Tugas-kelompok-3-matdas.docx

TUGAS KELOMPOK KETIGA MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL

ANGGOTA KELOMPOK : 1. DEA AYU RAHMAWATI

(4211411001)

2. M. RIFKI MUZAKI

(4211411002)

3. ALIF FUADAH

(4211411032)

4. ENDAR WIDI SUGIYO

(4211411040)

PRODI

:

FISIKA

JURUSAN

:

FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG ANGKATAN TAHUN 2011

BACKGROUND SEJARAH KALKULUS Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal. Perkembangan Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.[1] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas

untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus. Pengaruh penting Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

A. FUNGSI DEFINISI Pengertian fungsi merupakan suatu hal yang mendasar dalam kalkulus. Berikut adalah beberapa definisi fungsi Dipunyai himpunan A dan B. Suatu fungsi f dari himpunan A ke B merupakan pasang terurut f ᴄ A x B sehingga 1. Untuk setiap x є A dan y є B э (x,y) є f dan 2. (x,y) є f dan (x,z) є f maka y = z (Chotim, 2008 : 21) Misal : Jika A = 1 maka B = 1 Jika A = 2 maka B = 4 Jika A = 3 maka B = 9 Hubungan antara A dan B dapat dinyatakan sebagai f(A) = B, bila anggota dari A kita anggap sebagai x dan anggota dari B kita anggap sebagai y, maka y = f(x) = x2 Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia yang dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang sangat teratur antara tinggi suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya menuju tanah. Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang matematika, sehingga merupakan suatu yang sangat penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.Dalam pengertian seharihari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan. Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan. a) Pengertian Relasi Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. b) Pengertian Relasi Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan sebagai berikut : Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. (http://ilmutambah.wordpress.com/2009/08/31/pengertian-relasi-fungsi-sifatdan-jenis-fungsi/) SIFAT FUNGSI Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masingmasing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut : 1. Injektif (Satu-satu) Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’. 2. Surjektif (Onto) Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”. 3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu” (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus)

B. LIMIT Limit dan kecil tak terhingga

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga. Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah: Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan: jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x: (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus)

C. KEKONTINUAN Fungsi kontinu dalam matematika adalah fungsi, yang bila dijelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran. Bila tidak demikian, fungsi tersebut dikatakan diskontinu. Fungsi kontinu dengan fungsi invers kontinu pula disebut bikontinu. Gagasan intuitif kekontinuan dapat diberikan oleh pernyataan bahwa fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Kekontinuan fungsi merupakan salah satu konsep inti topologi. Sebagai contoh fungsi kontinu, perhatikan fungsi h(t), yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t. Fungsi ini kontinu. Terdapat diktum dalam fisika klasik yang menyatakan bahwa di alam semuanya kontinu. Sebaliknya, jika M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, fungsi ini melompat ketika uang disimpan atau ditarik. Karena itu fungsi M(t) diskontinu. Fungsi riil kontinu Misalkan kita memiliki fungsi yang memetakan bilangan riil kepada bilangan riil, dengan domainnya merupakan suatu selang, seperti fungsi h dan M di atas. Fungsi seperti ini dapat dilambangkan dengan grafik dalam bidang Cartesius. Secara kasar dapat dikatakan fungsi tersebut kontinu bila grafik itu berupa kurva tunggal tidak terputus, tanpa "lubang" atau "lompatan" Untuk lebih cermat, kita mengatakan bahwa fungsi f kontinu pada suatu titik c bila dua persyaratan berikut terpenuhi:  

f(c) harus terdefinisi (c termasuk dalam domain f) limit f(x) saat x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan ada, dan harus sama dengan f(c). Kita menyebut fungsi tersebut kontinu di semua titik atau kontinu saja bila fungsi tersebut kontinu di semua elemen dalam domainnya. Lebih umum lagi, kita menyebut suatu fungsi kontinu dalam sebarang himpunan bagian dari domainnya bila fungsi tersebut kontinu di semua titik dalam himpunan bagian tersebut. Apabila kita mengatakan suatu fungsi kontinu, kita biasanya bermaksud bahwa fungsi tersebut kontinu untuk semua bilangan riil. Definisi Cauchy untuk fungsi kontinu Tanpa harus menggunakan konsep limit, kita dapat mendefinisikan kekontinuan fungsi riil sebagai berikut:

