Tugas Sejarah Fisika Fix.docx

TUGAS SEJARAH FISIKA BIOGRAFI DAVID HILBERT

OLEH : Hanifah Hutami (15034062) Muhammad Reza Iswara (150340

DOSEN PEMBIMBING : Rahmat Hidayat, S.Pd, M.Si

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2018

Sejarah david Hilbert

David Hilbert (23 Januari 1862, Wehlau, Prusia Timur – 14 Februari 1943, Gottingen, Jerman) ialah Matematikawan Jerman. Sebagian besar orang berpikir bahwa ia adalah salah satu matematikawan paling berpengaruh pada abad ke-19 dan awal abad ke-20. Ia mendapatkan reputasi sebagai matematikawan dan ilmuwan besar dengan menemukan atau mengembangkan beberapa gagasan, seperti teori invarian, aksiomisasi geometri, dan gagasan ruang Hilbert. Inilah salah satu penemuan analisis fungsi. Hilbert dan muridnya menyumbang banyak pada kerangka dasar matematika yang diperlukan untuk mekanika kuantum dan relativitas umum. ia adalah salah satu pendiri logika matematika. Ia juga salah satu orang pertama yang membuat pembedaan antara matematika dan metamatematika, dan secara hangat mempertahankan teori himpunan Cantor. Contoh terkenal kepemimpinannya di dunia matematika ialah presentasinya pada 1900 mengenai himpunan masalah yang menentukan jalannya sebagian besar riset matematika pada abad ke-20. Pada awal 1920-an, matematikawan Jerman David Hilbert (1862–1943) mengajukan proposal baru untuk fondasi matematika klasik yang kemudian dikenal sebagai Program Hilbert. Ini panggilan untuk formalisasi semua matematika dalam bentuk aksiomatik, bersama-sama dengan bukti bahwa aksioma matematika ini konsisten. Bukti konsistensi itu sendiri harus dilakukan hanya menggunakan apa yang disebut Hilbert "finiton" metode. Karakter epistemologis khusus penalaran finital kemudian menghasilkan pembenaran yang diperlukan dari matematika klasik. Meskipun Hilbert mengusulkan programnya dalam bentuk ini hanya pada tahun 1921, berbagai aspek itu berakar pada pekerjaan mendasar dari perjalanannya kembali hingga sekitar tahun 1900, ketika ia pertama kali menunjukkan perlunya memberikan bukti konsistensi langsung analisis. Program ini berjalan secara signifikan pada tahun 1920 dengan kontribusi dari para ahli logika seperti Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann, dan Jacques Herbrand. Itu juga pengaruh besar pada Kurt Gödel, yang bekerja pada teorema ketidaklengkapan dimotivasi oleh Hilbert's Program. Pekerjaan Gödel umumnya diambil untuk menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak dapat dilaksanakan. Hal ini tetap terus menjadi posisi yang berpengaruh dalam filsafat matematika, dan, dimulai dengan karya Gerhard

Gentzen di tahun 1930-an, bekerja pada apa yang disebut Program Hilbert Relatif yang telah menjadi pusat pengembangan teori bukti.

A. Perkembangan historis Program Hilbert 1. Pekerjaan awal di yayasan Karya Hilbert pada dasar-dasar matematika memiliki akarnya dalam karyanya pada geometri tahun 1890-an, yang berpuncak pada bukunya yang berpengaruh di buku-buku Dasar Geometri (1899) (lihat Geometri Abad ke-19). Hilbert percaya bahwa cara yang tepat untuk mengembangkan subjek ilmiah apa pun secara ketat membutuhkan

pendekatan

aksiomatik.

Dalam

memberikan

pengobatan

aksiomatik, teori akan dikembangkan secara independen dari setiap kebutuhan intuisi, dan itu akan memfasilitasi analisis hubungan logis antara konsep dasar dan aksioma. Pentingnya dasar untuk pengobatan aksiomatik, jadi Hilbert, penyelidikan kemerdekaan dan, di atas semua, dari konsistensi aksioma. Untuk aksioma geometri, konsistensi dapat dibuktikan dengan menyediakan interpretasi sistem dalam bidang nyata, dan dengan demikian, konsistensi geometri direduksi menjadi konsistensi analisis. Landasan analisis, tentu saja, membutuhkan anxiomatization dan bukti konsistensi. Hilbert memberikan aksiomaasi semacam itu di (1900b), tetapi menjadi sangat jelas bahwa konsistensi analisis menghadapi kesulitan yang signifikan, khususnya karena cara yang disukai untuk menyediakan landasan untuk analisis dalam karya Dedekind bergantung pada asumsi yang meragukan seperti pada mereka yang memimpin pada paradoks teori himpunan dan Paradoks Russell dalam pondasi aritmetika Frege.

Hilbert kemudian menyadari bahwa bukti konsistensi analisis langsung, yaitu, yang tidak didasarkan pada reduksi ke teori lain, diperlukan. Dia mengusulkan masalah menemukan bukti seperti yang kedua dari 23 masalah matematika dalam pidatonya ke International Congress of Mathematicians di 1900 (1900a) dan mempresentasikan sketsa dari bukti seperti dalam pembicaraan Heidelberg (1905). Beberapa faktor menunda pengembangan lebih lanjut dari program dasar

Hilbert. Salah satunya mungkin adalah kritik terhadap Poincaré (1906) terhadap apa yang dilihatnya sebagai penggunaan induksi lingkaran setan dalam bukti konsistensi yang dilukiskan Hilbert (lihat Steiner 1975, Lampiran). Hilbert juga menyadari bahwa penyelidikan aksiomatik membutuhkan formalisme logis yang bekerja dengan baik. Pada saat itu ia mengandalkan konsepsi logika berdasarkan pada tradisi aljabar, khususnya, pada karya Schröder, yang tidak begitu cocok sebagai formalisme untuk aksioma matematika. (Lihat Peckhaus 1990 tentang perkembangan awal Program Hilbert.)

2. Pengaruh Principia Mathematica Publikasi Russell dan Whitehead's Principia Mathematica memberikan dasar logis yang diperlukan untuk serangan baru pada isu-isu mendasar. Mulai tahun 1914, mahasiswa Hilbert, Heinrich Behmann, dan lainnya mempelajari sistem Principia (lihat Mancosu 1999 tentang peran Behmann di sekolah Hilbert). Hilbert sendiri kembali bekerja pada isu-isu mendasar pada tahun 1917. Pada bulan September 1917, ia menyampaikan pidato kepada Swiss Mathematical Society yang berjudul "Pemikiran Axiomatic" (1918a). Ini adalah kontribusi pertamanya yang diterbitkan untuk yayasan matematika sejak 1905. Di dalamnya, ia sekali lagi menekankan persyaratan bukti konsistensi untuk sistem aksiomatik: “Kebutuhan utama teori aksioma harus lebih jauh [daripada hanya menghindari paradoks yang diketahui], yaitu, untuk menunjukkan bahwa dalam setiap bidang kontradiksi pengetahuan berdasarkan pada sistem aksioma yang mendasarinya benar-benar tidak mungkin. ”Dia menunjukkan bukti konsistensi aritmatika (dan teori himpunan) lagi sebagai masalah terbuka utama. Dalam kedua kasus ini, tampaknya tidak ada yang lebih mendasar yang tersedia yang konsistensinya dapat dikurangi selain dari logika itu sendiri. Dan Hilbert kemudian berpikir bahwa masalahnya pada dasarnya telah dipecahkan oleh karya Russell di Principia. Namun demikian, masalah mendasar lainnya dari aksioma tetap tidak terpecahkan, termasuk masalah "decidability dari setiap pertanyaan matematika," yang juga menelusuri kembali ke alamat 1900 Hilbert.

