Tugas Statistika Lanjutan.docx

TUGAS STATISTIKA LANJUTAN DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI NORMAL

NAMA : SYLVIA MEIRISA PUTRI (1535200283) DOSEN : RUDI ARYANTO, S.Si., M.Si FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS ISLAM UIN RADEN FATAH PALEMBANG 2016/2017 1

DISTRIBUSI Dalam distribusi teoritis model-modelnya terbagi atas dua bagian, yaitu model diksrit dan model kontinum. Model diskrit diantaranya adalah model Poisson. Adapun model kontinum diantaranya adalah distribusi normal. A. Distribusi Poisson Distribusi Poisson digunakan untuk menyelesaikan data diskrit yang jumlah sampelnya besar (n > 50). Distribusi Poisson mempunyai rentangan sampel mulai dari 0 sampai tak terhingga. Perhitungan rata-rata dan simpangan baku distribusi Poisson juga akan menyangkut masalah probabilitas. Distribusi Poisson digunakan untuk mengatasi keterbatasan distribusi binomial. Fungsi probabilitas distribusi yang mempunyai n banyak atau tak terhingga dapat dihitung degan formula :

P(x) =

𝒆−𝝁 .𝝁𝒙 𝒙!

𝑒 = bilangan tetap Euler yang besarnya 2,71828 𝜇 = parameter yang besarnya n(p) 𝑥 = nilai yang ingin dicari

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri, berikut : a. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat lain yang terpisah. b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit. c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan kan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

2

d. Distribusi Poisson juga untuk menghitung probabilitas timbulnya gejala yang diharapkan (gejala “sukses”) dari sejumlah n kejadian atau sampel, tetapi untuk kasus yang n-nya besar dan p-nya sangat kecil.

Contoh : 1. Dalam pelemparan 5 buah uang logam secara serentak sebanyak 64 kali. Berapa probabilitas keluarnya 5 gambar burung untuk 5 uang logam tersebut secara bersamasama. Setiap lemparan 5 uang logam secara serentak dapat menghasilkan kombinasi sebnayak 2 pangkat 5 (32 kombinasi). Dengan demikian maka probabilitas keluarnya 1

4 gambar burung sekali lempar adalah 32. 1

1

31

Hal ini berarti bahwa p = 32 dan q = 1 − 32 = 32. Oleh karena m = n (p), maka m 1

= 64 ((32) = 2. Untuk contoh soal di atas nilai x dapat 0,1,2,3,…,64. Hal ini berarti keluarnya gambar burung dalam lemparan sebanyak 64 kali dapat: 0 kali, 1 kali, 2 kali, 3 kali, 4 kali, dan seterusnya sampai dengan 64 kali. Apabila kita menginginkan pasangan gambar burung keluar sebanyak 4 kali, maka.:

P(x) = = =

𝒆−𝝁 .𝝁𝒙 𝒙! 𝟐,𝟕𝟏𝟕𝟐𝟖−𝟐 (𝟐)𝟒 𝟒! 𝟎,𝟏𝟑𝟓𝟑𝟑𝟓𝟐𝟖𝟑𝟐 (𝟏𝟔) 𝟐𝟒

= 0,090 Rata-rata distribusi Poisson sama dengan nilai m (np), sedangkan simpangan bakunya merupakan hasil akar dari m (√𝑚). Oleh karena itu varians distribusi Poisson sebesar m, untuk soal di atas rata-rata distribusi Poisson adalah 2, dengan demikian simpangan bakunya adalah √2 = 1,41. 2. Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat : 3

a. Tidak ada kesalahan (x=0) b. Tidak lebih dari 3 kesalahan (x ≤ 3) c. Lebih dari 3 kesalahan (x > 3) Jawab : a. Probabilitas tidak ada kesalahan ( x=0 ) 

Mengunakan rumus:

𝝁 = 5, x = 0 P(x) =

𝒆−𝝁 .𝝁𝒙

P(x=0)=

𝒙! (𝟓)𝟎 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟎!