Perhatikan suatu fungsi f yang memetakan himpunan bilangan riil kepada himpunan bilangan riil lainnya, dan misalkan c adalah termasuk dalam domain f. Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c bila pernyataan berikut berlaku: Untuk tiap bilangan ε > 0, seberapa pun kecilnya, terdapat suatu bilangan δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x dalam domain dengan c - δ < x < c + δ, nilai f(x) memenuhi:

Dapat pula ditulis: bila himpunan bagian I, D dari R (himpunan bilangan riil), kekontinuan f : I → D pada c ∈ I berartiuntuk semua ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x ∈ I :

Definisi delta-epsilon untuk kekontinuan ini pertama kali diberikan oleh Cauchy. (http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu) D. TURUNAN

Grafik fungsi turunan. Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah: , dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut. Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. Notasi pendiferensialan Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler. Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai: ataupun Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′. Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika. Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai: atau . Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

Notasi Leibniz Turunan ƒ(x) terhadap x

Notasi Lagrange

Notasi Newton

ƒ′(x)

dengan y = ƒ(x)

Notasi Euler

(http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus) E. INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU Anti turunan adalah operasi balikan (inversi) dari turunan. Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I, jika DF = f pada I, yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi). Jika suatu fungsi f mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan famili dan setiap anggota dari famili ini dapat diperoleh dari salah satu di antar mereka dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok. Famili fungsi ini kita namakan anti turunan umum dari f. Notasi anti turunan yang saat ini populer digunakan adalah notasi Leibniz. Leibniz menggunakan lambang ∫...dx yang menunjukkan anti turunan terhadap x. (KALKULUS) INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) =



f(x) dx

Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan. Contoh :

1

2 3  x dx  3x  c

3 4  4 x dx  x  c

Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat : 1.  kf ( x)dx = k  f ( x)dx 2.

 [ f ( x)  g ( x)]dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx

Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu

n n 1  x dx  n  1 x  c ,

1

1.

n ≠ - 1 2.  sin xdx   cos x  c

3.  cos xdx  sin x  c

x

4.

x

ax 6.  a dx  c ln a

 sin 1 x  c

8.

x

5.  e dx  e  c

7.



9.



dx 1 x2

1

 x dx  ln x  c

dx x x2 1

 sec 1 x  c



dx 1 x

2

 tgn 1x  c

2 10.  sec xdx  tgnx  c

2 11.  cos ec xdx  ctgx  c

12.  sec xtgnxdx  sec x  c

13.  cosecxctgxdx  cosecx  c (http://www.docstoc.com/docs/31453256/15-Modul-Matematika---INTEGRALTENTU)

INTEGRAL TENTU Definisi : Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan b n pada [a,b] jika lim  f ( xi )xi ada, selanjutnya  f ( x)dx disebut P 0 i 1 a Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

b

 f ( x)dx

a

n

= lim  f ( xi )xi . P 0 i 1

b

 f ( x)dx

menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan

a

b sumbu x dalam selang [a,b], jika

 f ( x)dx bertanda negatif maka

a menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x. Definisi :

a

 f ( x)dx

=0

a

b

 f ( x)dx

a = -

a

 f ( x)dx ,

a>b

b

Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka b  f ( x)dx = F(b) – F(a) a b Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x)]a Contoh

:

1. Perlihatkan bahwa jika r  Q dan r  -1, maka b b r 1 a r 1 r

 x dx  r  1  r  1 a

Jawab :

x r 1 Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK, r 1 b b r 1 a r 1 r x dx  F ( b )  F ( a )    r  1 r 1 a Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat : Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan

b

b 1.

 kf ( x)dx 

k

a

 f ( x)dx

a

b

b 2.