Masalah-masalah yang tak terselesaikan dari aksioma menyebabkan Hilbert mengabdikan upaya signifikan untuk bekerja pada logika di tahun-tahun berikutnya. Pada tahun 1917, Paul Bernays bergabung dengannya sebagai asistennya di Göttingen. Dalam serangkaian program dari 1917-1921, Hilbert, dengan bantuan Bernays dan Behmann, membuat kontribusi baru yang signifikan terhadap logika formal. Kursus dari 1917 (Hilbert, 1918b), khususnya, berisi perkembangan canggih logika orde pertama, dan membentuk dasar buku teks Hilbert dan Ackermann Principles of Theoretical Logic (1928) (lihat Ewald dan Sieg 2013, Sieg 1999, dan Zach 1999, 2003).

3. Finitisme dan pencarian bukti konsistensi Namun, dalam beberapa tahun ke depan, Hilbert datang untuk menolak solusi logisis Russel terhadap masalah konsistensi untuk aritmatika. Pada saat yang sama, matematika intuisionistis Brouwer memperoleh mata uang. Secara khusus, mantan siswa Hilbert, Hermann Weyl, berubah menjadi intuisionisme. Kertas Weyl "Krisis dasar baru dalam matematika" (1921) dijawab oleh Hilbert dalam tiga pembicaraan di Hamburg pada Musim Panas 1921 (1922b). Di sini, Hilbert mempresentasikan proposal sendiri untuk solusi untuk masalah pondasi matematika. Proposal ini menggabungkan ide-ide Hilbert dari tahun 1904 mengenai bukti konsistensi langsung, konsepsinya tentang sistem aksiomatik, dan juga perkembangan teknis dalam aksiomaasi matematika dalam karya Russell serta perkembangan lebih lanjut yang dilakukan oleh dia dan kolaboratornya. Apa yang baru adalah cara Hilbert ingin mengilhami proyek konsistensinya dengan signifikansi filosofis yang diperlukan untuk menjawab kritik Brouwer dan Weyl: titik pandang finitasinya.

Menurut Hilbert, ada bagian istimewa dari matematika, teori bilangan dasar, yang hanya bergantung pada "dasar-dasar murni dari tanda-tanda konkret." Sedangkan operasi dengan konsep abstrak dianggap "tidak memadai dan tidak pasti," ada alam

objek diskrit ekstra-logis, yang ada secara intuitif sebagai pengalaman langsung sebelum semua pikiran. Jika inferensi logis adalah untuk memastikan, maka objek-objek ini harus mampu sepenuhnya disurvei di semua bagian mereka, dan presentasi mereka, perbedaan mereka, suksesi mereka (seperti objek itu sendiri) harus ada untuk kita dengan segera, secara intuitif, sebagai sesuatu yang tidak bisa direduksi menjadi sesuatu yang lain. (Hilbert 1922b, 202; perikop ini diulangi hampir verbatim dalam Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464, dan Hilbert 1931b, 267) Benda-benda ini adalah, untuk Hilbert, tanda-tanda. Domain teori nomor konten terdiri atas angka-angka akhir, yaitu, urutan stroke. Ini tidak memiliki arti, yaitu, mereka tidak berdiri untuk objek abstrak, tetapi mereka dapat dioperasikan (misalnya, digabung) dan dibandingkan. Pengetahuan tentang sifat dan hubungan mereka bersifat intuitif dan tidak langsung oleh inferensi logis. Teori jumlah konten yang dikembangkan dengan cara ini adalah aman, menurut Hilbert: tidak ada kontradiksi yang dapat muncul hanya karena tidak ada struktur logis dalam proposisi teori bilangan puas.

Operasi intuitif-konten dengan tanda-tanda membentuk dasar metamathematics Hilbert. Sama seperti teori bilangan kontekstual beroperasi dengan urutan stroke, sehingga metamathematics beroperasi dengan urutan simbol (rumus, bukti). Rumus dan bukti dapat dimanipulasi secara sintaksis, dan sifat serta hubungan rumus dan bukti juga didasari dalam kapasitas intuitif logika-bebas yang menjamin kepastian pengetahuan tentang rumus dan bukti yang diterima oleh operasi sintaksis tersebut. Matematika itu sendiri, bagaimanapun, beroperasi dengan

konsep-konsep

abstrak,

misalnya,

kuantifier,

set,

fungsi,

dan

menggunakan inferensi logis berdasarkan prinsip-prinsip seperti induksi matematika atau prinsip menengah yang dikecualikan. "Formasi-konsep" dan mode penalaran ini telah dikritik oleh Brouwer dan yang lain dengan alasan bahwa mereka mengandaikan totalitas yang tidak terbatas seperti yang diberikan, atau bahwa mereka melibatkan definisi-definisi impredikatif (yang dianggap oleh para kritikus sebagai lingkaran setan). Tujuan Hilbert adalah untuk membenarkan

penggunaannya. Untuk tujuan ini, ia menunjukkan bahwa mereka dapat diformalkan dalam sistem aksiomatik (seperti yang dari Principia atau yang dikembangkan oleh Hilbert sendiri), dan proposisi matematika dan bukti sehingga berubah menjadi rumus dan derivasi dari aksioma sesuai dengan aturan derivasi dibatasi ketat. Matematika, demikian Hilbert, "menjadi inventaris rumus yang dapat dibuktikan." Dengan cara ini, bukti matematika tunduk pada penyelidikan metamathematical, contentual. Tujuan dari program Hilbert adalah untuk memberikan bukti yang bersifat metamathematical, yang tidak boleh ada derivasi dari suatu kontradiksi, yaitu, tidak ada turunan formal dari formula A dan negasinya ¬A.

Sketsa dari tujuan program ini disempurnakan oleh Hilbert dan rekan-rekannya dalam 10 tahun berikutnya. Di sisi konseptual, sudut pandang yang terbatas dan strategi untuk bukti konsistensi dijabarkan oleh Hilbert (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) dan Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), di antaranya artikel Hilbert “On the infinite” (1926) memberikan elaborasi paling rinci dari sudut pandang finit. Selain Hilbert dan Bernays, sejumlah orang lain terlibat dalam pekerjaan teknis dalam program ini. Dalam ceramah yang diberikan dalam Göttingen (Hilbert dan Bernays, 1923; Hilbert, 1922a), Hilbert dan Bernays mengembangkan ε-kalkulus sebagai formalisme definitif mereka untuk sistem aksioma untuk aritmatika dan analisis. mempresentasikan

pendekatannya

untuk

Hilbert

memberikan

di

sana juga

bukti

konsistensi

menggunakan apa yang disebut ε-su

4. Dampak dari teorema ketidaklengkapan Gödel Teorema ketidaklengkapan Gödel menunjukkan bahwa optimisme Hilbert tidak semestinya. Pada bulan September 1930, Kurt Gödel mengumumkan teorema ketidaklengkapan pertamanya di sebuah konferensi di Königsberg. Von Neumann, yang berada di antara penonton, segera menyadari pentingnya hasil Gödel untuk program Hilbert. Tidak lama setelah konferensi dia menulis kepada Gödel, mengatakan kepadanya bahwa dia telah menemukan akibat wajar dari

