ 0 para un cierto intervalo de tiempo τ . Si –usando la relaci´on (3.1)– calculamos el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica, encontramos „ żτ  ż 1 τ 1 1 1 2 T “ (3.7) T dt “ m ν dt “ mν 2 τ 0 2 τ 0 2 Supongamos ahora que la part´ıcula viaja a la velocidad promedio ν, entonces su energ´ıa cin´etica es 1 T “ mν 2 (3.8) 2 Relacionando ν 2 y ν 2 de forma que la ecuaci´on (3.5) se satisfaga, obtenemos que 1 1 T “ mν 2 ě mν 2 2 2

(3.9)

el significado de la relaci´on (3.9) es que el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica es m´ınimo siempre y cuando la velocidad de la part´ıcula sea la velocidad promedio. En conclusi´on, y por el lema anterior, cuando la trayectoria que sigue una part´ıcula es una trayectoria simple o ideal, entonces el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula es m´ınimo. Inversamente, si el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica es m´ınimo, entonces la part´ıcula sigue una trayectoria ideal. Esto es parte del principio de Hamilton. Si definimos la acci´on en un periodo como el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica ż I 1 τ “T “ T dt (3.10) τ τ 0 entonces la acci´on, I queda dada como: żτ I“ T dt

(3.11)

0

Entonces podemos tambi´en concluir que la trayectoria que sigue la part´ıcula es la ideal si la acci´on es m´ınima.

48

Mec´anica Cl´asica

Hasta ahora hemos considerado una part´ıcula libre o sin interacciones (fuerzas) externas; consideremos entonces el caso en que la part´ıcula tiene interacciones externas. Cuando estas fuerzas derivan de un potencial, se dice que el sistema es conservativo 7 y por lo tanto la part´ıcula puede ser asociada a una energ´ıa potencial, V, que origina dichas interacciones. De esta forma, la part´ıcula posee ahora tanto una energ´ıa cin´etica –ya que est´a en movimiento– como una energ´ıa potencial –debido a las interacciones que sufre. Esta energ´ıa potencial de alguna manera no permite que la part´ıcula se mueva como si fuera libre, de ah´ı que nosotros consideraremos que la energ´ıa cin´etica efectiva de la part´ıcula es su energ´ıa cin´etica menos su energ´ıa potencial: Tef “ T ´ V

(3.12)

Entonces la acci´on para una part´ıcula que se encuentra dentro de una regi´on con interacciones externas queda definida como żτ żτ I“ Tef dt “ pT ´ V qdt (3.13) 0

0

Generalmente, esta energ´ıa cin´etica efectiva recibe el nombre de lagrangiana o densidad lagrangiana y se denota como L. Por lo tanto, la acci´on para una part´ıcula en movimiento dentro de un campo potencial queda definida como żτ I“ Ldt (3.14) 0

Por lo general esta lagrangiana depende tanto de la posici´on de la part´ıcula –debido a la energ´ıa potencial que var´ıa con respecto a la posici´on (podr´ıa tambi´en depender de la velocidad y del tiempo, pero entonces el sistema ya no ser´ıa conservativo)– como de la velocidad de la part´ıcula. Debido a su energ´ıa cin´etica, la posici´on de la part´ıcula depende del tiempo. De esta forma, la relaci´on funcional de la lagrangiana queda como ˙ ˆ dx (3.15) L “ L xptq, ; t dt Generalmente, para definir una posici´on de un sistema de N part´ıculas hay que tomar N radio-vectores, es decir, 3N coordenadas para dicho sistema. Si ahora en nuestro problema encontramos k ecuaciones que nos restringen el problema, entonces decimos que tenemos k ecuaciones de ligadura.8 Cada una de estas ecuaciones de ligadura nos permite expresar una de las coordenadas en funci´on de las otras y podemos decir que ahora nuestro sistema contiene s=3N-k coordenadas. En general, este n´ umero de magnitudes independientes necesarias para determinar un´ıvocamente la posici´on del sistema se llama n´ umero de grados de libertad del sistema. Estas magnitudes no tienen que ser obligatoriamente las coordenadas cartesianas de los puntos, sino que de acuerdo con las condiciones del problema puede resultar m´as conveniente elegir otras coordenadas. Como ya lo mencionamos m´as arriba, se da el nombre de coordenadas generalizadas de un sistema de s grados de libertad a las s magnitudes cualesquiera q1 , q2 , ..., qs que caracterizan totalmente su posici´on. Adem´as, se designa velocidades generalizadas a sus 7

Un sistema conservativo se define como aquel en el que al calcular el trabajo para llevar el sistema de un punto a otro no depende de la trayectoria por donde se realice. Ver por ejemplo Marion (1995); Goldstein (1996) y Arnold (1989). 8 Para m´ as detalles ver por ejemplo Goldstein (1996).

Cinem´atica del punto material

49

derivadas q9i . En adelante las coordenadas que utilizaremos en todo el an´alisis ser´an estas coordenadas generalizadas y sus respectivas velocidades generalizadas. La lagrangiana encontrada anteriormente se puede expresar ahora en t´erminos de las coordenadas generalizadas. Adem´as podemos expresar la trayectoria no tan s´olo en una dimensi´on, sino en varias dimensiones de la siguiente forma L “ Lpq k , q9k ; tq

(3.16)

donde el super´ındice k indica cada uno de los grados de libertad del problema. Antes de continuar, necesitamos saber la definici´on de ecuaci´on de movimiento, para ello diremos que si nosotros conocemos las posiciones y las velocidades generalizadas de un sistema en un determinado instante de tiempo t0 , es posible definir, en principio, sus posiciones, velocidades y en general su movimiento en un tiempo posterior, ´este es el principio de determinismo de Newton. Desde el punto de vista matem´atico, al quedar definidas las q y las q9 en un instante de tiempo, quedan al mismo tiempo determinados los valores de las aceleraciones q: en dicho instante. Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones con las coordenadas y las velocidades se llaman ecuaciones de movimiento 9 tq q: “ F pq, q;

(3.17)

y se obtienen del principio de la m´ınima acci´on. La evoluci´on del sistema del estado 1 al estado 2 ocurre de tal manera que la funci´on de acci´on ż t2 9 tqdt (3.18) I“ Lpq, q; t1

tenga valor m´ınimo (en general es extremum). Es decir, las ecuaciones de movimiento se obtienen al calcular la variaci´on de la acci´on δI “ 0

(3.19)

Por el teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales li9 0 q determinan una neales ordinarias, la funci´on F y las condiciones iniciales qpt0 q y qpt u ´nica trayectoria de movimiento.

Cap´ıtulo 4 ECUACIONES DE LAGRANGE 4.1.

COORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS GENERALIZADAS

Una gran cantidad de problemas de la mec´anica se reducen a resolver las ecuaciones de movimiento de Newton, donde las fuerzas son conocidas como funciones de la posici´on, de la velocidad y del tiempo. Pero existen muchos problemas en donde las fuerzas no son funciones conocidas del tiempo, de las posiciones y velocidades de las part´ıculas. El m´etodo para resolver estos tipos de problemas fue propuesto por D’Alambert en 1743 y dado a conocer en forma definitiva por Lagrange en 1788. En estos problemas, las posiciones de las part´ıculas y sus velocidades satisfacen condiciones definidas que no se obtienen de las ecuaciones de movimiento. Cuando esto sucede, se dice que la part´ıcula no est´a libre, es decir, que sobre ella est´an impuestas ciertas ligaduras. Las ligaduras se pueden realizar mediante superficies de contacto de diferentes cuerpos, barras, cuerdas, resortes, etc. Cuando ocurren ligaduras, es obvio que los cuerpos responden con una fuerza contraria. Este tipo de fuerzas se denomina fuerzas de reacci´on de ligadura. Las ligaduras cuyas ecuaciones se pueden escribir como gpr1 , r2 , ..., rN , tq “ 0

(4.1)

donde g es funci´on s´olo de las coordenadas de los puntos y del tiempo, se denominas enlaces integrables u holon´omicas. Estas ligaduras ejercen restricciones no s´olo en la posici´on sino que tambi´en en la velocidad y aceleraci´on. As´ı, diferenciando (4.1) con respecto del tiempo, encontramos la restricci´on a la velocidad: N

Bg dg ÿ “ p∇i gqvi ` “0 dt i“1 Bt Por consiguiente, si existen ligaduras en un sistema mec´anico, la ecuaci´on de movimiento para una part´ıcula en dicho sistema con k ecuaciones de ligaduras se puede escribir como sigue mi:ri “ Fi ` Ri (4.2) ga pr1 , r2 , ..., rN , tq “ 0; α “ 1, 2, ..., k cuyas condiciones iniciales se dar´an de acuerdo con las ecuaciones de ligadura. 50

(4.3)

Cinem´atica del punto material

51

El sistema escrito anteriormente contiene 3N+k ecuaciones para 6N inc´ognitas, es decir, proyecciones de los vectores ri ptq ` Ri ptq en los ejes de coordenadas con i=1,2,...,N. Si k¡3N entonces este problema se resuelve s´olo si se conoce 6N-(3N+k)=3N-K relaciones independientes para las coordenadas de los puntos materiales y las reacciones.

4.2.

DESPLAZAMIENTOS REALES, POSIBLES Y VIRTUALES

Supongamos que tenemos una ecuaci´on de enlace sencillo gpr, tq “ 0

(4.4)

Un desplazamiento real es aquel desplazamiento infinitamente peque˜ no que sucede seg´ un la ecuaci´on de movimiento y la reacci´on de ligadura. Un posible desplazamiento es aquel que est´a determinado s´olo por la ecuaci´on de ligadura. Los desplazamientos reales son unos de los posibles desplazamientos. La ecuaci´on determinante ser´a dg “ p∇gq¨ dr `

Bg dt “ 0 Bt

(4.5)

Un desplazamiento virtual δr se obtiene cuando fijamos al desplazamiento posible en un instante dado. As´ı, para estos desplazamientos tendremos la ecuaci´on δg “ p∇gqδr “ 0

(4.6)

Com´ unmente, el desplazamiento δr se llama tambi´en variaci´on del radio vector. Para el caso cuando se tiene un sistema de N part´ıculas que est´an sometidas a k ligaduras holon´omicas, las ecuaciones (4.5) y (4.6) se transforman en N ÿ

p∇i gα qdri `

i“1 N ÿ

Bgα dt “ 0, α “ 1, 2, ..., k Bt

p∇i gα qdri “ 0

(4.7)

(4.8)

i“1

Las ligaduras para las cuales el trabajo virtual de las reacciones de ligadura es cero δWR “

N ÿ

Ri δri “ 0

(4.9)

i“1

se denominan ligaduras ideales. Ejemplo 4.1 Supongamos que una part´ıcula se encuentra todo el tiempo sobre una superficie plana horizontal lisa. Entonces δWR “ Rδr “ Rx δx ` Ry δy ` Rz δz “ 0 Esto porque Rx “ Ry “ 0 y δz “ 0, dado que la reacci´on de la superficie en cualquier instante de tiempo es perpendicular al plano XY, pero el desplazamiento virtual en el eje Z es nulo.

52

Mec´anica Cl´asica

4.3.

´ DE LAGRANGE DE PRIMERA CLASE ECUACION

Consideraremos sistemas con ligaduras holon´omica e ideales. Esto conlleva a que el n´ umero de ecuaciones sea igual al n´ umero de inc´ognitas para un sistema de N part´ıculas y k ecuaciones de ligadura. Bajo estas condiciones se pueden expresar k variaciones dependientes a trav´es de 3N-k variaciones independientes. Para ello usemos el m´etodo de coeficientes indeterminados de Lagrange. Como las condiciones son holon´omicas e ideales, tenemos que de (4.8) y (4.9) N ÿ

p∇i ga qδri “ 0, pα “ 1, 2, ..., kq

(4.10)

i“1 N ÿ

Ri δri “ 0

i“1

Ahora multiplicamos cada una de las k primeras relaciones por un coeficiente indeterminado escalar, ´λα , y sum´andolo con la condici´on de idealidad obtenemos k ÿ

N ÿ

tRi ´

λα ∇i gα uδri “ 0

(4.11)

α“1

i“1

Aqu´ı, todos los coeficientes de δri deben ser iguales a cero, despu´es del cual obtenemos Ri “

k ÿ

λα ∇i gα , i “ 1, 2, ..., N

(4.12)

α“1

Por u ´ltimo, reemplazando (4.12) en (4.2), obtenemos la ecuaci´on de Lagrange de primer orden mi r:i “ Fi `

k ÿ

λα ∇i gα

α“1

gα pr1 , r2 , ..., rN , tq “ 0, α “ 1, 2, ..., k Ejemplo 4.2 Una part´ıcula se mueve por la parte interior de una superficie absolutamente lisa de un paraboloide de rotaci´on. gpx, y, zq “ x2 ` y 2 ´ az “ 0 De la condici´on del problema, sobre la superficie, la reacci´on de la ligadura es perpendicular a la superficie, pero los desplazamientos virtuales son tangentes a la superficie por lo que, como es obvio, R¨ δr “ 0. Ahora obtengamos esta relaci´on usando los coeficientes indeterminados de Lagrange. Usando la ecuaci´on (4.12), y debido a que la reacci´on est´a dirigida perpendicular a la superficie, podemos escribir Rx Ry Rz “ “ “λ 2x 2y ´a Por lo tanto

Cinem´atica del punto material

53

Rδr “ Rx δx ` Ry δy ` Rz δz “ λp2xδx ` 2yδy ´ aδzq “ 0 ya que debido a la ecuaci´on de ligadura las variaciones de las coordenadas δx, δy, δz satisfacen la relaci´on Bg Bg Bg δx ` δy ` δz Bx By Bz que en nuestro caso concreto resulta 2xδx ` 2yδy ´ aδz “ 0 Para sucesivos problemas, tomaremos en cuenta s´olo ligaduras ideales.

4.4.

´ DE LAGRANGE DE SEGUNDA CLASE ECUACION

Cuando se analiza el movimiento de una part´ıcula no libre, es decir, atada a ligaduras, se puede usar el principio de D’Alambert. Veamos la ecuaci´on de la din´amica de esta part´ıcula ma “ F ` R siendo R la fuerza de reacci´on de ligadura. Si introducimos el vector J=-ma en la ecuaci´on anterior tendremos que F`R`J“0

(4.13)

Com´ unmente se denomina J como fuerza de inercia. Si tenemos ahora un conjunto de part´ıculas con ligaduras, entonces la ecuaci´on anterior se transforma en Fi ` Ri ` Ji “ 0, i “ 1, 2, ..., N

(4.14)

Ahora, multiplicando cada una de las expresiones (4.14) por su desplazamiento virtual δri y sum´andolas entre s´ı, obtenemos N ÿ

pFi ` Ri ` Ji qδri “ 0

i“1

Si las ligaduras que atan el sistema son ideales, entonces –ver ecuaci´on (4.9)– la ecuaci´on anterior se transforma en N ÿ

pFi ` Ji qδri “

i“1

N ÿ

pFi ´ mi ai qδri

(4.15)

i“1

que lleva como nombre ecuaci´on general de la mec´anica o ecuaci´on de D’AlambertLagrange. Ahora deduzcamos la ecuaci´on de Lagrange de segundo orden partiendo de la ecuaci´on general de la mec´anica (4.15). La ecuaci´on de Lagrange de primer orden da la posibilidad de encontrar la posici´on de las part´ıculas del sistema y la reacci´on de las ligaduras como funciones del tiempo. Pero, en la pr´actica, muchas veces no es necesario conocer semejantes detalles, basta con conocer las leyes de movimiento de las part´ıculas del sistema con base en las fuerzas de ligadura. Como ya lo mencionamos en el cap´ıtulo 3, en funci´on de

54

Mec´anica Cl´asica

ello, es necesario obtener ecuaciones de movimiento que, en calidad de inc´ognitas, contengan las coordenadas independientes –llamadas tambi´en coordenadas generalizadas– que de manera u ´nica definan el estado del sistema. Estas ecuaciones existen y se denominan ecuaciones de Lagrange de segundo orden. Es menester adem´as, que estas ecuaciones contengan informaci´on sobre las reacciones de las ligaduras. Si se requiere obtener las reacciones de las ligaduras, entonces, con ayuda de las ecuaciones de Lagrange de segundo orden, se define la ley de movimiento de las part´ıculas del sistema, y luego, con ayuda de las ecuaciones de movimiento de Lagrange de primer orden, se encuentran las reacciones de ligadura. Para esto partimos de la consideraci´on de que los radios vectores del sistema con ligaduras son funciones de las coordenadas generalizadas y del tiempo ri “ ri pq1 , q2 , ..., qk , tq

(4.16)

Entonces las variaciones de las coordenadas ser´an δri “

k ÿ Bri δqj , j “ 1, 2, ..., k Bqj j“1

(4.17)

Ahora, reemplazando esta relaci´on en la ecuaci´on general de la mec´anica y cambiando el orden de la suma tendremos # + N k N ÿ ÿ Bri ÿ Bri mi:ri δqj “ 0 (4.18) ´ Fi Bqj i“1 Bqj j“1 i“1 seguidamente analicemos alg´ un t´ermino de esta suma. Para ello, notamos que ˆ ˙ ˆ ˙ Bri Bri d Bri d :ri r9i ´ r9i (4.19) “ Bqj dt Bqj dt Bqj De la expresi´on (4.16) encontramos las velocidades k ÿ Bri Bri r9 i “ q9j ` Bqj Bt j“1

(4.20)

Las magnitudes q9j se denominan velocidades generalizadas. De la ecuaci´on anterior podemos obtener la siguiente relaci´on que une las velocidades y las coordenadas B r9i Bri “ i “ 1, 2, ..., N ; j “ 1, 2, ..., k B q9j Bqj

(4.21)

Entonces, usando la ecuaci´on anterior y cambiando el orden de diferenciaci´on por el tiempo t y qj , en lugar de (4.19) obtenemos que ˆ ˙ ˆ ˙ Bri d B r9 i d B r9 i :ri “ r9i ´ r9i (4.22) Bqj dt B q9j dt Bqj Entonces el primer t´ermino de (4.18) ser´a igual a ˜ ¸ ˆ ˙ N N N ÿ ÿ Bri d ÿ Bri d Bri mi:ri “ mi r9i ´ mi r9i Bqj dt i“1 Bqj dt Bqj i“1 i“1

(4.23)

Cinem´atica del punto material

55

Ahora definamos la energ´ıa cin´etica del sistema como funci´on de las coordenadas y velocidades generalizadas usando (4.20) T “

N ÿ mi i“1

2

pi9i q2 “ T pq, q9j , tq

(4.24)

Diferenciamos por la velocidad generalizada q9i y por la coordenada generalizada q de tal forma que ˆ ˙ N N ÿ ÿ B r9 BT B r9 BT “ mi r9 i , “ mi r9 i (4.25) B q9j i“1 B q9j Bqj i“1 Bqj Comparando (4.23) y (4.25) obtenemos N ÿ

Bri d mi:ri “ Bqj dt i“1

ˆ

BT B q9j

˙ ´

BT Bqj

(4.26)

La u ´ltima suma de la ecuaci´on (4.18), que depende de las fuerzas activas, es representada mediante la siguiente relaci´on Qj “

N ÿ

Fi

i“1

Bri , pj “ 1, 2, ..., kq Bqj

(4.27)

Estas magnitudes –que son funciones de las coordenadas–, las velocidades generalizadas y el tiempo se llaman fuerzas generalizadas y act´ uan en direcci´on de las coordenadas qk . Esta definici´on se obtiene del concepto de trabajo virtual elemental δW , que se expresa como δW “

N ÿ

Qk δqk

i“1

Como se ve, las fuerzas generalizadas son los coeficientes de las variaciones de las coordenadas generalizadas en la expresi´on para el trabajo virtual elemental. La u ´ltima expresi´on es una generalizaci´on de la definici´on de trabajo elemental en coordenadas cartesianas δW “

N ÿ i“1

Fk δrk “

N ÿ

pXk δxk ` Yk δyk ` Zk δzk q

i“1

Es decir, Qj juega el mismo papel para las variaciones δqj que Fk para los desplazamientos virtuales δrk . Finalmente, usando las ecuaciones (4.18) y (4.26), as´ı como tambi´en la definici´on de fuerzas generalizadas (4.27), se llega a la ecuaci´on de la mec´anica en coordenadas generalizadas ˆ ˙ * k " ÿ d BT BT ´ ´ Qj δqj “ 0 (4.28) dt B q9j Bqj j“1 donde todas las magnitudes δqj son independientes entre s´ı y Qj son las fuerzas generalizadas. Por lo tanto, se obtiene la siguiente ecuaci´on diferencial de segundo orden en coordenadas generalizadas para sistemas con ligaduras holon´omicas e ideales ˆ ˙ d BT BT ´ “ Qj (4.29) dt B q9j Bqj

56

Mec´anica Cl´asica

Las inc´ognitas en esta ecuaci´on son las coordenadas generalizadas. El n´ umero de inc´ognitas o el n´ umero de ecuaciones determinan el grado de libertad del sistema.

4.5.

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS POTENCIALES

Un sistema se llama sistema potencial cuando las fuerzas generalizadas se pueden definir a trav´es de funciones potenciales U(q,t). Para ello tenemos que si la fuerza se define como Fi “ ´∇U pr1 , r2 , ..., rN , tq entonces la fuerza generalizada estar´a dada de la siguiente manera, ver (4.27). Qk “ ´

N ÿ

∇i U

i“1

Bri BU “´ Bqk Bqk

Por lo tanto, como el potencial U no depende de las velocidades, entonces ˆ ˙ BpT ´ U q d BpT ´ U q ´ “0 dt B q9j Bqj Se acostumbra representar esta u ´ltima ecuaci´on en forma ˆ ˙ d BL BL ´ “0 dt B q9j Bqj donde L=T-U se denomina lagrangiano o funci´on de Lagrange. Y a la ecuaci´on anterior se le denomina ecuaci´on de Euler-Lagrange. Si se multiplica el lagrangiano por una cantidad constante o un escalar, la ecuaci´on de Euler-Lagrange no cambia. Por otro lado, si tenemos dos lagrangianos que se diferencian entre s´ı por una derivada total con respecto al tiempo de alguna funci´on que depende de las coordenadas y del tiempo d f pq, tq dt entonces la ecuaci´on de movimiento tampoco var´ıa. Veamos esto con m´as detalle. Calculemos la acci´on, que se define de acuerdo con (3.14) ż t2 1 9 tqdt I “ L1 pq, q; 9 tq “ Lpq, q; 9 tq ` L1 pq, q;

t1

ż t2 I“

9 tqdt Lpq, q; t1

Como puede verse, ż t2 1

I ´I “ t1

d f pq, tqdt “ f pq2 , t2 q ´ f pq1 , t1 q dt

Usando ahora la ecuaci´on (3.19) δI 1 ´ δI “ δf pq2 , t2 q ´ δf pq1 , t1 q

Cinem´atica del punto material

57

obtenemos δI 1 “ δI “ 0 Es decir, la ecuaci´on de movimiento es la misma en ambos casos. Llamaremos sistema de potenciales generalizados a aquel cuya fuerza generalizada se 9 tq de la siguiente manera exprese a trav´es de potenciales generalizados V pq, q, ˆ ˙ d BV BV Qk “ ´ “0 dt B q9j Bqj La ecuaci´on de Lagrange ser´a entonces ˆ ˙ BL d BL ´ “0 dt B q9j Bqj

(4.30)

donde ahora L=T-V. Es f´acil ver que para las fuerzas potenciales generalizadas se tiene ˜ ¸ k k ÿ d ÿ BV BV q9j ´V ´ (4.31) Qj q9j “ 9 dt B q Bt j j“1 j“1 Para el caso particular cuando V “

k ÿ

q9j Apq1 , ...., qK q

(4.32)

j“1

de acuerdo con la ecuaci´on (4.31), se obtiene K ÿ

Qj q9j “ 0

(4.33)

j“1

Las fuerzas con potenciales del tipo (4.32) se llaman fuerzas girosc´opicas. La relaci´on (4.33) significa que el trabajo por unidad de tiempo para las fuerzas girosc´opicas es igual a cero. En particular, las fuerzas de Lorentz son girosc´opicas y, por ende, no realizan trabajo. TAREA: Escribir la ecuaci´on de Lagrange de segundo orden en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas.

4.6.

