Tutorial Penaakulan Matematik.docx
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Tutorial Penaakulan Matematik.docx as PDF for free.
More details
- Words: 1,273
- Pages: 14
Sifat Operasi Nombor Operasi merupakan fahaman tentang penambahan, penolakan, pendaraban
serta
pembahagian dan pengetahuan tentang fakta asas nombor untuk setiap operasi ini menyediakan satu asas untuk kerja lanjut dengan pengiraan. Setiap operasi dipersembahkan dengan pelbagai perwakilan menggunakan berbagai-bagai model fizikal. Jadi, sifat bagi operasi nombor merupakan ciri-ciri yang mempengaruhi cara penyelesaian masalah berdasarkan situasi-situasi tertentu yang diberikan. Sifat operasi nombor dibahagikan kepada sifat transitif, sifat tukar tertib, sifat sekutuan dan sifat agihan. Pertama sekali, sifat transitif ialah suatu realiti disebut bersifat transitif, kalau setiap dua hubungan yang berurutan memiliki langkah alternatif, iaitu a berhubungan dengan b, sedangkan b berhubungan dengan c, maka a juga harus berhubungan dengan c. Sifat ini dapat diaplikasikan untuk setiap jenis operasi nombor. Seterusnya, sifat tukar tertib pula merupakan sifat yang melibatkan tertib penggunaan operasi itu menghasilkan nilai yang sama. Contohnya, 2 + 3 = 3 + 2 dan bukannya mempermudahkan 2 + 3 menjadi 5 + 0. Sifat sekutuan merupakan sifat sesuatu operasi di mana dalam sebarang ungkapan yang melibatkan dua atau lebih operasi yang sama secara berturut-turut, tertib pengiraan mana-mana operasi tidak penting selagi mana tiada kendalian yang berpisah tempat.Contohnya, 5 – 2 – 3 = 5 – 3 – 2, hasil pengiraan juga adalah sama dengan -3 – 2 + 5. Sifat agihan merupakan hukum kalus agihan yang diajar dalam algebra permulaan. Sebagai contoh, 2 x (1+3) = (2 x 1) + (2 x 3) = 8. Dalam contoh di atas, nombor 2 boleh diagihkan supaya mendarab setiap nombor dalam kurungan, iaitu 1 dan 3, namun hasil pengiraannya tidak berubah. Oleh itu, pendaraban dikatakan ialah agihan terhadap penambahan. Bagi operasi nombor yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat-sifat yang dinyatakan, kecuali sifat transitif yang dapat diaplikasikan dalam semua jenis operasi nombor. Hanya operasi penambahan dan pendaraban yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat tukar tertib, sifat sekutuan, dan operasi penolakan pula merupakan operasi tambahan yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat tukar tertib. Persamaan antara sifat-sifat operasi nombor tersebut ialah operasi pembahagian tidak dapat dilaksanakan.
Perkaitan segitiga kaki sama dan segitiga sama sisi Segi tiga sama kaki Terdapat tiga jenis segi tiga istimewa, iaitu segi tiga sama sisi, segi tiga sama kaki dan segi tiga sesiku. Antaranya, segi tiga sama sisi merupakan segi tiga yang mempunyai tiga sisi yang sama panjang seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah 1. Antara sifat segi tiga sama kaki, termasuk segi tiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang sebagai kaki segi tiga dan sebuah paksi simetri. Selain itu, segi tiga ini mempunyai dua sudut yang bersaiz sama, iaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang sama panjang.
F
D Gambar rajah 1: Segi tiga sama kaki
E
Segi tiga sama sisi Segi tiga sama sisi merupakan segi tiga yang mempunyai tiga sisi sama panjang. Segi tiga sama sisi dapat dibentuk oleh dua buah segi tiga siku-siku yang kongruen dengan cara menghimpitkan kedua sisi yang sama panjangnya seperti ditunjukkan dalam gambar rajah 2.