hasil Gödel. Gödel telah menemukan hasil yang sama secara independen: teorema ketidaklengkapan kedua, menegaskan bahwa sistem Principia tidak membuktikan formalisasi klaim bahwa sistem Principia konsisten (asalkan memang demikian). Semua metode penalaran finit yang digunakan dalam bukti konsistensi hingga saat itu diyakini dapat diformalkan dalam Principia. Oleh karena itu, jika konsistensi Principia dapat dibuktikan dengan metode yang digunakan dalam bukti Ackermann, harus dimungkinkan untuk meresmikan bukti ini dalam Principia; tapi ini adalah apa teorema ketidaklengkapan yang kedua menyatakan tidak mungkin. Bernays juga menyadari pentingnya hasil Gödel segera setelah ia mempelajari kertas Gödel pada Januari 1931, menulis kepada Gödel bahwa (dengan asumsi bahwa penalaran finis dapat diformalkan dalam Principia), teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi Finis Principia tidak mungkin. Tak lama setelah itu, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann adalah cacat dan memberikan contoh yang salah terhadap prosedur substitusi ε (lihat Zach 2003).

Pada (1936), Gentzen menerbitkan bukti konsistensi dari orde pertama Peano Arithmetic PA. Seperti yang ditunjukkan oleh Gödel, bukti Gentzen menggunakan metode yang tidak dapat diformalkan dalam PA itu sendiri, yaitu induksi transfinite sepanjang ordinal ε0. Karya Gentzen menandai awal teori bukti pasca-Gödelian dan bekerja pada Program Hilbert Relatif. Bukti teori dalam tradisi Gentzen telah menganalisis sistem aksiomatik sesuai dengan ekstensi apa dari sudut pandang fana yang diperlukan untuk membuktikan konsistensi mereka. Biasanya, kekuatan konsistensi sistem telah diukur oleh ordinal proof-theoretic sistem, yaitu induksi transfitus ordinal yang cukup untuk membuktikan konsistensi. Dalam kasus PA, ordinal itu adalah ε0. (Untuk diskusi lebih lanjut, lihat entri tentang pengembangan teori bukti.)

B. The Finitary Point of View Landasan filosofi Hilbert tentang matematika, dan aspek yang secara substansial baru dari pemikiran dasarnya sejak 1922b dan seterusnya, terdiri dari apa yang ia sebut sudut

pandang finit. Sudut pandang metodologis ini terdiri dalam pembatasan pemikiran matematis untuk objek-objek yang "secara intuitif hadir sebagai pengalaman langsung sebelum semua pemikiran," dan untuk operasi-operasi tersebut dan metode penalaran tentang objek-objek semacam itu yang tidak memerlukan pengenalan konsep abstrak, dalam khususnya, tanpa banding ke totalitas tak terbatas selesai.

Ada beberapa masalah mendasar dan saling terkait dalam memahami sudut pandang Hilbert's:

a. Apa saja benda-benda penalaran finit? b. Apa proposisi yang sangat berarti? c. Apa metode konstruksi dan penalaran yang sangat bisa diterima

1. Objek-objek akhir dan epistemologi finitis Hilbert mencirikan domain penalaran finit dalam paragraf terkenal yang muncul dalam kira-kira formulasi yang sama di semua dokumen Hilbert lebih filosofis dari tahun 1920 (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] kondisi untuk penggunaan kesimpulan logis dan kinerja operasi logis, sesuatu harus sudah diberikan kepada fakultas perwakilan kami, benda-benda konkretogis tertentu yang secara intuitif hadir sebagai pengalaman langsung sebelum semua pemikiran. Jika inferensi logis harus dapat diandalkan, harus dimungkinkan untuk mensurvei objek-objek ini secara lengkap di semua bagian mereka, dan fakta bahwa objek-objek itu terjadi, bahwa mereka berbeda satu sama lain, dan bahwa mereka saling mengikuti, atau digabungkan, segera diberikan secara intuitif, bersama-sama dengan objek, sebagai sesuatu yang tidak dapat direduksi menjadi hal lain atau membutuhkan pengurangan. Ini adalah posisi filosofis dasar yang saya anggap perlu untuk matematika dan, secara umum, untuk semua pemikiran ilmiah, pemahaman, dan komunikasi. (Hilbert, 1926, 376) Benda-benda ini, untuk Hilbert, tanda-tandanya. Untuk domain teori nomor konten, tanda-tanda yang dimaksud adalah angka-angka seperti

1, 11, 111, 11111 Pertanyaan tentang bagaimana tepatnya Hilbert memahami angka-angka sulit untuk dijawab. Mereka bukan objek fisik (goresan yang sebenarnya di atas kertas, misalnya), karena itu selalu mungkin untuk memperpanjang angka dengan menambahkan stroke lain (dan, seperti Hilbert juga berpendapat dalam "On the infinite" (1926), diragukan bahwa alam semesta fisik tidak terbatas). Menurut Hilbert (1922b, 202), "bentuk mereka dapat secara umum dan tentu saja diakui oleh kita - terlepas dari ruang dan waktu, kondisi khusus dari produksi tanda, dan perbedaan yang tidak berarti dalam produk jadi." bukan konstruksi mental, karena sifat mereka objektif, namun keberadaan mereka tergantung pada konstruksi intuitif mereka (lihat Bernays 1923, 226). Yang jelas dalam hal apapun adalah bahwa mereka secara logis primitif, yaitu, tidak ada konsep (seperti angka-angka Frege) atau set. Yang penting di sini bukanlah terutama status metafisis mereka (abstrak versus konkret dalam pengertian istilah-istilah ini saat ini), tetapi bahwa mereka tidak masuk ke dalam hubungan logis, misalnya, mereka tidak dapat diprediksi apa pun. Dalam presentasi yang paling matang dari finitisme (Hilbert dan Bernays, 1939; Bernays, 1930), objek-objek finitisme dicirikan sebagai objek formal yang secara rekursif dihasilkan oleh proses pengulangan; simbol-simbol stroke adalah representasi konkret dari objek-objek formal ini.

Pertanyaan tentang apa yang menurut Hilbert status epistemologis dari objekobjek finitisme sama sulitnya. Untuk melaksanakan tugas menyediakan landasan yang aman bagi matematika infinitistik, akses ke objek-objek finit harus segera dan pasti. Latar belakang filosofis Hilbert secara luas adalah Kantian, seperti juga Bernays, yang berafiliasi erat dengan aliran filsafat neo-Kantian di sekitar Leonard Nelson di Göttingen. Karakterisasi Hilbert tentang finitisme sering mengacu pada intuisi Kantian, dan objek-objek finitisme sebagai objek yang diberikan secara intuitif. Memang, dalam epistemologi Kant, kesegeraan adalah ciri khas dari pengetahuan intuitif. Pertanyaannya, intuisi seperti apa yang sedang dimainkan? Mancosu (1998b) mengidentifikasi perubahan dalam hal ini. Dia

berpendapat bahwa sedangkan intuisi yang terlibat dalam surat kabar awal Hilbert adalah semacam intuisi perseptual, dalam tulisan-tulisan selanjutnya (misalnya, Bernays 1928a) itu diidentifikasi sebagai bentuk intuisi murni dalam arti Kantian. Namun, pada waktu yang hampir bersamaan, Hilbert (1928, 469) masih mengidentifikasi jenis intuisi saat bermain sebagai perseptual. Dalam (1931b, 266-267), Hilbert melihat cara berpikir terbatas sebagai sumber terpisah dari pengetahuan a priori di samping intuisi murni (misalnya, ruang) dan alasan, mengklaim bahwa ia telah "diakui dan dicirikan sumber ketiga pengetahuan yang menyertai pengalaman dan logika. ”Baik Bernays dan Hilbert membenarkan pengetahuan final dalam istilah-istilah Kantian secara luas (tanpa sejauh memberikan deduksi transendental), mengkarakterisasi penalaran finan sebagai jenis penalaran yang mendasari semua matematika, dan memang, ilmiah , berpikir, dan tanpa pemikiran seperti itu tidak mungkin. (Lihat Kitcher 1976 dan Parsons 1998 tentang epistemologi finitisme, dan Patton 2014 untuk konteks historis dan filosofis dari teori tanda Hilbert.)

