Tugas Rutin 1layang.docx

Tugas Rutin 1 (TR): Mahasiswasecara mandiri menjelaskan arti Geometri adalah salah satu ilmu tertua, ilmu yang menyangkut geometri telah ada sejak zaman Mesir Kuno. Kala itu, pengetahuan geometri masih terbatas pada pengukuran panjang segmen garis, luas daerah, dan volum. Pengetahuan-pengetahuan ini bersumber dari pengalaman empiris, karenanya beberapa pengetahuan kala itu tidak sepenuhnya benar. Sebagai contoh, bangsa Mesir kuno 𝟏 menggunakan rumus 𝟒(a + c) (b + d) untuk menghitung luas daerah sembarang segiempat yang panjang sisi-sisinya berturut-turut adalah a, b, c, dan d. Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan pengalaman empiris tersebut dan selidiki apakah hanya berlaku pada persegi panjang saja, bagaimana dengan persegi, trapesium dan layang-layang. Pembahasan : 

Berdasarkan KBBI , empiris berdasarkan pengalaman terutama yang diperoleh dari penemuan, percobaan, pengamatan yg telah dilakukan oleh indrawi . oleh karena itu Pengalaman empiris adalah suatu keadaan yang bergantung pada bukti-bukti yang teramati oleh indera kita sehingga menjadikannya sebagai pengalaman. Dalam 𝟏 penjelasan pengalaman empiris mengenai rumus luas 𝟒(a + c) (b + d) sembarang segiempat, adalah untuk membuktikan apakah rumus luas pada masa mesir kuno tersebut bisa digunakan untuk menentukan luas persegi, persegi panjang, trapezium dan laying-layang. Yang mana dalam pengamatan inderawi ke empat bangun datar tersebut berbentuk sembarang segiempat dan 4 sisi yang bisa juga disimbolkan dengan a, b, c, d. 1) Pembuktian Persegi panjang c d

b

a 𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑀𝑒𝑠𝑖𝑟 𝐾𝑢𝑛𝑜 = 𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 … … … … … … (1) 1 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 × 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 … … … … … … … … … … … … (2) 4 1 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 + 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 + 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = ( )×( ) . . (3) 4 2 2 1 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = ( )×( ) … … … … … … … … … . . … … (4) 4 2 2 1 𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = … … … … … … … … … … . … . (5) 4 4 1 1 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) … … … … … … … . … … . . (6) 4 4

Penjelasan : (1) Mengasumsikan luas pada zaman mesir kuno sama dengan luas persegi panjang (2) Kemudian menyajikan rumus (3 & 4)Membuat analogi panjang dan lebar pada persegi panjang, yaitu untuk panjangnya memiliki 2 sisi ( a dan b ) dan lebarnya memiliki 2 sisi ( b dan d ) . apabila masing-masing dari kedua sisi yang sama ditambahkan kemudian dibagi menjadi dua maka hasilnya akan tetap sama pada ketetapan awal dari panjang dan lebar. (5)selanjutnya, mengoperasikan masing-masing bagian ruas kanan dan kiri (6) sehingga didapatkan hasil yang sama pada bagian ruas kanan dan kiri , oleh karena itu rumus luas segiempat sembarang pada mesir kuno bisa digunakan untuk mencari luas pada persegi panjang.

2) Pembuktian persegi c

d

b

a 𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑀𝑒𝑠𝑖𝑟 𝐾𝑢𝑛𝑜 = 𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 … … … … . … … … … … … (1) 1 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = 𝑠𝑖𝑠𝑖1 × 𝑠𝑖𝑠𝑖2 … … … … … … . . … … … … … … … … (2) 4 1 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑎 + 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑐 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑏 + 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = ( )×( ) … … … … (3) 4 2 2 1 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = ( )×( ) … … … … … … … … … . . … … (4) 4 2 2 1 𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = … … … … … … … … … … . … . (5) 4 4 1 1 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) … … … … … … … . … … . . (6) 4 4

Penjelasan : (1) Mengasumsikan luas pada zaman mesir kuno sama dengan luas persegi (2) Kemudian menyajikan rumus (3& 4)Membuat analogi sisi yang mana 4 sisi yang dimiliki oleh persegi yaitu sama besar dan dapat dinyatakan sisi a= sisi b= sisi c= sisi d. oleh karena itu, kami menganalogikan bahwa sisi itu adalah sisi + sisi yang dibagi dua. ( kami menggunakan sisi a + sisi c pada S1 dan sisi b dan sisi d pada S2 . tetapi bisa juga dengan menggunakan sisi yang lain )

(5)selanjutnya, mengoperasikan masing-masing bagian ruas kanan dan kiri (6) sehingga didapatkan hasil yang sama pada bagian ruas kanan dan kiri. oleh karena itu, rumus luas segiempat sembarang pada mesir kuno bisa digunakan untuk mencari luas pada persegi.

3) Pembuktian trapesium c

d

t

b

a

𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑀𝑒𝑠𝑖𝑟 𝐾𝑢𝑛𝑜 = 𝑅𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 … … . . … … … … … … (1) 1 1 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 × (𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 1 + 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 2). . . (2) 4 2 1 𝑏 (𝑎 + 𝑐) (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = … … … … … … … … … … … . . … … … … (3) 4 2 1 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = … … … … … … … . … … … … … … … . … . . (4) 4 2 ______________________________________________________________________________ × 4 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) = 2 (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) … … … … … … . … … … … … … … . . … . (5) (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) + (𝑎𝑑 + 𝑐𝑑) = 2 (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) … … … … … … … . … … … … … . . … . (6) (𝑎𝑑 + 𝑐𝑑) = 2 (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 ) … … … … … . … . … … . … … … . . … . (7) 𝑑(𝑎 + 𝑐) = 𝑏(𝑎 + 𝑐) … … … … … … . … … … … … … … . . … … … … … … … . . . (8) 𝑑 ≠ 𝑏 … … … . … … … … … … . … … … … … … … . . … … … … … … … . . . (9)

Penjelasan : (1) Mengasumsikan luas pada zaman mesir kuno sama dengan luas trapesium (2) Kemudian menyajikan rumus (3) Mengoperasikan perkalian pada masing-masing ruas kanan dan ruas kiri (4) Kemudian mengubah bilangan pecahan menjadi bilangan rasional, yaitu dengan menggunakan FPB dari 4 dan 2 adalah dengan mengkali “4” (5) Adalah hasil rasionalnya

(6) Kemudian mengasosiatif hasil rasionalnya (7,8,9) selanjutnya , menyederhanakan ruas kanan dan ruas kiri dengan memindahkan beberapa bagian pada ruas kiri ke ruas kanan. Sehingga ditemukan hasil bahwa rumus luas pada segiempat sembarang pada zaman mesir kuno tidak bias digunakan untuk menentukan luas pada trapesium.

4) Pembuktian layang-layang 1 diagonal1  diagonal 2 2 1 a1  a 2   (b1  b2 ) 2 1 2 2 2 2  A 2  b1  B 2  b1  B 2  a 2  C 2  a 2   2 1  A  B  2b1   ( B  C  2a 2 ) 2 1  A  B B  C  2b1  2a 2  2 2 AB  AC  B 2  BC  2b1  2a 2 





AB  2 AC  2B  BC  2b  2a  B(C  A)  2 AC  2B  2b  2a  2

1

2

1

2

2

( B  2 AC  2 B 2 ) 2b1  2a 2 

     

1  A  C B  D  4 1  A  C B  D  4 1  A  C B  D  4 1  A  C B  D  4 1  A  C B  D  4 AB  AD  BC  CD

 AD  CD  D (C  A) D