Turunan Ii Dan Lebih Tinggi

Turunan Kedua dan Turunan yang Lebih Tinggi Kalau y = f (x) mempunyai turunan pada suatu interval, maka turunan tersebut y’ = f0 (x) merupakan suatu fungsi baru pada interval tersebut. Kalau fungsi yang baru tadi kita turunkan, maka turunannya, kita tulis y’’ = f’’ (x) , disebut Turunan Kedua dari y = f (x) terhadap x. Demikian seterusnya pengertian yang serupa untuk turunan ketiga y’’’ = f’’’ (x), turunan keempat, kelima, dan seterusnya. Contoh : y = 2x5, maka turunannya

y’ = 10x4 y’’= 40x3 y’’’’= 120x2 y’’’’ = 240x

Turunan yang lebih tingi untuk fungsi berbentuk u v adalah : (uv)’ = u’v + uv’ (uv)’’ = u’’v + 2 u’v’ + uv’’ (uv)’’’ = u’’’v + 3 u’’v’ + 3 u’v’’ + uv’’’

Turunan Kedua dan Turunan Yang Lebih Tinggi Dari Fungsi Y = F (X) 𝑑𝑦

y’ = f ’ (x) = 𝑑𝑥 y’’= f ’’ (x) = y’’’= f(3) (x) =

𝑑𝑦′ 𝑑𝑥

=

𝑑

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑2 𝑦

= 𝑑𝑥 2

𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3

Y(n) = f(n) (dx) =

𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛

Contoh : 1. y = f (x) = (3x+2)4 y’= 4.(3x+2)3.3 = 12 (3x+2)3 y”= 12.3.(3x+2)2.3 = 108 (3x+2)2 y”’= 108.2.(3x+2).3 = 648 (3x+2) Jadi turunan keempat y : y(4)= 648.3 = 1944

2. Jika y = f(x) = ln (x2+4x) maka tentukan y’ dan y” Jawab : 2𝑥+4

y’ =

𝑥 2 + 4𝑥

jadi y” = y” =

𝑈 ′ 𝑉−𝑉′𝑈 𝑉2

(bentuk pecahan) menghasilkan U’=2 ; V’= 2x+4

2(𝑥 2 + 4𝑥)− (2𝑥+4) .(2𝑥+4) (𝑥 2 + 4𝑥)2

Turunan Kedua Fungsi Dalam Bentuk Parameter 𝑑𝑦

x = f(t)

y’ =

y = g(t)

y’’ =

𝑑𝑥

=

𝑑𝑦⁄𝑑𝑡 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡

=

𝑔′(𝑡) 𝑓′(𝑡)

𝑔"(t) . f''(t) - f"(𝑡) . 𝑔′(𝑡) (𝑓′(𝑡)2 )

Contoh : x = t2 + 3t y = ln (4t + 6) maka hitunglah y’ dan y”

Aplikasi Turunan Kedua : Turunan Kedua  Fungsi cembung keatas dan cembung kebawah  Titik-titik belok  kecekungan

.

𝑑𝑡 𝑑𝑥