2. Proposisi yang sangat berarti dan penalaran finiter Penghakiman yang paling mendasar tentang angka finiter adalah tentang kesetaraan dan ketidaksetaraan. Selain itu, sudut pandang yang terbatas memungkinkan operasi pada objek-objek finit. Di sini yang paling mendasar adalah penggabungan. Rangkaian angka 11 dan 111 dikomunikasikan sebagai "2 + 3," dan pernyataan bahwa 11 digabung dengan 111 hasil dalam angka yang sama dengan 111 yang digabungkan dengan 11 oleh "2 + 3 = 3 + 2." Dalam bukti yang sebenarnya- praktek teoritis, serta secara eksplisit dalam (Hilbert dan Bernays, 1934; Bernays, 1930), operasi dasar ini digeneralisasikan untuk operasi yang didefinisikan oleh rekursi, paradigmatis, rekursi primitif, misalnya, perkalian dan eksponensial (lihat Parsons 1998 untuk diskusi tentang filosofis kesulitan dalam kaitannya dengan eksponensial). Demikian pula, penilaian final mungkin melibatkan tidak hanya kesetaraan atau ketidaksetaraan tetapi juga sifat-sifat dasar yang dapat ditembus, seperti “adalah prima.” Hal ini dapat diterima secara final selama fungsi karakteristik dari properti itu sendiri adalah final: Misalnya, operasi

yang mentransformasi satu angka ke 1 jika itu adalah bilangan prima dan 11 jika tidak dapat ditentukan oleh rekursi primitif dan oleh karenanya bersifat final. Proposisi seperti itu dapat digabungkan oleh operasi logis biasa dari konjungsi, disjungsi, negasi, tetapi juga kuantifikasi terbatas. (Hilbert, 1926) memberikan contoh proposisi bahwa “ada bilangan prima antara p + 1 dan p! + 1 ”di mana p adalah bilangan besar tertentu. Pernyataan ini sangat dapat diterima karena "hanya berfungsi untuk menyingkat proposisi" yang baik p + 1 atau p + 2 atau p + 3 atau ... atau p! +1 adalah prime.

Proposisi finlandia yang bermasalah adalah yang mengungkapkan fakta-fakta umum tentang angka-angka seperti itu, untuk setiap angka yang diberikan n, 1 + n = n + 1. Ini bermasalah karena, seperti Hilbert mengatakannya, "dari sudut pandang finitist tidak mampu ditiadakan" (1926, 378). Dengan ini, maksudnya adalah proposisi kontradiktif bahwa ada angka n yang mana 1 + n ≠ n + 1 tidak berarti secara final. “Seseorang tidak bisa, setelah semua, mencoba semua nomor” (1928, 470). Untuk alasan yang sama, proposisi umum finalis tidak dapat dipahami sebagai hubungan tak terbatas tetapi "hanya sebagai penilaian hipotetis yang datang untuk menegaskan sesuatu ketika angka diberikan" (ibid.). Meskipun mereka bermasalah dalam pengertian ini, pernyataan final umum sangat penting bagi teori pembuktian Hilbert, karena pernyataan konsistensi sistem formal S adalah bentuk umum seperti itu: untuk setiap urutan rumus P, P bukanlah derivasi kontradiksi dalam S.

3. Operasi akhir dan bukti akhir Yang sangat penting bagi pemahaman terhadap finitisme dan teori pembuktian Hilbert adalah pertanyaan tentang operasi apa dan prinsip apa yang harus dibolehkan dari sudut pandang finitist. Bahwa jawaban umum diperlukan jelas dari tuntutan teori bukti Hilbert, yaitu, tidak diharapkan bahwa diberikan sistem formal matematika (atau bahkan urutan tunggal rumus) yang dapat "melihat" bahwa itu konsisten ( atau bahwa itu tidak dapat menjadi turunan asli dari ketidakkonsistenan) cara yang dapat kita lihat, misalnya, bahwa 11 + 111 = 111 +

11. Apa yang diperlukan untuk bukti konsistensi adalah operasi yang, diberi derivasi formal, mengubah derivasi tersebut menjadi salah satu bentuk khusus, ditambah bukti bahwa operasi sebenarnya melakukan ini dan itu bukti-bukti dari jenis khusus tidak dapat menjadi bukti ketidakkonsistenan. Untuk menghitung sebagai bukti konsistensi yang final, operasi itu sendiri harus diterima dari sudut pandang finitist, dan bukti yang diperlukan harus menggunakan hanya prinsip yang dapat diterima secara ilmiah. Hilbert tidak pernah memberikan catatan umum tentang operasi dan metode pembuktian yang dapat diterima dari sudut pandang finitist, tetapi hanya contoh operasi dan metode penyimpulan dalam teori bilangan finite yang diterima sebagai finalis. Induksi kontenual diterima dalam aplikasinya untuk pernyataanpernyataan final dari jenis hipotetis, umum secara eksplisit dalam Hilbert (1922b). Dia (1923, 1139) mengatakan bahwa pemikiran intuitif "termasuk rekursi dan induksi intuitif untuk totalitas yang ada terbatas," dan digunakan exponentiation dalam contoh pada tahun 1928. Bernays (1930) menjelaskan bagaimana eksponensial dapat dipahami sebagai operasi akhir pada angka. Hilbert dan Bernays (1934) memberikan satu-satunya laporan umum dari teori bilangan akhir yang halus; menurut itu, operasi didefinisikan oleh rekursi primitif dan bukti menggunakan induksi yang diterima secara resmi. Semua metode ini dapat diformalkan dalam sistem yang dikenal sebagai primitif rekursif aritmatika (PRA), yang memungkinkan definisi fungsi oleh rekursi primitif dan induksi pada formula bebas kuantifier (ibid.). Namun, baik Hilbert maupun Bernays pernah mengklaim bahwa hanya operasi rekursif primitif yang dianggap sebagai final, dan mereka pada kenyataannya memang menggunakan beberapa metode rekursif non-primitif dalam bukti konsistensi yang seolah-olah sudah final pada tahun 1923 (lihat Tait 2002 dan Zach 2003).