C C
A
B
B
A
Gambar rajah 2: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama sisi
Gambar rajah 3: Gambar
rajah
menunjukkan
segi
tiga
terbentuk daripada dua segi tiga sesiku
C
F
AC = 8.73 cm CB = 8.73 cm BA = 8.73 cm
DF = 8.31 cm FE = 8.31 cm ED = 6.91 cm mDFE = 49.09° mFED = 65.46° mEDF = 65.46°
mACB = 60.00° mCBA = 60.00° mBAC = 60.00°
B
A Gambar rajah 4: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama sisi
D
E Gambar rajah 5: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama kaki
Gambar rajah 4 dan 5 merupakan pengiraan saiz bagi setiap sudut dan panjang bagi setiap sisi. Daripada hasil pengiraan, kita mendapati bahawa segi tiga sama sisi mempunyai ketiga-tiga saiz sudut yang sama dan ketiga-tiga panjang sisi yang sama. Manakala, segi tiga sama kaki mempunyai kedua-dua saiz sudut yang sama dan satu sudut yang berbeza. Hal ini berlaku dalam pengiraan panjang sisi bagi segi tiga sama kaki, iaitu mempunyai kedua-dua panjang sisi yang sama dan satu panjang sisi yang berbeza. Pengesahan perkaitan antara liter dengan centimetre padu (cm3) Liter merupakan unit yang digunakan untuk mengukur isipadu. Terdapat dua simbol untuk liter yakni huruf rumi L di dalam huruf kecil (l) dan huruf besar (L). Perkataan litre diterbitkan daripada unit Perancis yang lebih tua, litron yang berasal daripada bahasa Yunani melalui bahasa Latin. Sistem metrik asal menggunakan liter sebagai unit asas. Walaupun bukan merupakan unit SI, namun diterima untuk digunakan bersama unit SI. Unit antarabangsa yang digunakan untuk isipadu ialah meter padu (m³). Satu liter bersamaan dengan 1 desimeter padu (dm³). Oleh itu, 1 desimeter padu adalah sama dengan 1000 centimeter padu. Maka, 1 liter adalah bersamaan dengan 1000 centimeter padu.
Pengesahan rumus isipadu 1. Prisma
C
B E
F
D
A
Gambar rajah 6: Gambar rajah menunjukkan sebuah prisma. Berdasarkan rajah di atas, isipadu prisma adalah separuh daripada isipadu kubus atau kuboid.
1
Kesimpulannya, isipadu prisma= 2 x panjang x lebar x tinggi.
F
E
B
A
C
F
A
E
B
Gambar rajah 7: Gambar rajah menunjukkan setiap permukaan bagi prisma. Dengan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa rumus luas permukaan prisma adalah sama dengan hasil tambah jumlah luas segi tiga dan jumlah luas segi empat.
B
H
A
a
B
G
F c b C
D
Gambar rajah 7: Gambar rajah menunjukkan sebuah prisma. Rajah di atas menunjukkan prisma yang mempunyai permukaan trapezium, maka 1
prisma = 2 x (a + b) x c. 1
Kesimpulannya, isipadu prisma = 2 x (a + b) x c x tinggi. Memandangkan prisma dapat dibentuk dengan apa-apa permukaan, Kesimpulannya, isipadu prisma = luas x tinggi.
E
F
E
B
A
C
F
A
E
B
Gambar rajah 8: Gambar rajah menunjukkan setiap permukaan bagi prisma. Dengan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa rumus luas permukaan prisma adalah sama dengan hasil tambah jumlah luas trapezium dan jumlah luas segi empat.
B
2. Silinder
jejari
Gambar rajah 8: Gambar rajah menunjukkan sebuah silinder. Menurut Prinsip Cavalieri, Isipadu silinder = 𝐿 × ℎ = 𝜋𝑟 2 ℎ di mana luas tapak, L = 𝜋𝑟 2 dan h ialah tingginya. Kesimpulannya, isipadu silinder = luas tapak x tinggi .
= 𝜋𝑟 2 ℎ di mana r ialah jejari dan h ialah tingginya.
