Tugas Matematika Wajib.docx

TUGAS MATEMATIKA WAJIB TRIGONOMETRI dan GEOMETRI

NAMA

: Nur Cholish Majid

NO

: 25

Kelas

: X MIPA 1

BAB II TRIGONOMETRI A. Ukuran Sudut 1.

Ukuran Derajat Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ). Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:

2.

Ukuran Radian Satu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jarijari.

3.

Hubungan Derajat dengan Radian Untuk mengubah sudut sebesar ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:

Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:

Contoh Soal 1.

Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat! Jawab :

2.

Nyatakan sudut 154° ke satuan radian! Jawab:

3.

Suatu lingkaran memiliki panjang busur 15 cm dan dengan sudut pusat 45°, carilah jari-jari lingkaran tersebut! Jawab: Kita harus merubah DERAJAT= 45° ke dalam bentuk radian.

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Perhatikanlah gambar berikut!

Jika dipandang dari sudut α, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring. Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka

Sudut sudut istimewa Contoh soal

1.

Perhatikan gambar berikut! Diketahui panjang AC = 9 cm, dan panjang AB = 12 cm, dengan sudut b =. Tentukan nilai dari sin, cos, dan tan! Pemecahan:

2. Jika sin 15°= y. Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y! a. Cos 15° b. Tan 15° c. Sin 75° d. Cos 75° e. Tan 75° f. Cosec 15° g. Cotan 75° h. Sec 75° Pemecahan:

a.

Cos 15°

b.

Tan 15°

c.

Sin 75°

d.

Cos 75°

e.

Tan 75°

f.

Cosec 15°

g.

Cotan 75°

h.

Sec 75°

3.

Jawablah pertanyaan berikut! a.

Jawab a.

Diketahui

Diketahui

, tentukanlah nilai dari sin α, tan α, dan cosec

C.SUDUT ISTIMEWA

Tentukan nilai dari

Pemecahan:

C.Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Sinus dan Cosinus

Grafik Fungsi Trigonometri Baku 1. Grafik fungsi y = f(x) = sin x

2. Grafik fungsi y = f(x) = cos x

3. Grafik fungsi y = f(x) = tan x

4. Grafik fungsi y = f(x) = cotan x

5. Grafik fungsi y = f(x) = sec x

6. Grafik fungsi y = f(x) = cosec x

C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 1. 2. 3. 4.

Dalam satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu: Kuadran I : 0°≤ α ≤ 90° Kuadran II : 90° < α ≤ 180° Kuanran III : 180° < α ≤ 270° Kuadran IV : 270° < α ≤ 360° Perhatikan gambar berikut!

1.

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I

Pada ∆ AOC, berlaku:

Pada ∆ BOC, berlaku:

2.

Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II

Pada ∆ AOC, berlaku: ∠α = 180°- α

3.

Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III

Pada ∆ AOC berlaku: ∠ AOP = α

4.

5. a.

1. a. b. c. d. e.

Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kadran IV sin (360° -α) = - sin α cos (360° -α) = cos α tan (360° -α) = - tan α cosec (360° -α) = - cosec α sec (360° -α) = sec α cotan (360° -α) = - cotanα Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatif Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° Sin (k × 360° +α ) = sin α Cos (k × 360° + α) = cosα tan (k × 360° +α ) = tan α cosec (k × 360° +α) = cosecα sec (k × 360° +α ) = sec α cotan (k × 360° +α ) = cotan α Keterangan: k = banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif. Contoh Soal Nyatakan sudut berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip positif! Sin 175° Cos 325° Sec (-225°) Tan 780° Sin 3500°

Pemecahan:

2. Diketahui sin 35° = 2k, nyatakan trigonometri sudut berikut dalam k! a. Sin 55° b. Cos (-215°) c. Tan 125° d. Cosec 935° e. Sin 665° Pemecahan:

D. Persamaan Trigonometri sin x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α 1. 2. 3.

Jika sin x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360° Jika cos x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k . 360° Jika tan x = tan α, maka x = α + k . 180°

1. a. b. c.

Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut! Sin x = sin ⅚ 0 ≤ x ≤ 2 Tan x = tan ⅓, 0 ≤ x ≤ 2 Cos x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°

Pemecahan: a. Sin x = sin ⅚, 0 ≤ x ≤ 2

Himpunan penyelesaian = {⅚ ,⅙} b. Tan x = tan ⅓, 0 ≤ x ≤ 2

Himpunan penyelesaian={⅓ ,4/3 } c. Cos x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian= {150°,210°} 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut! a. Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360° b. Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360° c. Tan x = sin 0°, 180°≤ x ≤ 360° d. Cos 3x = cos 180°, 0° ≤ x ≤ 360° e. Sin (30°+x) = sin 75°, 0°≤ x ≤ 270° f. Sin (4x+38°) = sin 173°, 0° ≤ x ≤ 360° g. Tan x = ⅓√3, 0 ≤ x ≤ 2�� Pemecahan: a. Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian={30°,150°} b. Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesainnya adalah {180°} c. Tan x = sin 0°, 180°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian= {180°,360°} d. Cos 3x = cos 180°, 0° ≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesain={60°,180°, 300°} e. Sin (30°+x) = sin 75°, 0°≤ x ≤ 270°

f.

Himpunan penyelesain={45°,75°} Sin (4x+38°) = sin 173°, 0° ≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian={33,75°; 82,25°; 123,75°; 172,25°; 213,75°; 262,25°; 303,75°; 352,25°} g. Tan x = ⅓ √3, 0 ≤ x ≤ 2PHI

Himpunan penyelesaian = {⅙, 7/6 }

E. Identitas Trigonometri 1.

Rumus Dasar

2. Menentukan Identitas Trigonometri a. Ubah bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas kanan. b. Ubah bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas kiri. c. Kedua ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama. Contoh Soal 1. Buktikan bahwa sec2 + tan2 = 2tan2+1 2. Buktikan bahwa sec Y – cos Y = sin Y . tan Y Penyelesaian: 1. sec2 + tan2 = 2tan2+1 Ruas kiri = tan2 + 1 + tan2 = 2 tan2 +1 2. sec Y – cos Y = sin Y . tan Y bukti dengan mengubah ruas kiri

F. Trigonometri Pada Segitiga Sembarang 1.

Aturan Sinus

Rumus:

Contoh soal 1) Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang x dalam cm! Penyelesaian:

2.

Aturan Cosinus

Rumus: a2 = b2+c2 - 2bc cos α b2 = a2+c2 - 2ac cos α c2 = a2+b2 - 2ab cos α Contoh soal 1) Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang PR! Pemecahan: PR2 = RQ2 + PQ2 – 2RQPQ cos ∠ Q PR2 = 172 + 302 – 2 . 17 . 30 cos 53° PR2 = 289 + 900 – 1020 . ⅗

PR2 = 1189 – 612 PR2 = 577 PR = √577 = 24,02 cm 3. Luas Segitiga

Rumus: L = ½ ab sin α L = ½ bc sin α L = ½ ac sin α Contoh Soal 1. Hitunglah luas ABCD berikut!

Pemecahan: a. Untuk ∆ BCD

Luas ∆ BCD = ½ BD.CD. sin ∠ D Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . sin 30° Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . ½ = ¼ . 216√12 = 108√3 cm2 b. Untuk ∆ ABD

Luas ∆ ABD = ½ AD.BD. sin ∠D Luas ∆ ABD = ½ . 18. 18√2 . sin 105°

c. Luas ABCD Luas ABCD = Luas ∆ BCD + Luas ∆ ABD Luas ABCD = 108√3 cm2 + 81√3 + 81 cm2 Luas ABCD = 189√3 cm2 + 81 cm2 Luas ABCD = 327,35 + 81

Bab III GEOMETRI

Standar Kompetensi :

Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar : 

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.



Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.



Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan titik terhadap garis Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka : a. Titik T teletak paa garis g, tau garis g melalui titik T b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T 2. Kedudukan titik terhadap bidang Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka : a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T 3. Kedudukan garis terhadap garis Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi : 

garis g dan h berhimpit, g = h



garis g dan h berpotongan pada sebuah titik



garis g dan h sejajar

b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan. 4. Kedudukan garis terhadap bidang Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka : a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g. b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H c. Garis g sejajar dengan bidang H 5. Kedudukan bidang terhadap bidang Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka : a. Bidang V dan bidang H berhimpit b. Bidang V dan bidang H sejajar c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persdekutuan.