Isu konseptual yang lebih menarik adalah operasi mana yang harus dianggap sebagai final. Karena Hilbert kurang jelas tentang apa arti finiton, ada beberapa kelonggaran dalam menyusun batasan, epistemologis dan sebaliknya, analisis operasi finitist dan bukti harus dipenuhi. Hilbert dicirikan (lihat di atas) obyek-

obyek teori bilangan finiton sebagai "secara intuitif diberikan," sebagai "disurvei di semua bagian mereka," dan mengatakan bahwa mereka memiliki sifat dasar harus "ada secara intuitif" bagi kita. Bernays (1922, 216) mengemukakan bahwa dalam matematika final, hanya “kognisi intuitif primitif ikut bermain,” dan menggunakan istilah “sudut pandang bukti intuitif” dalam kaitannya dengan finitisme 1930, 250. Karakterisasi finitisme ini terutama untuk dilakukan dengan intuisi dan pengetahuan intuitif telah ditekankan secara khusus oleh (Parsons, 1998) yang berpendapat bahwa apa yang dapat dihitung sebagai final pada pemahaman ini tidak lebih dari operasi aritmatika yang dapat didefinisikan dari penambahan dan perkalian menggunakan rekursi terbatas. Secara khusus, menurut dia, eksponensiasi dan rekurensi primitif umum tidak dapat diterima secara final. Tesis bahwa finitisme bertepatan dengan penalaran rekursif primitif telah menerima pembelaan yang kuat oleh (Tait 1981; lihat juga 2002 dan 2005b). Tait, berbeda dengan Parsons, menolak aspek keterwakilan dalam intuisi sebagai ciri khas dari final; alih-alih, ia mengambil penalaran fital untuk menjadi "semacam penalaran minimal yang diandaikan oleh semua penalaran matematis non-trivial tentang angka." dan menganalisis operasi dan metode pembuktian sebagai bukti yang tersirat dalam gagasan tentang angka sebagai bentuk yang terbatas. urutan. Analisis finitisme didukung oleh pendapat Hilbert bahwa penalaran finit adalah prasyarat untuk logis dan matematis, memang ada pemikiran ilmiah Hilbert (1931b, 267). Karena penalaran finiter adalah bagian dari matematika yang diandaikan oleh semua penalaran non-sepele tentang angka, itu adalah, jadi Tait, "tidak bisa dielakkan" dalam arti Cartesian, dan indubitabilitas ini karena semua yang diperlukan dari penalaran finit untuk menyediakan epistemologis Landasan matematika Hilbert dimaksudkan untuk.

Analisis lain yang menarik dari bukti akhir, yang, bagaimanapun, tidak memberikan pembenaran filosofis secara rinci, diusulkan oleh Kreisel (1960). Ini menghasilkan hasil bahwa fungsi-fungsi tersebut bersifat final yang dapat dibuktikan secara total dalam PA aritmatik orde pertama. Ini didasarkan pada konsep bukti-teoretis dari prinsip refleksi; lihat Zach (2006) untuk lebih detail dan

Dean (akan datang) untuk analisis. Kreisel (1970, Bagian 3.5) memberikan analisis lain dengan berfokus pada apa yang "dapat dilihat." Hasilnya sama: provokasi akhir ternyata menjadi koeksif dengan provabilitas dalam PA.

Analisis teknis Tait menghasilkan bahwa fungsi finitistik sama persis dengan fungsi rekursif primitif, dan kebenaran teori angka finitistik adalah persis yang dapat dibuktikan dalam teori PRA aritmatik rekursif primitif. Penting untuk ditekankan bahwa analisis ini tidak dilakukan dari dalam sudut pandang finitist itu sendiri. Karena pengertian umum tentang "fungsi" dan "bukti" tidak sendiri finalis, kaum finitist tidak dapat memahami tesis Tait bahwa semua hal yang dapat dibuktikan dalam PRA adalah benar secara finitik. Menurut Tait, analisis yang tepat terhadap kepastian yang bersifat finitistik tidak boleh berasumsi bahwa finitisme itu sendiri memiliki akses ke gagasan-gagasan non-finitistik semacam itu. Pendekatan Kreisel dan beberapa kritik Tait yang bergantung pada prinsipprinsip refleksi atau ω-aturan bertentangan dengan persyaratan ini (lihat Tait 2002, 2005b). Di sisi lain, orang dapat membantah bahwa PRA terlalu kuat untuk dihitung sebagai formalisasi dari apa yang "diandaikan oleh semua penalaran matematis non-sepele tentang angka": ada teori yang lebih lemah tetapi tidak sepele yang terkait dengan kelas yang lebih kecil. fungsi dari yang rekursif primitif, seperti PV dan EA, terkait dengan waktu polinomial-waktu dan Kalmardasar masing-masing (lihat Avigad 2003 tentang berapa banyak matematika dapat dilakukan di EA). Menggunakan analisis sepanjang garis yang sama dengan Tait's, Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai fungsi Kalmar-elementary sebagai yang finitistik.

C. Formalisme, reduksionisme dan instrumentalisme Weyl (1925) adalah reaksi damai untuk proposal Hilbert pada tahun 1922 dan 1923, yang tetap mengandung beberapa kritik penting. Weyl mendeskripsikan proyek Hilbert sebagai pengganti matematika kontekstual oleh permainan formula yang tidak berarti. Dia mencatat bahwa Hilbert ingin "mengamankan bukan kebenaran, tetapi konsistensi analisis" dan menyarankan kritik yang menggemakan yang sebelumnya oleh Frege:

Mengapa kita harus mengambil konsistensi dari sistem formal matematika sebagai alasan untuk percaya pada kebenaran dari matematika pra-formal yang dikodifikasikan? Apakah inventaris rumus Hilbert tidak bermakna bukan hanya "hantu analisis tanpa darah"? Weyl menyarankan solusi:

[I] f matematika adalah untuk tetap menjadi perhatian budaya yang serius, maka beberapa pengertian harus dilekatkan pada permainan rumus Hilbert, dan saya hanya melihat satu kemungkinan untuk menghubungkannya (termasuk komponen-komponennya yang dapat berubah) sebuah makna intelektual independen. Dalam fisika teoretis kita memiliki contoh bagus dari suatu [jenis] pengetahuan karakter yang benar-benar berbeda dari pengetahuan umum atau fenomenal yang mengekspresikan secara murni apa yang diberikan dalam intuisi. Sementara dalam hal ini setiap penilaian memiliki indera sendiri yang sepenuhnya dapat diwujudkan dalam intuisi, ini sama sekali tidak berarti untuk pernyataan teori fisika. Dalam hal ini lebih merupakan sistem secara keseluruhan yang dipertanyakan jika dihadapkan dengan pengalaman. (Weyl, 1925, 140) Analogi dengan fisika sangat mencolok, dan orang dapat menemukan ide-ide serupa dalam tulisan Hilbert — mungkin Hilbert dipengaruhi oleh Weyl. Meskipun proposal pertama Hilbert terfokus secara eksklusif pada konsistensi, ada perkembangan yang nyata dalam pemikiran Hilbert ke arah proyek reduktivist umum dari jenis yang cukup umum dalam filsafat sains pada saat itu (seperti yang ditunjukkan oleh Giaquinto 1983). Pada paruh kedua tahun 1920-an, Hilbert menggantikan program konsistensi dengan program konservativitas: matematika yang diformalkan harus dipertimbangkan dengan analogi dengan teori fisika. Pembenaran utama untuk bagian teoritis terletak pada konservativitasnya atas matematika "nyata": kapan pun teoritis, matematika "ideal" membuktikan proposisi "nyata", proposisi itu juga secara intuitif benar. Ini membenarkan penggunaan matematika transfinite: tidak hanya konsisten secara internal, tetapi hanya membuktikan proposisi intuitif yang sebenarnya (dan memang semua, karena formalisasi matematika intuitif adalah bagian dari formalisasi semua matematika).