´ DEL IMPULSO GENERALIZADO CONCERVACION

En ciertos casos especiales es posible encontrar soluciones parciales a las ecuaciones de Euler-Lagrange en forma de primeras integrales, es decir que existen funciones f pt, q 1 , q 2 , ..., q n q que son constantes sobre la extremal, o sea f pt, q 1 , q 2 , ..., q n q “ cte.1 Analicemos algunos casos, pero antes consideremos sistemas sometidos a fuerzas que se deriven de un potencial que s´olo depende de la posici´on. En este caso tendremos BL BT BV BT ” k´ k “ k k B q9 B q9 B q9 B q9 1

Donde cte. es la abreviatura de constante.

58

Mec´anica Cl´asica BL B “ k k B q9 B q9

ˆ

1 mk q9k2 2

˙ “ pk

donde BL “ pk B q9k Se llama impulso generalizado o cantidad de movimiento generalizada o simplemente ´ momento can´onico conjugado a qk . Esta no tiene precisamente unidades de cantidad de movimiento. Si el lagrangiano no depende expl´ıcitamente de alguna coordenada generalizada qk , entonces BL “0 Bqk por consiguiente, de la ecuaci´on de Euler-Lagrange ˆ ˙ d BL dpk “ dt Bqk dt Es decir que el impulso generalizado se conserva, pk “ cte. Estas coordenadas con impulsos generalizados conservativos se denominan coordenadas c´ıclicas. Por lo anterior podemos enunciar un primer teorema de conservaci´on: La cantidad de movimiento generalizada can´onica a una coordenada c´ıclica se conserva. Ejemplo 4.3 Dado un sistema de coordenadas cil´ındricas donde el potencial U pρ, zq no depende de ϕ, para el impulso generalizado tenemos que Pϕ “

BL B m 2 9 2 ` z 2 s “ mρ2 ϕ9 “ rρ ` pρϕq B ϕ9 B ϕ9 2

(4.34)

Como se puede ver, esta magnitud no es m´as que el momento de impulso que es ahora un impulso generalizado. Existen dos clases de momento. Cuando la variaci´on se hace translacionalmente diremos que se conserva el momento lineal y cuando la variaci´on es rotacional se conservar´a el momento angular.

4.7.

´ GENERALIZADA ENERGIA

Cuando el tiempo es homog´eneo, es decir, cuando estamos en un sistema de referencia inercial (que viaja a velocidad constante respecto a otro) o cuando el sistema se encuentra en un campo de fuerzas uniforme, entonces el lagrangiano se considera independiente del tiempo, y es conservativo. BL “0 Bt Tomemos ahora la derivada de Lagrange para un sistema de potenciales generalizados

Cinem´atica del punto material

59

3k BL ÿ d BL BL “ q9k ` Bt dt B q9s Bt s“1

K es la coordenada generalizada. Ahora usando la ecuaci´on (4.30) ˆ ˙ 3k BL dL ÿ d BL “ q9k ` dt dt B q9j Bt j“1 Por lo que d dt

#

+ BL BL q9j ´L “´ B q9j Bt j“1 3k ÿ

Si ahora el sistema es conservativo, lo que significa que # + 3N d ÿ BL q9k ´L “0 dt k“1 B q9k

BL Bt

“ 0, entonces (4.35)

Ahora uno puede concluir que para los sistemas con esa particularidad del lagrangiano, la magnitud H“

3N ÿ k“1

q9k

BL ´L B q9k

se conserva. Esta relaci´on se denomina energ´ıa generalizada. En casos particulares la energ´ıa generalizada coincide con la energ´ıa total del sistema E “ T ` U .

4.8.

´ ´ PARA LA ENERGIA ´ ANALISIS DE LA EXPRESION ´ CINETICA

Veamos ahora la estructura de la energ´ıa cin´etica en t´erminos de las coordenadas generalizadas. Usando la ecuaci´on (4.20) para esta magnitud tenemos ˜ ¸2 N N s ÿ ÿ 1ÿ 1 Br Br v v T “ mv pr9v q2 “ mv q9j ` “ 2 v“1 2 v“1 Bq Bt j j“1 s s ÿ 1 ÿ “ ajk q9j q9k ` aj q9j ` a0 2 j,k“1 j“1

(4.36)

en donde hemos usado las notaciones ajk

ˆ ˙2 N N ÿ Brv Brv 1ÿ Brv Brv Brv , aj “ mv , a0 “ mv “ mv Bq Bq Bq Bt 2 Bt j k j v“1 v“1 v“1 N ÿ

Las magnitudes ajk , aj , a0 son funciones de q1 , q2 , ..., qm , t La f´ormula (4.36) nos indica que la energ´ıa cin´etica es un polinomio de segundo orden en relaci´on con las velocidades generalizadas, que comunmente representados de la siguiente forma T “ T1 ` T2 ` T0

(4.37)

60

Mec´anica Cl´asica donde s 1 ÿ T2 “ ajk q9j q9k 2 j,k“1

T1 “

s ÿ

aj q9j

j“1

T0 “ a0 Un caso particular de sistema conservativo es cuando la energ´ıa generalizada coincide con la energ´ıa total N 1 ÿ mk 2 L“ px9 k ` y9k2 ` z9k2 ´ U px1 , ..., zN q 2 k“1 2

L“T ´U por lo tanto N 1 ÿ mk 2 px9 ` y9k2 ` z9k2 ´ U px1 , ..., zN q H“ 2 k“1 2 k

E “T `U y H “T `U son iguales, pero en otro caso no es as´ı. Cuando los radios vectores no dependen expl´ıcitamente del tiempo, es decir cuando Brv “ 0 entonces la energ´ıa cin´etica es una forma cuadr´atica positiva definida de las Bt velocidades generalizadas, y los coeficientes no dependen expl´ıcitamente del tiempo, por lo tanto s 1 ÿ ajk q9j q9k (4.38) T “ T2 “ 2 j,k“1 El determinante construido de los coeficientes es diferente de cero ¨ ˛ a11 . . . a1s ˚ .. .. ‹ ‰ 0 .. ˝ . . . ‚ as1 . . . ass Cuando se tiene un sistema girosc´opico cuyo potencial es conservativo (4.31), el lagrangiano se puede escribir de la siguiente manera L“T ´U ´V L “ T2 ` T1 ` T0 ´ U ´ V donde U es el potencial de las fuerzas no girosc´opicas.

Cinem´atica del punto material

4.9.

61

SISTEMAS NO INERCIALES DE COORDENADAS

Las ecuaciones de Newton para un sistema de part´ıculas deben estar formuladas respecto a un sistema de referencia inercial. Si es necesario utilizar un sistema de referencia no inercial –ya sea porque est´e acelerado o porque tenga rotaciones respecto del inercial– podemos establecer las relaciones entre el movimiento absoluto, respecto al sistema inercial, y el movimiento relativo respecto al sistema no inercial en uso, como se explica a continuaci´on. Como ya hemos visto anteriormente, cuando las coordenadas r y r’ de un sistema mec´anico en relaci´on con dos diferentes sistemas de coordenadas –S y S ’ respectivamente– est´an relacionadas mediante la expresi´on r1 “ r ´ vt

(4.39)

donde v es el vector velocidad constante del sistema S ’ en relaci´on con el otro sistema S, se dice que son sistemas inerciales de movimiento. La relaci´on (4.39) se denomina tambi´en transformaci´on de Galileo. Pero cuando las coordenadas est´an relacionadas mediante expresiones no lineales con respecto del tiempo, entonces decimos que tenemos sistemas no inerciales de movimiento. Uno de los sistemas muy bien estudiados es el caso cuando el sistema S ’ rota en relaci´on con otro sistema S. Hagamos lo siguiente: escogemos los ejes z y z ’ de tal manera que sus direcciones coincidan con el eje de rotaci´on del sistema S ’ y que tambi´en coincidan los or´ıgenes de coordenadas. Entonces tenemos para las coordenadas x “ x1 cos θ ´ y 1 sin θ y “ x1 sin θ ` y 1 cos θ z “ z1

(4.40)

A continuaci´on tomamos las derivadas de las expresiones (4.40) en relaci´on con el tiempo, considerando que como S ’ rota, entonces θ “ θp0q. As´ı, obtenemos 9 1 sin θ ´ θy 9 1 cos θ x9 “ x9 1 cos θ ´ y9 1 sin θ ´ θx 9 1 cos θ ´ θy 9 1 sin θ y9 “ x9 1 sin θ ` y9 1 cos θ ` θx z9 “ z9 1 y para el cuadrado de la velocidad tendremos 9 1 y9 1 ´ y 1 x9 1 q ` θ92 px2 ` y2q v 2 “ x9 2 ` y9 2 ` x9 2 “ x9 12 ` y9 12 ` z9 12 ` 2θpx

(4.41)

Ahora escribamos las ecuaciones de Lagrange (4.29) 9 1 ´ mθy : 1 ´ mθ92 x1 “ Qx m: x1 ´ 2mθy 9 1 ´ mθx : 1 ´ mθ92 y 1 “ Qy y 1 ´ 2mθx m: m: z “ Qz

(4.42)

donde en calidad de coordenadas generalizadas qi se han tomado las coordenadas del sistema mec´anico (x’, y’, z’) en relaci´on con el sistema de coordenadas en rotaci´on. Adem´as, ver ecuaci´on (4.28). 9 | ω9 |“ θ, : entonces el Introducimos el vector velocidad angular ω y definimos | ω |“ θ, sistema (4.42) se puede escribir en forma m´as compacta y elegante de la siguiente manera r1 “ 2mpr9 1 ˆ ωq ` mpω ˆ pr1 ˆ ωqq ` mpr1 ˆ ωq 9 `F m:

(4.43)

62

Mec´anica Cl´asica

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Considerando lo anterior en un caso m´as general, finalmente tenemos que: ma1 “ F ´ mpaA ` α ˆ r1 ` 2ω ˆ v1 ` ω ˆ pω ˆ r1 q

(4.44)

donde α “ ω9 aceleraci´on angular de S ’ en relaci´on con S, y el sub´ındice A se refiere a la aceleraci´on del origen del nuevo sistema de referencia no inercial. Del tercer al quinto t´erminos del lado derecho de la ecuaci´on (4.44) se denominan fuerzas no inerciales. La fuerza de Coriolis,Fcoriolis “ ´2mω ˆ v1 , y la fuerza de arrastre Farrastre “ ´mpaA ` α ˆ r1 ` ω ˆ pω ˆ r1 qq se consideran en principio como ”ficticias” porque no son provocadas por agentes externos al sistema. Es com´ un a veces dar la calidad de fuerzas reales a estas fuerzas s´olo con el objetivo de hacer cumplir la primera ley de Newton en un sistema no inercial. Pero justamente se da el caso de que, en sistemas no inerciales, la primera ley de Newton no se cumple, constituyendo esto una importante diferencia entre estos dos sistemas de coordenadas. Un primer efecto de la no inercialidad del sistema de referencia terrestre es que la vertical del lugar se desv´ıa de la direcci´on radial terrestre y que la aceleraci´on de gravedad depende de la latitud. En efecto, peso y vertical se definen de acuerdo con una plomada de masa m en situaci´on estacionaria en la Tierra. As´ı, la vertical es la direcci´on de la plomada y el peso es de magnitud definida como la tensi´on en el hilo de la plomada. Para esa situaci´on estacionaria, la aceleraci´on y velocidad relativas son cero, por lo tanto una aplicaci´on de la ecuaci´on (4.44) a esta situaci´on implica que GM m ˆr ´ maA R2 donde se ha considerado que adem´as de la fuerza gravitacional act´ ua la tensi´on del hilo, que la velocidad angular es constante y que r’=0. De acuerdo con lo explicado, la direcci´on de T es el eje Z y su magnitud se define como mg (el peso del cuerpo, donde es la aceleraci´on local de la gravedad). Entonces tenemos que 0“T´

mgˆz “

GM m ˆr ` maA R2

(4.45)

Adem´as, como puede verse en la figura 4.1, la aceleraci´on del origen A est´a dada por ˆ 0 ˆ pω k ˆ 0 ˆ Rˆrq “ Rω 2 psin λk ˆ 0 ´ ˆrq aA “ ω k de tal forma que si sustituimos esta u ´ltima en (4.45) y tomamos la magnitud de g, obtenemos dˆ ˙2 ˆ ˙ GM m 2GM g“ ´ ´ R2 ω 2 q ω 2 cos2 λ R2 R2 m y en el Ecuador pλ “ 0q, considerando que en el Polo pλ “ π2 q tenemos que gP “ GM R2 2GM 2 2 gE “ R2 ´ R ω . La raz´on entre la aceleraci´on centr´ıpeta en el Ecuador Rω 2 y la aceleraci´on de la gravedad en el Polo usualmente es designada como β, y est´a dada por Rω 2 β “ GM “ 3.4257 ˆ 10´3 de modo que gE “ gP p1 ´ βq. {R2 Para movimientos en la vecindad del origen A, la ecuaci´on (4.44) con la ayuda de (4.45) puede ser escrita como

ˆ` ma “ F ´ mg k

GM m ˆr ´ mpα ˆ r ` 2ω ˆ v ` ω ˆ pω ˆ rqq R2

Cinem´atica del punto material

63

Figura 4.1: Figura 4.1 Sistema de referencia fijo a la tierra

Hemos suprimido las (’) y se entiende que las posiciones, velocidades y aceleraciones son de ahora en adelante relativas a la Tierra. Adem´as si consideramos α “ 0 y denotamos por f ’ la fuerza actuante, fuera de la gravitacional, la aproximaci´on considerada es ˆ ´ 2mω ˆ v ma “ f ´ mg k

(4.46)

El movimiento de una part´ıcula bajo la influencia s´olo de la aceleraci´on local de la ˜ determinado en esta aproximaci´on gravedad (f = 0) dado por la ecuaci´on (4.46) estA¡ 2 pω « 0q por ˆ ´ 2ω ˆ v a “ ´g k donde por integraci´on ˆ ´ ω ˆ pr ´ r0 q v “ vp0q ´ gtk que, si es sustituida en la expresi´on de la aceleraci´on haciendo ω 2 “ 0 e integrada dos veces, conduce a ˆ ´ 2ω ˆ vp0q ` 2gtω ˆ k ˆ a “ ´g k de donde la velocidad est´a dada por ˆ ´ 2ωt ˆ vp0q ` gt2 ω ˆ k ˆ v “ vp0q ´ gtk y la posici´on por 1 1 ˆ ˆ r “ rp0qt ´ gt2 h ´ t2 ω ˆ vp0q ` gt3 ω ˆ k 2 2 Esta u ´ltima expresi´on constituye la soluci´on para el movimiento de un proyectil en la cercan´ıa de la Tierra para condiciones iniciales arbitrarias. Debe observarse que para ˆ “ $ cos λˆj, o sea, ese t´ermino contribuye siempre a cualquier caso se tiene que ω ˆ k

64

Mec´anica Cl´asica

desviar la part´ıcula hacia el Este. Para tiempos no muy grandes, ese t´ermino puede ser compensado por el cuarto t´ermino si la part´ıcula parte hacia arriba. Ejemplo 4.4 Una part´ıcula se mueve por la superficie de una esfera. Encontrar la reacci´on como funci´on de coordenadas y velocidades. Soluci´ on Escribimos las ecuaciones de ligadura y de movimiento f “ r 2 ´ a2

(4.47)

m:r2 “ mg ` λ∇f

(4.48)

siendo a el radio de la esfera. De la ecuaci´on (1) es posible encontrar r9 2 ` r9r, que despu´es usaremos en la ecuaci´on (2) para obtener λ“´

m 2 ¯ ¨ ¯rq p9r ` g 2a

Debido a que la ligadura es estacionaria, entonces 21 m9r2 ´ m¯ g¨ ¯r, por lo que tendremos λ“´

m p2E ` 3m¯ g¨ ¯rq 2a

Veamos casos particulares. a)9rp0q “ 0, rp0q “ p0, 0, aq La fuerza de reacci´on se elimina cuando z “ 32 , que es la coordenada del punto de desprendimiento. ? b)9rp0q “ p0, 0, gaq, rp0q “ p0, 0, aq La energ´ıa total ser´a en este caso E “ 32 . La fuerza de reacci´on se torna igual a cero cuando z=a. Ejemplo 4.5 Una barra homog´enea OA con peso igual a P puede rotar alrededor del eje horizontal OZ sin fricci´on (ver figura 4.2). El extremo A de la barra est´a unido a un resorte de longitud instant´anea SA=l. El punto S se encuentra a una distancia del origen O, hacia arriba OS=OA=r. La longitud del resorte en estado de reposo es igual a l0 . El resorte obedece la ley de Hooke. Encontrar la fuerza generalizada. Soluci´ on Escogemos nuestro sistema de referencias de manera que el eje OZ est´e perpendicular al libro, el movimiento ocurra en plano XY y la direcci´on de X coincida con la direcci´on de la gravedad. Adem´as tomamos el a´ngulo θ como coordenada generalizada. Entonces, tendremos xA “ r cos θ,

yA “ r sin θ

Y las coordenadas para el centro de inercia de la barra ser´an r r cos θ, yc “ sin θ 2 2 La fuerza que act´ ua sobre el extremo de la barra A desde el resorte es igual a xc “

Fl “ c | l ´ l0 | donde l “ 2r cos 2θ

Cinem´atica del punto material

65

Figura 4.2: Barra homog´enea OA con peso P

Las proyecciones de esta fuerza en los ejes X y Y se representan como θ θ θ θ ´ l0 q cos , Y1 “ ´cp2r cos ´ l0 q sin 2 2 2 2 Las proyecciones de la fuerza P que act´ ua sobre el centro de la barra son X1 “ ´cp2r cos

X2 “ P, Y2 “ 0 Tenemos para la fuerza generalizada Q “ `X1 como

BxA Bθ

“ ´r sin θ,

BxA Bθ

BxA ByA Bxc Byc ` Y1 ` X2 ` Y2 Bθ Bθ Bθ Bθ

“ ´r cos θ,

Q “ crp2r cos

Bxc Bθ

“ ´ 2r sin θ, obtenemos

θ Pr θ ´ l0 q sin ´ sin θ 2 2 2

Ejemplo 4.6 Escribir la ecuaci´on de Lagrange para un p´endulo matem´atico cuyo punto de suspensi´on realiza un movimiento arm´onico en un plano vertical a lo largo de una recta con un a´ngulo α de inclinaci´on con respecto al horizonte (ver figura 4.3). Soluci´ on Sea OS “ a sin ωt. Como coordenada generalizada tomamos el ´angulo ϕ. Las coordenadas del punto M dependen de ϕ de la siguiente manera x “ l cos ϕ ´ OS sin α “ l cos ϕ ´ a sin ωt sin α y “ l sin ϕ ´ OS sin α “ l sin ϕ ` a sin ωt cos α pero como x9 “ ´lϕ9 sin ϕ ´ aω cos ωt sin α

66

Mec´anica Cl´asica

Figura 4.3: P´endulo matem´atico

y9 “ lϕ9 cos ϕ ` aω cos ωt cos α Entonces la velocidad del punto M se determina de la condici´on 9 cos ωt cospϕ ´ aq ` a2 ω 2 cos2 ωt v 2 “ x9 2 ` y9 2 “ l2 ϕ9 2 ` 2lϕaω Por consiguiente, la energ´ıa cin´etica ser´a igual a ‰ 1 “ 9 cos ωt cospϕ ´ aq ` a2 ω 2 cos2 ωt T “ m l2 ϕ9 2 ` 2lϕaω 2 De donde deducimos BT BT 9 cos ωt sinpϕ ´ aq “ ml2 ϕ9 ` lmaω cos ωt cospϕ ´ aq, “ ´lmaϕω B ϕ9 Bϕ El trabajo virtual tendr´a la forma siguiente δA “ mgδx “ ´mglδϕ sin ϕ entonces la fuerza generalizada ser´a Q “ ´mgl sin ϕ Ahora podemos construir la ecuaci´on de Lagrange de segundo orden ‰ d “ 2 ml ϕ9 ` lmaω cos ωt cospϕ ´ aq ` lmaϕω 9 cos ωt sinpϕ ´ aq “ ´mgl sin ϕ dt De donde ml2 ϕ: ´ lmaω 2 sin ωt cospϕ ´ aq ` mgl sin ϕ que equivale a

Cinem´atica del punto material

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a g ϕ: ´ ω 2 sin ωt cospϕ ´ aq ` sin ϕ “ 0 l l PROBLEMAS 1. Una part´ıcula se mueve por una elipsoide. La fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula es 2 F “ ´mω r. Encontrar el coeficiente de Lagrange y las primeras integrales. 2. Una part´ıcula se mueve por una curva lisa y “ a sin kx. El eje X es horizontal, pero el eje Y forma un ´angulo α con la vertical. Encontrar la funci´on de Lagrange y las primeras integrales. 3. Escribir la ecuaci´on de movimiento de un regulador centr´ıfugo cuyo esquema se muestra en la figura 4.4. Las masas de las part´ıculas M1 y M2 son iguales a m. La masa del punto A es igual a M. Se puede despreciar la masa de las varillas con longitudes l. La velocidad angular del regulador es constante e igual a . Despreciar la fricci´on.

Figura 4.4: Esquema de un regulador

4. Reconstruir la forma de la funci´on de Lagrange partiendo de la ley de movimiento unidimensional del punto material con masa m. αt2 x “ 2 ` px0 ` v0 tq2 x0 2

5. Escribir la ecuaci´on de Lagrange para una part´ıcula cargada que se mueve en un campo el´ectrico y magn´etico homog´eneo constante.

Cap´ıtulo 5 ´ CALCULO VARIACIONAL En la segunda mitad del siglo XVII, Newton, Leibnitz y los hermanos Bernoulli desarrollaron una rama muy importante de la Matem´atica conocida hoy en d´ıa como c´alculo variacional. Con este tipo de c´alculo podemos resolver problemas que involucren valores extremales en sistemas con infinitos grados de libertad. Dos ejemplos sencillos son la braquist´ocrona o la catenaria,1 al analizar la forma que tiene una cuerda cuando est´a suspendida de sus extremos. Por lo anterior, estudiaremos el problema principal del c´alculo de variaciones2 de una manera condensada, pero esencial. Algunas de las f´ormulas que escribimos aqu´ı ya fueron obtenidas y explicadas –aunque por m´etodos diferentes– en los cap´ıtulos predecesores.

5.1.

´ CALCULO VARIACIONAL EN INTEGRALES SENCILLAS

Representamos un punto en el espacio de configuraci´on n-dimensional como q k “ q pyq, donde k=1,2,...,n, es decir, q “ pq 1 ptq, q 2 ptq, ..., q n ptqq. Sea qε ptq una familia uniparam´etrica de funciones de la forma k

qε ptq “ qptq ` εηptq

(5.1)

donde q(t) y ηptq son funciones arbitrarias y ε es un par´ametro que es un n´ umero real. Entonces la primera variaci´on de la acci´on I en la coordenada q, direcci´on η, se define como dIpq ` εηq |ε“0 (5.2) δIpq, ηq “ dε si la derivada existe. La acci´on I es una forma funcional (o simplemente funcional ). Esta derivada se nombra com´ unmente derivada d´ebil y la variaci´on as´ı definida se conoce como variaci´on de Gˆateaux. La derivada de una funcional ha sido definida para aplicar las t´ecnicas ordinarias del c´alculo diferencial a fin de encontrar extremales. Por lo tanto, si q(t) es un m´ınimo relativo para la funcional I, entonces δIpq, ηq “ 0

(5.3)

para todo η. 1

Estos problemas son cl´ asicos en el c´ alculo de variaciones, su soluci´on puede encontrarse en algunos libros de mec´ anica cl´ asica o c´ alculo de variaciones, por ejemplo Marion (1995). 2 Para m´ as detalles ver Arnold (1989).

