Tugas Analisis Real
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- Words: 1,059
- Pages: 5
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NITA SUANTIKA ZAINUL 106017000538/ MTK, 7B
MULIA RAHMAYANI 1060170005
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2009 TUGAS ANALISIS REAL
Teorema 3.3.4 ∞ Jika barisan { x n } n =1 konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari
{ xn } ∞n =1
juga konvergen ke L.
Contoh: ∞
1 1 1 1. 2 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). n n =1 4 9 ∞
2.
1 1 1 , , . Konvergen ke- 0 (nol). 4 = 1, n n =1 16 81 ∞
1 1 1 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). 3 n n =1 3 27
3.
∞
1 1 1 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). n n =1 2 3
4.
∞
n 1 2 1 = , , , . Konvergen ke- 0 (nol). n + 3 n =1 4 5 2
5.
Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real { x n } n =1 konvergen, maka { x n } n =1 terbatas. ∞
Contoh: ∞
3n = {1, 3, 9} 4 − n n =1
1.
∞
2 2 = 2, 1, , 3 n n =1
2.
∞
2 1 = −1, 0, , n n =1 3
3. 1 −
∞
1 1 4. = , 1 3 − n n =1 2 ∞
2 2 1 5. = − , − , −1, − 2 n − 5 2 3 n =1
Teorema 3.4.7
∞
∞ ∞ Misalkan { x n } n =1 adalah barisan real. Jika { x n } n =1 barisan tak turun dan ∞ terbatas diatas, maka { x n } n =1 konvergen.
Contoh: ∞
5n 10 , 5, 10 , 25 = 1, 6 − n n =1 4
1.
∞
n 1 = , 2 3 − n n =1 2
2.
∞
15 3n 1 6 9 , 18 3. = , , , 4, 2 7 − n n =1 2 5 4 ∞
4n − 3 1 5 4. = , , 9 4 − n n =1 3 2 ∞
5 2n −1 1 = , 1, , 7 5 − n 4 2 n =1
5.
Teorema 3.4.8 ∞ ∞ Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞ turun dan tak terbatas diatas, maka { x n } n =1 divergen ke
∞.
Contoh: 1.
{4n − 2} ∞n =1 = {2, 6, 10 , } ∞
2 4 = 0, 1, , n n =1 3
1 7 17 , = 1, , n 2 n =1 4 9
2. 2 − 3. 2 −
∞
∞
5n 5 10 , 3, = , n + 2 9 4 n =1
4.
∞
n 1 2 3 = , , , n + 4 n =1 5 6 2
5.
Teorema 3.4.9 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞
∞
naik dan terbatas dibawah, maka { x n } n =1 konvergen. ∞
Contoh: ∞
3n = {−1, − 3, − 9} n − 4 n =1
1.
∞
4 = {− 2, − 4} n − 3 n =1
2.
∞
5 9 4n − 3 1 3. = − , − , − , −13 3 2 n − 5 n =1 4 ∞
n 1 4. = − , − 2 n − 3 2 n =1 ∞
2n 1 = − , −1, − 3 2 n − 8 3 n =1
5.
Teorema 3.4.10 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞
∞
naik dan tak terbatas dibawah, maka { x n } n =1 divergen ke ∞
−∞.
Contoh: 1.
{ − 3n} ∞n =1 = { − 3, − 6, − 9,}
2. {7 − n 2 } n =1 = {7, 3, − 2, } ∞
3. {2 − n 2 } n =1 = {1, 0, −1, } ∞
4.
{ 4 − 3n} ∞n =1 = {1, − 2, − 5,} ∞
3 n 1 = − , −1, − , 2 2 n =1 2
5. −
Teorema 3.4.11 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan biloangan real, maka { x n } n =1 ∞
mempunyai barisan bagian yang monoton. Contoh: 1. {n 3 } n =1 = {1, 8, 27 , } ∞
∞
∞
4n 8 = 2, , 3, n +1n =1 3
2.
∞
1 1 2 3. 1 − = 0, , , n n =1 2 3 ∞
1 1 1 1 4. = , , , 2 n 2 4 6 n =1 ∞
n 1 2 3 = , , , n +1n =1 2 3 4
5.
