Tugas Kalkulus Integral

Bismillahirrohmanirrohim…

INTEGRAL Anti Turunan ( Integral Tak Tentu ) Definisi : Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika dF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f (x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Teorema A (Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka xr dx = xr + 1 + C r+1

Teorema B sin x dx = -cos x + C

cos x dx = sin x + C

Teorema C (kelinearan dari f . . . dx). Andaikan f dan g mempunyai anyi turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka : (i) kf(x) dx = k f(x) dx ; (ii) [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx ; dan tak tentu ? (iii) [f(x) – g(x)] dx = f(x)dx – g(x) dx.

Teorema D ( Aturan Pangkat Yang diperumum ). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan –1. Maka [g(x)]rg’(x) dx = [g(x)]r +1 + C r +1

Contoh Soal : Carilah hasil dari (2x + 1)(x2 + x)1/2 dx ? Penyelesaian : Kita menggunakan permisalan untuk masalah integral seperti ini Misal : P = x2 + x dP = 2x + 1 dx dP = (2x + 1) dx maka bentuk soal (2x + 1)(x2 + x)1/2 dapat diubah menjadi P ½+1+ C P1/2.dP = 1 ½+1 = 2 P3/2 + C 3 = 2 P.P1/2 + C 3 Dengan mengembalikan kembali bahwa P = (x2 + x) maka hasil akhir dari soal tersebut adalah = 2 (x2 + x)(x2 + x)1/2 + C 3

Pengantar untuk Persamaan Diferensial Dalam pasal sebelumnya, tugas kita adalah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F. Kita tuliskan f(x) dx = F(x) + C dan ini adalah benar, asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasa diferensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx. Sehingga kita dapat memandang rumus dalam kotak sebagai dF(x) = F(x) + C Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta). Ini adalah segi pandangan Leibniz ; dengan menerimanya akan sangat membantu kita dalam pasal ini.

Contoh Soal : Selesaikan persamaan diferensial dy = x + 5x2 dx 2y2 Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 3 Penyelesaian : Seperti telah dicatat sebelumnya, persamaan yag diberikan setara terhadap 2y2 dy = ( x + 5x2 ) dx Jadi, 2y2 dy = ( x + 5x2 ) dx 2 y3 + C1= x2 + 5x3 + C2 3 2 3 3 y = 3x2 + 5x3 + (3C2 – 3C1) 2 2 2 2 3 = 3x + 5x + C 2 2 y = (3x + 5x3 + C)1/3 2 Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 5 bilamana x = 0. Ini memberikan 5 = (C)1/3 125 = C Jadi, y = (3x2 + 5x3 + 125)1/3 2 pengecekan hasil akhir pada pekerjaan kita adalah menggantikan hasil ini pada kedua ruas dari persamaan diferensial semula untuk melihat apakah ia benar. Dan gantikan pada ruas kiri, diperoleh dy = 1 (3x2 + 5x3 + 125)-2/3 (6x + 15x2) dx 3 2 2 2 = 2x + 5x 2 2 (3x + 5x3 + 125)-2/3 2 Pada ruas kanan, diperoleh x + 5x2 = 2x + 5x2 2 2y 2 (3x2 + 5x3 + 125)-2/3 2

Alhamdulillahirobbila’lamin… Alhamdulillahirobbila’lamin…