Pada tahun 1926, Hilbert memperkenalkan perbedaan antara rumus nyata dan ideal. Pembedaan ini tidak ada pada tahun 1922b dan hanya diisyaratkan pada tahun 1923. Pada

yang terakhir, Hilbert menyajikan sistem formal pertama dari teori nomor bebaskuantisasi yang dia katakan bahwa “Rumus yang dapat dibuktikan yang kita peroleh dengan cara ini semua memiliki karakter dari terbatas ”(1139). Kemudian aksioma transfibel (yaitu, kuantifier) ditambahkan untuk menyederhanakan dan melengkapi teori (1144). Di sini ia menarik analogi dengan metode elemen ideal untuk pertama kalinya: "Dalam teori bukti saya, aksioma dan formula transfansibel disatukan dengan aksioma berhingga, seperti dalam teori variabel kompleks elemen imajiner yang disatukan ke nyata , dan seperti dalam geometri, konstruksi ideal disatukan dengan yang sebenarnya ”(ibid). Ketika Hilbert, pada tahun 1926 secara eksplisit memperkenalkan gagasan proposisi yang ideal, dan pada tahun 1928, ketika ia pertama kali berbicara tentang proposisi nyata di samping ideal, ia cukup jelas bahwa bagian sebenarnya dari teori hanya terdiri dari yang dapat diputuskan, variabel bebas formula. Mereka seharusnya “secara langsung mampu melakukan verifikasi” —menghasilkan proposisi yang berasal dari hukum alam yang dapat diperiksa dengan percobaan (1928, 475). Gambaran baru dari program ini adalah ini: Matematika klasik harus diformalkan dalam suatu sistem yang mencakup formalisasi semua proposisi yang dapat diverifikasi secara langsung (berdasarkan perhitungan) dari teori bilangan berhingga. Bukti konsistensi harus menunjukkan bahwa semua proposisi nyata yang dapat dibuktikan dengan metode ideal adalah benar, yaitu, dapat langsung diverifikasi dengan perhitungan terbatas. (Bukti nyata seperti substitusi-ε selalu seperti itu: menyediakan prosedur-prosedur finit yang menghilangkan unsur-unsur yang dapat berubah dari bukti-bukti pernyataan nyata, khususnya, dari 0 = 1.) Memang, Hilbert melihat bahwa sesuatu yang lebih kuat adalah benar: tidak hanya bukti konsistensi yang membangun kebenaran formula nyata yang dapat dibuktikan dengan metode yang ideal, tetapi menghasilkan bukti-bukti final dari proposisi umum finiter jika rumus bebas-variabel yang sesuai dapat diturunkan oleh metode yang ideal (1928, 474). Hilbert menyarankan pembatasan lebih lanjut pada teori di samping konservativitas: kesederhanaan, singkatnya bukti, "ekonomi pemikiran" dan produktivitas matematika. Sistem formal logika transfinite tidak sewenang-wenang: “Permainan formula ini dilakukan sesuai dengan aturan pasti tertentu, di mana teknik pemikiran kita diekspresikan. [...] Ide dasar teori bukti saya tidak lain adalah untuk menggambarkan

aktivitas pemahaman kita, untuk membuat protokol aturan yang menurutnya pemikiran kita benar-benar terjadi ”(Hilbert, 1928, 475). Ketika Weyl (1928) akhirnya berpaling dari intuisionisme (untuk alasannya, lihat Mancosu dan Ryckman, 2002), ia menekankan motivasi teori bukti Hilbert ini: tidak mengubah matematika menjadi permainan simbol tanpa arti, tetapi mengubahnya menjadi teori sains yang mengkodekan praktik ilmiah (matematika).

Formalisme Hilbert dengan demikian cukup canggih: Ini menghindari dua keberatan penting: (1) Jika rumus-rumus sistem tidak bermakna, bagaimana derivabilitas dalam sistem menghasilkan jenis kepercayaan apa pun? (2) Mengapa menerima sistem PA dan tidak ada sistem konsisten lainnya? Kedua keberatan itu akrab dari Frege; kedua pertanyaan tersebut (sebagian) dijawab oleh bukti konservativitas untuk pernyataan nyata. Untuk (2), lebih lanjut, Hilbert memiliki kriteria penerimaan yang naturalistik: kita dibatasi oleh pilihan sistem dengan pertimbangan kesederhanaan, kesuburan, keseragaman, dan oleh apa yang sebenarnya dilakukan oleh para matematikawan; Weyl akan menambahkan bahwa ujian akhir teori akan menjadi kegunaannya dalam fisika.

Sebagian besar filsuf menulis matematika di Hilbert telah membacanya sebagai seorang instrumentalis (termasuk Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990, dan khususnya Detlefsen 1986) karena mereka membaca penjelasan Hilbert bahwa proposisi ideal "tidak memiliki makna dalam diri mereka sendiri" (Hilbert, 1926, 381) mengklaim bahwa matematika klasik adalah instrumen belaka, dan bahwa pernyataan matematika transfinite tidak memiliki nilai kebenaran. Sejauh ini akurat, harus dipahami sebagai instrumentalisme metodologis: Eksekusi yang berhasil dari program bukti-teoretis akan menunjukkan bahwa seseorang dapat berpura-pura seolah-olah matematika tidak bermakna. Analogi dengan fisika tidak demikian: proposisi-proposisi tanpa-transfusi tidak memiliki arti sama seperti proposisi yang melibatkan istilah-istilah teoritis tidak memiliki arti, tetapi: proposisi-proposisi yang tidak berganti-ganti tidak memerlukan makna intuitif langsung sama seperti seseorang tidak harus secara langsung melihat elektron untuk berteori tentangnya. Hallett (1990), dengan mempertimbangkan latar belakang matematika abad ke-19 dari mana Hilbert datang serta sumber-sumber yang

diterbitkan dan tidak dipublikasikan dari seluruh karier Hilbert (khususnya Hilbert 1992, diskusi paling luas tentang metode elemen ideal) sampai pada kesimpulan berikut. :

[Pengobatan Hilbert atas pertanyaan filosofis] tidak dimaksudkan sebagai semacam agnostisisme instrumentalis tentang keberadaan dan kebenaran dan sebagainya. Sebaliknya, ini dimaksudkan untuk memberikan solusi non-skeptis dan positif untuk masalah-masalah seperti itu, solusi yang ditulis dalam istilah-istilah yang dapat diakses secara kognitif. Dan, tampaknya, solusi yang sama berlaku untuk teori matematika dan fisika. Begitu konsep-konsep baru atau "elemen-elemen ideal" atau istilah-istilah teoritis baru telah diterima, maka mereka ada dalam pengertian di mana ada entitas teoretis apa pun. (Hallett, 1990, 239)

