Tugas Posting Ke 2 2003

Nama

: 1. Elis Fatonah (107017001040) 2. Fitri Dwi Anggriani (107017001008) 3. Yulia Izzawati (107017000911)

Tugas

: Analisis Real

Pendidikan Matematika Semester 5B.

Teorema 3.3.4 Jika barisan

konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari

juga konvergen ke L. Contoh: 1. X =

K=

=

konvergen ke 0 ( nol )

=

konvergen ke 0 ( nol )

Karena K barisan bagian dari X , maka K juga konvergen ke 0 ( nol ) 2. A =

=

B=

=

konvergen ke konvergen ke

Karena B barisan bagian dari A , maka B juga konvergen ke 3. P =

=

Q=

=

konvergen ke konvergen ke

Karena Q barisan bagian dari P, maka Q juga konvergen ke

1

4. F =

G=

= =

konvergen ke 2 konvergen ke 2

Karena G barisan bagian dari F, maka G juga konvergen ke 2 5. H =

I=

=

konvergen ke 1

=

konvergen ke

Karena I barisan bagian dari H maka G juga konvergen ke

2

Teorema 3.3.4 Jika barisan bilangan real

konvergen, maka

terbatas.

Contoh: 1. Barisan bilangan real

konvergen ke , batasnya

2. Barisan bilangan real

konvergen ke

, batasnya

3. Barisan bilangan real

konvergen ke

, batasnya

4. Barisan bilangan real

konvergen ke

, batasnya

5. Barisan bilangan real

konvergen ke

, batasnya

3

Teorema 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

dan terbatas di atas, maka

barisan tak turun

konvergen.

Contoh : 1. Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak

turun dan terbatas di atas di

4

2. Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak

turun dan terbatas di atas di 3. Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak

turun dan terbatas di atas di 4. Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak

turun dan terbatas di atas di 5. Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak

turun dan terbatas di atas di 3

Teorema 3.4.8

5

Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

dan tak terbatas di atas, maka

barisan tak turun

divergen ke

Contoh: 1. Barisan bilangan real

= {4,8,12,…………, } adalah barisan tak

turun dan tak terbatas di atas, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 2. Barisan bilangan real

= {4,6,8,…………, } adalah barisan

tak turun dan tak terbatas di atas, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 3. Barisan bilangan real

= {1,8,27,…………, } adalah barisan tak

turun dan tak terbatas di atas, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 4. Barisan bilangan real

= {2,3,4,…………, } adalah barisan tak

turun dan tak terbatas di atas, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 5. Barisan bilangan real

= {3,6,11,…………, } adalah barisan

tak turun dan tak terbatas di atas, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke

6

Teorema 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

dan terbatas di bawah, maka

barisan tak naik

konvergen.

Contoh: 1

Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak naik

dan terbatas di bawah oleh 5 2

Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak naik

dan terbatas di bawah oleh 3

Barisan bilangan real

=

adalah barisan tak naik

=

adalah barisan tak naik

=

adalah barisan tak naik

dan terbatas di bawah oleh 4

Barisan bilangan real dan terbatas di bawah oleh

5

Barisan bilangan real dan terbatas di bawah oleh

7

Teorema 3.4.10 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

dan tak terbatas di bawah, maka

divergen ke

barisan tak naik .

Contoh: 1.

Barisan bilangan real

= {-1,-4,-9,…………,

} adalah barisan

tak naik dan tak terbatas di bawah, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 2. Barisan bilangan real

= {-6,-9,-14,…………,

} adalah

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 3. Barisan bilangan real

={

,-9,…………,

} adalah barisan tak

naik dan tak terbatas di bawah, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke 4. Barisan bilangan real

= {-5,-8,-11,…………,

} adalah

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke

8

5. Barisan bilangan real

= {-1, ,

,…………,

} adalah

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah, sehingga barisan bilangan real tersebut divergen ke

Teorema 3.4.11 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Maka

mempunyai

barisan bagian yang monoton. Contoh: 1. Barisan bilangan real X =

=

adalah monoton

turun 2. Barisan bilangan real X =

=

adalah

monoton naik 3. Barisan bilangan real X =

=

turun 9

adalah monoton

4.

Barisan bilangan real X =

=

adalah

monoton naik 5. Barisan bilangan real X =

=

monoton naik

10

adalah