= 0,0067 = 6,7% 

Menggunakan table Poisson : X = 0 dengan = 5,0 (0;5,0) = 0,0067 = 6,7 %

b. Probabilitas tidak lebih dari 3 kesalahan (x ≤ 3) 

Menggunakan rumus :

P(x)

=

P(x = 0) =

∑𝒙𝒙=𝟏 𝒙! (𝟓)𝟎 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟎

+ 𝑷(=1)

(𝟓)𝟏 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 (𝟏.𝟏)

P(= 2) =

=

∑𝒙𝒙=𝟏 𝝁𝒙 .𝒆−𝝁

=

(𝟓)𝟐 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟐.𝟏

(𝟓)𝟑 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟑.𝟐.𝟏

= 0,2650 4

+P (=3)



Menggunakan table Poisson (x ≤ 3) : P (x, 𝜇) P (0; 5,0) + P (1;5,0) + P (2;5,0) + P (3; 5,0) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 = 0,2650 = 26,5 %

c. Probabilitas lebih dari 3 kesalahan (x > 3) 

Menggunakan rumus : 𝜇 = 5, x>3

Rumus :

P (> 3) = 1 – P ( x ≤ 3 ) P (x > 3) = 1 -

∑𝒙𝒙=𝟏 𝝁𝒙 .𝒆−𝝁 ∑𝒙𝒙=𝟏 𝒙!

P(> 3) =𝟏 − 𝑷(𝒙 = 𝟎) = = 

𝟓𝟏 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 (𝟏.𝟏)

+ P(= 2)

(𝟓)𝟑 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟑.𝟐.𝟏

(𝟓)𝟎 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟎

=

+ 𝑷(=1)

(𝟓)𝟐 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟏𝟖)−𝟓 𝟐.𝟏

+P (=3)

=1 - 0,2650 = 0,735 = 73,5 %

Menggunakan tabel Poisson (x > 3) P (x, 𝜇) P (4; 5,0) + P (5; 5,0) + P (6; 5,0) + P (7; 5,0) + P (8; 5,0) ,,,+ P (15 ; 5,0) = (0,1755) + (0,1755) + (0,1462) + (0,1044) + (0,0653) + (0,0363) + (0,0181) + ( 0,0082) + (0,0035) + (0,0013) + (0,0005) + (0,0001) = 0,7349 = 73,5 %

5

B. Distribusi Normal 1. Distribusi Normal Umum Distribusi normal umum adalah distribusi dari variabel acak kontinu. Kadangkadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan dibidang statistika. Fungsi densita distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut : Rumus :

𝒏(𝒙, 𝝁, 𝝈) =

𝟏 √𝟐𝝅𝝈𝟐

𝟏 𝒙−𝝁 𝟐 𝒆𝟐( 𝝈 )

Di mana Untuk nilai x: - ∞ < 𝑥 < ∞ <, 𝑒 = 2,71818, 𝜇 = 3,14159 𝜇 = Rata-rata populasi 𝜎 = Simpangan baku populasi 𝜎 2 = Ragam populasi

Sifat-sifat penting distribusi normal, sebagai berikut : 1) Grafiknya selalu berada di atas sumbu x 2) Bentuknya simetris pada x = 𝜇 3) Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = 𝜇 4) Luas grafiknya smaa dengan satu unit persegi, dengan perincian. a) Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah 𝜇- 𝜎 dan 𝜇+𝜎 b) Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah 𝜇- 2𝜎 dan 𝜇+2𝜎 c) Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah 𝜇- 3𝜎 dan 𝜇+3𝜎 Bentuk distribusi normal ditentukan oleh 𝝁 dan 𝝈 1) Bentuk Kurva Normal 𝜇1= 𝜇2 dan 𝜎1 > 𝜎2 Dua kurva normal dengan rataan sama tetapi simpangan baku yang berbeda. Terlihat kedua kurva mempunyai titik tengah yang sama pada sumbu datar, tetapi kurva yang memiliki simpangan baku lebih besar tampak lebih rendah dan lebih lebar. 6

2) Bentuk Kurva Normal 𝜇1< 𝜇2 dan 𝜎1= 𝜎2 Dua kurva normal dengan simpangan baku sama tetapi rataan yang berbeda. Terlihat kurva sama persis, tetapi titik tengahya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar. 3) Bentuk Kurva Normal 𝜇1< 𝜇2 dan 𝜎1 < 𝜎2 Dua kurva normal baik rataan maupun simpangan baku berbeda. Terlihat jelas kedua kurva mempunyai titik tengah yang berbeda di sepanjang sumbu datar bentuknya mencerminkan dua nilai 𝜎 yang berlainan. Dapat di simpulkan semakin besar nilai 𝜎, maka semakin landau bentuk dari kurva normal dan semakin kecil nilai 𝜎, maka semakin lancip. 2. Distribusi Normal Standar Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan mean 𝜇 = 0 dan standar deviasi 𝜎 = 1. Untuk data menentukan probbilitas di dalam kurva normal umum untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan dicari di tranformasikan dahulu ke nilai x menjadi nilai z. Rumus :