68

Cinem´atica del punto material

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Ahora supongamos que qptq P Cn2 ra, bs, es decir que q “ pq 1 ptq, q 2 ptq, ..., q n ptqq donde cada una de las q k ptq son funciones univaluadas en el intervalo [a,b] con derivadas parciales continuas hasta de segundo orden. Adem´as si qpaq “ α, qpbq “ β, donde α, β P Rn , y consideramos L como se defini´o en (4.12), tenemos que L : R ˆ Rn ˆ Rn Ñ R es nuestra lagrangiana, la cual es dos veces continuamente diferenciable en cada uno de sus 2n+1 argumentos. Consideremos ahora una funcional I llamada la integral fundamental o integral de acci´on tal y como la definimos en (4.10) żb Lpt, q 1 ptq, ..., q n ptq, q91 ptq, ..., q9n ptqqdt

Ipqptqq “

(5.4)

a

o escrita en su notaci´on vectorial como: żb 9 Lpt, qptqqptqqdt Ipqptqq “

(5.5)

a

9 donde qptq denota la derivada temporal de qptq, es decir dqptq 9 qptq “ dt . Apliquemos ahora (5.3). Para ello, consideremos qε ptq como variaciones de las funciones tipo (5.1) que hacen m´ınima la funcional (xxxxxxxxxxxxxxxxxxx) con ηptq “ pη 1 ptq, η 2 ptq, ..., η n ptqq P Cn2 ra, bs y ηpaq “ ηpbq “ 0. Observemos que (5.1) es la notaci´on corta de qεk ptq “ q k ptq ` εη k ptq, k “ 1, 2, ..., n (5.6) Continuando, necesitamos calcular δIpqptq, ηptqq y hacerla igual a cero. Por (5.1) tenemos que „ ż  d 9 ` εηptqqdt 9 δIpqptq, ηptqq “ Lpt, qptq ` εηptq, qptq dε ε“0 Por la regularidad tomada sobre L y dado que ε no depende de t, entonces la derivada puede ser introducida dentro de la integral y –aplicando la regla de la cadena– obtenemos que ˙  „ż b ˆ BL B q9εk BL Bqεk ` k dt δIpqptq, ηptqq “ Bqεk Bε B q9ε Bε a ε“0 k

donde se aplica el convenio de suma. Si tomamos de (5.6) que BqBεε “ η k ptq y y evaluamos en ε “ 0, entonces ˙ żbˆ BL k BL k δIpqptq, ηptqq “ η ptq ` k η9 ptq dt Bqεk B q9ε a Si integramos por partes el segundo t´ermino, obtenemos ˆ ˙ żb„ BL d BL BL δI “ ´ η k ptqdt ` k η k ptq|ba k k Bq dt B q9 B q9 a

B q9εk Bε

“ η9 k ptq

70

Mec´anica Cl´asica Dado que η k paq “ η k pbq “ para todo k “ 1, 2, ..., n, entonces ˆ ˙ żb„ BL d BL δI “ ´ η k ptqdt k k Bq dt B q9 a

(5.7)

la cual es la primera variaci´on de I ; esta variaci´on se despreciar´a si qptq es un m´ınimo. Antes de continuar, es conveniente mencionar el lema fundamental del c´alculo de variaciones (lema debido a Dubois-Reymond): Sea f ptq una funci´on de valor real continua definida en a ď t ď b y supongamos que żb f ptqφptqdt “ 0 (5.8) a

para toda φ P C 2 ra, bs que satisface φpaq “ φpbq “ 0. Entonces f ptq ” 0,

t P ra, bs

La demostraci´on de este lema se realiza por contradicci´on. Tomemos que existe un punto t0 P pa, bq para el cual f pt0 q ą 0. Por la continuidad de f, existe un intervalo pt1 , t2 q contenido en pa, bq alrededor de t0 sobre el cual f es estrictamente positiva. Ahora sea " pt ´ t1 q3 pt2 ´ tq3 @t P pt1 , t2 q φptq “ 0@t R pt1 , t2 q donde φ P C 2 ra, bs y ż t2

żb f ptqφptqdt0 a

f ptqφptqdt ą 0 t1

que es una contradicci´on a (5.8). Volvamos a (5.7). Dado que en esta ecuaci´on hicimos la consideraci´on de que ηpaq “ ηpbq “ 0, podemos ver en particular que ηptq “ 0, ..., η i ptq, 0, ..., 0q para alg´ un i fijo; entonces esto implica que ˆ ˙ żb„ d BL BL ´ η i ptqdt “ 0 i i Bq dt B q 9 a donde no hay suma sobre i, para todo η i ptq de clase C 2 ra, bs que se anula en a y b. Las condiciones de regularidad de implican que la expresi´on ˆ ˙ BL d BL ´ Bq i dt B q9i es continua en [a,b] y por tanto, por (5.8), se sigue que ˆ ˙ BL d BL ´ “0 Bq dt B q9

Cinem´atica del punto material

71

Pero i es arbitrario, entonces se sigue que una condici´on necesaria para que la funci´on q(t) suministre un m´ınimo relativo para la funcional I definida por (5.4) es tal que sus componentes q 1 ptq, q 2 ptq, ..., q n ptq satisfagan las n ecuaciones ˆ ˙ BL d BL Ek “ k ´ “ 0 k “ 1, 2, ..., n (5.9) Bq dt B q9k para todo a ď t ď b. Las ecuaciones (5.9) forman un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, las cuales se conocen como ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, que son las mismas que se obtuvieron en el cap´ıtulo 4, ecuaci´on 4.30, pero bajo otro razonamiento. Cabe hacer notar que, an´alogamente al c´alculo, no podemos estar seguros de que en realidad q(t) sea un m´ınimo local, esto se logra haciendo la segunda variaci´on de Gˆateaux. Entonces, para fines de mec´anica cl´asica, lo relevante es que las trayectorias siguen principios variacionales que son extremales de la funci´on de acci´on.

5.2.

´ DE LA INPROPIEDADES DE TRANSFORMACION TEGRAL FUNDAMENTAL

Ahora veremos algunas propiedades de la integral fundamental bajo una transformaci´on de coordenadas. Esta transformaci´on tiene la siguiente forma ` ˘ (5.10) q 1k “ q 1k q h Supongamos que esta transformaci´on tiene inversa ` ˘ q h “ q h q 1k

(5.11)

Las derivadas de la trasformaci´on constituyen las componentes de un tensor contravariante, es decir ` ˘ Bq h (5.12) q9h “ 1k q91k “ q9k q 1k , q91k Bq Adem´as, se puede ver de (5.12) que Bq h B q9h “ B q91k Bq 1k

(5.13)

B q9h B 2 q h 1l “ q9 Bq 1k Bq 1k Bq 1l

(5.14)

junto con

El hecho de que la integral fundamental (5.4) sea invariante bajo (5.10) es equivalente a decir que la lagrangiana L es un escalar relativo a (5.10). Esta condici´on es muy importante. Si denotamos que la transformaci´on de L bajo (5.10) es L, nuestro requerimiento de invariancia es equivalente a decir que ` ˘ ` ` ˘ ` ˘˘ L t, q 1k , q91k “ L t, q h q 1k , q9h q 1k , q91k (5.15) en donde han˘ usado las relaciones (5.10) y (5.12). Esto puede ser v´alido para todos ` se 1k 1k los valores q , q9 .

72

Mec´anica Cl´asica

Ahora vamos a diferenciar la ecuaci´on (5.11) con respecto a q91k . Usamos (5.15) para obtener que BL BL B q9h BL Bq h “ “ (5.16) B q91k B q9h B q91k B q9h Bq 1k Esta ecuaci´on hace evidente que las derivadas BBL constituyen las componentes de q9h un tensor covariante. Sin embargo, si nosotros diferenciamos (5.15) con respecto a q 1k y aplicamos (5.14), encontramos que BL BL Bq h BL B q9h BL Bq h BL B 2 q h 1l q9 “ ` “ ` Bq 1k Bq h Bq 1k B q9h Bq 1k Bq h Bq 1k B q9h Bq 1k Bq 1l

(5.17)

BL la cual implica que Bq h no sean las componentes de un tensor. ` ˘ Bφ on escalar φ q h representan un tensor Sabemos que las derivadas Bq h de una funci´ covariante llamado el gradiente de φ; sin embargo, en el caso del escalar Lpt, q h , q9h q esto no resulta, dada la dependencia de L sobre las variables q9h . Por lo tanto, es necesario construir un tensor covariante que represente el gradiente generalizado de L. Para ello, eliminaremos el segundo t´ermino de (5.17), esto lo conseguiremos diferenciando (5.16) con respecto a t, lo cual nos dar´a

d dt

ˆ

ˆ ˙ ˆ ˙ d BL Bq h BL d Bq h “ ` dt B q9h Bq 1k B q9h dt Bq 1k ˆ ˙ d BL Bq h BL B 2 q h 1l q9 “ ` dt B q9h Bq 1k B q9h Bq 1k Bq 1l

BL B q91k

˙

(5.18)

Cuando restamos (5.17) de esta u ´ltima ecuaci´on, obtenemos que d dt

ˆ

BL B q91k

˙

„ ˆ ˙  BL Bq h d BL BL ´ 1k “ 1k ´ h Bq Bq dt B q9h Bq

(5.19)

de lo cual es evidente que las cantidades ˆ ˙ d BL BL Ek “ ´ dt B q9h Bq h que coinciden con las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.9), constituyen las componentes de un tensor covariante de orden uno. Este tensor puede ser interpretado como el gradiente generalizado de la lagrangiana L. Con lo anterior se ha comprobado que las ecuaciones de Euler-Lagrange se comportan como un tensor siempre que la lagrangiana sea un escalar relativo a la transformaci´on de coordenadas. Esto es muy importante ya que las ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones de movimiento de un sistema f´ısico descrito por la lagrangiana. Que estas ecuaciones de movimiento se transformen como un tensor nos garantiza que ser´an las mismas para cualquier sistema de coordenadas. Ejemplo 5.1 Sea un muro rectil´ıneo, de longitud 2a. Deseamos instalar una alambrada de longitud ˆ L que parta de un extremo del muro y termine en el otro extremo de ´este, A¿cu´ al debe ser la forma dada al recorrido de la alambrada para que el ´area encerrada sea m´axima? Soluci´ on

Cinem´atica del punto material

73

şa El ´area encerrada por la alambrada es ´a ydx, mientras que la longitud de la alamşa a brada es L “ ´a 1 ` y 12 dx. La ecuaci´on de Lagrange se transforma en: ˜ ¸ λy 1 d a “0 1´ dt 1 ` y 12 Integrando y despejando y 1 , queda ´px ´ C1 q y1 “ a λ2 ´ px ` C1 q2 donde C1 es una constante de integraci´on. Si integramos la ecuaci´on anterior, tenemos que y“

a λ2 ´ px ` C1 q2 ` C2

donde C2 es otra constante de integraci´on. Dichas constantes se pueden encontrar con las condiciones de contorno, de tal forma que la soluci´on queda como ? ? λ2 ´ x2 ´ λ2 ´ a2 şa a Para determinar λ, volveremos a la condici´on L “ ´a 1 ` y 12 dx, lo que nos lleva a y“

λ 1 “ L a sinp 2λ q Para hacer posible una soluci´on ?de esta u ´ltima ecuaci´on trascendental, escogemos L “ πA, para lo cual λ “ a y y “ a2 ´ x2 . Para esta elecci´on y(t) es un semic´ırculo centrado en el origen, soluci´on que podr´ıamos esperar intuitivamente. Ejemplo 5.2 Una part´ıcula de masa m se mueve en un campo de fuerzas conservativo. Escribir el lagrangiano del sistema y las ecuaciones de Lagrange correspondientes en coordenadas cil´ındricas pρ, φ, zq. Soluci´ on La relaci´on entre coordenadas cartesianas y cil´ındricas es x “ ρ cos φ,

y “ ρ sin φ,

z“z

Derivando estas coordenadas con respecto al tiempo, obtenemos que x9 “ ρ9 cos φ ´ ρφ9 sin φ y9 “ ρ9 sin φ ´ ρφ9 cos φ z9 “ z9 de manera que la energ´ıa cin´etica es ¯ ˘ 1 ´ 1 ` T “ m x9 2 ` y9 2 ` z9 2 “ m ρ9 2 ` ρ2 φ9 2 ` z9 2 2 2 Si la energ´ıa potencial es U “ U pρ, φ, zq, el lagrangiano es ¯ 1 ´ L “ T ´ U “ m ρ9 2 ` ρ2 φ9 2 ` z9 2 ´ U pρ, φ, zq 2

74

Mec´anica Cl´asica Las ecuaciones de Lagrange son mρφ9 2 ´

BU ´ m: ρ“0 Bρ

mρ2 φ: ´ z` m:

BU “0 Bφ

BU “0 Bz

Ejemplo 5.3 Una part´ıcula de masa µ se encuentra forzada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto de semiapertura α (ver figura 5.1). El eje del cono es vertical, de manera que la part´ıcula se ve sometida a la influencia de la gravedad. Escribir el lagrangiano en coordenadas cil´ındricas (tomando el eje del cono como z). Demostrar que la part´ıcula se ve sometida a una fuerza central dirigida hacia el punto sobre el eje del cono situado a la misma altura z que la part´ıcula. Suponer que la part´ıcula se mueve en un c´ırculo horizontal constante a una altura vertical h sobre el v´ertice. Demostrar que este movimiento es estable y encontrar la frecuencia de las peque˜ nas oscilaciones alrededor del mismo.

Figura 5.1: Masa que se mueve en el interior de un cono

Soluci´ on La relaci´on entre las coordenadas cartesianas px, y, zq y las coordenadas cil´ındricas pρ, θ, ϕq es x “ ρ cos ϕ,

y “ ρ sin ϕ,

z“z

Derivando con respecto al tiempo t para obtener la velocidad cartesiana

Cinem´atica del punto material

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x9 “ ρ9 cos ϕ ´ ρϕ9 sin ϕ y9 “ ρ9 sin ϕ ´ ρϕ9 cos ϕ z9 “ z9 La energ´ıa cin´etica es por tanto ˘ ˘ 1 ` 1 ` T “ µ x9 2 ` y9 2 ` z9 2 “ µ ρ9 2 ` ρ2 ϕ9 2 ` z9 2 2 2 donde hemos simplificado varios t´erminos en el u ´ltimo paso. La energ´ıa potencial es V “ mgz, de manera que el lagrangiano es ˘ 1 ` L “ T ´ U “ µ ρ9 2 ` ρ2 ϕ9 2 ` z9 2 ´ mgz 2 La part´ıcula se ve sometida a una ligadura, a saber, ha de estar sobre la superficie interior del cono. Matem´aticamente, esta ligadura se expresa a trav´es de la relaci´on ρ “ z tan α. Sustituyendo en el lagrangiano para deshacernos, por ejemplo, de la coordenada z (tambi´en podr´ıamos eliminar ρ en lugar de z ), tenemos una funci´on s´olo de las coordenadas ρ y ϕ ˆ ˙ 1 ρ9 2 ρ 2 2 2 9 ϕ, ϕq 9 “ µ ρ9 ` ρ ϕ9 ` L “ Lpρ, ρ, ´ mg 2 2 tan α tan α La coordenada ϕ no aparece expl´ıcitamente en el lagrangiano, as´ı que es ignorable. Habr´a por tanto una cantidad conservada (que va a ser la componente z del momento angular alrededor del punto 0). Las ecuaciones de Lagrange son µ: ρ µg “0 ´ 2 tan α sin α l ” mρ2 ϕ9 “ cte

µρϕ9 2 ´

Como sabemos, cuando la coordenada ignorable es un a´ngulo, se conserva la correspondiente componente a lo largo del eje de rotaci´on asociado a ese a´ngulo, que en este caso es el eje Z, por lo que l ser´a la componente z del momento angular L, es decir, Lz . Podemos ver esto expl´ıcitamente, calculando las componentes del momento angular, para lo cual es m´as f´acil trabajar en coordenadas esf´ericas, ya que el a´ngulo polar de la part´ıcula, θ, es constante pθ “ αq, y por tanto la componente correspondiente de la velocidad, vθ , es nula. Entonces ˆθ L “ µr ˆ v “ ´µrvϕ e Como ˆθ “ e ˆx cos θ cos ϕ ` e ˆy cos θ sin ϕ ` e ˆz sin θ e tenemos ˆy cos θ sin ϕ ` e ˆz sin θq L “ ´µrvϕ pˆ ex cos θ cos ϕ ` e Ahora, teniendo en cuenta que vϕ “ rϕ9 sin θ, L “ ´µr2 ϕ9 sin θ cos θ cos ϕˆ ex ´ µr2 ϕ9 sin θ cos θ sin ϕˆ ey ´ µr2 sin2 θˆ ez

76

Mec´anica Cl´asica y como ρ “ r sin θ, nos queda Lz “ µr2 ϕ9 sin θ “ µρ2 ϕ9

que es la cantidad que antes hemos llamado l. l Despejando ϕ9 “ µρ y sustituyendo en el lagrangiano, obtenemos una funci´on u ´nicamente de la coordenada ρ, de manera que el problema se convierte en un problema efectivo en una dimensi´on l2 µgρ µρ9 2 ` ´ 2 2 tan α 2 sin α 2µρ Sustituyendo ϕ9 en la ecuaci´on para ρ, llegamos a 9 “ Lpρ, ρq

µ: ρ“

l2 sin2 α ´ µg sin α cos α µρ3

de manera que podemos identificar una fuerza efectiva F pρq “

l2 sin2 α ´ µg sin α cos α µρ3

que incluye la ligadura, la fuerza gravitatoria real y la fuerza centr´ıfuga (que viene de haber eliminado la coordenada ϕ). Esta fuerza se puede derivar de una energ´ıa potencial V “ V pρq, de forma que F pρq “ ´ BV Bρ integrando V pρq “

l2 sin2 α ´ µg sin α cos α ` C µρ2

donde la constante C se puede ajustar una vez elegido el origen de energ´ıa potencial. Su valor no es trascendental, as´ı que podemos poner C=0. Lo importante es que el problema se puede escribir como el problema de una part´ıcula efectiva que se mueve en la direcci´on ρ y que se encuentra sometida a una fuerza que s´olo depende de la coordenada a lo largo de esa direcci´on, ρ. La fuerza, por tanto, es central y est´a dirigida hacia el eje Z. Esto no quiere decir que la fuerza real vaya a lo largo de esa direcci´on, sino que el efecto de las coordenadas eliminadas –z y ϕ– aparece como un fuerza central a lo largo de la direcci´on ρ, la direcci´on radial. Naturalmente, si ρ var´ıa, la coordenada z que est´a atada a ρ a trav´es de la ligadura tambi´en variar´a (fruto de la acci´on de la gravedad). El potencial efectivo V consta de dos t´erminos: uno crece linealmente con ρ, mientras que el otro (el t´ermino centr´ıfugo) decrece seg´ un ρ12 . Estos dos t´erminos, junto con su suma, se representan en la figura 5.2 para determinados valores de las constantes. Podemos ver que la suma de ambos t´erminos da lugar a la existencia de un m´ınimo, cuya posici´on se puede calcular evaluando la derivada primera e igualando a cero l2 sin2 α µg sin α cos α ´ “ 0 Ñ ρmin “ µρ3

ˆ

l2 tan α µ2 g

La derivada segunda en el m´ınimo es d2 V |ρ“ρmin “ 3µg dρ2

ˆ

µ2 g l2 tan α

˙ 31 cos α sin α

˙ 31

Cinem´atica del punto material

77

Figura 5.2: Masa que se mueve en el interior de un cono.

y el valor de la energ´ıa potencial es 3 U pρmin q “ µg 4

ˆ

l2 tan α µ2 g

˙ 31

Por tanto, para cada valor de µ, α y l existe un tama˜ no de trayectoria circular, con radio ρmin , para el cual ρ no var´ıa, siendo una o´rbita circular estable. Esta condici´on se puede traducir en una condici´on sobre la energ´ıa total E, haciendo E “ U pρmin q. Si E ą U pρmin q, entonces la masa µ efectuar´a oscilaciones alrededor del radio ρmin , lo cual implica, obviamente, que la coordenada z tambi´en oscila entre dos valores. En cualquier caso, la o´rbita va a ser estable, ya que discurre alrededor de un radio que representa un m´ınimo de la energ´ıa potencial efectiva. Si la altura de la masa µ es constante, z “ h, entonces ρ “ h tan α es tambi´en constante. Para que la masa gire en un c´ırculo de radio h tan α alrededor del eje Z y a una misma altura, el valor del momento angular l ha de ser tal que ρmin “ h tan α. En caso contrario, este c´ırculo no es constante y ρ –lo mismo que z – oscilar´a entre dos valores alrededor del m´ınimo. La condici´on para que el radio sea constante es ˆ h tan α “ ρmin “

l2 tan α µ2 g

˙ 13 Ñ l “ µh tan α

a gh

lo que da una velocidad angular c ϕ9 “

g { tan α h

A medida que α disminuye (el cono se cierra), la velocidad angular necesaria para mantener el c´ırculo estable es mayor, como cabr´ıa esperar de antemano. Asimismo, a medida que h disminuye, la velocidad angular necesaria tambi´en aumenta. Si la masa se mueve en un c´ırculo estable, con el valor de l calculado, la frecuencia de las peque˜ nas oscilaciones alrededor de este movimiento viene dada por la derivada

78

Mec´anica Cl´asica

segunda de V, lo cual estudiaremos m´as adelante. Sustituyendo el valor de l d2 V |ρ“ρmin “ 3µg dρ2

ˆ

µ2 gh3 µ2 tan3 α

˙ 13 cos α sin α “

3µg cos2 α h

la frecuencia est´a dada por d ω“

5.3.

d2 V |ρ“ρmin “ µdρ2

c

3g cos α h

´ SENTIDO FISICO DE LOS PRINCIPIOS VARIACIONALES Y LA LAGRANGIANA

Veamos ahora las implicaciones f´ısicas de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Como ya se ha mencionado, el principio de Hamilton nos dice que un sistema f´ısico evoluciona por la trayectoria o trayectorias (si el sistema tiene varios grados de libertad) que hace extremo la integral de acci´on, entonces el tratamiento matem´atico anterior nos sirve para encontrar dichas trayectorias. Existen ventajas para una formulaci´on variacional de los sistemas f´ısicos, una de ellas es que puede hacerse sin hacer referencia al sistema en particular de coordenadas generalizadas; por tanto podemos decir que es invariante respecto a la elecci´on de las coordenadas del sistema. Otra es que nosotros podemos a˜ nadir a la lagrangiana una derivada total con respecto al tiempo de una funci´on cualquiera de las posiciones y del tiempo sin que afecte el comportamiento variacional de la integral de acci´on. Otra ventaja muy importante es que este tratamiento puede aplicarse f´acilmente a otros sistemas no precisamente mec´anicos, es decir, podemos considerar por ejemplo el campo electromagn´etico, el gravitacional, o cualquier otro. Por u ´ltimo, otra ventaja es que se pueden describir dos o m´as sistemas f´ısicos distintos por lagrangianos de la misma forma, esto significa que al investigar un sistema f´ısico podemos obtener resultados, tambi´en, en el otro sistema y viceversa. La lagrangiana y el principio de Hamilton (que, por conveniencia, en adelante llamaremos simplemente de m´ınima acci´on) forman, juntos, una manera de implicar ecuaciones de movimiento. Casi en todos los campos de la F´ısica se pueden utilizar principios variacionales para expresar “ecuaciones de movimiento”, ya sean las ecuaciones de Newton, las de Maxwell, las de Schr¨odinger o las de Einstein, por mencionar s´olo algunas. Por tanto, si se utiliza un principio variacional como base de la formulaci´on, entonces podemos hablar de cierta analog´ıa estructural en todos estos campos. Cuando los resultados experimentales muestran la necesidad de alterar el contenido f´ısico de la teor´ıa de un campo, este grado de analog´ıa ha indicado, muchas veces, c´omo pueden efectuarse alteraciones semejantes en otros campos. As´ı, los experimentos de principios del siglo pasado mostraron que era necesaria la cuantizaci´on de la radiaci´on electromagn´etica y las part´ıculas elementales. Pero esta cuantizaci´on ya se hab´ıa dado anteriormente para sistemas mec´anicos, por lo que –describiendo al campo electromagn´etico mediante una lagrangiana y el correspondiente principio variacional de Hamilton– fue posible desarrollar los m´etodos de cuantizaci´on en la radiaci´on y dar lugar a la electrodin´amica cu´antica desarrollada por Feynmann, Schwinger y Tomonaga. EJERCICIOS

Cinem´atica del punto material

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1. Demostrar que la geod´esica sobre la superficie de un cilindro recto circular es un segmento de una h´elice. 2. Si L es una lagrangiana para un sistema de n grados de libertad que satisfaga las ecuaciones de Euler-Lagrange, demostrar por sustituci´on directa que L1 “ L ` dF pq1 ,...,qn .tq tambi´en satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, donde F es una dt funci´on arbitraria, pero derivable de sus argumentos. 3. Si L “ F pxj , x9 j q, esto es, L es independiente de t, mostrar que las Ecuaciones de “ C. Euler-Lagrange siempre poseen una primera integral F ´ x9 j BBF x9 j 4. Si Lpxj , x9 j , tq “ L1 pxj , x9 j , tq ` Ai x9 j , donde Ai “ Ai pxh q y que Ei pLq “ Ei pL1 q.