 [ f ( x)  g (x)]dx

a

=

 f ( x)dx

b +

 g ( x)dx

a

a Contoh :

2 Hitung

2  (4 x  6 x )dx

1

Jawab :

2

2

 x2   x3  2 2  (4 x  6 x )dx  4  xdx  6  x dx = 4  2   6 3    1   1 1 1 1 2

2

2

 4 1 8 1    6   =  12  2 2  3 3

= 4

Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka

b

c

c

 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx bagaimanapun urutan b

a

a

a, b dan c.

Contoh :

2

1

2

2

2

 x dx   x dx   x dx

1.

3.

2

2 2.

2

0 1

1

0

0

1

2

2

2  x dx   x dx   x dx

0

0 2

3

0

3

2

2 2 2  x dx   x dx   x dx

2. Sifat Simetri Teorema :

a

a

a

0

Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka

 f ( x)dx = 2  f ( x)dx dan a

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka

 f ( x)dx =

0.

a Contoh :



1.

   x  x  x 1 cos dx  2 cos dx  8  4  4  cos 4 . 4 dx 4 2        0 0 5

2.



x5

2 5 x  4

dx = 0

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka  f(g(x))g’(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c Contoh :

Hitunglah 

sin x dx . x

Jawab : Misalkan u =



x = x1/2 sehingga du =

1 1 / 2 dx maka x 2

sin x 1  dx = 2  sin x  x 1 / 2 dx = 2  sin udu = 2cosu + c = 2cos x + c x 2 

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema : Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah g (b ) b f ( g ( x )) g ' ( x ) dx  nilai g, maka   f (u )du a g (a) Contoh :

1 Hitung



x 1

2 0 ( x  2 x  6)

dx

Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi

x 1

1 1 2( x  1) dx =  dx  2 2 2 0 ( x  2 x  6) 0 ( x  2 x  6)

1

=

1 3 1 9 du 1 1  ln u 96  (ln 9  ln 6) = ln    2 2 26 u 2 2 2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri a.  sin n x dx,  cos n x dx Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x =

1  cos 2 x 1  cos 2 x , cos 2 x = 2 2

Contoh :

2 1 1  cos 2 x   1.  cos 4 x dx =    dx =  (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx 2 4  

b.

=

1 1 1 dx + cos 2x (2) dx +  (1 + cos 4x) dx   8 4 4

=

1 3 1 x + sin 2x + sin 4x + c 32 8 4



sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. Contoh : Tentukan : 1.  sin 3 x cos –4 x dx

c.



tg n x dx,



2.  sin 2 x cos 4 x dx

cotg n x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg. Contoh :



cotg 4 x dx =



cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =

dx = -  cotg 2 x d(cotg x) d.



tg m x sec n x dx,







cotg 2 x cosec 2 x dx –

1 3

cotg 2 x

(cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c

cotg m x cosec n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

Contoh :



Tentukan : 1. e.





tg –3/2 x sec 4 x dx

sin mx cos nx dx,



sin mx sin nx dx,

2.





cos mx cos nx dx.

tg 3 x sec –1/2 x dx

Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh :



sin 2x cos 3x dx = 1/2  sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10



sin 5x d(5x) – ½



sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

 udv  uv   vdu Contoh : 1.

x  xe dx

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex x  xe dx =

xe x   e x dx = xex –ex + c

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax  b Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax  b Contoh : Hitung

3  x x  4dx

Jawab : Misalkan u = Shg

2 3 3  x x  4dx maka u = x – 4 dan 3 u du = dx

3 2 3  x x  4dx =  (u  4)u.3u du 

3 4 3 ( x  4) 7  ( x  4) 3  c 7

2 2 2 2 2 2 b. Integran yang memuat bentuk a  x , a  x , x  a Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :

1. Tentukan

4  x2



x2

dx

Jawab :

2 Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 4  x = 2 cos t , shg 2 cost 4  x2 dx =  (2 cost )dt   ctg 2 tdt = - ctg t – t + c  2 2

x

4 sin t

4  x2  x  sin 1    c x 2

=

5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

P( x) , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0 Q( x)

F ( x) 

Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut. Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :

5x  1

x2 1



2 3  x 1 x 1

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : Tentukan



5x  3

3

2

x  2 x  3x

dx

Jawab :