Gambar rajah 9: Gambar rajah menunjukkan silinder. Berdasarkan gambar rajah, luas permukaan bagi silinder ialah jumlah luas kedua-dua bulatan ditambah dengan luas segi empat.
3. Piramid F
J
G
H
I
Gambar rajah 9: Gambar rajah menunjukkan piramid. Isipadu pyramid = Luas pyramid = luas tapak + jumlah luas segi tiga
4. Kon
jejari
jejari
Gambar rajah 13: Gambar rajah menunjukkan sebuah kon.
1
Berdasarkan rajah di atas, kon adalah satu per tiga daripada silinder, maka isipadu kon= 3 × 𝜋𝑟 2 ℎ.
1
Kesimpulannya, isipadu kon = 3 × 𝜋𝑟 2 ℎ di mana r ialah jejari dan h ialah tingginya.
Gambar rajah 14: Gambar rajah menunjukkan kon. Luas kon = luas kawasan bercerun + luas bulatan 5. Sfera
jejari
Gambar rajah 14: Gambar rajah menunjukkan sebuah sfera. Berdasarkan gambar rajah di atas, sfera adalah bentuk tiga dimensi. Oleh itu, rumus isipadu dapat dijelaskan dengan kaedah pengamiran menurut prinsip Cavalieri.
Bagi sebarang x, penambahan isipadu (δV) diberikan oleh hasil darab keratan rentas luas cakera pada x dan ketebalannya (δx):
Isipadu keseluruhan ialah jumlah bagi semua isipadu tambahan:
Bagi had apabila δx menghampiri sifar:
Bagi sebarang x, segi tiga tegak menghubungkan x, y dan j ke asalan, lalu ia mengikut teorem Pythagoras yang:
Seterusnya, gantikan y dengan fungsi x dan memberikan:
Rumus isipadu hemisfera boleh dinilaikan sebagai:
Isipadu ini ditakrifkan bagi hemisfera, iaitu separa sfera. Gandakannya sebanyak dua kali akan memberikan isipadu sfera iaitu:
4
Kesimpulannya, isipadu sfera = 3 𝜋𝑟 3 di mana r ialah jejari.
Luas sfera = 4𝜋r2
serta
pembahagian dan pengetahuan tentang fakta asas nombor untuk setiap operasi ini menyediakan satu asas untuk kerja lanjut dengan pengiraan. Setiap operasi dipersembahkan dengan pelbagai perwakilan menggunakan berbagai-bagai model fizikal. Jadi, sifat bagi operasi nombor merupakan ciri-ciri yang mempengaruhi cara penyelesaian masalah berdasarkan situasi-situasi tertentu yang diberikan. Sifat operasi nombor dibahagikan kepada sifat transitif, sifat tukar tertib, sifat sekutuan dan sifat agihan. Pertama sekali, sifat transitif ialah suatu realiti disebut bersifat transitif, kalau setiap dua hubungan yang berurutan memiliki langkah alternatif, iaitu a berhubungan dengan b, sedangkan b berhubungan dengan c, maka a juga harus berhubungan dengan c. Sifat ini dapat diaplikasikan untuk setiap jenis operasi nombor. Seterusnya, sifat tukar tertib pula merupakan sifat yang melibatkan tertib penggunaan operasi itu menghasilkan nilai yang sama. Contohnya, 2 + 3 = 3 + 2 dan bukannya mempermudahkan 2 + 3 menjadi 5 + 0. Sifat sekutuan merupakan sifat sesuatu operasi di mana dalam sebarang ungkapan yang melibatkan dua atau lebih operasi yang sama secara berturut-turut, tertib pengiraan mana-mana operasi tidak penting selagi mana tiada kendalian yang berpisah tempat.Contohnya, 5 – 2 – 3 = 5 – 3 – 2, hasil pengiraan juga adalah sama dengan -3 – 2 + 5. Sifat agihan merupakan hukum kalus agihan yang diajar dalam algebra permulaan. Sebagai contoh, 2 x (1+3) = (2 x 1) + (2 x 3) = 8. Dalam contoh di atas, nombor 2 boleh diagihkan supaya mendarab setiap nombor dalam kurungan, iaitu 1 dan 3, namun hasil pengiraannya tidak berubah. Oleh itu, pendaraban dikatakan ialah agihan terhadap penambahan. Bagi operasi nombor yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat-sifat yang dinyatakan, kecuali sifat transitif yang dapat diaplikasikan dalam semua jenis operasi nombor. Hanya operasi penambahan dan pendaraban yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat tukar tertib, sifat sekutuan, dan operasi penolakan pula merupakan operasi tambahan yang dapat diaplikasikan bersama-sama sifat tukar tertib. Persamaan antara sifat-sifat operasi nombor tersebut ialah operasi pembahagian tidak dapat dilaksanakan.