BAi Bxj

´

BAj Bxi

“ 0, mostrar

5. Obtener la lagrangiana y las ecuaciones de movimiento para el p´endulo doble mostrado en la figura 5.3, en donde las longitudes de los p´endulos son l1 y l2 y las masas correspondientes son m1 y m2 . 6. Considerar una part´ıcula de masa m que se mueve en una dimensi´on de tal manera 2 4 que tiene la lagrangiana L “ m12x9 ` mx9 2 V pxq ´ V 2 pxq, donde V es una cierta funci´on derivable de x. Hallar la ecuaci´on de movimiento para x(t) y describir la naturaleza f´ısica del sistema.

Figura 5.3: P´endulo mec´anico doble

Cap´ıtulo 6 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 6.1.

´ AL PROBLEMA DE UN CUERPO REDUCCION

La descripci´on de un sistema compuesto por dos part´ıculas requiere especificar seis cantidades, a saber, las tres componentes de cada uno de los dos vectores de posici´on r1 y r2 de las part´ıculas.

Figura 6.1: Reducci´on al problema de los dos cuerpos

Otra posibilidad es tomar las tres componentes del vector de posici´on R del centro de masa y las tres componentes de r “ r2 ´ r1 , como puede verse en la figura 6.1. Nuestra atenci´on estar´a puesta en los sistemas donde la energ´ıa potencial depende s´olo de la distancia r “ |r2 ´ r1 |. De esta forma, la lagrangiana para un sistema de esta clase se puede escribir como 1 1 L “ m1 |9r1 |2 ` m2 |9r2 |2 ´ U prq (6.1) 2 2 Como el movimiento de translaci´on del sistema en conjunto no es de nuestro inter´es –por lo que concierne a las ´orbitas que describe cada una de las part´ıculas respecto de la 80

Cinem´atica del punto material

81

otra–, podremos tomar como origen de coordenadas el centro de masa de las part´ıculas; con esto, R=0. Entonces m1 r1 ` m2 r2 “ 0 (6.2) donde R se calcula m1 r1 ` m2 r2 m1 ` m2 De esta igualdad, combinada con r “ r2 ´ r1 , tenemos R“

r1 “ r2 “

m2 r m1 `m2 m1 r m1 `m2

(6.3)

que llevadas a la expresi´on de la lagrangiana nos da 1 L “ µ|9r|2 ´ U prq 2

(6.4)

donde µ es la masa reducida, la cual est´a dada por µ“

m1 m2 m1 ` m2

(6.5)

Por lo tanto, hemos reducido el problema del movimiento de dos cuerpos a otro problema equivalente, pero de un cuerpo, en el que u ´nicamente debe determinarse el movimiento de una part´ıcula de masa µ en el campo central descrito por la funci´on potencial U(r). Una vez que se haya obtenido una soluci´on para r(t) aplicando las ecuaciones de EulerLagrange a la lagrangiana (6.4), pueden obtenerse los movimientos individuales de r1 ptq y r2 ptq de las part´ıculas –mediante las ecuaciones que se presentan en (6.3)–, pero este u ´ltimo paso no ser´a necesario si s´olo se desean las ´orbitas relativas de las part´ıculas.

6.2.

MOVIMIENTO EN CAMPO DE FUERZAS CENTRALES

Consideremos la energ´ıa potencial como una funci´on que s´olo depende de la distancia de la part´ıcula al centro de fuerzas a U “ U prq donde r “ x2 ` y 2 ` z 2 . Entonces la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula ser´a BU ∇r Br El momento cin´etico o angular ser´a entonces una cantidad conservada pr ˆ F “ 0q que tiene la siguiente forma F “ ´∇U “

L “ r ˆ p “ cte. De lo anterior, se deduce que r es siempre perpendicular a la direcci´on L fija en el espacio. Esto s´olo puede ser cierto si r se encuentra siempre en un plano cuya normal sea paralela a L, aunque este razonamiento falla si L=0 pues en tal caso el movimiento

82

Mec´anica Cl´asica

debe tener lugar a lo largo de una recta que pase por el centro de fuerzas, ya que L=0 exige que r sea paralelo a r9 cosa que s´olo puede cumplirse en un movimiento rectil´ıneo. El movimiento entonces ocurre en un plano que pasa por el centro de fuerzas. En este caso es mejor estudiar el movimiento en un sistema de coordenadas cil´ındricas con z “ 0. Entonces la lagrangiana es ¯ 1 ´ 2 2 92 (6.6) L “ µ r9 ` r θ ´ U prq 2 y, dado que la variable θ es c´ıclica, el momento cin´etico asociado a dicha variable se conserva, es decir BL Pθ “ (6.7) “ µr2 θ9 “ cte 9 Bθ Por tanto, la simetr´ıa del sistema nos ha permitido integrar de forma inmediata una de las ecuaciones de movimiento. La cantidad Pθ constituye una primera integral del movimiento que posee un valor constante que representaremos por l, es decir Pθ ” l “ µr2 θ9 “ cte

(6.8)

La ecuaci´on de movimiento para la coordenada radial r se obtiene de la ecuaci´on de Euler-Lagrange ˆ ˙ d BL BL ´ “0 dt B r9 Br donde L est´a dada por (6.6), as´ı, BL BL BU “ µr9 y “ µrθ92 ´ B r9 Br Br Por lo tanto µ: r “ µrθ92 ´

BU Br

y, sustituyendo θ9 de (6.8) en esta u ´ltima ecuaci´on, obtenemos r“ µ:

BU l2 ´ µr3 Br

(6.9)

El hecho de que l sea constante tiene una interpretaci´on geom´etrica sencilla. Como se ve en la figura 6.2, al describir la trayectoria r(t), el vector de posici´on barre un ´area 12 r2 dθ en un intervalo de tiempo dt, es decir 1 dA “ r2 dθ 2 Dividiendo por el intervalo de tiempo, obtenemos la velocidad areolar dA 1 dθ l “ r2 “ “ cte dt 2 dt 2µ

(6.10)

en donde podemos ver que la velocidad areolar es constante en el tiempo. Este resultado fue obtenido experimentalmente por Kepler en el caso del movimiento planetario, y se conoce como la segunda ley de Kepler. Ahora, la conservaci´on de la energ´ıa es la u ´nica

Cinem´atica del punto material

83

Figura 6.2: Evoluci´on del radio vector

primera integral que nos queda. Al haber limitado el estudio a sistemas no disipativos, la conservaci´on de la energ´ıa total E0 queda autom´aticamente asegurada. Entonces 1 E0 “ µr9 2 ` Uef ec 2

(6.11)

2 donde Uef ec “ 12 µrl 2 `U prq, que se obtiene sustituyendo θ9 mediante (6.8). Este potencial Uef ec se denomina potencial efectivo. Ejemplo 6.1 Un ejemplo de sistema de dos cuerpos es, con bastante aproximaci´on, el par constituido por nuestro planeta, la Tierra, y su estrella, el Sol. Podemos hacer el c´alculo de la velocidad areolar suponiendo circular la ´orbita de la Tierra alrededor del Sol. La velocidad angular del movimiento de la Tierra alrededor del Sol se calcula de manera simple: en un a˜ no da una vuelta, as´ı

w“

2π 2π “ “ 1.98 ˆ 10´7 s´1 7 1 a˜ no 3.16 ˆ 10 s

Adem´as, sabemos que la masa de la tierra es de m “ 5.98 ˆ 1024 kg y que la distancia media al Sol es de r “ 1.49 ˆ 1011 m, por lo que el momento angular estar´a dado por dθ Lθ “ mr2 “ mr2 w dt ` ˘` ˘` ˘ “ 5.98 ˆ 1024 kg 1.49 ˆ 1011 m 1.98 ˆ 10´7 s´1 kg m2 kg m2 “ 2.63 ˆ 1040 s s Finalmente, la velocidad areolar est´a dada por 26.3 ˆ 1039

2

2 2.63 ˆ 1040 kg sm dA Lθ 16 m “ “ “ 0.219 ˆ 10 dt 2m 2 p5.98 ˆ 1024 kgq s

84

Mec´anica Cl´asica m2 s lo que nos dice que la Tierra barre un a´rea de “ 2.2 ˆ 1015

2.2 ˆ 1015

m2 s

cada segundo.

6.3.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Cuando se conoce U(r), la ecuaci´on (6.11) describe completamente el sistema, y su integraci´on nos dar´a la integral general del problema en funci´on de los par´ametros E0 y l. Si despejamos r9 de la ecuaci´on (6.11), tenemos c 2 rE0 ´ Uef ec prqs (6.12) r9 “ ˘ µ ecuaci´on donde puede despejarse dt e integrarse para obtener tprq, a partir de la cual podr´ıamos encontrar 1 dt “ b (6.13) dr ˘ 2 rE0 ´ Uef ec prqs µ

De (6.13) encontramos ż r1

dr

t ´ t0 “

b r0

˘

2 µ

(6.14)

rE0 ´ Uef ec prqs

De (6.7) encontramos la segunda integral l dθ “ 2 , θ ´ θ0 “ µr

ż r1

l dr µr2

r0

b ˘ µ2 rE0 ´ Uef ec prqs

(6.15)

De (6.4) observamos que el problema de obtenci´on de r(t) es semejante al problema unidimensional para obtener x(t) pero en lugar del potencial U(x) ahora se usa el potencial efectivo Uef ec prq. Si la funci´on U(r) est´a dada, entonces –calculando las ecuaciones (6.14) y (6.15)– se puede obtener la soluci´on general para el tipo de interacci´on entre dos part´ıculas. Cuando el potencial efectivo tiene forma de un pozo potencial semejante a la figura 6.4, entonces bajo determinados valores de energ´ıa E0 “ Uef ec prq la variable r tiene dos valores rmin y rmax , en los cuales r9 “ 0, es decir r puede cambiar s´olo entre los ˜ lAmites rmin ă r ă rmax . Pero cuando r toma valores en los extremos, tenemos θ9 ‰ 0; debido a la ecuaci´on (6.7) y por lo tanto θ9min ą θ9max , donde los valores m´aximos y m´ınimos de la derivada θ9 se calculan de (6.7) colocando valores m´aximo y m´ınimo para r. En este caso, el movimiento en el plano z “ 0 tiene la forma de las figuras 6.3 y 6.4. En la gr´afica, las regiones sombreadas son las inaccesibles, la part´ıcula se mueve rozando las fronteras. El desplazamiento ∆θ que ocurre durante el periodo de movimiento se calcula con ayuda de la integral (6.15). Este desplazamiento es igual al doble del desplazamiento cuando la part´ıcula pasa desde el punto de rozamiento menor cuando r “ rmin al mayor r “ rmax

Cinem´atica del punto material

85

l δθ “ 2 ? 2µ

ż rmax rmin

r2

a

dr E0 ´ Uef ec prq

La trayectoria es cerrada si δθ “ 0. Cuando este desplazamiento es diferente de cero, la part´ıcula se mueve alrededor de la parte central por una trayectoria de semejanza y con un periodo elipsoidal que rota alrededor del centro con una velocidad angular δθ T c T “

2µ E0

ż rmax rmin

dr b U prq 1 ´ efEec0

Como sabemos, en mec´anica cl´asica las magnitudes r, v, t son reales. Por lo tanto, r9 2 es una cantidad positiva, por lo que de la ecuaci´on (6.15) obtenemos la desigualdad E0 ą Uef ec

(6.16)

que define los valores posibles de r y E0 “ Uef ec

(6.17)

que determina las fronteras del movimiento. Ejemplo 6.2 Sea una part´ıcula que se mueve en un campo potencial del oscilador arm´onico. Entonces el potencial efectivo tendr´a la forma Uef ec “ E1 ` E2 2

(6.18)

2

l donde E1 “ kr2 y E2 “ 2mr 2. En este caso, la ecuaci´on (6.17) nos da dos valores de los puntos de retorno

« ˆ ˙ 21 ff k 1 E0 ¯ E02 ´ l2 r1,2 2 “ k m

(6.19)

y la desigualdad (6.16) define las regiones rmin ď r ď rmax , como se muestra en la figura 6.4. Nuevamente las partes sombreadas pertenecen a las regiones inaccesibles de movimien` k ˘ 21 to. Cuando E0 “ pUef ec qmin “ m l, el punto se mover´a por una trayectoria circular de radio ˆ r “ rmin “ rmax “

E0 k

˙ 12

La trayectoria del punto en caso general, cuando E0 ą pUef ec qmin se determina con ayuda de la integral (6.15). Es una elipse cuyo centro se encuentra en el centro de fuerza y roza dos veces las circunferencias con radios r1 y r2 , respectivamente, como se muestra en la figura 6.4.

86

Mec´anica Cl´asica

Figura 6.3: El potencial efectivo y sus puntos de retorno

6.4.

POTENCIAL GRAVITATORIO

En caso del movimiento en un campo donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la expresi´on de dicha fuerza ser´a f prq “ ´

k r2

(6.20)

donde ż

k r y, en consecuencia, la funci´on potencial efectiva en el caso de atracci´on gravitacional ser´a U prq “

f prqdr “ ´

k l2 V prq “ ´ ` r 2µr2 En la figura 6.5 se representa este potencial efectivo con sus componentes, el valor del cual se ha supuesto arbitrariamente nulo en r “ 8. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Figura 6.5 Potencial efectivo para el movimiento planetario. Si representamos la energ´ıa total E como en la figura 6.6, identificaremos tres regiones de inter´es. Cuando la energ´ıa total sea positiva o cero pvg., E1 ě 0q, el movimiento no estar´a confinado; en este caso, la part´ıcula se dirige hacia el centro de fuerzas, el cual est´a situado en r “ 0, desde el infinito hasta que “choca con la barrera de potencial en el punto de inversi´on r “ r1 y rebota hacia atr´as, creciendo r indefinidamente. Observemos que la altura sobre V prq de la recta de la energ´ıa total tiene un valor de 12 µr9 2 , cualquiera que sea r. Entonces, la velocidad radial r9 se anular´a y cambiar´a de signo en el punto de inversi´on. Cuando la energ´ıa total sea negativa y su valor se encuentre entre cero y el valor m´ınimo de V prq, como es el caso de E3 , el movimiento estar´a confinado en r3 ď r ď r5 .

Cinem´atica del punto material

87

Figura 6.4: Puntos de retorno para diferentes energ´ıas

Los valores r3 y r5 corresponden a los puntos de inversi´on y son las llamadas distancias apsidales de la o´rbita. Cuando E sea igual al valor m´ınimo de la energ´ıa potencial efectiva, el vector de posici´on de la trayectoria de la part´ıcula se limita al u ´nico valor r4 , siendo r9 “ 0 en todo instante, y el movimiento ser´a circular. 2 Valores de E inferiores a Vmin “ ´ µk no producen movimientos reales, ya que enton2l2 ces r9 ă 0, y la velocidad ser´ıa imaginaria.

6.5.

´ DE LAS ORBITAS ´ ECUACION

Hasta ahora, resolver el problema de fuerza central significaba hallar r y θ en funci´on de t; tomando en cuenta que se tienen varias constantes, tales como E, l y otras constantes de integraci´on. Pero muy a menudo, lo que realmente buscamos es la ecuaci´on de la o´rbita, es decir, la dependencia entre r y θ, eliminando el par´ametro t. En el caso de las fuerzas centrales esto es relativamente simple, ya que en las ecuaciones del movimiento t s´olo aparece en forma de variable respecto a la cual se deriva. En verdad, una ecuaci´on de movimiento (6.8), no hace sino darnos una relaci´on definida entre una variaci´on infinitesimal dt y la variaci´on dθ correspondiente ldt “ µr2 dθ

(6.21)

La relaci´on entre las derivadas respecto a t y respecto a θ es l d d “ 2 dt µr dθ

(6.22)

Estas ecuaciones pueden utilizarse para convertir la ecuaci´on de movimiento (6.14) en una ecuaci´on diferente para la o´rbita. De esta forma, de la ecuaci´on (6.22) se tiene que ˆ ˙ d2 l d l d “ 2 dt2 µr dθ µr2 dθ

88

Mec´anica Cl´asica y la ecuaci´on de Lagrange para r, (6.9), toma la forma ˆ ˙ l d l dr l2 ´ “ f prq r2 dθ µr2 dθ µr3

(6.23)

donde f prq “ Bu . Br Ahora, notemos que ` ˘ d 1r 1 dr “´ r2 dθ dθ 1 luego, si hacemos el cambio de variable u “ r tenemos que ˆ ˙ ˆ ˙ l2 u2 d2 u 1 ` u “ ´f 2 µ dθ u

(6.24)

Y como d dr d 1 d “ “´ 2 du du dr u dr la ecuaci´on (6.24) podr´a escribirse en funci´on del potencial en la forma ˆ ˙ d2 u µ d 1 `u“´ 2 U dθ l du u

(6.25)

Las relaciones (6.24) o (6.25) son ecuaciones diferenciales de la o´rbita, para cuando se conoce la ley de fuerza f o el potencial U . Inversamente, si se conoce la ecuaci´on diferencial de la ´orbita, es decir, si se da r en funci´on de θ podemos seguir el camino en sentido opuesto y obtener la ley de la fuerza f . A partir de la ecuaci´on (6.25) podemos demostrar que la o´rbita es sim´etrica respecto a los puntos de inversi´on del movimiento. Para ello notaremos que si la o´rbita es sim´etrica ser´a posible reflejarla respecto a la direcci´on del a´ngulo de inversi´on sin producir variaci´on alguna. Si se eligen las coordenadas de manera que el punto de inversi´on corresponda a θ “ 0 la reflexi´on podr´a hacerse matem´aticamente, sustituyendo θ por ´θ. La ecuaci´on diferencial de la o´rbita (6.25) es, efectivamente, invariante ante tal sustituci´on. Adem´as, ` ˘ “ 0, tampoco se ver´an afectadas en este caso. las condiciones iniciales u “ up0q, du dθ θ“0 Por lo tanto, la o´rbita es invariante ante una reflexi´on respecto a los vectores apsidales. Lo anterior significa que se puede trazar la o´rbita completa si se conoce la porci´on de la o´rbita comprendida entre dos puntos de inversi´on cualesquiera.

6.6.

MOVIMIENTO PLANETARIO Y LEYES DE KEPLER

La ecuaci´on de la ´orbita de una part´ıcula que se mueve bajo la influencia de una fuerza central de m´odulo inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de fuerzas puede obtenerse de (6.25), considerando que U prq “ ´ kr , o, lo que es lo mismo, ˆ ˙ 1 1 “ ´ku donde r “ U u u por lo que la ecuaci´on (6.25) queda como

Cinem´atica del punto material

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d2 u mk `u“ 2 2 dθ l La soluci´on de esta u ´ltima ecuaci´on es relativamente simple, si se considera el cambio de variable mk l2

v “u´ por lo que la ecuaci´on queda como

d2 v `v “0 dθ2 cuya soluci´on se puede escribir como u “ C cospθ ´ θ1 q donde C y θ1 son constantes de integraci´on. Finalmente, la soluci´on en t´erminos de r queda como mk 1 “ 2 p1 ` e cospθ ´ θ1 qq r l donde e“C

l2 mk

˜ Si deseamos conocer el valor especAfico de C, debemos hacer la integraci´on a partir de la ecuaci´on (6.15) para el potencial U prq “ ´ kr , de tal manera que `1˘

ż θprq “

r2

c

´ 2µ E `

dr k r

´

l2 2µr2

¯ ` cte

(6.26)

Si hacemos el cambio de variable que mencionamos anteriormente, es decir u “ 1r , as´ı como definimos el origen de θ de forma que la constante de integraci´on sea 0, esta integral da como resultado l2 1 ´1 µk r (6.27) cos θ “ b 2 1 ` 2El 2 µk Si definimos las cantidades

2

l α ” µk b 2 e ” 1 ` 2El µk2

(6.28)

entonces la ecuaci´on (6.27) tendr´a la forma α “ 1 ` e cos θ r

(6.29)

que es la ecuaci´on de una c´onica con uno de sus focos en el origen. La cantidad e es la excentricidad y 2α recibe el nombre de latus rectum de la o´rbita.

90

Mec´anica Cl´asica

El valor m´ınimo de r corresponde al valor m´aximo de cos θ, o sea, a θ “ 0. Entonces, al haber hecho 0 la constante de integraci´on de (6.26), habremos de medir θ a partir de rmin , posici´on que recibe el nombre de pericentro; mientras que el nombre de apocentro corresponde al punto donde tenemos rmax . El t´ermino general con el que se denominan los puntos de inversi´on es ´apsides. Las o´rbitas quedan clasificadas seg´ un los valores de la excentricidad (y, por ende, de la energ´ıa E) en las distintas c´onicas: e ą 1E ą 0hip´ erbolae “ 1E “ 0par´ abola0 ă e ă 1Vmin ă E ă 0elipsee “ 0E “ Vmin ci´irculoe ă 0E ă Para el caso del movimiento planetario, las o´rbitas son elipses cuyos ejes mayor y menor (a y b, respectivamente) vienen dados por k α a “ 1´e 2 “ 2|E| α ?l b “ ?1´e 2 “

(6.30)

2µ|E|

As´ı pues, el eje mayor es funci´on u ´nicamente de la energ´ıa de la part´ıcula, mientras que el eje menor es funci´on de las dos primeras integrales de movimiento, E y l, energ´ıa y momento angular.

Figura 6.5: Par´ametros de la o´rbita En la figura podemos ver estos par´ametros, por ejemplo los focos de las c´onicas, en particular de la elipse. Las distancias apsidales a partir de los focos de la ´orbita est´an dadas por α rmin “ ap1 ´ eq “ 1`e (6.31) α rmin “ ap1 ` eq “ 1´e Para determinar el periodo del movimiento el´ıptico, tomamos nuevamente la expresi´on de la velocidad areolar (6.10),y como en un periodo completo τ se barre toda el a´rea A de la elipse, entonces 2µ τ“ A (6.32) l

Cinem´atica del punto material

91

pero el a´rea de una elipse de lados mayor y menor a y b, respectivamente, es A “ πab y tomando en cuenta (6.30), tenemos que el periodo (6.32) toma la forma c µ ´2 τ “ πk |E| 3 2

(6.33)

Observemos que, seg´ un las expresiones (6.30), el eje menor se puede escribir como b“ y, en consecuencia, dado que α “

l2 µk

? αa

el periodo se podr´a tambi´en expresar como

4π 2 µ 3 a k Este resultado expresa la tercera ley de Kepler : el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del eje mayor de la o´rbita el´ıptica. τ2 “

6.7.