D. Hilbert's Program dan teorema ketidaklengkapan Gödel Ada beberapa perdebatan mengenai dampak teorema ketidaklengkapan Gödel pada Program Hilbert, dan apakah itu adalah teorema ketidaklengkapan pertama atau kedua yang menyampaikan coup de grâce. Tidak diragukan lagi pendapat dari mereka yang paling terlibat langsung dalam perkembangan yakin bahwa teorema memang memiliki dampak yang menentukan. Gödel mengumumkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam abstrak yang dipublikasikan pada bulan Oktober 1930: tidak ada bukti konsistensi sistem seperti Principia, teori set Zermelo-Fraenkel, atau sistem yang diselidiki oleh Ackermann dan von Neumann dimungkinkan dengan metode yang dapat dirumuskan dalam sistem ini. Dalam versi lengkap makalahnya, Gödel (1931) membuka kemungkinan bahwa ada metode final yang tidak dapat diformalkan dalam sistem ini dan yang akan menghasilkan bukti konsistensi yang diperlukan. Reaksi pertama Bernays dalam sebuah surat kepada Gödel pada bulan Januari 1931 adalah juga bahwa “jika, seperti yang dilakukan oleh von Neumann, seseorang menganggapnya pasti bahwa setiap pertimbangan akhir dapat diformalkan di dalam sistem P — seperti Anda, saya menganggap hal itu sama sekali tidak sebagaimana mantap — orang sampai pada kesimpulan bahwa demonstrasi konsistensi P yang final adalah tidak mungkin ”(Gödel, 2003a, 87).

Bagaimana teori Gödel berdampak pada program Hilbert? Melalui pengkodean yang hatihati ("Gödel" -) dari rangkaian simbol (rumus, bukti), Gödel menunjukkan bahwa dalam teori T yang mengandung jumlah aritmatika yang cukup, adalah mungkin untuk menghasilkan rumus Pr (x, y) yang "mengatakan "Bahwa x adalah (kode) bukti (rumus dengan kode) y. Khususnya, jika ⌈0 = 1⌉ adalah kode dari rumus 0 = 1, maka ConT = ∀x ¬Pr (x, ⌈0 = 1⌉) dapat diambil untuk "mengatakan" bahwa T konsisten (tidak ada angka adalah kode derivasi dalam T dari 0 = 1). Teorema ketidaklengkapan kedua (G2) mengatakan bahwa mengatakan bahwa di bawah asumsi tertentu tentang T dan alat pengkodean, T tidak membuktikan ConT. Sekarang anggaplah ada bukti konsistensi yang pasti dari T. Metode yang digunakan dalam bukti semacam itu mungkin akan dapat diformalkan dalam T. ("dapat diformalkan" berarti, secara kasar, jika pembuktian menggunakan operasi f final pada derivasi yang mengubah setiap derivasi D ke dalam derivasi f (D) dari bentuk sederhana, kemudian ada rumus F (x, y) sehingga, untuk semua derivasi D, T ⊢ F (⌈D⌉, ⌈f (D) ⌉).) Konsistensi dari T akan dinyatakan secara final sebagai hipotetis umum bahwa, jika D adalah urutan simbol tertentu, D bukan merupakan derivasi dalam T dari rumus 0 = 1. Formalisasi proposisi ini adalah rumus ¬Pr (x, ⌈0 = 1⌉) di mana variabel x terjadi gratis. Jika ada bukti konsistensi dari T, formalisasi akan menghasilkan derivasi dalam T ¬PrT (x, ⌈0 = 1⌉), dari mana ConT dapat diturunkan dalam T oleh generalisasi universal sederhana pada x. Namun, derivasi dari ConT di T dikesampingkan oleh G2. Seperti yang disebutkan di atas, awalnya Gödel dan Bernays berpikir bahwa kesulitan untuk bukti konsistensi dari PA dapat diatasi dengan menggunakan metode yang, meskipun tidak dapat diformalkan dalam PA, masih bersifat final. Apakah metodemetode seperti itu akan dianggap final sesuai dengan konsepsi finitisme yang asli atau merupakan perpanjangan dari pandangan finitis asli adalah masalah perdebatan. Metode baru yang dipertimbangkan termasuk versi final dari aturan proposed yang diusulkan oleh Hilbert (1931b; 1931a). Adalah adil untuk mengatakan, bagaimanapun, bahwa setelah sekitar 1934 telah hampir secara universal diterima bahwa metode bukti yang diterima sebagai final sebelum hasil Gödel semuanya dapat diformalkan dalam PA. Perluasan sudut pandang finitist asli telah diusulkan dan dipertahankan pada dasar yang sangat terbatas, misalnya, Gentzen (1936) membela penggunaan induksi transfinite hingga ε0

dalam konsistensi bukti untuk PA sebagai "tak terbantahkan," Takeuti (1987) memberikan pembelaan lain. Gödel (1958) mempresentasikan perpanjangan lain dari sudut pandang finitist; karya Kreisel yang disebutkan di atas dapat dilihat sebagai upaya lain untuk memperluas finitisme sambil tetap mempertahankan semangat konsepsi asli Hilbert.

Upaya yang berbeda untuk memberikan jalan di sekitar teorema kedua Gödel untuk Program Hilbert diusulkan oleh Detlefsen (1986; 2001; 1979). Detlefsen menyajikan beberapa garis pertahanan, salah satunya mirip dengan yang baru saja dijelaskan: dengan alasan bahwa versi aturan is dapat diterima secara resmi, meskipun tidak mampu formalisasi (namun, lihat Ignjatovic 1994). Argumen Detlefsen yang lain terhadap interpretasi umum teorema kedua Gödel berfokus pada gagasan formalisasi: Bahwa formalisasi khusus "T konsisten" oleh rumus Gödel, ConT tidak dapat dibuktikan tidak menyiratkan bahwa tidak ada formula lain, yang dapat dibuktikan. dalam T, dan yang memiliki banyak hak untuk disebut "formalisasi konsistensi T." Ini bergantung pada formalisasi yang berbeda dari predikat prekuat PrT daripada yang standar. Telah diketahui bahwa pernyataan konsistensi yang diformalkan tidak dapat dibuktikan kapan predikat provabilitas mematuhi kondisi derivabilitas umum tertentu. Detlefsen berpendapat bahwa kondisi ini tidak diperlukan untuk predikat untuk dihitung sebagai predikat provokator asli, dan memang ada predikat provokatif yang melanggar kondisi provokatif dan yang menimbulkan rumus konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teori yang sesuai. Ini, bagaimanapun, tergantung pada konsepsi non-standar dari provabilitas yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991).

Smorynski (1977) berpendapat bahwa sudah teorema ketidaklengkapan pertama mengalahkan Program Hilbert. Tujuan Hilbert tidak hanya menunjukkan bahwa matematika yang diformalkan itu konsisten, tetapi melakukannya dengan cara tertentu dengan menunjukkan bahwa matematika yang ideal tidak akan pernah dapat menghasilkan kesimpulan yang tidak sesuai dengan matematika nyata. Dengan demikian, untuk berhasil, matematika ideal harus konservatif atas bagian yang nyata: setiap kali

matematika ideal yang diformalkan membuktikan formula P nyata, P sendiri (atau proposisi finit yang diungkapkannya) harus dapat dibuktikan secara final. Untuk Smorynski, formula sesungguhnya tidak hanya mencakup persamaan angka dan kombinasinya, tetapi juga formula umum dengan variabel bebas tetapi tanpa kuantisasi yang tak terbatas.