Perkaitan segitiga kaki sama dan segitiga sama sisi Segi tiga sama kaki Terdapat tiga jenis segi tiga istimewa, iaitu segi tiga sama sisi, segi tiga sama kaki dan segi tiga sesiku. Antaranya, segi tiga sama sisi merupakan segi tiga yang mempunyai tiga sisi yang sama panjang seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah 1. Antara sifat segi tiga sama kaki, termasuk segi tiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang sebagai kaki segi tiga dan sebuah paksi simetri. Selain itu, segi tiga ini mempunyai dua sudut yang bersaiz sama, iaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang sama panjang.
F
D Gambar rajah 1: Segi tiga sama kaki
E
Segi tiga sama sisi Segi tiga sama sisi merupakan segi tiga yang mempunyai tiga sisi sama panjang. Segi tiga sama sisi dapat dibentuk oleh dua buah segi tiga siku-siku yang kongruen dengan cara menghimpitkan kedua sisi yang sama panjangnya seperti ditunjukkan dalam gambar rajah 2.
C C
A
B
B
A
Gambar rajah 2: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama sisi
Gambar rajah 3: Gambar
rajah
menunjukkan
segi
tiga
terbentuk daripada dua segi tiga sesiku
C
F
AC = 8.73 cm CB = 8.73 cm BA = 8.73 cm
DF = 8.31 cm FE = 8.31 cm ED = 6.91 cm mDFE = 49.09° mFED = 65.46° mEDF = 65.46°
mACB = 60.00° mCBA = 60.00° mBAC = 60.00°
B
A Gambar rajah 4: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama sisi
D
E Gambar rajah 5: Gambar rajah menunjukkan segi tiga sama kaki
Gambar rajah 4 dan 5 merupakan pengiraan saiz bagi setiap sudut dan panjang bagi setiap sisi. Daripada hasil pengiraan, kita mendapati bahawa segi tiga sama sisi mempunyai ketiga-tiga saiz sudut yang sama dan ketiga-tiga panjang sisi yang sama. Manakala, segi tiga sama kaki mempunyai kedua-dua saiz sudut yang sama dan satu sudut yang berbeza. Hal ini berlaku dalam pengiraan panjang sisi bagi segi tiga sama kaki, iaitu mempunyai kedua-dua panjang sisi yang sama dan satu panjang sisi yang berbeza. Pengesahan perkaitan antara liter dengan centimetre padu (cm3) Liter merupakan unit yang digunakan untuk mengukur isipadu. Terdapat dua simbol untuk liter yakni huruf rumi L di dalam huruf kecil (l) dan huruf besar (L). Perkataan litre diterbitkan daripada unit Perancis yang lebih tua, litron yang berasal daripada bahasa Yunani melalui bahasa Latin. Sistem metrik asal menggunakan liter sebagai unit asas. Walaupun bukan merupakan unit SI, namun diterima untuk digunakan bersama unit SI. Unit antarabangsa yang digunakan untuk isipadu ialah meter padu (m³). Satu liter bersamaan dengan 1 desimeter padu (dm³). Oleh itu, 1 desimeter padu adalah sama dengan 1000 centimeter padu. Maka, 1 liter adalah bersamaan dengan 1000 centimeter padu.