´ DE DISPERSION ´ (SCATTERING) TEORIA

Estudiaremos ahora el sistema de dos cuerpos cuando la fuerza de interacci´on entre ellas es repulsiva, caso contrario de la gravitaci´on, la cual es atractiva. Como se sabe, podemos estudiar el movimiento relativo entre ellas, es decir una de las part´ıculas –el blanco– est´a colocada en el origen de un sistema y la otra –el proyectil– interact´ ua con ella. Como en el caso anterior, volvamos a tomar en cuenta que el proyectil tiene una masa igual a la reducida de las dos part´ıculas µ, la cual incide sobre el centro repulsivo de fuerza O, para lo cual la figura 6.8 define cantidades a considerar. El a´ngulo Θ –formado por las as´ıntotas a las direcciones de incidencia desde muy lejos y la de dispersi´on (scattering), mucho despu´es de la interacci´on– se denomina a´ngulo de dispersi´on (scattering). En esa misma figura tambi´en observamos la distancia entre el centro de fuerzas y la recta soporte de la velocidad incidente –que denominamos par´ametro de impacto– denotada por b. Adem´as, rmin denota la distancia m´ınima de la part´ıcula al centro de fuerza. Aqu´ı resulta conveniente elegir como eje polar al eje indicado en la figura 6.8, que coincide con la direcci´on de la posici´on de la menor distancia de la part´ıcula al centro de la fuerza y desde el cual se mide el a´ngulo θ. Entonces podemos escribir la ecuaci´on integral de la o´rbita, ecuaci´on (6.15), en la forma siguiente ż rpθq l b dr (6.34) θ “Ψ` ? l2 8 r2 2µ E ´ U prq ´ p2µr 2q donde hemos considerado que en las as´ıntotas, cuando r “ 8, entonces θ “ Ψ. Si se observa adem´as que cuando r “ rmin , entonces θ “ 0, se obtiene ż8 l b Ψ“ dr ? l2 rmin r 2 2µ E ´ U prq ´ p2µr2 q por lo cual el a´ngulo de dispersi´on estar´a dado por ż8 l b Θ “ π ´ 2Ψ “ π ´ 2 ? rmin r 2 2µ E ´ U prq ´

l2 p2µr2 q

dr

(6.35)

92

Mec´anica Cl´asica

´ Figura 6.6: Angulo de dispersi´on

Muy lejos del centro de fuerza podemos evaluar el momento angular y la energ´ıa, las cuales son constantes, de la siguiente forma 1 l “ µbv0 , E “ µv02 2 donde v0 Ñ velocidad ,o sea que l2 “ 2µb2 E, donde b es el par´ametro de impacto. Podemos entonces obtener ż8 1 b dr (6.36) Θ “ π ´ 2b 2 rmin r 2 1 ´ UEprq ´ rb2 Para un potencial de alcance limitado, digamos esf´ericamente sim´etrico y nulo para π r ě r0 , la integral definida en la expresi´on anterior debe tener el valor 2b si b ě r0 , pues en tal caso el ´angulo de dispersi´on debe ser nulo. En efecto, se tiene que ż8 π l b dr “ 2 2b b r2 1 ´ rb2 Una expresi´on para el a´ngulo de dispersi´on que toma en cuenta autom´aticamente este hecho es ż8 ż8 l 1 b b Θ“ dr ´ 2b dr 2 2 b r2 rmin r 2 1 ´ rb2 1 ´ UEprq ´ rb2

6.7.1. Dispersi´on de Rutherford El potencial central repulsivo entre part´ıculas con cargas correspondientes a n´ umeros at´omicos Z y Z’ es de la forma U prq “

ZZ 1 q 2 r

Cinem´atica del punto material

93

Para este caso, resulta preferible utilizar la forma integrada de la trayectoria del problema de Kepler, ecuaci´on (6.9), es decir, r“

l2 1 1 2 ZZ q e cos θ ´ 1

(6.37)

La distancia m´ınima al centro de fuerza se obtiene haciendo θ “ 0. Adem´as r “ 8 corresponde a θ “ Ψ. Luego 1 e y, de acuerdo con la relaci´on (6.35), si recordamos la relaci´on entre la excentricidad y energ´ıa (6.28), es posible obtener cos Ψ “

cot

2Eb Θ “ 2 ZZ 1 q 2

(6.38)

la cual muestra la relaci´on que existe entre el par´ametro de impacto y el ´angulo de dispersi´on.

6.7.2. Secci´on diferencial de dispersi´on Si –mucho despu´es de la interacci´on con el blanco y a una distancia grande de ´este– se considera un haz incidente de muchas part´ıculas –con intensidad I de part´ıculas por unidad de a´rea y de tiempo–, habr´a algunas part´ıculas que salgan con direcci´on de dispersi´on en un ´angulo s´olido correspondiente al rango entre Θ y Θ`dΘ, como se indica en la figura 6.9. La secci´on diferencial de dispersi´on σpΘq se define de manera que IσpΘqdΩ=n´ uero de part´ıculas en dΩ por unidad de tiempo. Si la relaci´on entre el par´ametro de impacto b y el ´angulo de dispersi´on Θ es uno a uno, podemos calcular la secci´on diferencial de dispersi´on determinando el n´ umero de part´ıculas que cruzan el ´area que hay entre b y b ` db. Caso contrario, si m´as de un par´ametro de impacto da lugar a un mismo a´ngulo de dispersi´on, habr´a que sumar las contribuciones de sectores anulares correspondientes a los diversos valores del par´ ř ametro de impacto. As´ı podemos obtener σpΘqdΩ “ 2πb|db| o bien σpΘqdΩ “ 2π i bi |dbi |. Aqu´ı el sub´ındice i distingue los diferentes valores de b que dan lugar a un mismo valor de Θ. Como dΩ “ 2π sin ΘdΘ, obtenemos en general que la secci´on diferencial de dispersi´on est´a dada por ÿ bi db | |i (6.39) σpΘq “ sin Θ dΘ i Ejemplo 6.3 Encontrar la secci´on diferencial para la dispersi´on de Rutherford. Soluci´ on De la relaci´on entre la energ´ıa y la excentricidad de la o´rbita, obtenemos que e2 “ 1 `

2El2 µK 2

donde 1 cos Ψ “ , e

K “ ZZ 1 q 2

(6.40)

94

Mec´anica Cl´asica

Sustituyendo estas u ´ltimas, y considerando que Θ “ π ´ 2Ψ, la ecuaci´on (6.40) toma la forma Θ 2El2 “ 2 µZZ 1 q 2 Finalmente, tomando en cuenta que l2 “ 2µEb2 , tenemos que cot2

Θ 4E 2 b2 “ 2 ZZ 1 q 2 Sustituimos esta u ´ltima ecuaci´on en la expresi´on para la secci´on diferencial (6.39) y tenemos que ˆ ˙ 1 ZZ 1 q 2 Θ σpΘq “ csc4 4 2E 2 cot2

Figura 6.7: Dispiersi´on vista desde el centro de masas

6.7.3. Coordenadas y a´ngulo de dispersi´on en el laboratorio El an´alisis anterior corresponde al movimiento relativo del proyectil respecto al blanco. En el laboratorio, ambos cuerpos se mover´an y el proceso de dispersi´on observado ser´a esquem´aticamente como se indica en la figura 6.11, donde v1 es la velocidad del proyectil mucho despu´es de la dispersi´on respecto al laboratorio y su direcci´on corresponde a la del a´ngulo de dispersi´on respecto al laboratorio –ΘL –, v1i es la velocidad del proyectil mucho despu´es de la dispersi´on respecto del centro de masas y su direcci´on final es la misma de la velocidad relativa entre las part´ıculas –es decir Θ–, VCM es la velocidad del centro de masas, v0 es la velocidad inicial del proyectil respecto del laboratorio y, finalmente, denotaremos la velocidad relativa del proyectil respecto al blanco –v1 ´ v2 – por v. La relaci´on de transformaci´on de velocidades v1 “ v11 ` VCM

(6.41)

Cinem´atica del punto material

95

representada en la figura 6.11, nos permite escribir las siguientes relaciones v1 sin Θ “ v11 sin Θ VCM ` v11 cos Θ “ v1 cos Θ

Figura 6.8: Adici´on de velocidades

Como la velocidad del centro de masas es VCM “

m1 m 1 v0 “ v0 m1 ` m2 M

si se define ρ“

µv0 m2 v1

nosotros podemos escribir tan θ “

sin Θ ρ ` cos Θ

que es la expresi´on para el a´ngulo de dispersi´on en el laboratorio en t´erminos del a´ngulo de dispersi´on encontrado en las secciones previas. PROBLEMAS 1. Sea una part´ıcula que se mueve en un campo de fuerzas centrales definido por el ´ar potencial V “ ´k e r donde k y a son constantes positivas. Utilizar el m´etodo del potencial unidimensional para estudiar la naturaleza del movimiento de dicha part´ıcula. 2. Para el caso del oscilador arm´onico, clasificar las ´orbitas posibles en t´erminos de E ˆ y Pθ , as´ı como encontrar la soluci´on rptq y θptq. A¿Es cerrada la o´rbita?

96

Mec´anica Cl´asica ˆ 3. A¿Qu´ e pasa si el oscilador arm´onico no experimenta una fuerza central (kx y ky no son iguales)? Encontrar la soluci´on a las ecuaciones de movimiento y probar si las o´rbitas son cerradas o no. 4. Considerar la ´orbita r “ kθ2 . Encontrar la fuerza central que produce esta ´orbita. 5. Calcular la p´erdida de energ´ıa que sufre el proyectil al ser dispersado como funci´on del ´angulo de dispersi´on.

Cap´ıtulo 7 ˜ OSILACIONES PEQUENAS 7.1.

´ POTENCIAL Y CINETICA ´ ENERGIA

Ahora estudiaremos el caso de un sistema mec´anico cuya energ´ıa potencial U pq1 , q2 , ..., qn q con n grados de libertad tiene un m´ınimo cuando las coordenadas toman los siguientes valores qk “ qk0 pk “ 1, ..., nq en este caso, el sistema en las inmediaciones de este m´ınimo posee un car´acter cuasi peri´odico, es decir, puede ser descrito por superposiciones de n movimientos sinusoidales con diferentes frecuencias. Entonces analicemos el comportamiento de peque˜ nos desplazamientos de las coordenadas desde su posici´on de equilibrio. Para ello, tendremos ηk “ qk ´ qk0 Descomponiendo el potencial U pq1 , q2 , ..., qn q en serie de potencias de ηk obtenemos ˙ ˙ n ˆ n ˆ ÿ BU 1 ÿ B2U U pq1 , q2 , ..., qk q “ U p0, 0, ..., 0q ` ηi ` ηi ηk ` ... (7.1) Bqi 0 2 i,k“1 Bqi Bqk 0 i“1 en donde, mediante el s´ımbolo 0 se denotan la evaluaci´on del potencial y de sus derivadas en la posici´on de equilibrio, es decir, cuando ηi “ 0 pi “ 1, 2, ..., nq. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx La primera suma de la ecuaci´on (7.1) es igual a 0 por la misma definici´on de m´ınimo. Si las desviaciones η se consideran peque˜ nas, entonces podemos prescindir de los t´erminos de potencias mayores que 2, porque son cantidades menores en comparaci´on con el segundo t´ermino. Entonces tenemos que n 1 ÿ cik ηi ηk U “ U0 ` 2 i,k“1

´ donde cik “

B2 U Bqi Bqk

(7.2)

¯ 0

y U0 “ U p0, 0, ..., 0q.

ř Consideramos aqu´ı que la forma cuadr´atica 12 ni,k“1 cik ηi ηk es positiva definida, ya 2U que BqBi Bq | ą 0 para un m´ınimo. Por otro lado (ver la ecuaci´on (4.38)), la energ´ıa cin´etica k para el sistema se puede escribir como n

T “

n

1ÿ 1ÿ ajk q9j q9k “ ajk η9 i η9 k 2 j,k 2 j,k 97

(7.3)

98

Mec´anica Cl´asica

donde ajk son coeficientes que dependen de todos los qk y ηk . Si usamos ahora la descomposici´on de los coeficientes en torno a qk0 ,

aik pq1 , q2 , ..., qn q “ aik p0, 0, ..., 0q `

˙ n ˆ ÿ Baik j“1

Bqj

˙ n ˆ 2 1 ÿ B aik ηj ` ηl ηm ` ... 2 l,m“1 Bql qm 0

y tambi´en las ecuaciones de Lagrange ˆ ˙ d BL BL ´ “ 0 pr “ 1, 2, ..., nq dt B η9 r Bηr donde L “ T ´ U , obtendremos las ecuaciones de movimiento siguientes n ÿ

pbik η:k ` cik ηk q ` ... “ 0 pi “ 1, 2, ..., nq

(7.4)

k“1

donde bjk “ ajk p0, 0, ..., 0q. Si sobre las part´ıculas act´ uan tambi´en fuerzas disipativas proporcionales a sus velocidades en primer orden, descritos por la funci´on disipativa s

s

1ÿ 1ÿ Dpq1 , ..., qn q “ δjk q9j q9k “ δjk η9 j η9 k 2 j,k 2 j,k

(7.5)

los coeficientes δjk son sim´etricos –δjk “ δkj – y no dependen de las velocidades, entonces, las ecuaciones de movimiento en este caso tendr´an la forma n ÿ

pbik η:k ` δjk η9 k ` cik ηk q “ 0 pi “ 1, 2, ..., nq

(7.6)

k“1

7.2.

´ DEL SISTEMA DE ECUACIONES SOLUCION

Cuando se habla de peque˜ nas oscilaciones, com´ unmente se tienen en cuenta movimientos que son descritos por un sistema de ecuaciones diferenciales obtenidos como resultado de la linearizaci´on de las ecuaciones nolineales de movimiento. En el caso de estudio de movimiento en las inmediaciones de un m´ınimo, es decir de una posici´on de equilibrio de un sistema conservativo, la linearizaci´on conlleva a la obtenci´on de las energ´ıas potencial y cin´etica como formas cuadr´aticas, seg´ un la ecuaci´on (7.2). Seguidamente, ahora buscamos la soluci´on del sistema sin fuerzas disipativas suponiendo que ηk “ ak eiwt (7.7) donde ak representa amplitudes complejas y la parte real de ηk es la que s´olo tiene sentido f´ısico. Reemplazando (7.7) en la ecuaci´on (7.4), se obtiene n ÿ `

˘ cjk ´ w2 bjk ak “ 0 pj “ 1, 2, ..., nq

(7.8)

k“1

Esta expresi´on representa un sistema de n ecuaciones algebraicas homog´eneas. Como es sabido, las soluciones no triviales se pueden obtener solamente si el determinante

Cinem´atica del punto material

99

satisface la ecuaci´on »

c11 ´ w2 b11 c12 ´ w2 b12 — c21 ´ w2 b21 c22 ´ w2 b22 — – ¨¨¨ ¨¨¨ 2 cn1 ´ w bn1 cn2 ´ w2 bn2

fi ¨ ¨ ¨ c1n ´ w2 b1n ¨ ¨ ¨ c2n ´ w2 b2n ffi ffi “ 0 fl ¨¨¨ ¨¨¨ 2 ¨ ¨ ¨ cnn ´ w bnn

(7.9)

Este determinante define la ecuaci´on caracter´ıstica, que es una ecuaci´on algebraica de n-´esimo orden en relaci´on con w2 . Las ra´ıces de esta ecuaci´on definen los valores posibles de w, es decir, de las frecuencias. Una vez que se obtiene –por ejemplo– alg´ un valor de w, ´este se reemplaza en (7.8), para despu´es obtener ak . Los valores de w posibles se denominan frecuencias propias del sistema. Se puede demostrar que todas las ra´ıces de la ecuaci´on (7.9) son reales. Si se obtienen todas las frecuencias w, en (7.9) se reemplaza w “ wα entonces los valores de ak se expresan as´ı ak “ aα ∆kα donde ∆kα son los compensadores algebraicos del determinante para un valor dado de ak . Por lo tanto, la soluci´on particular se podr´a representar como ηkα “ ∆kα cα e1wα t La soluci´on general es la suma de las soluciones particulares, as´ı que tendremos ÿ ∆kα cα eiwα t (7.10) ηk “ α

De aqu´ı obtenemos la parte real que nos interesa para aplicaciones f´ısicas ÿ ∆kα Pα ηk “ α iwα t

donde Pα “ Retcα e u ě Bα cospwα t ` ϕα q. Est´a claro que todas las cantidades Pα se pueden considerar como magnitudes que satisfacen la ecuaci´on del oscilador arm´onico P:α ` wα Pα

(7.11)

Las magnitudes Pα se pueden interpretar como nuevas coordenadas generalizadas. Estas coordenadas se denominan coordenadas normales o principales. Las oscilaciones de una coordenada Pα no dependen de las oscilaciones de otras coordenadas; entonces, el nuevo lagrangiano del sistema se puede representar como ¯ 1 ÿ´ 92 Pα ˘ wα2 Pα L“ 2 α De este lagrangiano se obtienen las ecuaciones de movimiento (7.11). Caso: Oscilaciones peque˜ nas para un sistema con un grado de libertad. En el caso de un sistema mec´anico con un solo grado de libertad, el sistema de ecuaciones (7.6) se transforma en la siguiente ecuaci´on b11 η: ` δ11 η9 ` c11 η “ 0 (7.12) Con exactitud de hasta magnitud de segundo orden de peque˜ nez, la energ´ıa cin´etica, potencial y funci´on disipativa tienen la siguiente forma

100

Mec´anica Cl´asica

1 1 1 T “ b11 pq0 qη9 2 , U “ c11 η 2 , D “ δ11 pq0 qη9 2 2 2 2 1 C11 “ c11 η 2 2 Ahora, obtenemos la soluci´on de la ecuaci´on (7.12) mediante el m´etodo de Euler, es decir, consideramos η “ Ceλt (7.13) Nota: sin perder singularidad se puede hacer C “ 1 Reemplazando (7.13) en (7.12) y simplificando el t´ermino obtenemos b11 λ2 ` δ11 λ ` c11 “ 0 la cual se denomina ecuaci´on caracter´ıstica. Si introducimos las notaciones 2µ “ 2 11 w0 “ cb11 donde C11 “ 21 c11 η 2 la ecuaci´on anterior se transforma en λ2 ` 2µλ ` w02 “ 0

δ11 , b11

(7.14)

de donde los valores caracter´ısticos ser´an los siguientes eigenvalores a ´2µ ˘ 2µ2 ´ 4wo2 λ“ 2 a λ “ ´µ ˘ µ2 ´ wo2 λ1,2 “ ´µ ˘ iw donde b w “ ˘ w02 ´ µ2 Por lo tanto, tendremos dos eigenvalores que corresponden a dos soluciones independientes: η p1q “ C1 eλ1 t , η p2q “ C2 eλ2 t donde los coeficientes pueden ser complejos. Escribimos la soluci´on para el caso w0 ą µ η “ e´µt Re C1 eiwt ` C1 e´iwt

(

Despu´es de tomar la parte real, tendremos η “ e´µt pG11 cos wt ` G12 sin wtq

(7.15)

donde los coeficientes G11 , G12 , son cualesquiera constantes reales arbitrarias definidas por condiciones iniciales. Es f´acil representar la soluci´on (7.15) en la siguiente forma η “ ae´µt cospwt ` αq

(7.16)

donde los coeficientes C1 ,C2 , est´an definidos por medio de las constantes a, α, as´ı b C2 a “ C12 ` C22 , tan α “ ´ C1

Cinem´atica del punto material

101

Las soluciones (7.15) y (7.16) describen oscilaciones en decaimiento. La parte imaginaria de la magnitud λ se denomina frecuencia propia de oscilaci´on, mientras que la parte real de esta magnitud se llama coeficiente de decaimiento µ. En caso de que µ ą w0 , la soluci´on general endr´a la siguiente forma η “ C1 e´λ1 t ` C2 e´λ2 t

(7.17)

a en donde λ “ ´µ˘ µ2 ˘ wo2 donde los coeficientes son reales. En este caso tendremos movimiento aperi´odico. De las soluciones (7.16) y (7.17) concluimos que, en teor´ıa lineal, el coeficiente de atenuaci´on y las frecuencias propias no dependen de las condiciones iniciales. Adem´as no existen “sobre tonos”, es decir oscilaciones m´ ultiplos de la frecuencia principal y tiene lugar el principio de superposici´on. Ejemplo 7.1 Un caso concreto es la oscilaci´on para un sistema que posee un solo grado de libertad. Sea que el lagrangiano del sistema tenga la siguiente forma mx9 2 kx2 ´ 2 2 analizar las oscilaciones peque˜ nas de este sistema. Soluci´ on k “ w2 Entonces obtenemos la ecuaci´on de movimiento Como de costumbre, tenemos: m L“

: ` w2 x x

(7.18)

La soluci´on de la ecuaci´on anterior se representa como ( x “ Re aeiwt “ A cospwt ` αq donde a “ Aeiα es una constante compleja llamada tambi´en amplitud. Esta soluci´on describe las oscilaciones peque˜ nas de un sistema conservativo unidimensional en las inmediaciones del m´ınimo del potencial.

7.3.

´ DE UN SISTEMA BAJO FUERZA EXOSCILACION TERNA

Ahora analizaremos el mismo sistema mec´anico, pero bajo la acci´on de una fuerza externa. Veamos el caso de fuerza que depende s´olo del tiempo Gptq “ mB cospΩt ` ϕq Entonces el lagrangiano del sistema tendr´a la siguiente forma L“

mx9 2 kx2 ´ ` xGptq 2 2

L“

mx9 2 kx2 ´ ` xF ptq 2 2 m: x ` kx “ F ptq

de donde obtenemos la siguiente ecuaci´on de movimiento

102

Mec´anica Cl´asica

: ` w2 x “ x

Gptq Gptq ; F ptq “ m m

(7.19)

x ` kx “ senpΩt ` Gq m: Esta relaci´on es una ecuaci´on del oscilador arm´onico sometido a una fuerza exterior. La soluci´on de la ecuaci´on anterior se representa as´ı B cospΩt ` ϕq (7.20) w 2 ´ Ω2 Cuando Ω “ w tenemos el caso de resonancia, entonces la soluci´on de la ecuaci´on (7.19) toma la siguiente forma x “ A cospwt ` αq `

x “ C cospwt ` βq `

B t sinpwt ` ϕq 2w

(7.21)

Esta soluci´on se obtiene haciendo un artificio que es usado frecuentemente en casos de resonancias para eliminar t´erminos que conllevan comportamientos singulares del sistema en estudio, que en teor´ıa de campos se llama m´etodo de renormalizaci´on. Para nuestro caso, este m´etodo consiste en usar la expresi´on siguiente B cospwt ` ϕq “ C cospwt ` βq ´ Ω2 Esto es f´acil de demostrar. Podemos escribir la soluci´on (7.20) como A cospwt ` αq `

w2

B rcospΩt ` ϕq ´ cospwt ` ϕqs w 2 ´ Ω2 que simplificando nos da la relaci´on x “ C cospwt ` αq `

w´Ω w`Ω 2B sinp tq sinp t ` ϕq 2 ´Ω 2 2 Ahora podemos obtener la soluci´on cuando Ω Ñ w. Para ello, escribimos Ω “ w `∆w, de tal manera que ∆w ăă w. Por lo tanto, la soluci´on se transforma en ˙ „ˆ ˙  ˆ B ∆w ∆w ˘ x “ C cospwt ` βq ` ` sin t sin w ` t`ϕ 2 2 w ` ∆w ∆w 2 x “ C cospwt ` βq `

w2

Entonces, en el l´ımite cuando ∆ Ñ 0, obtenemos la soluci´on en caso de resonancias (7.21). La f´ormula se puede generalizar para cualquier funci´on externa f ptq “ Gptq . La soluci´on m para la ecuaci´on (7.19) tendr´a esta forma ż 1 t xptq “ f pξq sinrwpt ´ ξqsdξ ` x0 ptq w 0 como es sabido, el t´ermino x0 satisface la ecuaci´on homog´enea (7.18). Ejemplo 7.2 Una cuerda el´astica de masa despreciable de longitud l “ 2a est´a colocada como se muestra en la figura 7.1. Definir la frecuencia de oscilaci´on vertical de la masa m, si en posici´on de equilibrio la cuerda forma un tri´angulo equil´atero. Soluci´ on

Cinem´atica del punto material

103

Figura 7.1: Cuerda el´astica de masa despreciable

Como coordenada generalizada tomamos el a´ngulo entre la vertical y parte de la cuerda entre la masa y uno de los soportes. Las energ´ıas potencial y cin´etica ser´an ma2 θ92 8 sin4 θ ¯2 a k´ a U “ ´mg cot θ ` ´a 2 2 sin θ El punto de equilibrio se define de la condici´on ˆ ˙ mga 1 cos θ dU 2 “ ´ ka ´1 “0 2 dθ sin θ 2 sin θ sin2 θ T “

? . Despu´ cuando 2θ “ 60o . Por consiguiente, k “ amg es tenemos 3 ˆ 2 ˙ 14 B U “ ? mga 2 Bθ equilibrio 3

por lo que tendremos para la frecuencia 7 g w2 “ ? 2 3a Ejemplo 7.3 Una part´ıcula se mueve sobre una recta horizontal lisa y est´a atada a un resorte. El otro extremo del resorte est´a fijo y se encuentra a una distancia h de la recta. Encontrar la frecuencia de las oscilaciones lineales de la part´ıcula en las inmediaciones de la posici´on de equilibrio. Soluci´ on Para esto escogemos en calidad de coordenada generalizada el ´angulo ϕ entre la vertical 9 “ y el resorte. Entonces, el Lagrangiano de la part´ıcula ser´a L “ T ´ U , con T pϕ, ϕq 1 mh2 2 apϕqϕ9 , donde apϕq “ cos4 ϕ y 2