5x  3 x 3  2 x 2  3x



5x  3 A B C    x( x  1)( x  3) x x  1 x  3

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =  1

2

, dan C = 3

2

sehingga

3 1  dx 2 dx =   dx   2 dx  3 x x 1 x3 x  2 x 2  3x 1 3 = - ln x  ln x  1  ln x  3  c 2 2 5x  3

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : Tentukan



x ( x  3)

2

dx

Jawab :

x ( x  3) 2



A B maka x = A(x-3) + B  x  3 ( x  3) 2

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga



x ( x  3) 2

dx  

1 3 3 dx   dx  ln x  3  c x3 x3 ( x  3) 2

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor (ax  b) sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

k

dalam penyebut, maka ada

Ak A1 A2   ...  ax  b (ax  b) 2 (ax  b) k c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : 6 x 2  3x  1 Tentukan  dx 2

(4 x  1)( x  1)

Jawab : 2

6 x  3x  1

(4 x  1)( x 2  1)



A Bx  C  4x  1 x 2  1

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

1. Luas Daerah Bidang Rata a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : A(R) =

b

 f ( x)dx

a Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : A(R) =

d

 f ( y )dy

c

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi :

Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5.

Gambar daerah yang bersangkutan Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu. b. Daerah antara 2 Kurva Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x)  f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut

A  ( f ( x)  g ( x))x A=

b

 ( f ( x)  g ( x))dx

a

Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan. (http://www.docstoc.com/docs/31453256/15-Modul-Matematika---INTEGRALTENTU)

F. CONTOH FUNGSI 1. F (x) = x  Untuk x = 1, F (1) = 1 → nilai fungsi ada  Lim F(x) ‗ lim x ‗ 1 x→1x→1 Lim F(x) ‗ lim x ‗ 1 + x→1 x→1 → nilai limit ada  Nilai fungsi (ada) = nilai limit (ada), → kontinu  F’(x) = Tidak ada







F (x) dx =

x dx =

1 2

x2 + C

2. F (x) =





X2 , x < -1 2 , x = -1 1 ,-1< x < 1 X ,x≥1 Untuk x = -1, F (-1) = 2 →nilai fungsi ada

 

Lim F(x) ‗ lim x2 ‗ (-1)2 = 1 x→-1x→-1 Lim F(x) ‗ lim 1 ‗ 1 + x→-1 x→-1 →nilai limit ada Nilai fungsi (ada) ≠ Nilai limit (ada) → tidak kontinu F’(x) = tidak ada





F (x) dx =



2 dx = 2x + C

3. F (x) = , x ≠ -1  F (x) = x – 1 Untuk x = -1, F (x) = nilai fungsi tidak ada 

Lim

F(x)

‗

x→ -1Lim

lim

𝑥 2 −1 𝑥+1

‗

x→-1 F(x)

‗

lim

x→ -1+ →nilai lim 𝑥+1 it ada

‗

-2

‗

-2

x→-1 𝑥 2 −1 𝑥+1

x→-1 𝑥 2 −1

lim (x – 1)

‗

lim (x – 1) x→-1

 

Nilai fungsi (tidak ada) ≠ nilai limit (ada), → tidak kontinu F’(x) = tidak ada





⎜𝑥 ⎜

4. F (x) =

𝑥

𝑥 2 −1



F (x) dx =

𝑥+1

dx



=

1

x – 1 dx = 2 x2 – x + C

,x≠0



5 ,x=0 Untuk x = 0, F (x) = 5 , →nilai fungsi ada



Lim

F(x)

‗

x→0Lim

lim

⎜𝑥 ⎜ 𝑥

‗

-1

‗

1

x→0 F(x)

‗

lim

⎜𝑥 ⎜ 𝑥

 

x→0+ x→0 →nilai limit tidak ada Nilai fungsi (ada) ≠ nilai limit (tidak ada), → tidak kontinu F’(x) = tidak ada





F (x) dx =



5 dx = 5x + C

⎜𝑥 ⎜

5. F (x) =

𝑥

= =

−𝑥 𝑥

⎜𝑥 ⎜ 𝑥

= -1 ,x <0 = 1 ,x > 0 0



Untuk x = 0, F (x) = 0 , →nilai fungsi tidak ada



Lim

F(x)

