Tugasnya Kartika.docx

TUGAS KELOMPOK MATEMATIKA DASAR 2

Disusun Oleh :

Dyah Ayu Khoirunnisa

(32118130)

Syarifah Ulza M

(36118931)

Bagus Irawan

(31118332)

Kelas : 1DB03

UNIVERSITAS GUNADARMA PTA 2018/2019

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah ini sebatas pengetahuan dan kemampuan yang dimiliki. Dan juga kami berterima kasih pada Bapak pembimbing yang telah memberikan tugas ini kepada kami. Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai “Aplikasi turunan dalam penentuan naik turunnya fungsi” . Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat kekurangan-kekurangan dan jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa sarana yang membangun. Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun demi perbaikan di masa depan.

Bekasi, 17 Maret 2019

Penyusun

i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..................................................................................... i DAFTAR ISI .................................................................................................. ii Bab 1 .............................................................................................................. 1 Pendahuluan ................................................................................................... 1 Bab 2............................................................................................................... 2 Pembahasan .................................................................................................... 3 A. Maxima dan Minima ............................................................................ 4 B. Maxima dan MinimaLocal ................................................................... 5 C. Maximum dan Minimum Relative ....................................................... 6 D. Aplikasi Maxima dan Minima ............................................................. 8 Bab 3............................................................................................................... 2 Penutup ........................................................................................................... 3 1. Kesimpulan ......................................................................................... 4 2. Saran ..................................................................................................... 5 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 11

ii

BAB 1 PENDAHULUAN

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) . Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri, misalnya ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Misal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa: a. f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s; b. f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s; c.

f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

1

BAB 2

PEMBAHASAN

A. Maksimum dan Minimum

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) . Lebih umum lagi, maksimum dan minimum dari suatu himpunan (sebagaimana didefinisikan dalam teori himpunan) adalah elemen terbesar dan paling tidak set. Tak terbatas tak terbatas set seperti himpunan bilangan real tidak memiliki minimum dan maksimum.

Missal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa: d.

f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;

e.

f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;

f.

f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

A.

Maksimum dan Minimum Lokal

Andaikan s, daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa: a.

f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ s;

b. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ s; c.

f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

2

Teorema A (uji turunan pertama untuk ekstrim lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c. a.

jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x) < style="">f(c) adalah nilai maksimum local f.

b. jika f’(x) < style="">f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f. c.

jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim local f.

Teorema B Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 a.

jika f” (c) < style="">f.

b. jka f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f. c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Definisi : Andaikan S daerah asal f yang memuat titik c. Kita katakana bahwa : - f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S - f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S - f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum pernyataan keujudan.

Ambilah fungsi tak continue g yang didefinisikan : g(x) =

x

jika 1 ≤ x < 2

x – 2 jika 2 ≤ x ≤ 3 pada S = [1,3] , g tidak mempunyai nilai maksimum hanya mendekati nilai 2 tetapi tidak pernah mencapai 2. Tetapi, g mempunyai nilai minimum untuk g(2) = 0. Teorema kewujudan maksimum dan minimum 3

B.

MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIVE

Uji derivatif pertama untuk ekstrem relatif. Jika derivatif pertama pada fungsi f(x) pada x=x0 adalah f’(x0) = 0, maka nilai fungsi x0,f’(x0) merupakan Maksimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari positif ke negatif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya Minimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari negatif ke positif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya Tidak maksimum maupun minimum relatif bila f’(x) mempunyai tanda yang sama baik sebelah kiri maupun sebelah kanan titik x0

Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x )

Contoh derivatif pertama sampai kelima suatu fungsi:

4

5

Contoh Soal : 1. Carilah nilai nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x2 + 4x pada [-3,1]. Penyelesaian : Menurunkan fungsi

f(x) = x2 + 4x f(x) = x2 + 4x

Kemudian mencari titik kritis f(x) = 0 2x + 4 = 0 x=-2 Berarti titik titik kritis yang didapat -3, -2, 1 maka : f(-3) = -3 f(-2) = -4 f(x) = 5 Jadi, nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)

6

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x pada

interval [0,3]? Penyelesaian: a.

turunkan fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x sehingga menjadi f’(x) = 6x – 18x + 12

b. menentukan titik kritis 6x – 18x + 12 = 0 (6x – 12) (x – 1) = 0 6x – 12 = 0 x – 1 = 0 x=2x=1 c.

intervalnya [0,3] sehingga titik kritisnya adalah 0, 1, 2, 3

d. menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dengan mensubstitusikan titik kritis kedalam fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x x = 0 → f(0) = 2(0)3 – 9(0)2 + 12(0) = 0 → nilai minimum x = 1 → f(1) = 2(1)3 – 9(1)2 + 12(1) = 5 x = 2 → f(2) = 2(2)3 – 9(2)2 + 12(2) = 4 x = 3 → f(3) = 2(3)3 – 9(3)2 + 12(3) = 9 → nilai maksimum jadi dari fungsi diatas ditentukan bahwa nilai fungsi f(0) adalah nilai minimum dan nilai fungsi f(3) adalah nilai minimum

3. Tentukan dimana fungsi h(x) = 4x3 – 6x2 – 24x + 14 naik dan dimmana turun?

Penyelesain: menurunkan fungsi h(x) = 4x3 – 6x2 – 24x + 14 → h’(x) = 12x2 – 12x – 24 12x2 – 12x – 24 = 0 (3x – 6) (4x + 4) = 0 3x – 6 = 0 4x + 4 = 0

x = 2 x = -1

7

BAB 3 PENUTUP

KESIMPULAN

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) . Langkah untuk menyelesaikan masalah maks-min terapan adalah sebagai berikut: 1. Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci. 2. Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tersebut. 3. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x. 4. Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebua selang. 5. Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

8

DAFTAR PUSTAKA

http://www.nafiun.com/2014/06/contoh-soal-fungsi-naik-dan-fung si-turun-maksimum-minimum-rumus-pengertian-persamaanmatematika-pembahasan.html http://juanantend.blogspot.com/2015/06/maksimal-dan-minimaldalam-fungsi-dan.html https://dokumen.tips/documents/maksimum-dan-minimumrelatif.html http://www.nafiun.com/2014/06/contoh-soal-fungsi-naik-danfungsi-turun-maksimum-minimum-rumus-pengertian-persamaanmatematika-pembahasan.html

9