104

Mec´anica Cl´asica

k U pϕq “ 2

ˆ

h ´ l0 cos ϕ

˙2

donde k es la constante del resorte y l0 es la longitud del resorte sin deformaci´on. Como se sabe la posici´on de equilibrio, de la condici´on de nulidad para la fuerza generalizada se determina por ˆ ˙ h h sin ϕ BU “ ´k ´ l0 “0 ´ Bϕ cos ϕ cos2 ϕ de esta manera, vemos que la part´ıcula tendr´a tres posiciones de equilibrio. ϕ1 “ 0, h ą l0 ; cos ϕ2,3 “

h , h ă l0 l0

Ahora calculemos la segunda derivada ˙2 ˆ ˙ˆ ˙ ˆ h 1 2 sin2 ϕ B2U h sin ϕ ` kh ´ l0 ` “k Bϕ2 cos2 ϕ cos2 ϕ cos ϕ cos3 ϕ

(7.22)

Entonces para ϕ “ ϕ1 la ecuaci´on (7.22) es igual a khph ´ l0 q, y cuando ϕ “ ϕ2 la l2 ecuaci´on (7.22) es igual a kpl02 ´ h2 q h02 . La frecuencia de las oscilaciones lineales se define de la ecuaci´on w2 “

U 2 pϕeq q , U 2 pϕeq q ą 0 apϕeq q

Por lo tanto, tendremos frecuencias en las tres posiciones de equilibrio. c ˆ ˙1 l0 2 k 1´ w1 “ m h c ˆ ˙1 h2 2 k 1´ 2 w2,3 “ m l0 Ejemplo 7.4 La energ´ıa potencial de un oscilador bidimensional es m Umn xm xn , Umn “ Unm 2 Encontrar las autofrecuencias (eigenfrecuencias) y autovectores (eigenvectores) y escribir el lagrangiano en coordenadas normales. Soluci´ on Primero escribimos la ecuaci´on de movimiento U pxq “

x :m ` Umn xm “ 0

(7.23)

Buscamos la soluci´on para la inc´ognita en forma de xm “ um e´iλt , por lo que tendremos, una vez reemplazado en la ecuaci´on de movimiento, ´λ2 um ` Umn um “ 0

(7.24)

De la condici´on det | ´ λ2 δmn ` Umn | “ 0 para obtener soluciones no triviales, tenemos los autovalores o valores caracter´ısticos

Cinem´atica del punto material

ˆ

1 “ 2

λ21,2

105

˙

b U11 ` U22 ˘

2

pU11 ´ U22 q `

2 4U12

Los autovectores ser´an ump1q

1 “? N1

ˆ

λ21 ´ U22 U12

˙ , ump2q

1 “? N2

ˆ

U12 2 λ2 ´ U11

˙ (7.25)

Dado que λ21,2

1 “ 2

ˆb ˙ b 1 1 2 2 T rU ` 2 pdet U q ˘ T rU ´ 2 pdet U q

donde T rU es la traza de U , entonces el movimiento es finito bajo la condici´on 0 ă 4 det U ă pT rU q2

(7.26)

La desigualdad (7.26) tiene lugar en cualquier clase de base, debido a que la traza y el determinante son invariantes. Los autovectores son columnas de la matriz ∆mη “ umpηq de transformaci´on al sistema de coordenadas en el cual los vectores base coinciden con los autovectores. La soluci´on general es entonces la superposici´on de soluciones particulares xm “

ÿ

∆mη aη cos pλη t ` αη q

η

De la ecuaci´on (7.24) tenemos que si λ1 ‰ λ2 entonces los autovectores satisfacen ∆mη ∆mv “ δηµ , Umn ∆mη ∆mv “ λ2µ δηµ

(7.27)

ya que el T rU “ λ21 ` λ22 . Entonces de la ecuaci´on (7.27) obtenemos los coeficientes N1 “ N2 “ U11 λ21 ´ 1λ21 λ22 ` U22 λ22 Para comodidad de c´alculos es mejor parametrizar los vectores (7.25) introduciendo 12 un ´angulo θ a trav´es de la relaci´on tan θ “ pU112U´U . Entonces obtenemos 22 q ˆ ˙ ˆ ˙ ´ sin γ2 cos γ2 , ump2q “ ump1q “ sin γ2 cos γ2 Ahora si U11 “ U22 entonces γ “ π2 . En este caso tenemos ˆ ˙ ˆ ˙ 1 1 1 ´1 ump1q “ ? , ump2q “ ? 2 1 2 1 Los autovalores ser´an λ21,2 “ U11 ˘ |U12 |. Obviamente se considera degenerado el sistema siempre y cuando U12 “ 0. Al pasar a la representaci´on en coordenadas normales qv , realizamos el cambio de variables x Ñ q : xm “ ∆mv qv y –considerando la ecuaci´on (7.27)– obtenemos el lagrangiano en coordenadas normales ˘ 1 ` L “ m qη2 ´ λ2η qv2 2 PROBLEMAS

106

Mec´anica Cl´asica

1. Una part´ıcula se mueve por la l´ınea de intersecci´on de un plano y un cilindro vertical. Encontrar la frecuencia de oscilaci´on lineal en las inmediaciones de la posici´on de equilibrio estable. 2. Dos puntos en la superficie terrestre est´an unidos por un t´ unel liso que atraviesa la Tierra, pero no por su di´ametro. Encontrar el lagrangiano de una part´ıcula que se mueve dentro del t´ unel y encontrar la soluci´on de la ecuaci´on de movimiento. 3. Se ata una cuerda de longitud l a un punto fijo en el techo. El otro extremo de la cuerda sostiene una part´ıcula de masa m. Desde este punto se ata tambi´en otra cuerda de la misma longitud en cuyo extremo final sostiene otra part´ıcula de igual masa. Encontrar las frecuencias de oscilaci´on propias del sistema para sus oscilaciones planas en un campo homog´eneo gravitatorio. 4. Una part´ıcula de masa m se encuentra sobre una curva y “ a sin kx colocada de tal manera que el eje X es horizontal y el plano OXY forma con la vertical un a´ngulo α. Definir la frecuencia de oscilaciones de la part´ıcula. 5. Definir la energ´ıa que se le traslada a un oscilador lineal bajo la acci´on de una fuerza t 2 F ptq “ F0 e´p l q . En el momento t “ ´8 el oscilador se encontraba en posici´on de equilibrio estable.

Cap´ıtulo 8 ´ DE HAMILTON FORMULACION Como ya lo mencionamos, las ecuaciones de Lagrange constituyen un sistema de s ecuaciones diferenciales de segundo orden con respecto a s coordenadas generalizadas q como funciones del tiempo. Estas ecuaciones pueden ser representadas tambi´en como un sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden para 2s variables inc´ognitas como funciones del tiempo: s coordenadas q generalizadas y s impulsos p generalizados. Esto constituye la formulaci´on de Hamilton de la mec´anica cl´asica. Una de las utilidades de la formulaci´on hamiltoniana consiste en proporcionar un m´etodo sim´etrico para extensiones te´oricas en muchos campos de la F´ısica. Dentro de la mec´anica cl´asica es base de la teor´ıa de Hamilton-Jacobi y los m´etodos de perturbaciones; mientras que constituye gran parte del lenguaje usado en la mec´anica estad´ıstica y la mec´anica cu´antica. De aqu´ı en adelante consideraremos los sistemas mec´anicos de manera que sus fuerzas se deriven de un potencial que s´olo depende de las posiciones. Anteriormente, hemos visto que el momento can´onico conjugado se define como BL “ pk B q9k

(8.1)

En adelante llamaremos variables can´onicas del sistema a las cantidades pq, pq. Si lo observamos como un problema estrictamente matem´atico, lo que haremos para pasar de la formulaci´on de Lagrange a la de Hamilton es un cambio de variables, es decir pasaremos de las variables pq k , q9k , tq a nuevas variables pq k , pk , tq donde pk se relaciona con q k y q9k , como en (8.1). El m´etodo para esta forma de conmutar las variables es proporcionado por la transformaci´on de Legendre, planeada para este tipo de cambio de variables. Consideremos una funci´on f px1 , ..., xn q de clase al menos C 2 , tal que su diferencial sea Bf k dx (8.2) Bxk donde k “ 1, 2, ..., n y se tome en cuenta la convenci´on de suma. Definimos pk como df “

pk “

Bf k “ 1, 2, ..., n. Bxk

(8.3)

Ahora deseamos cambiar las primeras r variables px1 , x2 , ..., nr q por las variables pp1 , p2 , ..., pr q de manera que las diferenciales se expresen en funci´on de las primeras r diferenciales dpk . Sea g una funci´on de las variables pk tal que g“

r ÿ

xk p k ´ f

k“1

107

(8.4)

108

Mec´anica Cl´asica

entonces su diferencial ser´a dg “

r ÿ

xk dpk `

k“1

r ÿ

pk dxk ´ df

k“1

y de (8.2) tenemos que dg “

r ÿ

r ÿ

xk dpk ´

k“1

pk dxk

k“r`1

que es exactamente la que busc´abamos. Podemos ver que Bg k “ 1, 2, ..., n Bpk Bg p ´ k “ k k “ 1, 2, ..., n Bx que son de hecho las inversas de (8.3). xk “

8.1.

ECUACIONES DE HAMILTON

Regresemos a la mec´anica cl´asica, es decir, aplicaremos la transformaci´on de Legendre a la lagrangiana para cambiar de las coordenadas pq k , q9k , tq a pq k , pk , tq. Para ello, en analog´ıa con (8.4), tomaremos nuestra funci´on como ` ˘ ` ˘ H q k , pk , t “ q9k pk ´ L q k , q9k , t (8.5) donde se ha aplicado la convenci´on de suma de Einstein. Esta funci´on se llama hamiltoniana. La diferencial de la hamiltoniana ser´a dH “

BH BH k BH dq ` dp ` dt k Bq k Bpk Bt

(8.6)

pero seg´ un (8.5) tenemos que BH BL “ ´ Bq k Bq k y BH B q9k BL B q9k “ q9k ` pk ´ k Bpk Bpk B q9 Bpk entonces dH “ ´

BL k BL BL dq ` q9k dpk ` pk dq9k ´ k dq9k ´ dt k Bq B q9 Bt

Por la ecuaci´on (8.1) tenemos que las ecuaciones de Euler-Lagrange son p9k “

BL Bq k

(8.7)

entonces, introduciendo tanto (8.1) como (8.7) en la u ´ltima diferencial de H, tenemos que los t´erminos tercero y cuarto se anulan, y s´olo nos queda

Cinem´atica del punto material

109

BL dt Bt Si comparamos esta ecuaci´on con la ecuaci´on (8.6) obtenemos dH “ ´p9k dq k ` q9k dpk ´

q9k “

BH Bpk

p9k “ ´ ´

BH Bq k

(8.8)

BH BL “ Bt Bt

´ Estas son las llamadas ecuaciones can´onicas de Hamilton, que constituyen un sistema de 2n ` 1 ecuaciones diferenciales de primer orden que sustituyen a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Notemos que estas ecuaciones tienen un aspecto sim´etrico. Si tenemos una fuerza conservativa y si las restricciones holon´omicas son independientes del tiempo, la Hamiltoniana H del sistema es igual a la energ´ıa total del sistema, y permanece constante durante el movimiento. Esto sugiere un atajo para la construcci´on de la hamiltoniana: simplemente expresamos la energ´ıa total en t´erminos de las coordenadas generalizadas y los momentos. Para sistemas conservativos, si las restricciones holon´omicas son dependientes del tiempo, la hamiltoniana H es a´ un una constante de movimiento, pero ya no es igual a la energ´ıa total del sistema, esto es H = constante, pero H ‰ E. Cuando la hamiltoniana H depende expl´ıcitamente del tiempo, ´esta no es una cantidad conservada (H ‰ constante), pero a´ un es la energ´ıa total del sistema pH “ Eq, dado que la energ´ıa potencial no depende de las velocidades y las restricciones holon´omicas son independientes del tiempo. En cualquier otro caso, H ‰ E y H ‰ constante. Hasta el momento hemos supuesto que el sistema din´amico es un sistema conservativo holon´omico. Supongamos que tenemos un sistema holon´omico, pero parte de las fuerzas que act´ uan sobre el sistema no son fuerzas conservativas. En tal caso, como ya lo hemos visto, las ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma ˆ ˙ BL d BL ´ i “ Qi i dt B q9 Bq o equivalentemente p9 ´ i “

BL ` Qi Bq i

donde L contiene las fuerzas conservativas y Qi representa las fuerzas que no provienen de un potencial. En este caso, las ecuaciones de Hamilton son q9k “ p9k “ ´ ´

BH Bpk

BH ` Qk Bq k

BL BH “ Bt Bt

110

Mec´anica Cl´asica

Una de las principales ventajas de las ecuaciones de Hamilton con respecto a las de Lagrange consiste en que el conjunto de 6N variables q k y pk completamente determinan el estado del sistema mec´anico, al mismo tiempo que el conjunto de 3N coordenadas q k no es suficiente para esto, ya que es necesario a˜ nadir un conjunto de 3N velocidades q9k . Por otro lado, cuando se tiene el esquema lagrangiano del movimiento de un sistema, en un espacio configuracional de 3N coordenadas, a trav´es del punto inicial pq01 , q02 , ..., q03N q de este espacio, atraviesa un conjunto de trayectorias con diferentes valores de velocidad pq901 , q902 , ..., q903N q. La representaci´on hamiltoniana –en cambio– es una trayectoria en el espacio fase de 6N variables pq k , pk q; con la caracter´ıstica de que a trav´es de cualquier punto de este espacio pasa solamente una trayectoria de fase. Este espacio fase es particularmente u ´til tanto en la mec´anica estad´ıstica como en el estudio de las oscilaciones no lineales. Las ecuaciones de movimiento de Hamilton son muy importantes en la F´ısica. Tanto la mec´anica cu´antica como la f´ısica estad´ıstica est´an basadas en la formulaci´on hamiltoniana m´as que en la formulaci´on lagrangiana, aunque la ruta de Richard Feynman de la f´ısica cl´asica a la mec´anica cu´antica y teor´ıa de campos usa la aproximaci´on lagrangiana. El formalismo hamiltoniano es tambi´en especialmente importante para el desarrollo de la teor´ıa de perturbaciones para sistemas en los cuales no podemos obtener una soluci´on exacta de las ecuaciones de movimiento.

8.2.

´ SIMPLECTICA ´ NOTACION

9 La ecuaci´on para p9 tiene un signo negativo que no figura en la ecuaci´on para q, en el sistema de ecuaciones de Hamilton. Ha sido necesario derrochar ingenio a fin de idear esquemas de nomenclatura que den lugar a ecuaciones totalmente sim´etricas, o que combinen los dos sistemas en uno. Para un sistema de n grados de libertad, construyamos una matriz columna η con 2n elementos tales que ηi “ qi , ηi`n “ pi ; i ď n (8.9) An´alogamente, la matriz columna ˆ

BH Bη

˙ i

BH Bη

BH “ , Bqi

tiene los elementos

ˆ

BH Bη

˙ “ i`n

BH , iďn Bpi

(8.10)

Por u ´ltimo, sea J la matriz cuadrada 2n ˆ 2n compuesta por las matrices n ˆ n de ceros y unidad seg´ un el esquema ˆ ˙ 0 1 J“ (8.11) ´1 0 en donde 0 es la matriz n ˆ n cuyos elementos son todos ceros y 1 es la matriz unidad n ˆ n. Las ecuaciones de movimiento de Hamilton pueden entonces escribirse en forma compacta de la siguiente manera BH η9 “ J (8.12) Bη Este m´etodo de presentaci´on de las ecuaciones de movimiento can´onicas recibe el nombre de ecuaciones de Hamilton en notaci´on matricial o simpl´ectica. Ejemplo 8.1

Cinem´atica del punto material

111

Veamos el movimiento rectil´ıneo de un punto bajo la acci´on de una fuerza F “ c|x| donde x es la distancia desde el punto hasta el origen de la fuerza. Soluci´ on Tomamos como coordenada generalizada q “ x. Las energ´ıas cin´etica y potencial ser´an 1 1 T “ mq92 , U “ cq 2 2 2 Entonces el Lagrangiano ser´a L“T ´U “

˘ 1` 2 mq9 ´ cq 2 2

9 por lo tanto P “ BL “ mq. B q9 Escribimos ahora la funci´on de Hamilton H “ pq9 ´ L “ donde k 2 “

c . m

1 p2 1 2 2 ` k mq 2m 2

Entonces las ecuaciones de Hamilton ser´an p BH “ Bp m p9 “

BH “ ´k 2 mq Bq

q9 “

8.3.

BH p “ Bp m

INTEGRALES DE LAS ECUACIOES DE HAMILTON

En la secci´on anterior mostramos que si la hamiltoniana H no depende expl´ıcitamente del tiempo, entonces es una constante de movimiento, lo cual denotamos por h, que es llamada integral jacobiana de movimiento: H “ pk q9k ´ L “ h Adem´as, si la energ´ıa potencial depende solamente de las coordenadas, y las restricciones holon´omicas son independientes del tiempo, la hamiltoniana H es tambi´en la energ´ıa total del sistema. Por otro lado, una coordenada c´ıclica se define como aquella que no aparece expl´ıcitamente en la lagrangiana L. Es obvio que una coordenada que es c´ıclica tambi´en estar´a ausente de la hamiltoniana H, dado que ˘ BH B ` k BL 9 “ p q ´ L “´ k “0 k k k Bq Bq Bq Combinando este resultado con las ecuaciones de Hamilton, tenemos que p9k “ o

BH “0 Bq k

112

Mec´anica Cl´asica

p k “ bk donde las bk son constantes. As´ı, si la coordenada generalizada es c´ıclica, el momento can´onico conjugado se conserva.

8.4.

´ TRANSFORMACIONES CANONICAS

Ya se ha visto anteriormente que existe una ventaja al usar coordenadas c´ıclicas. Sin embargo, en general es imposible obtener m´as de un n´ umero limitado de tales coordenadas por medio de una transformaci´on. Por otro lado, empleamos una clase m´as general de transformaciones, que involucran tanto coordenadas como momentos generalizados. Si las ecuaciones de movimiento son m´as simples en un nuevo conjunto de variables Qi y Pi que en el conjunto de coordenadas original q k y pk , entonces tendremos una ventaja clara. No consideraremos todas las transformaciones posibles, sino s´olo aquellas que son llamadas transformaciones can´onicas, a fin de preservar la forma can´onica de las ecuaciones de movimiento de Hamilton, esto es, dadas las q y las p que satisfacen las ecuaciones de movimiento de Hamilton BH q9k “ (8.13) Bpk BH (8.14) p9k “ ´ k Bq BL BH ´ “ (8.15) Bt Bt Sea ahora que tenemos la siguiente transformaci´on “puntual”: Qi “ Qi pqk , pk , tq Pi “ Pi pqk , pk , tq Estas nuevas variables Q y P ser´an variables can´onicas si existe una cierta funci´on K(Q,P,t), de modo que se verifiquen unas nuevas ecuaciones de Hamilton BK Q9 i “ BPi BK P9i “ ´ i BQ Las variables q y p verifican el principio de Hamilton (de m´ınima acci´on) de donde partimos, es decir ż T ´ÿ ¯ δ pi q9i ´ Hpq, p, tq dt “ 0 0

Del mismo modo, las nuevas variables Q y P verificar´an el siguiente principio de Hamilton ż T ´ÿ ¯ i 9 δ Pi Q ´ KpQ, P, tq dt “ 0 0

Si se verifican las dos igualdades simult´aneamente, los dos integrandos estar´an relacionados de la siguiente forma

Cinem´atica del punto material

113

¯ ´ÿ ¯ dF pi q9i ´ Hpq, p, tq “ Pi Q9 i ´ KpQ, P, tq ` dt donde λ es una constante y F una funci´on arbitraria de las coordenadas y del tiempo. Nos limitaremos a estudiar las transformaciones en las que λ “ 1. La funci´on F , como veremos a continuaci´on, determina la transformaci´on entre las antiguas coordenadas y las nuevas, si depende en parte de las antiguas y en parte de las nuevas, por lo que se denomina funci´on generatriz de la transformaci´on. Vamos a considerar como primer ejemplo cuando la funci´on F depende de q, Q y del tiempo, es decir, que F “ F1 pq, Q, tq. En este caso, la relaci´on entre la antigua hamiltoniana y la nueva ser´a λ

´ÿ

BF1 9 BF1 BF1 q9 ` Q` pq9 ´ H “ P Q9 ´ K ` Bq BQ Bt Como las antiguas coordenadas y las nuevas son independientes, la ecuaci´on anterior implica que p“

BF1 Bq

P “´

BF1 BQ

BF1 Bt Las dos primeras ecuaciones determinan la transformaci´on, es decir, de estas dos ecuaciones podemos en principio despejar las coordenadas Q y P y escribirlas en funci´on de las coordenadas antiguas de la forma Q “ Qpq, p, tq y P “ P pq, p, tq. Por otro lado, la u ´ltima ecuaci´on nos indica c´omo se transforma la hamiltoniana al cambiar de coordenadas. Vamos a ver ahora c´omo podemos utilizar una funci´on generatriz que dependa de la coordenada antigua y del momento nuevo, es decir, de la forma F “ F2 pq, P, tq. L´ogicamente, si introducimos esta funci´on en la relaci´on que existe entre las hamiltonianas no llegamos a nada. El truco consiste en partir de una funci´on del tipo F1 , de la siguiente forma. Escogemos la funci´on K“H`

F1 pq, Q, tq “ F2 pq, P, tq ´ QP Si diferenciamos F2 as´ı definida, nos daremos cuenta de que efectivamente sus variables son q, P y t dF2 “

BF1 BF1 BF1 dq ` dQ ` dt ` P dQ ` QdP Bq BQ Bt

Si tenemos en cuenta las relaciones que verifican las derivadas de BF1 BF1 ` P dQ ` QdP “ pdq ` QdP ` Bt Bt vemos que efectivamente las variables de F2 son q, P y t. Adem´as, la ecuaci´on anterior permite obtener el momento p y la coordenada Q en funci´on de las derivadas parciales de F2 , ya que dF2 “ pdq ` P dQ `

114

Como

Mec´anica Cl´asica

BF2 Bt

“

BF1 , Bt

p“

BF2 Bq

Q“

BF2 BP

la relaci´on entre la nueva hamiltoniana y la antigua ser´a K“H`

BF2 Bt

Del mismo modo se pueden utilizar otros tipos de funciones generatrices para especificar la transformaci´on. Ejemplo 8.2 Encontrar la transformaci´on can´onica que hace c´ıclico el problema del oscilador arm´onico. Soluci´ on Como sabemos, el hamiltoniano para un oscilador arm´onico simple es Hpq, pq “

1 p2 ` mw2 q 2 2m 2

donde w, m son la frecuencia y la masa del oscilador. Sea 1 F1 pq, Qq “ mwq 2 cot Q 2 la funci´on generatriz de la transformaci´on can´onica, de ah´ı podemos ver que P “ c q“

1 mwq 2 2 sin2 Q 2P sin Q mw

p “ mwq cot Q con los que tenemos K “ wP cuyas ecuaciones de movimiento son P “ P0 Q “ wt ` β c 2α qptq “ sinpwt ` βq mw donde α, β, P0 son constantes. Cuando el momento p es constante y la coordenada asociada q es lineal en el tiempo, p se denomina variable de acci´on y la variable q se llama angular.

Cinem´atica del punto material

8.5.