NITA SUANTIKA ZAINUL 106017000538/ MTK, 7B
MULIA RAHMAYANI 1060170005
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2009 TUGAS ANALISIS REAL
Teorema 3.3.4 ∞ Jika barisan { x n } n =1 konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari
{ xn } ∞n =1
juga konvergen ke L.
Contoh: ∞
1 1 1 1. 2 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). n n =1 4 9 ∞
2.
1 1 1 , , . Konvergen ke- 0 (nol). 4 = 1, n n =1 16 81 ∞
1 1 1 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). 3 n n =1 3 27
3.
∞
1 1 1 = 1, , , . Konvergen ke- 0 (nol). n n =1 2 3
4.
∞
n 1 2 1 = , , , . Konvergen ke- 0 (nol). n + 3 n =1 4 5 2
5.
Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real { x n } n =1 konvergen, maka { x n } n =1 terbatas. ∞
Contoh: ∞
3n = {1, 3, 9} 4 − n n =1
1.
∞
2 2 = 2, 1, , 3 n n =1
2.
∞
2 1 = −1, 0, , n n =1 3
3. 1 −
∞
1 1 4. = , 1 3 − n n =1 2 ∞
2 2 1 5. = − , − , −1, − 2 n − 5 2 3 n =1
Teorema 3.4.7
∞
∞ ∞ Misalkan { x n } n =1 adalah barisan real. Jika { x n } n =1 barisan tak turun dan ∞ terbatas diatas, maka { x n } n =1 konvergen.
Contoh: ∞
5n 10 , 5, 10 , 25 = 1, 6 − n n =1 4
1.
∞
n 1 = , 2 3 − n n =1 2
2.
∞
15 3n 1 6 9 , 18 3. = , , , 4, 2 7 − n n =1 2 5 4 ∞
4n − 3 1 5 4. = , , 9 4 − n n =1 3 2 ∞
5 2n −1 1 = , 1, , 7 5 − n 4 2 n =1
5.
Teorema 3.4.8 ∞ ∞ Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞ turun dan tak terbatas diatas, maka { x n } n =1 divergen ke
∞.
Contoh: 1.
{4n − 2} ∞n =1 = {2, 6, 10 , } ∞
2 4 = 0, 1, , n n =1 3
1 7 17 , = 1, , n 2 n =1 4 9
2. 2 − 3. 2 −
∞
∞
5n 5 10 , 3, = , n + 2 9 4 n =1
4.
∞
n 1 2 3 = , , , n + 4 n =1 5 6 2
5.
Teorema 3.4.9 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞
∞
naik dan terbatas dibawah, maka { x n } n =1 konvergen. ∞
Contoh: ∞
3n = {−1, − 3, − 9} n − 4 n =1
1.
∞
4 = {− 2, − 4} n − 3 n =1
2.
∞
5 9 4n − 3 1 3. = − , − , − , −13 3 2 n − 5 n =1 4 ∞
n 1 4. = − , − 2 n − 3 2 n =1 ∞
2n 1 = − , −1, − 3 2 n − 8 3 n =1
5.
Teorema 3.4.10 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak ∞
∞
naik dan tak terbatas dibawah, maka { x n } n =1 divergen ke ∞
−∞.
Contoh: 1.
{ − 3n} ∞n =1 = { − 3, − 6, − 9,}
2. {7 − n 2 } n =1 = {7, 3, − 2, } ∞
3. {2 − n 2 } n =1 = {1, 0, −1, } ∞
4.
{ 4 − 3n} ∞n =1 = {1, − 2, − 5,} ∞
3 n 1 = − , −1, − , 2 2 n =1 2
5. −
Teorema 3.4.11 Misalkan { x n } n =1 adalah barisan biloangan real, maka { x n } n =1 ∞
mempunyai barisan bagian yang monoton. Contoh: 1. {n 3 } n =1 = {1, 8, 27 , } ∞
∞
∞
4n 8 = 2, , 3, n +1n =1 3
2.
∞
1 1 2 3. 1 − = 0, , , n n =1 2 3 ∞
1 1 1 1 4. = , , , 2 n 2 4 6 n =1 ∞
n 1 2 3 = , , , n +1n =1 2 3 4
5.
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