Contoh : H E

G F

D

A

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a. Titik yang berada pada garis DF b. Titik yang berada diluar bidang BCHE c.

Garis yang sejajar dengan CF

d. Garis yang berpotongan dengan BE e. Garis yang bersilangan dengan FG f.

Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab : a. Titik D dan F b. Titik A, D, F, G c. DE d. EA, EF, ED, EH e. AB, DC, AE, DH f.

AFH

B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Menghitung jarak antara titik dan garis Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.

A

Jarak antara titik A dengan garis g Adalah AB, karena AB tegak lurus Dengan garis g

B

g

2. Menghitung jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.

A Jarak titik A ke bidang H Adalah AB, karena garis AB Tegak lurus dengan bidang H

B H

3. Menghitung jarak antara 2 garis a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain. g

A

Jarak antara garis g dan h Adalah AB, karena AB  g dan h h

B

c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu. g

B h

A

Jarak antara garis g dan h

adalah AB karena AB tegak lurus g dan h

4. Menghitung jarak antara garis dan bidang Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.

A g

Jarak antara garis g dan Bidang H adalah AB, karena B

AB tegak lurus g dan Bidang H.

5. Jarak antara dua bidang Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.

A Jarak antara bidang G dan H G

Adalah AB.

B H

Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara : a. Titik A ke H b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF f.

Titik A ke bidang BDE

g. Garis AE ke garis CG h. Garis AE ke garis CG i.

Bidang ABCD ke EFGH

Jawab :

H

G

a. Jarak titik A ke H = AH E

AH =

F

D

P C

R

AD 2  DH 2

=

100  100

=

200

= 10 2 cm b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG

A

10

=

B

c. Jarak A ke CE = AK E

G K

Pada segitiga siku-siku CAE L

CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

10 3 cm 2

A

C

1 .10 2 .10  2 .10 3. AK 2 1 .10 2 .10 2 AK  1 .10 3 2 10 2 AK  3 10 AK  6 3

d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD) AR = ½ AC = ½ 10 2 = 5 2 cm

g. Jarak titik A ke bidang BDE

G

H

E

F

T

D

C

A

B R

Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :

E

G

Garis AG berpotongan tegak lurus dengan Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke Bidang BDE adalah AT. ER =

T

C

A R

L.

AR 2  AE 2

=

50  100

=

150

= 5 6 cm.

ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT ½. 5 2.10 = ½ . 5 6. AT

50 2 AT

= 5 6. AT =

50 2 5 6

=

10 3 cm 3

h. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 i.

Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm

C. PROYEKSI 1. Proyeksi titik pada bidang Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut : a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H

b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B. A

B

2. Proyeksi garis pada bidang Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi. a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik. b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan. Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm. Hitunglah panjang proyeksi : a. TB pada bidang ABCD b. TB pada bidang TAC

T

D C O

B

A

a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD = BO BO = ½ .AC =½

AB 2  BC 2

=½

25  25

=½ 5 2 =

5 2 cm 2

b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO TO =

TB 2  BO 2

=

64 

=

103 2

25 2

=

1 206 cm 2

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1.

Sudut antara dua garis berpotongan Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip. Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah

.

g

A



h 2. Sudut antara dua garis bersilangan Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.

h

Garis g bersilangan dg h Garis h1 sejajar dengan h g

Memotong g h1

Sudut antara g dan h sama dg Sudut antara g dan h1

3. Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu. g Garis g menembus bidang H dititik A. Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1 Sudut antara garis g dengan bidang H Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1 A g1 H 4. Sudut antara bidang dengan bidang Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan. Untuk menentukannya sbb : a. Tentukan garis potong kedua bidang b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi. d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi

g G



H h

(G,H)

Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H) Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h Contoh

:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan : a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD Jawab : H

G

E

F

D

A

5 cm

C

B

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450 b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH =

BD BH =

5 2 5 3

=

6 3

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tesuntuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila andadinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini,maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga. MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.