115

CORCHETES DE POISSON

A continuaci´on vamos a calcular la variaci´on temporal de una funci´on din´amica f pq, p, tq. La derivada respecto del tiempo ser´a df Bf Bf Bf q9 ` p9 ` “ dt Bq Bp Bt utilizando las ecuaciones de Hamilton, la ecuaci´on anterior se puede escribir df Bf BH Bf BH Bf “ ´ ` dt Bq Bp Bp Bq Bt Si definimos el corchete de Poisson de dos funciones q y b de la siguiente forma ta, bu “

Ba Bb Ba Bb ´ Bx Bp Bp Bx xÑq

la ecuaci´on anterior se escribe de manera m´as sencilla como Bf df “ tf, Hu ` dt Bt El corchete de Poisson tambi´en se puede utilizar para escribir de forma simplificada las ecuaciones de Hamilton. Dado que las propias variables q y p son funciones din´amicas –y como adem´as no dependen expl´ıcitamente del tiempo–, las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir como q9 “ tq, Hu p9 “ tp, Hu Se puede comprobar que el corchete de Poisson verifica las siguientes propiedades tu, vu “ tv, uu tu ` v, wu “ tu, wu ` tv, wu tuv, wu “ u tv, wu ` tu, wu v tu, tv, uuu ` tw, tu, vuu ` tv, tw, uuu “ 0 Las variables can´onicas q y p verifican que tx, pu “ 1. El corchete de Poisson permite, adem´as, especificar las condiciones que debe verificar una variable din´amica para ser una constante de movimiento. Si una variable din´amica no depende expl´ıcitamente del tiempo y adem´as su corchete de Poisson con el hamiltoniano es nulo, entonces es una constante de movimiento.

116

8.6.

Mec´anica Cl´asica

´ DE HAMILTON-JACOBI ECIACION

Como sabemos, la ecuaci´on de Euler-Lagrange se obtiene del principio variacional de Hamilton, aplicado a la funcionalidad de la acci´on. żt 9 tqdt Lpq, q; (8.16) S“ t0

donde t0 es el tiempo inicial. Sea que para la trayectoria real se cumple q9 “ qpq 9 0 q90 , t0 , tq q “ qpq0 , q90 , t0 , tq

(8.17)

donde q y q9 denotan las coordenadas y velocidades en el tiempo final en t; en tanto que q0 y q90 , las correspondientes en el tiempo inicial. Entonces, L puede expresarse como Lpq0 , q90 , t0 , tq, lo que permite calcular S “ pq0 , q90 , t0 , tq

(8.18)

De la primera ecuaci´on (8.17), resolvemos q90 y tenemos q90 “ q90 pq, q0 , t0 , tq

(8.19)

Reemplazando en (8.18), es posible representar S como una funci´on de q, q0 , t y t0 S “ Spq, t, q0 , t0 q denominada funci´on principal de Hamilton. La variaci´on de la funci´on (8.20), bajo valores constantes t y t0 , es ¸ żt ż t ˜ÿ BL BL dS “ dLdt “ δqk ` δ q9k dt Bqk B q9k t0 t0 k * ÿ ż t " BL ÿ BL d BL dS “ ´ δqk dt ` δqk |tt0 9 Bq dt B q Bq k k k t0 k k

(8.20)

(8.21)

Pero como la trayectoria es real y ni Bq ni Bq0 est´an determinadas o fijas, entonces, de acuerdo con la ecuaci´on de Euler-Lagrange, la primera suma es cero, y δS “ p0q

p0q

ÿ ÿ p0q p0q ÿ BL δ q9k |tt0 “ pk δqk ´ pk δqk B q9k k k k

(8.22)

p0q

donde pk , qk y δqk son valores iniciales de las magnitudes correspondientes pk , qk y δqk . De acuerdo con (8.20), al fijar el tiempo t y t0 , tenemos δS “

ÿ BS BS p0q δqk ` p0q δqk Bqk Bqk k

(8.23)

Comparando (8.22) y (8.23), obtenemos pk “

BS BS p0q , pk “ ´ p0q Bqk Bqk

(8.24)

Cinem´atica del punto material

117

La funci´on S “ Spq, t, qo , to q principal de Hamilton es una funci´on potencial para la definici´on de impulsos en los puntos inicial y final de la trayectoria. Para definir la ecuaci´on que satisface la funci´on (8.20), empezamos por diferenciar con respecto al tiempo t. De acuerdo con (8.16), bajo valores fijos de q0 y t0 dL “L dt

(8.25)

dS BS ÿ BS “ ` q9k dt Bt Bqk k

(8.26)

y de (8.20)

por consiguiente, de acuerdo con (8.24), BS ÿ ` pk q9k ´ L “ 0 Bt k o, lo que es lo mismo, BS `H “0 (8.27) Bt BS ; es Pero H debe estar expresado a trav´es de las coordenadas qk e impulsos pk “ Bq k decir, tenemos ˆ ˙ BS BS BS ` H q1 , ..., qs ; , ..., ;t “ 0 (8.28) Bt Bq1 Bqs Esta ecuaci´on se llama ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. En la teor´ıa general de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden, la integral total para la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi tiene el aspecto S “ S˜ pq1 , ..., qs ; t; α1 , ..., αs q αs`1

(8.29)

donde α1 , ..., αs , αs`1 son constantes arbitrarias y se verifica la condici´on ¯ ´ BS BS B Bq1 , ..., Bqs det B pα1 , ..., αs q La funci´on S se puede encontrar de la soluci´on del sistema de ecuaciones de Hamilton. Jacobi demostr´o que los segundos integrales de movimiento del sistema de ecuaciones de Hamilton son las relaciones BS βk Bαk

pk “ 1, ..., sq

(8.30)

donde βk son constantes arbitrarias, y los impulsos se definen de (8.24) Pk “

BS Bqk

(8.31)

Este teorema puede ser demostrado con ayuda de la funci´on generatriz F pq, Q, tq elegida de tal manera que el nuevo hamiltoniano H no depende de P(H=H(Q)). Entonces Spq, Q, tq “ F pq, Q, tq ´ HpQqt (8.32) Por ejemplo, para una part´ıcula cuyo hamiltoniano sea

118

Mec´anica Cl´asica

H“

P2 ` V pqq 2m

la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi ser´a ˆ ˙2 1 BS BS “0 ` V pqq ` 2m Bq Bt La funci´on S se denomina la funci´on principal de Hamilton y –salvo una constante aditiva– coincide con la integral de acci´on. En el caso en que la hamiltoniana no dependa expl´ıcitamente del tiempo, podemos separar la variable temporal escribiendo la funci´on S de la siguiente forma Spq, P, tq “ W pq, P q ´ Et donde E es una constante que coincide con el valor de la hamiltoniana, seg´ un se deduce de las ecuaciones anteriores. La funci´on W, que se denomina funci´on caracter´ıstica de Hamilton, verifica la siguiente ecuaci´on en derivadas parciales BW q“E Bq Por ejemplo, para una part´ıcula libre, la ecuaci´on anterior se reduce a ˆ ˙2 1 BW “E 2m Bq Hpq,

de modo que W “

? 2mEq

(salvo una constante aditiva que hemos escogido como nula). Por otro lado, de las ecuaciones de transformaci´on ? BS BW “ “ 2mE Bq Bq Por u ´ltimo, la soluci´on de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi se puede escribir como p“

S “ pq ´ Et Ejemplo 8.3 Mediante el m´etodo de Hamilton-Jacobi, analizar el movimiento para una part´ıcula de masa m cuyo hamiltoniano tridimensional en un campo gravitacional en la direcci´on z es p2x ` p2y ` p2z ` mgz 2m donde pk es el momento conjugado para la part´ıcula en la direcci´on k. Soluci´ on De (8.16), la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para la funci´on generatriz S es ˜ˆ ˙ ˆ ˙2 ˆ ˙2 ¸ 2 1 BS BS BS BS ` ` ` mgz ` “0 2m Bx By Bz Bt H“

(8.33)

Cinem´atica del punto material

119

Podemos separar esta ecuaci´on, esto es, escribimos S como la suma de t´erminos separados, donde cada uno de ellos dependa de s´olo una coordenada o del tiempo S “ W1 pxq ` W2 pyq ` W3 pzq ´ Et

(8.34)

donde E es una constante. Escribir S de esta forma se llama m´etodo de separaci´on de variables. Si el hamiltoniano contiene expl´ıcitamente el tiempo, no podemos separar la dependencia temporal de S en esta forma. Sustituyendo esta u ´ltima ecuaci´on en (8.35) tenemos que ˜ˆ ˙2 ˆ ˙2 ˆ ˙2 ¸ 1 dW1 pxq dW2 pyq dW3 pzq ` ` ` mgz “ E 2m dx dy dz Dado que la constante E es la suma de t´erminos cada uno de los cuales depende de una sola variable independiente, los t´erminos individuales deben ser, cada uno, constantes; α1 ` α2 ` α3 ” E. N´otese que hemos definido el significado de los nuevos momentos α1 , α2 , α3 para que sean llamados constantes de separaci´on. A partir de este argumento, obtenemos un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias a resolver ˆ ˙2 dW1 pxq 1 “ α1 2m dx ˆ ˙2 dW2 pyq 1 “ α2 (8.35) 2m dy ˆ ˙2 1 dW3 pzq ` mgz “ α3 2m dz Cuyas soluciones son ? W1 pxq “ ˘ 2mα1 x ? W2 pyq “ ˘ 2mα2 y c 3 8 pα3 ´ mgzq 2 W3 pzq “ ˘ 2 9mg

(8.36)

El paso crucial en la ejecuci´on de la separaci´on de variables para solucionar la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi es considerar que las constantes α1 , α2 , α3 creadas en la separaci´on de variables sean los nuevos momentos en la transformaci´on can´onica generada por S “ Spx, y, z, α1 , α2 , α3 , tq. Notemos que nosotros definimos que los αi sean los nuevos momentos. Tambi´en tenemos las constantes βk definidas por (8.30). De la definici´on de S en (8.34) y de las ecuaciones (8.36), encontramos que ? ? S “ 2mα1 ` 2mα2 `

c

8 pα3 ´ mgzq3{2 ´ pα1 ` α2 ` α3 ` mgzqt 9mg 2

c BS m β1 “ “˘ x´t Bα1 2α1 c BS m β2 “ “˘ y´t Bα2 2α1

(8.37)

120

Mec´anica Cl´asica d BS 2pα3 ´ mgzq β3 “ “˘ ´t Bα3 mg 2

Finalmente, invertimos las ecuaciones (8.37) para obtener x, y, z en t´erminos de las constantes y del tiempo c 2α1 pβ1 ` tq x“˘ m c 2α2 pβ2 ` tq y“˘ m α3 g z“ ´ pβ3 ` tq2 mg 2 ´ Esta es la forma correcta para el movimiento de una part´ıcula libre en un campo gravitacional. Las constantes α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , β3 dependen de las condiciones iniciales, los valores de x, y, z y sus derivadas en el tiempo t “ 0. PROBLEMAS pt es una integral de movimiento de una part´ıcula 1. Demostrar que la funci´on f “ x ´ m libre en ausencia de fuerzas externas. pP 2 `P 2 q

2. Considerar el Hamiltoniano H “ 12m 2 ` maq1 . Escribir las ecuaciones de moˆ vimiento para las variables. A¿Tiene sentido hacer una transformaci´on can´onica para integrar el sistema? Si es as´ı, entonces encuentre una soluci´on a la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. ˆ e trans3. Considerar H “ 21 p q12 `p2 q 4 q y encontrar las ecuaciones de movimiento. A¿Qu´ formaci´on can´onica reduce H al oscilador arm´onico? ˆ 4. Bajo qu´e condiciones Q “ α Px , P “ βx2 es una transformaci´on can´onica. A¿Cu´ al es la funci´on generatriz? Aplicar esta transformaci´on can´onica para resolver el oscilador arm´onico.

Cap´ıtulo 9 MOVIMIENTO DE CUERPO R´IGIDO 9.1.

´ CINETICA ´ ENERGIA Y MOMENTO DE IMPULSO ´ DE CUERPO RIGIDO

Un cuerpo r´ıgido se puede representar como un sistema de puntos materiales unidos entre s´ı por varillas de masa despreciable y longitud constante. Por lo tanto la distancia entre las part´ıculas del sistema no cambia y podemos decir que el sistema posee ligaduras ideales internas. Esto implica que la cantidad de grados de libertad del sistema es menor que el n´ umero de grados de libertad de un sistema id´entico, pero con part´ıculas libres. Consideremos dos sistemas de coordenadas: un sistema de referencias S en relaci´on con el cual el cuerpo r´ıgido se mueve y otro sistema de referencias S ’ pegado al cuerpo r´ıgido. Por lo tanto, las part´ıculas del cuerpo r´ıgido en el sistema de referencias S ’ unido fuertemente al mismo tendr´an las coordenadas r1i “ px1i , yi1 , zi1 q y velocidades nulas vi “ 0. Entonces los radios vectores de las part´ıculas del cuerpo r´ıgido satisfacen la relaci´on ri “ R`r1i , donde R es la coordenada del origen del sistema de referencias en movimiento. A medida que ocurre el movimiento, r1i no cambia, en valor absoluto, s´olo podr´a rotar un a´ngulo dϕi en un dt, es decir, tenemos dr1i “ dϕ ˆ r1i , por lo que dri “ dR ` dϕ ˆ r1i . De aqu´ı obtenemos las velocidades dR dϕ dri “ ` ˆ r1i dt dt dt dado lo cual, las velocidades de las part´ıculas del cuerpo r´ıgido con respecto al sistema de referencias S ser´an vi “ v0 ` w ˆ r1i (9.1) donde v0 es la velocidad del origen del sistema S ’ y w “ dϕ su velocidad angular. dt Ambas cantidades pueden depender del tiempo. El origen de coordenadas en el cuerpo r´ıgido puede ser escogido en otro punto a una distancia a desde el origen O. Entonces, ri “ pi `ai , donde pi es la posici´on de la part´ıcula en relaci´on con el nuevo origen de coordenadas O’. Para las coordenadas con respecto al sistema de referencias S tendremos ri “ R ` pi ` ai Por lo tanto, para las velocidades tendremos 121

122

Mec´anica Cl´asica

vi “ v0 ` w ˆ r1i “ v0 ` w ˆ ai ` w ˆ pi

9.2.

EL TENSOR DE INERCIA

De acuerdo con la modelaci´on que hicimos arriba, para el c´alculo de la energ´ıa cin´etica del cuerpo r´ıgido tendremos la siguiente expresi´on Y “

n ÿ mv2 i“1

(9.2)

2

donde la suma abarca todas las part´ıculas. Usando la expresi´on (9.1) para las velocidades de las part´ıculas, la energ´ıa cin´etica tomar´a la forma T “

ÿ m pv0 ` w ˆ r1 q2 2

“

ÿm 2

v20 `

ÿ

m pv0 ¨ w ˆ r1 q `

ÿm 2

2

pw ˆ r1 q

(9.3)

La velocidad v0 y la velocidad angular w son iguales para todos los puntos del sistema. ř 2 µv2 El primer t´ermino de la parte derecha de la ecuaci´on (9.3) nos da ni“1 mpv22 q “ 2 0 , siendo µ la suma de todas las masas de las part´ıculas. Podemos escribir el segundo t´ermino como ÿ ÿ ÿ mv0 ¨ w ˆ r1 “ mr1 ¨ v0 ˆ w “ v0 ˆ w ¨ mr1 (9.4) de donde se ve que si el origen de ř un sistema de coordenadas se elige en el centro de inercia del cuerpo r´ıgido, entonces i mi ri “ 0. Para el tercer t´ermino usamos las propiedades de vectores 2

pw ˆ rq2 “ pw ˆ r1 q ¨ pw ˆ r1 q “ w2 r12 ´ pw ¨ r1 q

(9.5)

Finalmente, la ecuaci´on para la energ´ıa cin´etica es T “

) µv20 1 ÿ ! 2 12 2 m w r ´ pw ¨ r1 q ` 2 2

(9.6)

Como se ve, la energ´ıa cin´etica del cuerpo r´ıgido se puede representar como la suma de dos componentes. La primera de ellas es el t´ermino correspondiente al movimiento del cuerpo como un todo, es decir, movimiento de traslaci´on de una part´ıcula efectiva de masa µ con velocidad v0 . La segunda componente es la energ´ıa cin´etica del movimiento rotacional con velocidad angular w alrededor del eje que pasa por su centro de inercia. Esto constituye un caso particular del teorema de Konig. Este teorema se puede formular de la siguiente manera: La energ´ıa cin´etica de un cuerpo r´ıgido es igual a la energ´ıa cin´etica que poseer´ıa una part´ıcula de masa µ ubicada en su centro de inercia m´as la energ´ıa cin´etica del cuerpo en relaci´on con un sistema de coordenadas ligadas con el centro de inercia y que se mueve junto con el cuerpo en forma translacional.

Cinem´atica del punto material

9.3.

123

´ CINETICA ´ FORMA TENSORIAL DE LA ENERGIA

Tenemos w2 “ w ¨ w “ wi wi “ wi2 r2 “ r ¨ r “ rj rj “ rj2

(9.7)

pw ¨ rq2 “ pwi xi q pwk xk q “ wi wk xi xk donde se usa la convenci´on de la suma, es decir, donde se encuentre repetido alg´ un sub´ındice se supone la suma desde 1 hasta 3 por este sub´ındice. Adem´as, xj “ px, y, zq, j “ 1, 2, 3 Por lo tanto, la energ´ıa cin´etica rotacional tomar´a la forma T “

( 1ÿ ( 1ÿ m wi2 x2j ´ wi xi wk xk “ m wi wk x2j δik ´ wi wk xi xk 2 2 ÿ ( 1 m x2j δik ´ xi xk “ wi wk 2

en la cual se us´o la igualdad wi “ wk δik , donde δik “ Ahora, introduciendo la notaci´on convencional ÿ ( Iik “ m x2j δik ´ xi xk

1 i“k 0 i‰k

es la delta de Kronecker.

(9.8)

obtenemos la forma final de la energ´ıa cin´etica del cuerpo s´olido µv20 1 ` Iik wi wk (9.9) 2 2 ( ř La magnitud introducida Iik “ m x2j δik ´ xi xk es el denominado tensor del momento de inercia del cuerpo r´ıgido. Esta cantidad tiene nueve componentes, pero como Iik “ Iki –es decir, es un tensor sim´etrico–, entonces s´olo es posible tener seis componentes independientes. Notoriamente, estas componentes dependen de la elecci´on del sistema de referencias. Como se sabe, cuando un sistema de coordenadas rota, las componentes de los radios vectores se transforman de acuerdo con la siguiente relaci´on T “

xi “ αik x1k

(9.10)

donde αik “ cospik 1 q son las componentes de la matriz de los cosenos directores o – como es com´ un llamarla– la matriz de rotaci´on. Veamos la relaci´on entre las componentes del tensor en el nuevo y antiguo sistema de coordenadas. Reemplazamos la ecuaci´on (9.10) en la ecuaci´on (9.8) y tenemos ÿ ( (9.11) Iik “ m αlm x1m αIn x1n δik ´ αip x1p αks x1s Usando las propiedades del s´ımbolo de Kronecker δik –espec´ıficamente la ortogonalidad de las filas y columnas–, se obtiene que ÿ Iik “ m tδmn x1m x1n αil αks δls ´ αil αks x1l x1s u

124

Mec´anica Cl´asica Iik “ αil αks

ÿ

ı ” 2 m px1n q δls ´ x1l x1s “ αil αks Ils1

(9.12)

donde Ils1 “

ÿ

! ) 2 m px1n q δls ´ x1l x1s

son las componentes del nuevo tensor de inercia en las nuevas coordenadas. Al comparar estas relaciones de transformaci´on con las que tiene una multiplicaci´on de dos componentes de vector, observaremos que son id´enticas: xk “ αks x1s xi “ αir x1r

(9.13)

xk xi “ αks αir x1s x1r As´ı, de acuerdo con la definici´on matem´atica, un tensor de segundo orden es una magnitud que bajo transformaciones de sistema de coordenadas cambia de manera id´entica al cambio que se observa en la multiplicaci´on de dos componentes de vector. Por lo tanto, el tensor de inercia es un tensor sim´etrico de segundo orden. Est´a claro que se puede introducir tensores de mayores rangos. Entonces un vector puede denominarse tambi´en tensor de primer orden. Escribamos en forma matricial el tensor de inercia ˛ ¨ ř ř ř py 2 ` x2 q ř ´ mxy mř ´ ř mxz mř px2 ` z 2 q ř ´ myz ‚ (9.14) Iik “ ˝ ´ ř myx 2 2 ´ mzx ´ mzy m px ` y q A veces, las diferentes componentes del tensor I se llaman momentos de inercia del cuerpo con relaci´on a los correspondientes ejes. Observemos que el tensor de inercia es aditivo, es decir, el momento de inercia del cuerpo es igual a la suma de momentos de inercia de los ejes. Si el cuerpo r´ıgido es analizado como un cuerpo continuo, entonces la suma en los tensores cambia a integrales ż ` ˘ Iik “ p x2l δik ´ xi xk dV (9.15) Ahora, te´oricamente se sabe que cualquier tensor de segundo orden puede ser llevado a una forma diagonal usando una correspondiente elecci´on de la direcci´on de ejes . Esta direcci´on se denomina ejes principales de inercia y sus correspondientes valores de las componentes se llaman momentos de inercia principales ¨ ˛ I1 0 0 Iik “ ˝ 0 I2 0 ‚ (9.16) 0 0 I3 Entonces, la energ´ıa cin´etica del movimiento circular es T “

˘ 1` I1 Ω21 ` I2 Ω22 ` I3 Ω23 2

(9.17)

Se demuestra tambi´en que ninguno de los principales momentos de inercia puede ser mayor que la suma de los otros dos.

Cinem´atica del punto material

125

Si los tres momentos de inercia son diferentes, entonces el cuerpo se llama trompo asim´etrico. Si dos de los momentos son iguales, el cuerpo se llama trompo sim´etrico. Si los tres momentos son iguales, entonces el cuerpo se denomina trompo esf´erico. En este u ´ltimo caso, la forma del cuerpo no es exactamente una esfera: un cubo es tambi´en un trompo esf´erico. Si un cuerpo posee un plano de simetr´ıa, entonces el centro de inercia debe de estar en este plano. Por este plano pasar´an dos ejes principales; mientras que el tercero ser´a perpendicular al plano. Un ejemplo es un sistema de part´ıculas ubicadas en un solo plano. Si el plano est´a determinado por los ejes x1 x2 , entonces las coordenadas x3 ser´an iguales a cero. As´ı I1 “

ÿ

mx22

ÿ I2 “ mx21 ÿ ` ˘ I3 “ m x21 ` x22

(9.18)

de donde tendremos I3 “ I1 ` I2 . , entonces Cuando el cuerpo r´ıgido coincide consigo mismo al rotarlo en un ´angulo 2π n se dice que el cuerpo posee eje de simetr´ıa de orden n. Otro ejemplo de inter´es es cuando se tiene un sistema de part´ıculas ubicadas a lo largo de un eje. Podemos escoger este eje como eje z, entonces los otros dos ejes X, Y = 0, por lo que dos momentos principales de inercia coinciden, mientras que el tercero es igual a cero. I1 “ I2 “

ÿ

mx23 , I3 “ 0

Este sistema se llama rotador y tiene dos grados de libertad rotacionales correspondientes a las rotaciones alrededor de los ejes X y Y. A veces es conveniente calcular el tensor de inercia en relaci´on con un punto que no coincide con el centro de inercia del cuerpo (ver figura 9.1).

Figura 9.1: C´alculo del tensor de inercia en relaci´on con otro origen

126

Mec´anica Cl´asica

Tenemos entonces que por definici´on ÿ ( I ik “ m x2j δik ´ xi xk

(9.19)

Debido a que r “ r ` a o, mejor dicho, xi “ xi ` ai . Entonces es f´acil demostrar que ÿ ( I ik “ m pxl ´ al q2 δik ´ pxi ´ ai q pxk ´ ak q ÿ ` ÿ ÿ ÿ ˘ “ m x2l δik ´ xi xk ´ 2δik al mxl ` ai mxk ` ak mxi ` ` ˘ M a2 δik ´ ai ak (9.20) ř Como O es el centro de inercia entonces, mxi “ 0, por lo que finalmente obtenemos ` ˘ I ik “ Iik ` M a2 δik ´ ai ak (9.21) Otro caso particular tiene lugar en forma del teorema de Hugens-Stern: cuando alg´ un eje pasa por el centro de inercia del cuerpo y el otro eje est´a a una distancia a del primero. Entonces I zz “ Izz ` M a2 (9.22) donde az “ 0.

9.4.