Sekarang teorema ketidaklengkapan Gödel (G1) menyatakan bahwa untuk setiap teori formal yang cukup kuat dan konsisten S ada kalimat GS yang benar tetapi tidak dapat diturunkan dalam S. GS adalah kalimat nyata menurut definisi Smorynski. Sekarang, pertimbangkan teori T yang memformalkan matematika ideal dan sub-teorinya S yang memformalkan matematika nyata. S memenuhi kondisi G1 dan karenanya S tidak memperoleh GS. Namun, T, menjadi formalisasi semua matematika (termasuk apa yang diperlukan untuk melihat bahwa GS itu benar), memang berasal dari GS. Oleh karena itu, kami memiliki pernyataan nyata yang dapat dibuktikan dalam matematika ideal dan bukan dalam matematika nyata.

Detlefsen (1986, Appendix; lihat juga 1990) telah membela Program Hilbert terhadap argumen ini juga. Detlefsen berpendapat bahwa instrumentalisme "Hilbertian" lolos dari argumen G1 dengan menyangkal bahwa matematika ideal harus konservatif atas bagian sebenarnya; semua yang diperlukan adalah benar-benar sehat. Instrumentalisme Hilbertian hanya mensyaratkan bahwa teori ideal tidak membuktikan apa pun yang bertentangan dengan teori yang sebenarnya; tidak diperlukan bahwa itu hanya membuktikan pernyataan nyata yang juga membuktikan teori yang sebenarnya. (Lihat Zach 2006 untuk lebih lanjut tentang masalah konservativitas dan konsistensi, bagian yang relevan dalam entri di Gödel untuk diskusi lebih lanjut, dan Franks 2009 untuk pertahanan terkait dan evaluasi ulang proyek Hilbert.)

E. Program Hilbert yang direvisi Bahkan jika tidak ada konsistensi bukti konsistensi aritmatika dapat diberikan, pertanyaan untuk menemukan bukti konsistensi tetap bernilai: metode yang digunakan dalam bukti semacam itu, meskipun mereka harus melampaui pengertian finitisme

Hilbert, mungkin memberikan wawasan asli ke dalam konten konstruktif dari teori aritmatika dan lebih kuat. Apa yang ditunjukkan Gödel menunjukkan bahwa tidak ada bukti konsistensi absolut dari semua matematika; maka bekerja dalam teori bukti setelah Gödel berkonsentrasi pada hasil yang relatif, baik: relatif terhadap sistem yang konsistensi bukti diberikan, dan relatif terhadap metode bukti yang digunakan.

Teori bukti reduktif dalam pengertian ini telah mengikuti dua tradisi: yang pertama, terutama dilakukan oleh para ahli teori bukti berikut Gentzen dan Schütte, telah mengejar program yang disebut analisis ordinal, dan dicontohkan oleh bukti konsistensi pertama dari PA oleh induksi hingga ε0. ε0 adalah ordinal transfinite tertentu (meskipun dapat dihitung), namun, "induksi hingga ε0" dalam arti yang digunakan di sini bukanlah prosedur transfinite yang sesungguhnya. Analisis ordinal tidak beroperasi dengan angka ordinal yang tak terbatas, tetapi dengan sistem notasi ordinal yang dapat diformalkan dalam sistem yang sangat lemah (pada dasarnya, final). Analisis ordinal dari sistem T diberikan jika: (a) seseorang dapat menghasilkan sistem notasi ordinal yang meniru ordinal kurang dari beberapa αT ordinal sehingga (b) dapat dibuktikan secara resmi bahwa formalisasi TI (αT) dari prinsip induksi hingga αT menyiratkan konsistensi T (yaitu, S ⊢ TI (αT) → Con T) dan (c) T membuktikan TI (β) untuk semua β <αT (S adalah teori formalisasi metamathematics akhir dan umumnya sub-teori lemah T). Untuk memiliki signifikansi mendasar, juga diperlukan bahwa seseorang dapat memberikan argumen konstruktif untuk induksi transfinite hingga αT. Sebagaimana disebutkan di atas, ini dilakukan oleh Gentzen dan Takeuti untuk ε0, bukti ordinal teori PA, tetapi menjadi lebih sulit dan signifikansi filosofis yang semakin dipertanyakan untuk teori yang lebih kuat.

Kelanjutan Filosofi lebih memuaskan dari Program Hilbert dalam hal bukti teoretis telah diusulkan oleh Kreisel (1983; 1968) dan Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Karya ini hasil dari konsep yang lebih luas dari Program Hilbert sebagai upaya untuk membenarkan matematika ideal dengan cara terbatas. Dalam konsepsi ini, tujuan teori bukti Hilbert adalah untuk menunjukkan bahwa, setidaknya sejauh kelas tertentu proposisi nyata yang bersangkutan, matematika ideal tidak melampaui matematika nyata.

Bukti konsistensi final dari jenis yang dibayangkan oleh Hilbert akan mencapai ini: jika matematika ideal membuktikan proposisi nyata, maka proposisi ini sudah dapat dibuktikan dengan metode nyata (yaitu, final). Dalam arti ini mengurangi matematika ideal untuk matematika sungguhan. Pengurangan bukti-teoritis teori T terhadap teori S menunjukkan bahwa, sejauh kelas tertentu dari proposisi yang bersangkutan, jika T membuktikan proposisi, maka S membuktikannya juga, dan bukti dari fakta ini sendiri adalah final. Program teoritis bukti Hilbert kemudian dapat dilihat untuk mencari pengurangan teoritis bukti dari semua matematika untuk matematika akhir; dalam program relativisme seseorang mencari reduksi teori yang lebih lemah dari semua matematika klasik ke teori yang seringkali lebih kuat daripada matematika akhir. Para ahli teori bukti telah memperoleh sejumlah hasil seperti itu, termasuk pengurangan teoriteori yang pada mukanya membutuhkan sejumlah besar matematika ideal untuk pembenaran mereka (misalnya, subsistem analisis) untuk sistem-sistem akhir. (Feferman, 1993b) telah menggunakan hasil tersebut dalam kombinasi dengan hasil lain yang menunjukkan bahwa sebagian besar, jika tidak semua, matematika yang berlaku secara ilmiah dapat dilakukan dalam sistem yang reduksi tersebut tersedia untuk berdebat melawan argumen indispensability dalam filsafat matematika. . Signifikansi filosofis dari reduksi teoretis bukti seperti ini saat ini menjadi bahan perdebatan (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Program yang disebut reverse mathematical yang dikembangkan oleh, khususnya, Friedman dan Simpson, adalah kelanjutan lain dari program Hilbert. Dalam menghadapi hasil Gödel yang menunjukkan bahwa tidak semua matematika klasik dapat direduksi menjadi final, mereka berusaha menjawab pertanyaan: berapa banyak matematika klasik dapat begitu berkurang? Matematika terbalik berusaha untuk memberikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini dengan menyelidiki yang teorema matematika klasik dapat dibuktikan dalam subsistem yang lemah dari analisis yang direduksi menjadi matematika akhir (dalam arti dibahas dalam paragraf sebelumnya). Hasil yang khas adalah bahwa teorema Hahn-Banach dari analisis fungsional dapat dibuktikan dalam teori yang dikenal sebagai WKL0 (untuk "lemma König lemah"); WKL0 adalah konservatif atas PRA untuk

Π02 kalimat (yaitu, kalimat dari bentuk ∀x∃yA (x, y). (Lihat Simpson 1988 untuk ikhtisar dan Simpson 1999 untuk perawatan teknis.)