Pengesahan rumus isipadu 1. Prisma
C
B E
F
D
A
Gambar rajah 6: Gambar rajah menunjukkan sebuah prisma. Berdasarkan rajah di atas, isipadu prisma adalah separuh daripada isipadu kubus atau kuboid.
1
Kesimpulannya, isipadu prisma= 2 x panjang x lebar x tinggi.
F
E
B
A
C
F
A
E
B
Gambar rajah 7: Gambar rajah menunjukkan setiap permukaan bagi prisma. Dengan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa rumus luas permukaan prisma adalah sama dengan hasil tambah jumlah luas segi tiga dan jumlah luas segi empat.
B
H
A
a
B
G
F c b C
D
Gambar rajah 7: Gambar rajah menunjukkan sebuah prisma. Rajah di atas menunjukkan prisma yang mempunyai permukaan trapezium, maka 1
prisma = 2 x (a + b) x c. 1
Kesimpulannya, isipadu prisma = 2 x (a + b) x c x tinggi. Memandangkan prisma dapat dibentuk dengan apa-apa permukaan, Kesimpulannya, isipadu prisma = luas x tinggi.
E
F
E
B
A
C
F
A
E
B
Gambar rajah 8: Gambar rajah menunjukkan setiap permukaan bagi prisma. Dengan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa rumus luas permukaan prisma adalah sama dengan hasil tambah jumlah luas trapezium dan jumlah luas segi empat.
B
2. Silinder
jejari
Gambar rajah 8: Gambar rajah menunjukkan sebuah silinder. Menurut Prinsip Cavalieri, Isipadu silinder = 𝐿 × ℎ = 𝜋𝑟 2 ℎ di mana luas tapak, L = 𝜋𝑟 2 dan h ialah tingginya. Kesimpulannya, isipadu silinder = luas tapak x tinggi .
= 𝜋𝑟 2 ℎ di mana r ialah jejari dan h ialah tingginya.
Gambar rajah 9: Gambar rajah menunjukkan silinder. Berdasarkan gambar rajah, luas permukaan bagi silinder ialah jumlah luas kedua-dua bulatan ditambah dengan luas segi empat.
3. Piramid F
J
G
H
I
Gambar rajah 9: Gambar rajah menunjukkan piramid. Isipadu pyramid = Luas pyramid = luas tapak + jumlah luas segi tiga
4. Kon
jejari
jejari
Gambar rajah 13: Gambar rajah menunjukkan sebuah kon.
1
Berdasarkan rajah di atas, kon adalah satu per tiga daripada silinder, maka isipadu kon= 3 × 𝜋𝑟 2 ℎ.
1
Kesimpulannya, isipadu kon = 3 × 𝜋𝑟 2 ℎ di mana r ialah jejari dan h ialah tingginya.
Gambar rajah 14: Gambar rajah menunjukkan kon. Luas kon = luas kawasan bercerun + luas bulatan 5. Sfera
jejari
Gambar rajah 14: Gambar rajah menunjukkan sebuah sfera. Berdasarkan gambar rajah di atas, sfera adalah bentuk tiga dimensi. Oleh itu, rumus isipadu dapat dijelaskan dengan kaedah pengamiran menurut prinsip Cavalieri.
Bagi sebarang x, penambahan isipadu (δV) diberikan oleh hasil darab keratan rentas luas cakera pada x dan ketebalannya (δx):
Isipadu keseluruhan ialah jumlah bagi semua isipadu tambahan:
Bagi had apabila δx menghampiri sifar:
Bagi sebarang x, segi tiga tegak menghubungkan x, y dan j ke asalan, lalu ia mengikut teorem Pythagoras yang:
Seterusnya, gantikan y dengan fungsi x dan memberikan:
Rumus isipadu hemisfera boleh dinilaikan sebagai:
Isipadu ini ditakrifkan bagi hemisfera, iaitu separa sfera. Gandakannya sebanyak dua kali akan memberikan isipadu sfera iaitu:
4
Kesimpulannya, isipadu sfera = 3 𝜋𝑟 3 di mana r ialah jejari.
Luas sfera = 4𝜋r2