´ MOMENTO DE IMPULSO DEL CUERPO RIGIDO

Como ya sabemos, el momento de impulso depende de la elecci´on del origen del sistema de coordenadas. S´olo cuando no hay movimientos como un todo del cuerpo r´ıgido, el momento de impulso no depende de la elecci´on del origen de coordenadas. Por lo tanto, tomaremos el centro de inercia del cuerpo como origen de coordenadas. Tenemos para el momento de impulso ÿ (9.23) M“ m pr ˆ vq Ahora reemplazamos en la ecuaci´on anterior la expresi´on para la velocidad ÿ ÿ ` ˘ M“ mr ˆ pw ˆ rq “ m wr2 ´ r ¨ pw ˆ rq

(9.24)

Introduciendo notaciones tensoriales tendremos ÿ ` ˘ Mi “ m wi x2l ´ xi pwk xk q “ wk Iik

(9.25)

Si los ejes x1 , x2 , x3 est´an dirigidos por los principales ejes de inercia del cuerpo, entonces las componentes no diagonales del tensor de inercia ser´an iguales a cero y, por lo tanto, tendremos Mi “ I1 w1 , M2 “ I2 w2 , M3 “ I3 w3 (9.26) En particular, cuando se tiene el trompo esf´erico –es decir un cuerpo r´ıgido en el cual coinciden los principales momentos de inercia–, entonces M “ Iw, I “ I1 “ I2 “ I3

(9.27)

La relaci´on entre el momento de impulso y la velocidad angular de rotaci´on con la energ´ıa cin´etica se obtiene de la siguiente manera. Para la energ´ıa cin´etica 1 T “ Iik wi wk 2

Cinem´atica del punto material

127

Para el momento 1 Mi “ Iik wk 2 Por lo que 1 1 1 T “ Iik wi wk “ Mi wi “ M ¨ w 2 2 2

(9.28)

Es decir, si la energ´ıa cin´etica es constante cuando se tiene rotaci´on libre, el momento es constante, por lo que la proyecci´on del vector w en la direcci´on del momento M en el proceso de rotaci´on tambi´en es constante. Ejemplo 9.1 Supongamos I “ I1 “ I2 y I3 “ 0 (el eje 3 est´a dirigido a lo largo del eje del rotator), cuyo momento resulta M=Iw y el vector w es perpendicular al eje del rotator. Por lo tanto, la rotaci´on libre del rotator es un movimiento rotacional uniforme en un plano alrededor de la direcci´on perpendicular a este plano. Soluci´ on La ley de conservaci´on del momento es suficiente para la definici´on de otra rotaci´on libre m´as compleja del trompo sim´etrico. Usamos los ejes principales de inercia x1 y x2 perpendiculares al eje de simetr´ıa del trompo x3 . Es decir, escogemos el eje x2 perpendicular al plano definido por el vector constante M y por la posici´on moment´anea del eje x3 (ver figura 9.2).

Figura 9.2: Precesi´on de un trompo sim´etrico

Es decir, x2 es perpendicular al plano M,x3 . Por consiguiente, M2 “ 0 y w2 . Entonces, las direcciones de M, w, x3 en cada instante de tiempo est´an sobre una superficie. De aqu´ı se obtiene que la velocidad v “ w ˆ r de todos los puntos en el eje del trompo x3 en el momento dado es perpendicular a este plano. En otras palabras, el eje del trompo rota uniformemente alrededor de la direcci´on del vector M describiendo un cono con a´ngulo s´olido θ “ const. Este fen´omeno se llama precesi´on regular del trompo. Al mismo tiempo que la precesi´on, el mismo trompo rota sobre su propio eje x3 .

128

Mec´anica Cl´asica

Calculemos ahora las velocidades angulares de los dos tipos de rotaci´on. La velocidad angular de rotaci´on alrededor de su propio eje es la proyecci´on w3 del vector w en este eje. w3 “

M3 M “ cos θ I3 I3

Para la determinaci´on de la velocidad de precesi´on w es necesario descomponer el vector w por la regla del paralelogramo en componentes a lo largo del eje x y a lo largo θ de la direcci´on M. Del dibujo se ve que w sin θ “ w1 , pero como w1 “ MI11 “ M Isin 1 obtenemos w“

M I1

¿Cu´al es el significado de que w = constante? Ejemplo 9.2 Definir los momentos de inercia de una varilla delgada homog´enea de longitud l y masa m con densidad de masa que depende linealmente de la distancia hacia uno de sus extremos. Soluci´ on ˆ A´ ˆ est´e dirigido a lo largo de la varilla, es decir que comienza en Sea que el eje OA´Z z1, el extremo m´as liviano de la varilla. La densidad de la varilla se define por ρpz 1 q “ 2m l2 y obtenemos el valor para los dos momentos de inercia as´ı żl

2

ρ pz 1 q pz 1 q dz 1 “

Jx1 “ Jy1 “ 0

ml2 2

Los ejes principales centrales pueden ser obtenidos mediante una transformaci´on paralela de los ejes estudiados. Usando el teorema de Stein obtenemos Jx1 “

Jxm1

Jy1 “

Jym1

ˆ

2 l 3

˙2

ˆ

2 l 3

˙2

`m `m

Como la distancia desde el extremo m´as liviano hasta su centro de masa es igual a 2 p 23 lq, entonces Jxm1 “ Jym1 “ ml . 18

9.5.

´ DE MOVIMIENTO DE CUERPO RIGI´ ECUACION DO

Como el cuerpo r´ıgido tiene seis grados de libertad, entonces el sistema de ecuaciones debe contener seis ecuaciones independientes. El cambio del impulso y del momento de impulso para sistemas con ligaduras fuertes, como es el cuerpo r´ıgido, puede escribirse como ÿ ÿ dP dM “F“ fi , “K“ xxxxri ˆ fi (9.29) dt dt i donde la suma se realiza por todas las part´ıculas. La cantidad r ˆ f, donde f es la fuerza, se conoce como momento de una fuerza. Como se sabe, las fuerzas internas entre

Cinem´atica del punto material

129

part´ıculas se eliminan y s´olo quedan las fuerzas externas que act´ uan sobre el sistema. Si U es la energ´ıa potencial en campo externo, entonces la fuerza se define como de costumbre F “´

BU BR

(9.30)

donde R es la coordenada del centro de inercia. Con respecto a la segunda ecuaci´on en (9.29) escogemos un sistema de coordenadas “inm´ovil”, de tal manera que en cada instante el centro de inercia del cuerpo est´e en reposo con respecto a ´el mismo. Seg´ un el principio relativista de Galileo esta ecuaci´on se cumplir´a en cualquier otro sistema inercial de coordenadas. Los momentos de fuerza K y de impulso M dependen de la elecci´on del sistema de coordenadas. Al escoger el origen de coordenadas como el centro de inercia, M se define seg´ un la ecuaci´on (9.24). El momento de fuerza depende de la fuerza externa. Si cambiamos el origen de coordenadas a una distancia a, entonces los nuevos vectores r’ del cuerpo r´ıgido se ligar´an con los antiguos radios vectores r “ r1 ` a Por lo tanto K“

ÿ

rˆF“

ÿ

r1 ˆ F `

ÿ

aˆF

es decir, K “ K1 ` a ˆ F Cuando F=0, entonces K=K’, o sea, los momentos de fuerza no dependen del origen de coordenadas; se dice entonces que sobre el cuerpo r´ıgido act´ ua un par de fuerzas.

9.6.

´ ANGULOS DE EULER

r Vemos que la din´amica del cuerpo r´ıgido se puede descomponer en t´erminos de un movimiento de translaci´on y de un movimiento rotatorio, los cuales se pueden resolver en forma independiente. En general, nos damos cuenta de que la din´amica de este cuerpo requiere de seis variables, tres que determinan el movimiento del origen del sistema de coordenadas del cuerpo y tres ´angulos independientes que orientan el cuerpo con respecto al origen del sistema de coordenadas. En este momento nos concentraremos en el movimiento de rotaci´on del cuerpo r´ıgido. Podemos parametrizar la rotaci´on de varias formas y ahora nos concentraremos en la parametrizaci´on mediante los a´ngulos de Euler. Podemos efectuar una transformaci´on de un sistema de coordenadas cartesianas a otro para hacerlo coincidir, por medio de tres rotaciones sucesivas efectuadas en un orden concreto. Se definen entonces los ´angulos de Euler como los tres a´ngulos de rotaci´on sucesivos. Dentro de ciertos l´ımites, la elecci´on de los a´ngulos de rotaci´on es arbitraria (ver figura 9.3). El orden a emplear empieza por hacer girar el sistema de ejes inicial XYZ un a´ngulo φ alrededor de Z en sentido lev´ogiro, rotulando con αβγ los ejes del sistema de coordenadas resultante. En la segunda etapa, se hacen girar los ejes intermedios, αβγ, alrededor del eje α en sentido lev´ogiro un a´ngulo θ para dar lugar a otro sistema de coordenadas intermedio: α1 β 1 γ 1 . El eje α1 es la intersecci´on de los planos XY y β 1 γ 1 se denomina l´ınea de nodos. Por

130

Mec´anica Cl´asica

´ Figura 9.3: Angulos de Euler

u ´ltimo, los ejes α1 β 1 γ 1 se hacen girar en sentido lev´ogiro un a´ngulo ψ alrededor del eje γ 1 para dar el sistema de coordenadas X’Y’Z’ buscado. As´ı pues, los a´ngulos de Euler θ, φ, ψ especifican totalmente la orientaci´on del sistema X’Y’Z’ respecto al XYZ y pueden, por tanto, ser las tres coordenadas generalizadas necesarias.1 La rotaci´on es descrita por una matriz R por medio de la ecuaci´on X1 “ RX

(9.31)

donde X’ representa el conjunto de ejes del sistema rotado respecto del sistema cuyos ejes est´an representados por X. La rotaci´on R se compone de las rotaciones sucesivas descritas anteriormente, es decir R “ RΨ Rθ Rφ . Las rotaciones parciales son en este caso las siguientes: 1. Una rotaci´on alrededor del eje Z de ´angulo ϕ (definido como el ´angulo respecto del eje positivo Z, como se hace en trigonometr´ıa). La matriz correspondiente es ¨

˛ cos ϕ sin ϕ 0 Rφ “ ˝ ´ sin ϕ cos ϕ 0 ‚ 0 0 1

(9.32)

1

Otra alternativa para definir los ´ angulos de Euler es hacer coincidir los or´ıgenes de coordenadas de los sistemas S y S ’. La intersecci´ on de los planos O’X’Y’ y OXY define la recta O1 ξ llamada arriba l´ınea nz ˆnz1 de nodos. La direcci´ on positiva de esta l´ınea est´a definida por el vector unitario nξ “ |n . Entonces z ˆnz 1 | los ´ angulos de Euler ser´ an ϕ “ =pnx ˆ nξ q, θ “ =pnz ˆ nz1 q, ψ “ =pnξ ˆ nx1 q p0 ď ϕ ď 2π, 0 ď θ ď π, 0 ď ψ ď 2πq Para sistemas diestros, las direcciones positivas de los ´angulos ϕ, θ, ψ se definen com´ unmente con ayuda de los ejes nz , nξ y nz1

Cinem´atica del punto material

131

2. Una rotaci´on alrededor del eje α de a´ngulo θ (definido como el a´ngulo respecto del eje positivo α, como se hace en trigonometr´ıa). La matriz correspondiente es ¨ ˛ 1 0 0 Rθ “ ˝ 0 cos θ sin θ ‚ (9.33) 0 ´ sin θ cos θ 3. Una rotaci´on alrededor del eje γ 1 de a´ngulo ψ (definido como el ´angulo respecto del eje positivo γ 1 , como se hace en trigonometr´ıa). La matriz correspondiente es ¨ ˛ cos ψ sin ψ 0 Rψ “ ˝ ´ sin ψ cos ψ 0 ‚ (9.34) 0 0 1 La transformaci´on completa de un sistema de ejes tX, Y, Zu al sistema de ejes tX 1 , Y 1 , Z 1 u est´a dada por (9.31), donde R “ Rψ Rθ Rφ . En t´erminos de los a´ngulos de Euler, las entradas expl´ıcitas de la matriz R son: R11 “ cos ψ cos φ ´ cos θ sin φ sin ψ R12 “ cos ψ sin φ ` cos θ cos φ sin ψ R13 “ sin ψ cos θ R21 “ ´ cos θ sin φ cos ψ ´ sin ψ cos φ R22 “ cos θ cos φ cos ψ ´ sin ψ sin φ

(9.35)

R23 “ sin θ cos ψ R31 “ sin φ sin θ R32 “ ´ sin θ cos φ R33 “ cos θ

9.7.

ECUACIONES DE EULER

Para un cuerpo r´ıgido libre, hemos visto que las componentes del momento angular sobre los ejes principales conforman un sistema din´amico aut´onomo: la variaci´on de las componentes de los ejes principales dependen solamente de las componentes de los ejes principales. A continuaci´on derivaremos las ecuaciones que gobiernan la evoluci´on de estas componentes. define la velocidad de cambio de alg´an vector A en relaci´on con el sistema Sea que dA dt de coordenadas inm´ovil, y que en relaci´on con el sistema de referencias que rota este vector no sufre cambios. Entonces, en este caso, el cambio en relaci´on con el sistema inm´ovil est´a condicionado s´olo por la rotaci´on. As´ı dA “wˆA dt

(9.36)

En caso m´as general, la ecuaci´on anterior cambia dA d1 A “ `wˆA dt dt

(9.37)

132

Mec´anica Cl´asica 1

donde ddtA es el cambio del vector A en relaci´on con el sistema de coordenadas que rota. Esta f´ormula es consecuencia de una diferenciaci´on de la multiplicaci´on de dos funciones. Escribamos el vector A en relaci´on con los ejes que forman el sistema de coordenadas rotante. A “ A1 n11 ` A2 n12 ` A3 n13 Entonces dA “ dt

ˆ

˙ ˆ ˙ dA1 1 dA2 1 dA3 1 dn11 dn12 dn13 n ` n ` n ` A1 ` A2 ` A3 dt 1 dt 2 dt 3 dt dt dt

(9.38)

Considerando as´ı dn11 dn12 dn13 “ w ˆ n11 , “ w ˆ n12 , “ w ˆ n13 dt dt dt

(9.39)

llegamos a la f´ormula (9.37), cuya primera parte a la derecha es la correspondiente a la primera de la derecha de (9.38). Usamos ahora este m´etodo para el cambio del momento de impulso M del cuerpo r´ıgido. Tenemos an´alogamente d1 M dM “ `wˆM“K dt dt

(9.40)

Ahora consideramos que los ejes del sistema rotante est´an elegidos a lo largo de los ejes principales de inercia, por lo que M1 “ I1 w1 , M2 “ I2 w2 , M3 “ I3 w3 . Entonces para la componente en el eje tenemos dM1 ` pw ˆ Mq1 “ K1 dt

(9.41)

que equivale a dw1 ` w2 M3 ´ w3 M2 “ K1 dt que tambi´en se puede escribir como I1

(9.42)

dw1 ` pI3 ´ I2 q w2 w3 “ K1 dt De la misma manera se obtienen las ecuaciones para los otros ejes, que conforman las siguientes ecuaciones de Euler I1

dw1 ` pI3 ´ I2 q w2 w3 “ K1 dt dw2 I2 ` pI1 ´ I3 q w1 w3 “ K2 (9.43) dt dw3 I3 ` pI2 ´ I1 q w1 w2 “ K3 dt Para desarrollar el planteamiento completo de las ecuaciones din´amicas en funci´on de las coordenadas o grados de libertad que definen la configuraci´on (en este caso, los a´ngulos de Euler), ser´ıa necesario sustituir en la expresi´on anterior los valores de w1 , w2 , w3 y de sus derivadas en funci´on de los a´ngulos de Euler I1

Cinem´atica del punto material

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w1 “ θ9 cos ψ ` φ9 sin θ sin ψ w2 “ ´θ9 sin ψ ` φ9 sin θ cos ψ

(9.44)

w3 “ φ9 cos θ ` ψ9 9 φ, 9 ψ) 9 As´ı, de la expresi´on anterior podemos despejar (θ, θ9 “ w1 cos φ ´ w2 sin φ w1 sin φ ` w2 cos φ φ9 “ w3 ´ tan θ w1 sin φ ` w2 cos φ ψ9 “ sin θ Por otra parte, de las ecuaciones de Euler, obtenemos que w9 1 “

K1 I2 ´ I3 ` w2 w2 I1 I1

w9 2 “

K2 I3 ´ I1 ` w3 w2 I2 I2

w9 3 “

K3 I1 ´ I2 ` w1 w2 I3 I3

(9.45)

(9.46)

El conjunto de seis ecuaciones diferenciales de primer orden (9.45) y (9.46) queda planteado en funci´on de las seis variables: θ, φ, ψ y w1 , w2 , w3 . Su resoluci´on puede llevarse a cabo bien por m´etodos anal´ıticos o bien por m´etodos num´ericos (por ejemplo mediante el m´etodo de integraci´on paso a paso en el tiempo de Runge-Kutta). Ejemplo 9.3 Considerar un trompo sim´etrico con momentos principales de inercia I1 “ I2 ‰ I3 y que no se encuentra sometido a fuerza alguna. Escribir el lagrangiano de rotaci´on del sistema en t´erminos de a´ngulos de Euler. Escribir las correspondientes ecuaciones de Lagrange, obteniendo las cantidades conservadas. Utilizando la ecuaci´on de la energ´ıa, definir el potencial efectivo y discutir los tipos posibles de movimientos del cuerpo. Soluci´ on Si no existe ninguna fuerza externa, el lagrangiano es igual a la energ´ıa cin´etica ¯ 1 ´ ¯2 1 ´ 92 2 2 2 9 9 9 L “ I1 φ sin θ ` θ ` I3 φ cos θ ` ψ 2 2 Las coordenadas φ y ψ son c´ıclicas, por lo que sus momentos generalizados asociados son constantes ˘ BL ` “ I1 sin2 θ ` I3 cos2 θ φ9 ` I3 ψ9 cos θ B φ9 ´ ¯ BL 9 9 Pψ “ “ I3 ψ ` φ cos θ “ I3 w3 “ cte B ψ9

Pφ “

donde w3 es la tercera componente del vector velocidad angular sobre los ejes princiP2 9 que despejamos pales. Definiendo una energ´ıa modificada E 1 “ E ´ 2Iψ3 , y sustituyendo φ, de las dos ecuaciones anteriores,

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Mec´anica Cl´asica

Pφ ´ Pψ cos θ φ9 “ I1 sin2 θ tenemos 1 E 1 “ I1 θ92 ` V pθq 2 donde V pθq es el potencial efectivo V pθq “

pPφ ´ Pψ cos θq2 I1 sin2 θ

Haciendo x “ cos θ, la funci´on queda V pxq “

pa ´ bxq2 1 ´ x2

donde Pφ a” ? 2I1 Pψ b” ? 2I1 En el intervalo f´ısico 0 ď x ď 1 esta funci´on es siempre positiva y diverge en x “ 0 y x “ 1. Derivando, obtenemos V 1 pxq “ ´2

pa ´ bxq pb ´ axq p1 ´ x2 q2

funci´on que tiene ceros en x “ ab y x “ ab . Supongamos que a ‰ b; entonces s´olo una de las dos ra´ıces posibles se encuentra en el intervalo f´ısico (la primera si a ă b y la segunda si a ą b). El correspondiente extremo ha de ser necesariamente un m´ınimo. El aspecto cualitativo del potencial efectivo es el de la figura 9.5. El caso a “ b corresponde a condiciones iniciales un tanto especiales que no se van a dar en la pr´actica. un el caso, que es un Existe pues un ´angulo θ0 , dado por cos θ0 “ ab o cos θ0 “ ab , seg´ m´ınimo del potencial efectivo, de manera que, si E 1 “ V pθq, el eje de simetr´ıa del trompo se mantiene en el a´ngulo polar θ0 . Por otro lado, el a´ngulo φ crece o decrece linealmente con el tiempo con una velocidad de precesi´on dada por la constante Pφ ´ Pψ cos θ φ9 0 “ I1 sin2 θ ´ (el sentido del giro depende del signo de φ9 0 ). Esta ser´ıa una precesi´on uniforme. Al contrario del caso en que exista un campo externo, aqu´ı no hay una velocidad angular cr´ıtica por debajo de la cual el trompo no pueda mantener esta configuraci´on, y adem´as s´olo hay un tipo de precesi´on (no se distingue entre precesi´on lenta y precesi´on r´apida). Cuando E 1 ą V pθq, hay dos puntos de retorno, θ1 y θ2 , dados por la ecuaci´on pPφ ´ Pψ cos θq2 ´ 2I1 E 1 sin2 θ “ 0

Cinem´atica del punto material

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Figura 9.4: Potencial efectivo

de manera que el eje de simetr´ıa nuta entre estos dos puntos de retorno. Dependiendo 9 podremos distinguir entre los tres del signo, posiblemente variable en el tiempo, de φ, tipos de precesi´on-nutaci´on que se dan para el trompo en un campo gravitatorio uniforme. Ejemplo 9.4 Usando las ecuaciones de Euler, demostrar que la rotaci´on de un cuerpo r´ıgido alrededor del eje principal con valores intermedios de momentos de inercia es inestable. Soluci´ on Sea por ejemplo I3 ą I2 ą I1 (9.47) y el cuerpo se mueve alrededor del eje x2 . Entonces, w1 “ w3 “ 0 y w2 “ w20 “ cte ‰ 0. Usando las ecuaciones de Euler obtenemos dw1 dw2 dw3 “ “ “0 dt dt dt

(9.48)

Supongamos que la velocidad angular se desvi´o un poco de su direcci´on x2 . Esto implica que han aparecido peque˜ nas componentes a lo largo de los ejes x1 y x3 . Es decir, ahora tenemos w1 “ θ1 (9.49) w3 “ θ3 Claro est´a que w1 , w3 ! w20 . En primer aproximaci´on podemos escribir las ecuaciones de Euler de la siguiente manera dw1 dt dw3 dt

` `

I3 ´I2 w20 w3 I1 I2 ´I1 w20 w1 I3

“0 “0

(9.50)

La soluci´on para las inc´ognitas se obtiene de forma est´andar, es decir, suponemos que w1 w3 eqt

(9.51)

136

Mec´anica Cl´asica

Al reemplazar (9.46) en (9.45), los valores posibles de q se obtienen de la condici´on para la existencia de soluciones no triviales para las inc´ognitas, lo que se llama tambi´en ecuaci´on de las caracter´ısticas. El siguiente determinante deber´a ser igual a cero „ I3 ´I2  q I1 “0 (9.52) I2 ´I1 q I3 cuya soluci´on para q es la siguiente d q1,2 “ ˘w20

pI3 ´ I2 q pI2 ´ I1 q I1 I3

(9.53)

De acuerdo con la condici´on (9.42), la expresi´on debajo de la ra´ız cuadrada es positiva. Como vemos, existe un valor positivo de q que si analizamos la expresi´on (9.46) da valores para la perturbaci´on que se incrementan de manera exponencial con el paso del tiempo. Esto constituye entonces la inestabilidad del sistema. PROBLEMAS 1. Encontrar el tensor de inercia de una esfera homog´enea. 2. Una varilla delgada se desliza por una cuerda inm´ovil vertical que pasa por su centro, encontrar la soluci´on a la ecuaci´on de movimiento. 3. Encontrar el lagrangiano de un cuerpo r´ıgido en un sistema no inercial de coordenadas que se mueve con velocidad angular Ωptq. 4. Analizar la din´amica para un trompo esf´erico. 5. Analizar la din´amica para un trompo asim´etrico. Ver casos especiales.

Cinem´atica del punto material

137 BIBLIOGRAF´IA

Arnold, V. I. (1989), Mathematical methods of classical mechanics, Nueva York, Springer. Barger, V. y M. Olsson (1994), Classical Mechanics. A modern perspective, Nueva York, McGraw Hill. Goldstein, H. (1996), Mec´anica cl´asica, Barcelona, Reverte. Hausser, Walter (1966), Introduction to the Principles of Mechanics, Addison Wesley. Irodov, I. O. (1986), Leyes fundamentales de la mec´anica, Mosc´ u, Mir. Kotkin, G. L. y V. G. Serbo (1988), Problemas de mec´anica cl´asica, Mosc´ u, Mir. Landau L. y A. Lifshitz (1986), Mec´anica te´orica, Barcelona, Reverte. Marion, J. B. y Stephen T. Thornton (1995), Classical Dynamics of Particles and Systems, Nueva York, Brooks Cole. Terletsky, Ya. P. (1987), Mec´anica te´orica, Mosc´ u, UDN.