Tugas-anrel-normal-dan-eksponensial (1).docx

DISTRIBUSI NORMAL DAN EKSPONENSIAL DALAM DISTRIBUSI WEILBULL ANALIS RELIABILITAS

Disusun oleh: Vina Riskia Windy Antika A.W. Silvia Netsyah Cintia Pannyabeta Putri Ria Aprilia

(115090507111004) (115090500111064) (115090507111022) (115090500111036) (115090500111030)

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2013

BAB I PENDAHULUAN

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Distribusi Weibull Bentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresantikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang dikenal dengan Model Weibull, γ h ( t )= t γ −1 θ Untuk γ dan θ bernilai positif. Fungsi f(t) diberikan :

[

t

f ( t )=h ( t ) exp −∫ h ( ξ ) dξ

[

0

t

γ γ ¿ t γ−1 exp −∫ ξ γ −1 dξ θ 0 θ

[ [

γ −γ 1 γ ¿ t γ−1 exp (t ) θ θ γ γ −1 γ ¿ t γ−1 exp (t ) θ θ

]

] ]

] ;t>0

Di mana : θ=¿ parameter skala ( sifat umur produk atau characteristic life) γ =¿

parameter bentuk ( bentuk distribusi )

Jika γ =¿ 1 maka f(t) adalah density eksponensial, jika γ =2 maka f(t) adalah distribusi Rayleigh, jika γ =3,43938 maka akan mendekati distribusi normal. Berikut adalah penjelasan mengenai distribusi normal dan eksponensial sebagai kasus khusus dari distribusi weilbull. 2.1.1 Distribusi Normal (Distribusi Weibull saat γ =3,43938) a. Pengertian Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian

besar dari variable random yang kontinu di berbagai bidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya.Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ). Fungsi kerapatan peluang dari distribusi normal diberikan dalam rumus berikut:

Gambar distribusi normal dengan berbeda :

μ

yang sama namun

σ

σ 2Χ =0, 25

σ 2Χ =1

2

σ Χ =5

μΧ Gambar distribusi normal dengan

μ yang berbeda namun σ sama:

μ Χ =0 μ Χ =+2 μ Χ =−2

b. Ciri-ciri distribusi normal  Disusun dari variable random kontinu  Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal)  Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik.  Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.  Peristiwa yang dimiliki tetap independen.  Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis. c.

Nilai harapan dan varians Metode maximum likelihood : Rata-Rata

1 f ( x )= e σ √2 π

2

−1 x−μ ( ) 2 σ

n

L ( μ , σ )=∏ f ( X i=x i∨μ , σ ) i=1

−1 [( x − μ) +(x −μ ) +…+(x −μ) ] 1 2σ L ( μ , σ )= e n (σ √ 2 π ) 2

2

1

2

2

2

n

−1 ∑ (x − μ) 1 2σ L ( μ , σ )= n e n σ (√ 2 π )

2

i

2

−1

2

∑ (x −μ) 1 2σ [¿ n e ] n σ ( √2 π ) ln [ L ( μ , σ ) ]=ln ¿ 2

l ( μ , σ )=ln [e l ( μ , σ )=

i

−1 2 x − μ) 2∑( i 2σ

n

]−ln[σ n ( √ 2 π ) ]

−1 x −μ )2−n ln σ−n ln √ 2 π 2∑ ( i 2σ

∂l ( μ , σ ) −2 ∑ ( x i−μ ) = −0−0 2 ∂μ 2σ

x i−nμ ∑¿ ¿ ¿ ∂l ( μ , σ ) =−¿ ∂μ 0=

−∑ x i+ nμ σ

2

0=−∑ x i +nμ −nμ=−∑ x i ^μ=

∑ xi n

E ( X )= μ^ =

∑ xi n

Varians l ( μ , σ )=

−1 2 x −μ ) −n ln σ−n ln √ 2 π 2∑ ( i 2σ 2

∂l ( μ , σ ) 4 σ ∑ ( xi −μ ) n = − −0 4 ∂σ σ 4σ

2

∂l ( μ , σ ) ∑ ( x i−μ ) n = − 3 ∂σ σ σ 2 2 ∑ ( x i−μ ) −σ n 0=

σ3

0=∑ ( x i−μ )2−σ 2 n σ 2 n=∑ ( x i−μ )2 σ^

2

2 ∑ ( x i−μ ) =

n

d. Fungsi kumulatif kerusakan F(t) sebaran Normal

F(t )=

{ } − (t− μ )2

t

1 σ . √2 π

.∫ e

2 σ2

−∞

e. Fungsi keandalan R(t) ∞

R(t )=

{ }dt

1 .∫ e σ . √2 π t

− (t− μ )2 2σ 2

f. Fungsi laju kerusakan h(t)

{ } e h(t )= { }dt ∫e − (t− μ )2 2 σ2

2

∞

− ( t −μ ) 2σ

2

t

g. Pola grafik dari masing-masing fungsi pada distribusi normal mendekati pola berikut ini :

Fungsi kumulatif kerusakan

Fungsi keandalan

Gambar 2.9 Pola grafik fungsi distribusi normal Sumber : Jardine (1973)

2.1.2 Distribusi Eksponensial a. Pengertian Merupakan kasus dari distribusi weilbul disaat γ =¿

1.

Distribusi yang menggambarkan suatu kerusakan dari mesin yang disebabkan oleh kerusakan pada salah satu komponen dari mesin atau peralatan yang menyebabkan mesin terhenti. Dalam hal ini kerusakan tidak dipengaruhi oleh unsur pemakaian peralatan. b. Fungsi Kepekatan Peluang Sebaran Eksponensial

f ( x )=

{

λe−λx , untuk x≥0 0, selainnya

Dengan fungsi sebaran kumulatif

{

− λx F ( x )= 1−e , untuk x≥0 0, x<0

Mean dan varians dari sebaran Eksponensial adalah Bukti : 1. Rata-rata

∞

E( X )= ∫ xf ( x )dx ∞

−∞

E( X )=∫ x( λe−λx )dx 0

∞

=[−xe−λx ]∞0 +∫ e−λx dx 0

1 ¿(0−0)+(− e−λx )∞0 λ 1 ¿0+(0+ ) λ 1 ¿ λ

2. Varians

1 λ

1 λ

dan

1 . λ2

Var ( X )=E( x 2 )−( E ( x ))2 =

1 λ2

∞

E( X )=∫ x 2 ( λe−λx )dx 2

0

∞

∫ 2 xe−λx dx

=[−x 2 e−λx ]∞0 +

0

2 1 ¿(0−0)+ [− e−λx ]∞0 λ λ 2 ¿ (0−(−1 )) λ 2 ¿ λ E( X )=

1 λ

Var ( X )=E( x 2 )−( E ( x ))2 =

1 λ2

c. Fungsi-fungsi yang terdapat dalam distribusi ini adalah : 1. Fungsi kepadatan probabilitas f(t)

f (t )=λ .e ( λ .t ) Untuk t > 0 Dimana : λ = Rata-rata nilai kedatangan kerusakan 2. Fungsi kumulatif kerusakan F(t) F(t) = 1 - e (λ t) 3. Fungsi keandalan R(t) R(t) = e (-λ t) 4. Fungsi laju kerusakan r(t) atau h(t) h(t) = λ

d. Pola grafik dari masing-masing fungsi pada distribusi eksponensial mendekati pola berikut ini :

Gambar 2.8 Pola grafik fungsi distribusi eksponensial Sumber : Jardine (1973)