‗

x→0Lim

lim

⎜𝑥 ⎜ 𝑥

‗

x→0 F(x)

‗

lim

lim

( -1)

‗

-1

( 1)

‗

1

x→0 ⎜𝑥 ⎜ 𝑥

‗

lim

 

x→0+ x→0 x→0 →nilai limit tidak ada Nilai fungsi (tidak ada) ≠ nilai limit (tidak ada), → tidak kontinu F’(x) = tidak ada





F (x) dx =

G. GAMBAR GRAFIK



0 dx = C

H. KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL

Perhitungan Nilai fungsi Nilai limit Keterangan Kekontinuan Nilai turunan Nilai integral

Tidak ada

Ada Ada Beda Tak kontinue Tidak ada

Keterangan Tidak ada Ada Tak kontinue Tidak ada

Ada Tidak ada Tak kontinue Tidak ada

Tidak ada Tidak ada Tak kontinue Tidak ada

Ada

Ada

Ada

Ada

Ada

Ada Ada Sama Kontinu

Sebuah obyek fungsi F (x) ditinjau dari segi limit, kekontinuan, turunan, dan integral adalah sebagai berikut : 1. LIMIT Suatu fungsi F (x) dikatakan memiliki nilai limit apabila : Limit kanan (+) = limit kiri (-) Sedangkan fungsi F (x) dikatakan tidak memiliki nilai limit jika : a) Hanya memiliki limit kanan (+) b) Hanya memiliki limit kiri (-) c) Limit kanan (+) ≠ limit kiri (-) 2. KEKONTINUAN Suatu fungsi F (x) dikatakan kontinu apabila a) Memiliki nilai fungsi untuk suatu F (x) b) Memiliki nilai limit c) Nilai F (x) = nilai limit 3. TURUNAN Tidak semua fungsi F (x) yang kontinu memiliki turunan, suatu fungsi F (x) dapat dunyatakan memiliki turunan apabila grafik fungsi F (x) tidak memiliki sudut atau tidak patah di suatu titik ataupun di beberapa titik. Sedangkan fungsi F (x) dinyatakan tidak memiliki turunan apabila grafik fungsi F (x) memiliki sudut atau patah disatu atau beberapa titik. 4. INTEGRAL Semua fungsi F (x) dalam [a,b] yang kontinu di titik a dan b dapat terintegralkan atau memiliki nilai integral.

I. CONTOH PENGGUNAAN TURUNAN DAN INTEGRAL DALAM FISIKA

1. Sebuah partikel yang mula-mula dalam keadaan rehat kemudian bergerak lurus berubah beraturan akibat adanya suatu resultan gaya ∑F yang bekerja pada partikel, dengan kecepatan dalam fungsi waktu v (t) = 4t , Kecepatan dalam m/s dan t dalam s. Jika resultan gaya yang bekerja pada partikel selalu tetap atau konstan, maka Tentukan : a. Posisi awal partikel b. Posisi partikel saat, t = 2 sekon c. Percepatan gerak partikel →∑F -------------------------------------------------r (0)

t = 2s r (t)

Jawab a. Posisi awal partikel (r0) r

 = =

r (t)

=

r (t)

=

v dt 4t dt 1 1+1 1 2

4 t1+1 + C

4 t2 + C

r (0) = (0 + C) m karena partikel mula mula diam, maka r (0) = 0 m, sehingga nilai C = 0 b. Posisi partikel saat t = 2 s =

1

r (2) =

1

r (t)

2

2

4 t2 + C 4 x 22 + C

r (2) =

2x4+C

r (2) =

(8 + C) m

berdasarkan pernyataan soal posisi awal benda dalam keadaan rehat sehingga C = 0, maka : r (2) = 8 m c. Percepatan gerak partikel a

=

𝑑𝑣

a

=

𝑑(4t)

a

=

4 m/s2

𝑑𝑡

𝑑𝑡

Jadi posisi awal partikel adalah 0 m, posisi partikel saat t = 2s adalah 8 m dari posisi awal benda, dan percepatan gerak partikel adalah 4 m/s2.