𝒁=

𝑿− 𝝁 𝝈

Di mana : Z = Luas distribusi normal

𝜎 = Simpangan Baku

X = Data pengukuran

𝜇 = Rata –rata

Contoh : 1. Dari penelitian terhadap 150 unit accu yang diketahui umur rata-rata accu selama 3 tahun dan simpangan baku = 0,5 tahun. Hitunglah peluang umur accu : 1) Umur accu > 4,2 tahun 2) Umur accu < 2,3 tahun 3) Umur accu antara 2,7 tahun 3,7 tahun Jawab : 1) Umur accu > 4,2 tahun 7

Untuk mencari P ( x > 4,5), kita perlu menghitung luas di bawah kurva normal di sebelah kanan dengan x > 4,5 tahun. Rumus :

𝒁=

𝑿− 𝝁 𝝈

=

𝟒,𝟐−𝟑 𝟎,𝟓

= 𝟐, 𝟒

Sehingga P (x > 4,2) = P ( Z > 2,4) lihat tabel distribusi normal (2,4) = 1 – ( Z < 2,4) = 1 – 0,9918 = 0,0082 = 0,82% Sehingga peluang umur accu tersebut di atas 4,2 tahun sebesar 0,82%. 2) Umur accu < 2,2 tahun Untuk mencari P (x < 2,2), kita perlu menghitung luas di bawah kurva normal di sebelah kiri dengan x < 2,2 tahun. Rumus :

𝒁=

𝑿− 𝝁 𝝈

=

𝟐,𝟐−𝟑 𝟎,𝟓

= 1,6

Sehingga P (x < 2,2) = P ( Z < - 1,6) = 0,0548 =5,48% Sehingga peluang umur accu tersebut di atas 2,2 tahun sebesar 5,48%. 3) Umur accu 2,7 < x < 3,7 tahun Untuk mencari P (X = 2,7 sampai 3,7) , kita perlu menghitung luas di bawah kurva normal dengan x1 = 2,7 tahun dan x2 = 3,7 tahun.

𝒁𝟏 =

𝑿𝟏 − 𝝁 𝝈

=

𝟐,𝟕−𝟑

𝒙𝟐 − 𝝁

𝟎,𝟓

𝝈

= -0,6 dan 𝒁𝟐 =

Sehingga P (2,7< Z< 3,5) = P ( Z-0,6 < Z < 1,4) = P ( Z < 1,4) – P (Z < -0,6) 8

=

𝟑,𝟕−𝟑 𝟎,𝟓

= 1,4

= 0,9092 – 0,2743 = 0,6349 = 63,5% Sehingga peluang umur accu tersebut antara 2,7 sampai 3,7 tahun sebesar 63,5%.

2. Pembeli menetapkan diameter laher, yakni sebesar 3,0 ± 0,01 cm. Maksudnya yaitu tidak ada laher yang ukurannya di luar ketentuan akan diterima. Diketahui pengukuran pengambilan sampel produk ini berdistribusi normal dengan rataan 3a, cm dan simpangan baku 𝜎 = 0,005. Berapa banyak rata-rata laher yang akan terbuang. Jawab : Untuk mencari P (X1 = 2,99 dan X2 = 3,01) kita perlu menghitung luas di bawah kurva normal dengan x1 ≤ 2,99 t dan x2 ≥ 3,01. X1 = 2,99 dan X2 = 3,01

𝒁𝟏 =

𝑿𝟏 − 𝝁 𝝈

=

𝟐,𝟗𝟗−𝟑,𝟎𝟎

𝒙𝟐 − 𝝁

𝟎,𝟎𝟎𝟓

𝝈

= -0,2 dan 𝒁𝟐 =

=

𝟑,𝟎𝟏−𝟑 𝟎,𝟎𝟎𝟓

= 0,2

Sehingga P (2,99< Z< 3,01) = P ( Z-0,2 < Z < 0,2) Dari tabel distribusi normal P ( Z < -0,2) = 0,0228 karena distribusi normal setangkup, maka P (-0,2 < Z < 0,2) = 2 (0,022) = 0,0456 = 4,5 % Sehingga peluang produk yang akan terbuang atau cacat sebesar 4,5%.

9